Algebra nieskojarzeniowa - Non-associative algebra

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazu • Ułamkowy ideał • Całkowity iloraz pierścienia • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v t mi

Nie-asocjatywnym Algebra (lub rozdzielcze Algebra ) jest Algebra na polu , gdzie binarna operacji mnożenia nie zakłada się asocjacyjne . Oznacza to, że algebraiczna struktura jest nie-asocjatywnym Algebra na polu K , jeśli jest to przestrzeń wektora przez K i jest wyposażony w K - dwuliniowo binarny operacji mnożenia A x A → A , które mogą lub nie mogą być asocjacyjne. Przykłady obejmują algebr Liego , Jordan algebry Z octonions i trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyposażony w przekroju produktów pracy. Ponieważ nie zakłada się, że mnożenie jest łączne, konieczne jest użycie nawiasów do wskazania kolejności mnożenia. Na przykład, wyrażenia ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d i a ( b ( cd )) mogą dawać różne odpowiedzi.

Chociaż to użycie nieskojarzonego oznacza, że ​​nie zakłada się asocjatywności, nie oznacza to, że asocjatywność jest niedozwolona. Innymi słowy, „nieskojarzony” oznacza „niekoniecznie skojarzony”, podobnie jak „nieprzemienny” oznacza „niekoniecznie przemienny” dla nieprzemiennych pierścieni .

Algebrą jest unital lub jednolita , jeśli ma tożsamości elementu e z ex = x = XE dla wszystkich x w algebrze. Na przykład oktonony są jednością, ale algebry Liego nigdy.

Niezwiązane Kolejność struktura Algebra A mogą być badane przez połączenie go z innymi asocjacyjnych algebrach które subalgebras z pełnego algebrze K - endomorfizm w A jak K miejsca-wektor. Dwoma takimi są algebra derywacji i ( algebra asocjacyjna) otaczająca , przy czym ta ostatnia jest w pewnym sensie „najmniejszą algebrą asocjacyjną zawierającą A ”.

Mówiąc bardziej ogólnie, niektórzy autorzy rozważają koncepcję algebry nieasocjacyjnej nad pierścieniem przemiennym R : moduł R wyposażony w R- biliniową operację mnożenia binarnego. Jeśli struktura przestrzega wszystkich aksjomatów pierścienia z wyjątkiem asocjatywności (na przykład dowolna R -algebra), to naturalnie jest -algebrą, więc niektórzy autorzy nazywają nieskojarzone -algebry pierścieniami nieasocjacyjnymi . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Algebry spełniające tożsamości

Struktury podobne do pierścienia z dwiema operacjami binarnymi i bez żadnych innych ograniczeń stanowią szeroką klasę, zbyt ogólną, aby ją zbadać. Z tego powodu najbardziej znane rodzaje algebr nieasocjacyjnych spełniają tożsamości lub właściwości, które nieco upraszczają mnożenie. Należą do nich następujące.

Zwykłe właściwości

Niech x , y i z oznaczają dowolne elementy algebry A nad ciałem K . Niech potęgi dodatnich (niezerowych) liczb całkowitych będą rekurencyjnie definiowane przez x ¹ ≝ x i albo x ^{n +1} ≝ x ⁿ x (prawe potęgi) albo x ^{n +1} ≝ xx ⁿ (lewe potęgi) w zależności od autorów.

• Unital : istnieje element e , więc ex = x = xe ; w takim przypadku możemy zdefiniować x ⁰ ≝ e .
• Asocjacyjne : ( xy ) z = x ( yz ) .
• Przemienność : xy = yx .
• Nieprzemienne : xy = − yx .
• Tożsamość Jacobiego : ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0 lub x ( yz ) + y ( zx ) + z ( xy ) = 0 w zależności od autorów .
• Tożsamość Jordana : ( x ² y ) x = x ² ( yx ) lub ( xy ) x ² = x ( yx ² ) w zależności od autorów.
• Alternatywa : ( xx ) y = x ( xy ) (lewa alternatywa) i ( yx ) x = y ( xx ) (prawa alternatywa).
• Elastyczny : ( xy ) x = x ( yx ) .
• Połączenie n- tej potęgi z n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ dla wszystkich liczb całkowitych k tak, że 0 < k < n .
  • Skojarzenie trzeciej potęgi: x ² x = xx ² .
  • Łącznik czwartej potęgi: x ³ x = x ² x ² = xx ³ (porównaj z czwartą potęgą przemienną poniżej).
• Moc asocjacyjne : the podalgebrą generowane przez dowolny element jest asocjacyjne, czyli n th asocjacyjne moc dla wszystkich n ≥ 2 .
• n- ta potęga przemienna z n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k dla wszystkich liczb całkowitych k tak, że 0 < k < n .
  • Trzecia potęga przemienna: x ² x = xx ² .
  • Przemienność czwartej potęgi: x ³ x = xx ³ (porównaj z skojarzeniem czwartej potęgi powyżej).
• Moc przemienna: podalgebra generowana przez dowolny element jest przemienna, tj. n- ta potęga przemienna dla wszystkich n ≥ 2 .
• Nilpotent indeksu n ≥ 2 : iloczyn dowolnych n elementów, w dowolnej asocjacji, znika, ale nie dla niektórych n −1 elementów: x ₁ x ₂ … x _n = 0 i istnieje n −1 elementów tak, że y ₁ y ₂ … y _{n −1} ≠ 0 dla określonej asocjacji.
• Nil o indeksie n ≥ 2 : asocjat potęgowy i x ⁿ = 0 i istnieje element y taki, że y ^{n −1} ≠ 0 .

