Teoria pierścieni - Ring theory

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Stojak i kwantowa Quasigrupa i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
pierścień -like Dzwonić Rng Semiring Blisko pierścienia Pierścień przemienny Domena integralna Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata -like Krata Semisiatka Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria sieci
Moduł podobny Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra -like Algebra Asocjacyjny Nieskojarzone Algebra kompozycji Algebra kłamstwa Ocenione Bialgebra
v T mi

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Całkowity pierścień ilorazowy • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W Algebra , teoria pierścień jest badaniem pierścienie - struktur algebraicznych , w którym dodawania i mnożenia są zdefiniowane i mają właściwości podobne do tych operacji zdefiniowanych dla tych liczb . Badania teoretyczne pierścień o strukturze pierścieni, ich reprezentacje , lub, w innym języku, moduły , specjalnych klas pierścienie ( pierścieniach grupy , pierścienie podziału , uniwersalnych algebrach okalająca ), jak również szereg właściwości, które okazało się mieć znaczenie zarówno w samą teorię i jej zastosowania, takie jak właściwości homologiczne i tożsamości wielomianowe .

Pierścienie przemienne są znacznie lepiej rozumiane niż te nieprzemienne. Geometria algebraiczna i teoria liczb algebraicznych , które dostarczają wielu naturalnych przykładów pierścieni przemiennych, przyczyniły się w dużej mierze do rozwoju teorii pierścieni przemiennych, która obecnie pod nazwą algebry przemiennej jest głównym obszarem współczesnej matematyki. Ponieważ te trzy pola (geometria algebraiczna, algebraiczna teoria liczb i algebra przemienna) są tak ściśle ze sobą powiązane, zwykle trudno i bez znaczenia jest rozstrzygnięcie, do którego pola należy dany wynik. Na przykład, Nullstellensatz Hilberta jest twierdzeniem, które jest fundamentalne dla geometrii algebraicznej i jest stwierdzone i udowodnione w kategoriach algebry przemiennej. Podobnie Wielkie Twierdzenie Fermata jest sformułowane w kategoriach elementarnej arytmetyki , która jest częścią algebry przemiennej, ale jej dowód obejmuje głębokie wyniki zarówno algebraicznej teorii liczb, jak i geometrii algebraicznej.

Nieprzemienne pierścienie mają zupełnie inny smak, ponieważ mogą pojawić się bardziej niezwykłe zachowania. Podczas gdy teoria rozwinęła się sama w sobie, dość niedawny trend dążył do równoległego rozwoju przemiennego, budując teorię pewnych klas nieprzemiennych pierścieni w sposób geometryczny, tak jakby były pierścieniami funkcji na (nieistniejących) „nieprzemiennych”. przestrzenie”. Trend ten rozpoczął się w latach 80. wraz z rozwojem geometrii nieprzemiennej i odkryciem grup kwantowych . Doprowadziło to do lepszego zrozumienia nieprzemiennych pierścieni, zwłaszcza nieprzemiennych pierścieni Noetherian .

Definicje pierścienia oraz podstawowe pojęcia i ich właściwości można znaleźć w rozdziale Ring (matematyka) . Definicje terminów używanych w teorii pierścieni można znaleźć w Słowniku teorii pierścieni .

Pierścienie przemienne

Pierścień nazywa się przemiennym, jeśli jego mnożenie jest przemienne . Pierścienie przemienne przypominają znane systemy liczbowe, a różne definicje pierścieni przemiennych mają na celu sformalizowanie właściwości liczb całkowitych . Pierścienie przemienne są również ważne w geometrii algebraicznej . W teorii pierścieni przemiennych liczby są często zastępowane ideałami , a definicja ideału pierwszego próbuje uchwycić istotę liczb pierwszych . Domeny całkowe , nietrywialne pierścienie przemienne, w których żadne dwa niezerowe elementy nie mnożą się, aby dać zero, uogólniają inną właściwość liczb całkowitych i służą jako właściwy obszar do badania podzielności. Główne dziedziny idealne to dziedziny integralne, w których każdy ideał może zostać wygenerowany przez jeden element, inną własność wspólną dla liczb całkowitych. Domeny euklidesowe są domenami integralnymi, w których można przeprowadzić algorytm euklidesowy . Ważne przykłady pierścieni przemiennych mogą być skonstruowane jako pierścienie wielomianów i ich pierścienie czynnikowe. Streszczenie: domena euklidesowa ⊂ domena główna idealna ⊂ dziedzina unikatowej faktoryzacji ⊂ dziedzina całkowa ⊂ pierścień przemienny .

Geometria algebraiczna

Geometria algebraiczna jest pod wieloma względami lustrzanym odbiciem algebry przemiennej. Związek ten jest rozpoczął Twierdzenie Hilberta o zerach ustalająca zgodnością jeden do jednego między punktami a algebraicznych różnych , a maksymalne idee jego współrzędnych pierścienia . Korespondencja ta została rozszerzona i usystematyzowana w celu przełożenia (i udowodnienia) większości właściwości geometrycznych rozmaitości algebraicznych na właściwości algebraiczne skojarzonych pierścieni przemiennych. Alexander Grothendieck uzupełnił to, wprowadzając schematy , uogólnienie rozmaitości algebraicznych, które można zbudować z dowolnego pierścienia przemiennego. Dokładniej, widmo pierścienia przemiennego to przestrzeń jego ideałów pierwszych wyposażona w topologię Zariskiego i powiększona o snop pierścieni. Obiektami tymi są „schematy afiniczne” (uogólnienie rozmaitości afinicznych ), a ogólny schemat uzyskuje się następnie przez „sklejanie” (metodami czysto algebraicznymi) kilku takich schematów afinicznych, analogicznie do sposobu konstruowania rozmaitości przez sklejanie te wykresy od an atlasu .

Nieprzemienne pierścienie

Pierścienie nieprzemienne pod wieloma względami przypominają pierścienie macierzy . Wzorem geometrii algebraicznej podjęto ostatnio próby zdefiniowania nieprzemiennej geometrii opartej na nieprzemiennych pierścieniach. Pierścienie nieprzemienne i algebry asocjacyjne (pierścienie, które są również przestrzeniami wektorowymi ) są często badane poprzez ich kategorie modułów. Moduł nad pierścieniem jest abelowa grupa że pierścień zachowuje się jako pierścień endomorfizm , bardzo podobny do sposobu pola (integralnych obszarów, w których każdy element niezerowy odwracalna) działa w przestrzeni wektorowej. Przykładami nieprzemiennych pierścieni są pierścienie o macierzy kwadratowej lub bardziej ogólnie pierścienie endomorfizmów grup lub modułów abelowych oraz pierścienie monoidalne .

Teoria reprezentacji

Teoria reprezentacji jest gałęzią matematyki, która w dużym stopniu czerpie z nieprzemiennych pierścieni. Bada abstrakcyjnych struktur algebraicznych przez reprezentujących ich elementy jak liniowych przekształceń w przestrzeni wektorowej , a badania modułów ponad tych abstrakcyjnych struktur algebraicznych. W istocie, reprezentacja ukonkretnia abstrakcyjny obiekt algebraiczny, opisując jego elementy macierzami i działaniami algebraicznymi w kategoriach dodawania macierzy i mnożenia macierzy , które jest nieprzemienne. Obiekty algebraiczne podlegające takiemu opisowi obejmują grupy , algebry asocjacyjne i algebry Liego . Najważniejszą z nich (i historycznie pierwszą) jest teoria reprezentacji grup , w której elementy grupy są reprezentowane przez macierze odwracalne w taki sposób, że operacją grup jest mnożenie macierzy.

Kilka istotnych twierdzeń

Ogólny

• Twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni
• Lemat Nakayamy

Twierdzenia o strukturze

• Twierdzenie Artina-Wedderburna określa strukturę pierścieni półprostych
• Twierdzenie gęstość Jacobson określa strukturę pierwotnych pierścieni
• Twierdzenie Goldiego określa strukturę półpierwszych pierścieni Goldie
• Twierdzenie Zariskiego-Samuela określa strukturę przemiennego głównego idealnego pierścienia
• Twierdzenie Hopkins-Levitzki zapewnia niezbędne i wystarczające warunki do pierścień noetherowski być Artinian pierścień
• Teoria Mority składa się z twierdzeń określających, kiedy dwa pierścienie mają „równoważne” kategorie modułów
• Twierdzenie Cartana-Brauera-Hua daje wgląd w strukturę pierścieni podziału
• Małe twierdzenie Wedderburna mówi, że skończone domeny są polami

Inne

• Skolem-Noether twierdzenie charakteryzuje Automorfizmy o prostych pierścieni

Struktury i niezmienniki pierścieni

Wymiar pierścienia przemiennego

W tej sekcji R oznacza pierścień przemienny. Wymiar Krull z R jest Supremum o długości n wszystkich łańcuchów głównych idei . Okazuje się, że pierścień wielomianowy nad ciałem k ma wymiar n . Podstawowe twierdzenie teorii wymiarów mówi, że następujące liczby pokrywają się dla noetherianu lokalnego pierścienia : ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_ {n}}$${\displaystyle k[t_{1},\cdots,t_{n}]}$${\ Displaystyle (R {\ mathfrak {m}})}$