Relacje między właściwościami

Dla K o dowolnej charakterystyce :

• Skojarzenie oznacza alternatywę .
• Jakiekolwiek dwie z trzech właściwości left alternative , right alternative i flexible , implikują trzecią.
  • Zatem alternatywa oznacza elastyczność .
• Alternatywa oznacza tożsamość Jordana .
• Przemienność oznacza elastyczność .
• Antyprzemienny oznacza elastyczny .
• Alternatywa oznacza skojarzenie władzy .
• Elastyczny oznacza asocjację trzeciej potęgi .
• Drugi asocjacyjne moc i drugi przemienna moc są zawsze prawdziwe.
• Trzeci asocjacyjne moc i trzeci przemienne zasilania są równoważne.
• n- ta potęga asocjacyjna implikuje n- tą potęgę przemienną .
• Brak indeksu 2 oznacza antyprzemienny .
• Brak indeksu 2 oznacza tożsamość Jordana .
• Nilpotent indeksu 3 implikuje tożsamość Jacobiego .
• Nilpotent indeksu n oznacza zero indeksu N przy 2 ≤ N ≤ n .
• Jednostka i zero indeksu n są niezgodne.

Jeżeli K ≠ GF (2) lub dim ( ) ≤ 3 :

• Tożsamość Jordana i przemienność razem implikują skojarzenie władzy .

Jeśli znak( K ) ≠ 2 :

• Właściwa alternatywa zakłada asocjację władzy .
  • Podobnie lewa alternatywa implikuje skojarzenie władzy .
• Tożsamość unitarna i jordańska razem oznaczają elastyczność .
• Tożsamość Jordana i elastyczność razem oznaczają skojarzenie władzy .
• Przemienne i anticommutative razem oznaczać nilpotent o indeksie 2 .
• Antyprzemienne implikuje zero indeksu 2 .
• Unitalne i antyprzemienne są nie do pogodzenia.

Jeśli znak( K ) ≠ 3 :

• Tożsamość jedności i Jacobiego są nie do pogodzenia.

Jeśli char( K ) ∉ {2,3,5 }:

• Przemienność i x ⁴ = x ² x ² (jedna z dwóch tożsamości definiujących skojarzenie potęgowe ) razem implikują łączenie potęgowe .

Jeśli znak( K ) = 0 :

• Skojarzenie potęgi trzeciej i x ⁴ = x ² x ² (jedna z dwóch tożsamości definiujących asocjat potęgi czwartej ) razem implikują asocjację potęgową .

Jeśli znak( K ) = 2 :

• Przemienne i antyprzemienne są równoważne.

Współpracownik

Associator na A jest K - Przekształcenie Wieloliniowe podane przez ${\displaystyle [\cdot,\cdot,\cdot]:A\razy A\razy A\do A}$

[ x , y , z ] = ( xy ) z − x ( yz ) .

Mierzy stopień braku asocjatywności i może być używany do wygodnego wyrażania niektórych możliwych tożsamości spełnianych przez A . ${\ Displaystyle A}$

Niech x , y i z oznaczają dowolne elementy algebry.