• Wymiar Krulla R .
• Minimalna liczba generatorów ideałów -pierwotnych.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• Wymiar stopniowanego pierścienia (odpowiednik 1 plus stopień jego wielomianu Hilberta ).${\ Displaystyle \ textstyle \ operatorname {gr} _ {\ mathfrak {m}} (R) = \ bigoplus _ {k \ geq 0} {\ mathfrak {m}} ^ {k} / {{\ mathfrak {m} }^{k+1}}}$

Mówi się, że przemienny pierścień R jest łańcuchowy, jeśli dla każdej pary ideałów pierwszych istnieje skończony łańcuch ideałów pierwszych, który jest maksymalny w tym sensie, że niemożliwe jest wstawienie dodatkowego ideału pierwszego między dwa ideały w łańcuchu, a wszystkie takie maksymalne łańcuchy pomiędzy i mają taką samą długość. Praktycznie wszystkie pierścienie noetherian, które pojawiają się w aplikacjach, są łańcuchowe. Ratliff udowodnił, że noetherian lokalny dziedzina całkowitości R jest trakcyjnej wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ideałem , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\podzbiór {\mathfrak {p}}'}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} _ {0} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p}} '}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {słabe} R = \ nazwa operatora {ht} {\ mathfrak {p}} + \ nazwa operatora {słabe} R / {\ mathfrak {p}}}$

gdzie jest wysokość od . ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Jeśli R jest domeną całkową, która jest skończenie generowaną k- algebrą, to jej wymiarem jest stopień transcendencji jego pola ułamków nad k . Jeżeli S jest integralnym przedłużeniem pierścienia przemiennego R , to S i R mają ten sam wymiar.

Ściśle powiązane koncepcje to te dotyczące głębi i wymiaru globalnego . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli R jest noetheriańskim pierścieniem lokalnym, to głębokość R jest mniejsza lub równa wymiarowi R . Gdy równość utrzymuje się, R nazywa się pierścieniem Cohena-Macaulay'a . Regularny pierścień lokalny jest przykładem pierścienia Cohen-Macaulay. Jest to twierdzenie Serre'a, że R jest regularnym pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony wymiar globalny i w takim przypadku wymiar globalny jest wymiarem Krulla R . Znaczenie tego jest takie, że wymiar globalny jest pojęciem homologicznym .

Równoważność Morita

Dwa pierścienie R , S są uważane za odpowiednik Morita Jeżeli kategoria lewej moduły przez R odpowiada kategorii lewej moduły przez S . W rzeczywistości dwa pierścienie przemienne, które są ekwiwalentem Mority, muszą być izomorficzne, więc pojęcie to nie wnosi nic nowego do kategorii pierścieni przemiennych. Jednak pierścienie przemienne mogą być równoważne Morita z pierścieniami nieprzemiennymi, więc równoważność Mority jest grubsza niż izomorfizm. Równoważność Morita jest szczególnie ważna w topologii algebraicznej i analizie funkcjonalnej.

Skończenie wygenerowany moduł projekcyjny nad pierścieniem i grupą Picard

Niech R będzie pierścieniem przemiennym i zbiorem klas izomorfizmu skończenie generowanych modułów rzutowych nad R ; niech także podzbiory składające się z tych o stałej randze n . (Rząd modułu M jest funkcją ciągłą .) jest zwykle oznaczany przez Pic( R ). Jest to grupa przemienna zwany grupą Picard z R . Jeśli R jest domeną integralną z polem ułamków F od R , to istnieje dokładna sekwencja grup: ${\ Displaystyle \ mathbf {P} (R)}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (R)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} R \ do \ mathbb {Z} \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ dim M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {1}(R)}$

${\ Displaystyle 1 \ do R ^ {*} \ do F ^ {*} {\ overset {f \ mapsto f R} {\ do}} \ operatorname {koszyk} (R) \ do \ operatorname {pic} (R) \do 1}$

gdzie jest zestaw idei ułamkowych z R . Jeśli R jest regularny domeny (czyli regularne w dowolnym ideałem), następnie Pic (R) jest właśnie grupa klasa dzielnik od R . ${\ Displaystyle \ Operatorname {Koszyk} (R)}$

Na przykład, jeśli R jest główną idealną domeną, wówczas Pic( R ) znika. W algebraicznej teorii liczb R będzie traktowane jako pierścień liczb całkowitych , który jest Dedekind, a zatem regularny. Wynika z tego, że Pic( R ) jest grupą skończoną ( skończoność numeru klasy ), która mierzy odchylenie pierścienia liczb całkowitych od bycia PID.

Można również rozważyć zakończenie grupowej z ; prowadzi to do pierścienia przemiennego K ₀ (R). Zauważ, że K ₀ (R) = K ₀ (S), jeśli dwa przemienne pierścienie R , S są równoważne Morita. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} (R)}$

Struktura nieprzemiennych pierścieni

Struktura pierścienia nieprzemiennego jest bardziej skomplikowana niż pierścienia przemiennego. Na przykład istnieją pierścienie proste , nie zawierające nietrywialnych ideałów właściwych (dwustronnych), które zawierają nietrywialne ideały właściwe lewe lub prawe. Różne niezmienniki istnieją dla pierścieni przemiennych, podczas gdy niezmienniki pierścieni nieprzemiennych są trudne do znalezienia. Na przykład, nilrodnik pierścienia , zbiór wszystkich nilpotentnych elementów, nie musi być ideałem, chyba że pierścień jest przemienny. W szczególności zbiór wszystkich elementów nilpotent w pierścieniu wszystkich n x n macierzy podziału na pierścień nie tworzy się idealny, niezależnie od pierścienia podział wybrany. Istnieją jednak analogi nilradical zdefiniowane dla nieprzemiennych pierścieni, które pokrywają się z nilradical, gdy zakłada się przemienność.

Pojęcie rodnika Jacobsona pierścienia; to znaczy, że przekrój wszystkich prawej / lewej annihilators z prostych w prawo / lewo modułów powyżej pierścienia, jest jednym z przykładów. Fakt, że rodnik Jacobsona może być postrzegany jako przecięcie wszystkich maksymalnych ideałów prawo/lewo w pierścieniu, pokazuje, jak wewnętrzna struktura pierścienia jest odzwierciedlana przez jego moduły. Faktem jest również, że przecięcie wszystkich maksymalnych ideałów prawych w pierścieniu jest takie samo, jak przecięcie wszystkich maksymalnych ideałów lewych w pierścieniu, w kontekście wszystkich pierścieni; przemienne lub nieprzemienne.

Pierścienie nieprzemienne służą jako aktywny obszar badań ze względu na ich wszechobecność w matematyce. Na przykład, pierścień macierzy n -by- n nad polem jest nieprzemienny pomimo jego naturalnego występowania w geometrii , fizyce i wielu dziedzinach matematyki. Bardziej ogólnie, pierścienie endomorfizmu grup abelowych rzadko są przemienne, najprostszym przykładem jest pierścień endomorfizmu czterogrupy Kleina .

Jednym z najbardziej znanych nieprzemiennych pierścieni jest pierścień podziału kwaternionów .

Aplikacje

Pierścień liczb całkowitych pola liczbowego

Pierścień współrzędnych rozmaitości algebraicznej

Jeśli X jest afiniczne algebraiczne odmiana , to zbiór wszystkich zwykłych funkcji na X tworzy pierścień zwany pierścień współrzędnych z X . Dla odmiany projekcyjnej istnieje analogiczny pierścień zwany jednorodnym pierścieniem współrzędnych . Te pierścienie są w zasadzie tymi samymi rzeczami, co odmiany: odpowiadają w zasadniczo unikalny sposób. Można to zaobserwować poprzez Nullstellensatz Hilberta lub konstrukcje oparte na teorii schematów (tj. Spec i Proj).

Pierścień niezmienników

Podstawowym (i być może najbardziej fundamentalnym) pytaniem klasycznej teorii niezmienniczej jest znalezienie i zbadanie wielomianów w pierścieniu wielomianowym, które są niezmiennicze pod wpływem działania skończonej grupy (lub ogólniej redukcyjnej) G na V . Głównym przykładem jest pierścień wielomianów symetrycznych : wielomiany symetryczne to wielomiany, które są niezmienne przy permutacji zmiennej. Fundamentalne twierdzenie wielomianów symetrycznych stwierdza, że ten pierścień jest gdzie są elementarne wielomiany symetryczne. ${\displaystyle k[V]}$${\ Displaystyle R [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}]}$${\displaystyle \sigma_{i}}$

Historia

Teoria przemienności pierścieni wywodzi się z algebraicznej teorii liczb, geometrii algebraicznej i teorii niezmienniczej . Kluczowe znaczenie dla rozwoju tych tematów miały pierścienie liczb całkowitych w polach liczb algebraicznych i polach funkcji algebraicznych oraz pierścienie wielomianów w dwóch lub więcej zmiennych. Nieprzemienna teoria pierścieni rozpoczęła się od prób rozszerzenia liczb zespolonych na różne systemy liczb hiperkompleksowych . Geneza teorii pierścieni przemiennych i nieprzemiennych sięga początku XIX wieku, a ich dojrzałość osiągnięto dopiero w trzeciej dekadzie XX wieku.