• Asocjacyjne: [ x , y , z ] = 0 .
• Alternatywa: [ x , x , y ] = 0 (lewa alternatywa) i [ y , x , x ] = 0 (prawa alternatywa).
  • Oznacza to, że permutacja dowolnych dwóch terminów zmienia znak: [ x , y , z ] = −[ x , z , y ] = −[ z , y , x ] = −[ y , x , z ] ; odwrotność zachodzi tylko wtedy, gdy char( K ) ≠ 2 .
• Elastyczne: [ x , y , x ] = 0 .
  • Oznacza to, że permutacja wyrazów ekstremalnych zmienia znak: [ x , y , z ] = −[ z , y , x ] ; odwrotność zachodzi tylko wtedy, gdy char( K ) ≠ 2 .
• Tożsamość Jordana: [ x ² , y , x ] = 0 lub [ x , y , x ² ] = 0 w zależności od autorów.
• Łącznik trzeciej potęgi: [ x , x , x ] = 0 .

Rdzeń jest zestawem elementów, które wiążą się ze wszystkimi innymi: to znaczy, że n w tak, że

[ n , A , A ] = [ A , n , A ] = [ A , A , n ] = {0} .

Jądro jest asocjacyjnym podpierścieniem A .

Środek

Centrum od A jest zbiorem elementów, dojazdy i współpracownik ze wszystkim w A , czyli przecięcie

${\ Displaystyle C (A) = \ {n \ w A \ | \ nr = rn \ \ forall r \ w A \ \}}$

z jądrem. Okazuje się, że dla elementów C(A) wystarczy, że dwa z nich są zbiorem, aby trzeci również był zbiorem zerowym. ${\displaystyle ([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$

Przykłady

• Przestrzeń euklidesowa R ³ z mnożeniem podanym przez iloczyn wektorowy jest przykładem algebry, która jest antyprzemienna, a nie asocjacyjna. Produkt krzyżowy spełnia również tożsamość Jacobiego.
• Algebry Liego to algebry spełniające antyprzemienność i tożsamość Jacobiego.
• Algebry pól wektorowych na rozmaitości różniczkowej (jeśli K jest R lub liczbami zespolonymi C ) lub rozmaitości algebraicznej (dla ogólnego K );
• Algebry Jordana to algebry, które spełniają prawo przemienne i tożsamość Jordana.
• Każda algebra asocjacyjna daje początek algebrze Liego, używając komutatora jako nawiasu Liego. W rzeczywistości każda algebra Liego może być albo skonstruowana w ten sposób, albo jest podalgebrą tak skonstruowanej algebry Liego.
• Każda algebra asocjacyjna nad ciałem cechy innym niż 2 daje początek algebrze Jordana poprzez zdefiniowanie nowego mnożenia x*y = ( xy + yx )/2. W przeciwieństwie do przypadku algebry Liego, nie każda algebra Jordana może być skonstruowana w ten sposób. Te, które można nazwać specjalnymi .
• Algebry alternatywne to algebry spełniające własność alternatywną. Najważniejszymi przykładami algebr alternatywnych są oktonions (algebry nad liczbami rzeczywistymi) i uogólnienia oktonionów nad innymi ciałami. Wszystkie algebry asocjacyjne są alternatywne. Aż do izomorfizmu, jedyną skończenie wymiarową alternatywą rzeczywistą, algebrami dzielenia (patrz poniżej) są liczby rzeczywiste, kompleksy, kwaterniony i oktonony.
• Algebry potęgowo-skojarzeniowe , to te algebry, które spełniają tożsamość potęgowo-skojarzeniową. Przykłady obejmują wszystkie algebry asocjacyjne, wszystkie alternatywne algebry, algebry Jordana nad ciałem innym niż GF(2) (patrz poprzedni rozdział) i sedeniony .
• Hiperboliczny kwaternion Algebra przez R , który był Algebra eksperymentalnych przyjęcia przestrzeni Minkowskiego dla szczególnego wzgl .

Więcej klas algebr:

• Algebry stopniowane . Należą do nich większość algebr interesujących multilinear algebry , takich jak algebra tensora , symetrycznego algebry i zewnętrznej algebry nad danej przestrzeni wektorowej . Stopniowane algebry można uogólnić na algebry filtrowane .
• Algebry dzielenia , w których istnieją odwrotności multiplikatywne. Sklasyfikowano skończenie wymiarowe alternatywne algebry podziału nad ciałem liczb rzeczywistych. Są to liczby rzeczywiste (wymiar 1), liczby zespolone (wymiar 2), kwaterniony (wymiar 4) i oktonony (wymiar 8). Quaternions i oktonions nie są przemienne. Wszystkie te algebry są asocjacyjne, z wyjątkiem oktonionów.
• Algebry kwadratowe , które wymagają xx = re + sx , dla niektórych elementów r i s w polu podstawowym, oraz e jednostki dla algebry. Przykłady obejmują wszystkie skończenie wymiarowe alternatywne algebry i algebra rzeczywistych macierzy 2 na 2. Aż do izomorfizmu jedyną alternatywną, kwadratową algebrą rzeczywistą bez dzielników zera są liczby rzeczywiste, kompleksy, kwaterniony i oktonony.
• W algebrami Cayley-Dickson (gdzie K jest R ), które rozpoczynają się:
  • C (algebra przemienna i asocjacyjna);
  • kwaterniony H (asocjacyjną Algebra);
  • z octonions (e alternatywny Algebra );
  • z sedenions i nieskończony sekwencja Cayley-Dickson algebrami ( algebrach napędem asocjacyjną ).
• Wszystkie algebry hiperkompleksowe są skończenie wymiarowymi algebrami z jedynką R , zawierają więc algebry Cayleya-Dicksona i wiele innych.
• W algebrami Poissona są brane pod uwagę geometryczny kwantyzacji . Przenoszą dwa mnożenia, zamieniając je w algebry przemienne i algebry Liego na różne sposoby.
• Algebry genetyczne to algebry nieasocjacyjne stosowane w genetyce matematycznej.
• Systemy potrójne

Nieruchomości

Istnieje kilka właściwości, które mogą być znane z teorii pierścieni lub z algebr asocjacyjnych, które nie zawsze są prawdziwe dla algebr nieskojarzeniowych. W przeciwieństwie do przypadku asocjacyjnego, elementy z (dwustronną) odwrotnością multiplikatywną mogą również być dzielnikiem zera . Na przykład wszystkie niezerowe elementy sedenonu mają odwrotność dwustronną, ale niektóre z nich są również dzielnikami zera.

Dowolna algebra niezwiązana

Wolnego, asocjacyjne Algebra na zbiorze X na polu K jest zdefiniowana jako Algebra z podstawą obejmujący wszystkie nie-asocjatywnym jednomianów skończonej formalne produktów pierwiastków X nawiasach mocujących. Iloczyn jednomianów u , v jest po prostu ( u )( v ). Algebra jest unitarna, jeśli weźmiemy pusty iloczyn jako jednomian.

Kurosh udowodnił, że każda podalgebra wolnej algebry nieskojarzeniowej jest wolna.

Algebry skojarzone

Algebra A nad ciałem K jest w szczególności K - przestrzenią wektorową , a więc można rozważyć algebrę asocjacyjną End _K ( A ) endomorfizmu K - liniowej przestrzeni wektorowej A . Możemy powiązać ze strukturą algebry na A dwie podalgebry końca _K ( A ), algebrę wyprowadzania i (asocjacyjną) algebrę obwiedni .

Algebra wyprowadzania

Wyprowadzenie na A jest mapą D z nieruchomości

${\ Displaystyle D (x \ cdot y) = D (x) \ cdot r + x \ cdot D (y) \.}$

Wyprowadzenia na A tworzą podprzestrzeń Der _K ( A ) w End _K ( A ). Komutator z dwóch wyprowadzeń ponownie pochodną, tak że wspornik Lie daje Der _K ( A ) o strukturze Lie Algebra .

Algebra obwiedni

Do każdego elementu a algebry A dołączone są odwzorowania liniowe L i R :

${\ Displaystyle L (a): x \ mapsto ax; \ \ R (a): x \ mapsto xa \ .}$

Asocjacyjne algebra kopertowanie lub mnożenie algebra od A jest algebrą asocjacyjne generowane przez jego lewy i prawy przekształceń liniowych. Ciężkości z A jest centralizatorem algebry otaczającej w endomorfizm Algebra końcowego _K ( A ). Algebra jest centralna, jeśli jej centroid składa się z K- skalarnych wielokrotności tożsamości.

Niektóre z możliwych tożsamości spełnianych przez algebry nieasocjacyjne można wygodnie wyrazić w postaci odwzorowań liniowych:

• Przemienność: każde L ( a ) jest równe odpowiadającemu R ( a );
• Asocjacyjne: dowolne L dojeżdża z dowolnym R ;
• Elastyczny: każdy L ( a ) dojeżdża z odpowiednim R ( a );
• Jordan: każde L ( a ) dojeżdża do R ( a ² );
• Alternatywnie: każde L ( a ) ² = L ( a ² ) i podobnie po prawej stronie.