Dokładniej, William Rowan Hamilton przedstawił kwaternionów i bikwaternionów ; James Kąkol przedstawiony tessarines i coquaternions ; a William Kingdon Clifford był entuzjastą split-biquaternions , które nazwał motorami algebraicznymi . Te nieprzemienne algebry i nieskojarzone algebry Liego były badane w ramach algebry uniwersalnej, zanim temat został podzielony na poszczególne typy struktur matematycznych . Jedną z oznak reorganizacji było użycie sum bezpośrednich do opisania struktury algebraicznej.

Różne liczby hiperkompleksowe zostały zidentyfikowane za pomocą pierścieni macierzy przez Josepha Wedderburna (1908) i Emila Artina (1928). Twierdzenia Wedderburna o strukturze zostały sformułowane dla algebr skończenie wymiarowych nad ciałem, podczas gdy Artin uogólnił je na pierścienie Artina .

W 1920 r. Emmy Noether , we współpracy z W. Schmeidlerem, opublikowała artykuł o teorii ideałów, w której zdefiniowali w kręgu lewe i prawe ideały . W następnym roku opublikowała przełomowy artykuł zatytułowany Idealtheorie w Ringbereichen , analizujący warunki wznoszącego się łańcucha w odniesieniu do (matematycznych) ideałów. Znany algebraista Irving Kaplansky nazwał tę pracę „rewolucyjną”; publikacja dała początek terminowi „ pierścień Noetherian ” i kilku innym obiektom matematycznym nazywanym Noetherian .

Uwagi

Bibliografia

• Allenby, RBJT (1991), Pierścienie, pola i grupy (wyd. drugie), Edward Arnold, Londyn, s. xxvi+383 , ISBN 0-7131-3476-3, MR  1144518
• Blyth, TS; Robertson, EF (1985), Grupy, Pierścienie i Pola: Algebra przez praktykę , Księga 3 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-27288-2
• Wiara, Carl (1999), Pierścienie i rzeczy i dobra tablica algebry asocjacyjnej XX wieku , Badania i monografie matematyczne, 65 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8, MR  1657671
• Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (1989), Wprowadzenie do nieprzemiennych pierścieni noetherian , London Mathematical Society Student Texts, 16 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-36086-2, MR  1020298
• Judson, Thomas W. (1997), Algebra abstrakcyjna: teoria i zastosowania
• Kimberling, Clark (1981), "Emmy Noether i jej wpływ", w Brewer, James W; Smith, Martha K (red.), Emmy Noether: hołd dla jej życia i pracy , Marcel Dekker , s. 3-61
• Lam, TY (1999), Lectures on Modules and Rings , Graduate Texts in Mathematics, 189 , New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 0-387-98428-3, MR  1653294
• Lam, TY (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (druga ed.), New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439
• Lam, TY (2003), Ćwiczenia z klasycznej teorii pierścieni , Problem Books in Mathematics (druga red.), New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00500-5, MR  2003255
• Matsumura, Hideyuki (1989), teoria przemienności pierścieni , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (druga red.), Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, MR  1011461
• McConnella, JC; Robson, JC (2001), Noncommutative Noetherian Rings , Graduate Studies in Mathematics, 30 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/gsm/030 , ISBN 0-8218-2169-5, MR  1811901
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (wrzesień 2004), "Rozwój teorii pierścieni" , MacTutor Historia Matematyki Archiwum
• Pierce, Richard S. (1982), Algebry asocjacyjne , Teksty magisterskie z matematyki, 88 , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90693-2, MR  0674652
• Rowen, Louis H. (1988), Teoria pierścieni, tom. I , Matematyka czysta i stosowana, 127 , Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, MR  0940245. Tom. II, Matematyka czysta i stosowana 128, ISBN  0-12-599842-2 .
• Weibel, Charles A. (2013), K-book: Wprowadzenie do algebraicznej teorii K , Graduate Studies in Mathematics, 145 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR  3076731