Reprezentacja kwadratowa Q jest zdefiniowana przez:

${\ Displaystyle Q (a): x \ mapsto 2a \ cdot (a \ cdot x) - (a \ cdot a) \ cdot x \ }$

lub równoważnie

${\ Displaystyle Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) \.}$

W artykule poświęconym uniwersalnym algebrom obwieszczenia opisano kanoniczną konstrukcję algebr obwiedniowych oraz twierdzenia typu PBW dla nich. W przypadku algebr Liego takie algebry otaczające mają uniwersalną właściwość, która nie obowiązuje w przypadku algebr nieskojarzeniowych. Najbardziej znanym przykładem jest być może algebra Alberta , wyjątkowa algebra Jordana, która nie jest otoczona kanoniczną konstrukcją algebry obwiedni dla algebr Jordana.

Zobacz też

• Lista algebr
• Magmy przemienne nieasocjacyjne , które dają początek algebrom nieskojarzeniowym

Cytaty

Uwagi

Bibliografia

• Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Struktura algebr . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne Colloquium Publ. 24 (Poprawiony przedruk poprawionego wyd. 1961). Nowy Jork: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901 .
• Albert, A. Adrian (1948a). „Pierścienie skojarzeniowe mocy” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 64 : 552–593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN  0002-9947 . JSTOR  1990399 . Numer MR  0027750 . Zbl  0033.15402 .
• Albert, A. Adrian (1948b). „Na prawostronnych algebrach alternatywnych”. Roczniki Matematyki . 50 : 318–328. doi : 10.2307/1969457 . JSTOR  1969457 .
• Bremnera, Murraya; Murakami, Łucja; Szestakow, Iwan (2013) [2006]. „Rozdział 86: Algebry nieasocjacyjne” (PDF) . W Hogben, Leslie (red.). Podręcznik algebry liniowej (2nd ed.). CRC Naciśnij . Numer ISBN 978-1-498-78560-0.
• Herstein, IN , wyd. (2011) [1965]. Niektóre aspekty teorii pierścieni: Wykłady wygłoszone w Letniej Szkole Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME) w Varenna (Como), Włochy, 23-31 sierpnia 1965 . Letnie Szkoły CIME. 37 (przedruk wyd.). Springer-Verlag . Numer ISBN 3-6421-1036-3.
• Jacobson, Nathan (1968). Struktura i reprezentacje algebr Jordana . American Mathematical Society Colloquium Publications, tom. XXXIX. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-821-84640-7. MR  0251099 .
• Knus, Max-Albert; Merkurjew, Aleksander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Księga inwolucji . Publikacje Kolokwium. 44 . Z przedmową J. Titsa. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001 .
• Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (red.). Minnesota odnotowuje algebry Jordana i ich zastosowania . Notatki z wykładu z matematyki. 1710 . Berlin: Springer-Verlag . Numer ISBN 3-540-66360-6. Zbl  1072.17513 .
• Kokoris, Ludwik A. (1955). „Pierścienie mocowo-skojarzeniowe o charakterystycznej dwójce” . Procedury Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . 6 (5): 705–710. doi : 10.2307/2032920 .
• Kurosz AG (1947). „Algebry nieasocjacyjne i wolne produkty algebr”. Mata. Sbornik . 20 (62). MR  0020986 . Zbl  0041.16803 .
• McCrimmon, Kevin (2004). Smak algebr Jordana . Universitext. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/b97489 . Numer ISBN 978-0-387-95447-9. MR  2014924 . Zbl  1044.17001 . Errata .
• Micheev, IM (1976). „Właściwa nilpotencja w prawo alternatywnych pierścieni”. Syberyjski Dziennik Matematyczny . 17 (1): 178–180. doi : 10.1007/BF00969304 .
• Okubo, Susumu (2005) [1995]. Wprowadzenie do Octonion i innych algebr nieskojarzonych w fizyce . Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . doi : 10.1017/CBO9780511524479 . Numer ISBN 0-521-01792-0. Zbl  0841.17001 .
• Rosenfeld, Borys (1997). Geometria grup Liego . Matematyka i jej zastosowania. 393 . Dordrecht: Wydawnictwo Akademickie Kluwer. Numer ISBN 0-7923-4390-5. Zbl  0867.53002 .
• Rowen, Louis Halle (2008). Absolwent Algebra: Widok nieprzemienny . Studia magisterskie z matematyki. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-8408-5.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Wprowadzenie do algebr nieasocjacyjnych . Dover. Numer ISBN 0-486-68813-5. Zbl  0145.25601 .
• Zhevlakov, Konstantin A.; Ślinko, Arkadii M.; Szestakow, Iwan P.; Shirshov, Anatolij I. (1982) [1978]. Pierścienie, które są prawie skojarzone . Przetłumaczone przez Smitha, Harry F. ISBN 0-12-779850-1.