Split-biquaternion - Split-biquaternion

W matematyce , o split-biquaternion to liczby hiperzespolone formularza

${\ displaystyle q = w + xi + yj + zk}$

gdzie w , x , y i z są podzielonymi liczbami zespolonymi, a i, j i k mnożą się jak w grupie kwaternionów . Ponieważ każdy współczynnik w , x , y , z obejmuje dwa rzeczywiste wymiary , podzielony biokwaternion jest elementem ośmiowymiarowej przestrzeni wektorowej . Biorąc pod uwagę, że niesie mnożenie, ta przestrzeń wektorowa jest algebrą nad ciałem rzeczywistym lub algebrą na pierścieniu, w którym podzielone liczby zespolone tworzą pierścień. Ta algebra została wprowadzona przez Williama Kingdona Clifforda w artykule z 1873 roku dla London Mathematical Society . Od tamtej pory było to wielokrotnie odnotowywane w literaturze matematycznej, rozmaicie jako odchylenie terminologiczne, ilustracja iloczynu tensorowego algebr oraz ilustracja bezpośredniej sumy algebr . Rozszczepione biquaternions zostały zidentyfikowane na różne sposoby przez algebraistów; patrz § Synonimy poniżej.

Nowoczesna definicja

Rozszczepiony biquaternion jest pierścieniem izomorficznym z algebrą Clifforda C ℓ _0,3 ( R ). Jest to algebra geometryczna generowana przez trzy ortogonalne kierunki bazowe jednostek urojonych, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } zgodnie z regułą kombinacji

${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} = {\ rozpocząć {przypadków} -1 i = j, \\ - e_ {j} e_ {i} i \ neq j \ koniec {przypadków}}}$

dając algebrę rozpiętą przez 8 elementów bazowych {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, gdzie ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 i ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. Podalgebra rozpięta przez 4 elementy {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } jest pierścieniem dzielącym kwaternionów Hamiltona , H = C ℓ _0,2 ( R ) . Można to więc zobaczyć

${\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {D}}$

gdzie D = C ℓ _1,0 ( R ) jest algebrą rozpiętą przez {1, ω}, algebrę podzielonych liczb zespolonych . Równoważnie,

${\ Displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Grupa split-biquaternion

Rozszczepione biquaternions tworzą asocjacyjny pierścień, co wynika jasno z rozważenia mnożenia w jego podstawie {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Kiedy ω jest dołączone do grupy kwaternionów, otrzymujemy grupę 16 elementów

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Bezpośrednia suma dwóch pierścieni kwaternionowych

Zaznaczono bezpośrednią sumę pierścienia dzielącego kwaternionów z samym sobą . Iloczyn dwóch elementów i jest w tej bezpośredniej algebrze sumarycznej . ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle (a \ oplus b)}$${\ displaystyle (c \ oplus d)}$${\ displaystyle ac \ oplus bd}$

Twierdzenie: Algebra podwójnych biquaternionów jest izomorficzna do ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Dowód: Każdy podzielonego biquaternion ma ekspresji q = wagowo + oo ω gdzie W i z są kwaterniony i omów ² = +1. Teraz, jeśli p = u + v ω jest kolejnym podzielonym biquaternionem, ich iloczynem jest

${\ displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) \ omega.}$

Odwzorowanie izomorfizmu z podzielonych biquaternionów na jest podane przez ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle p \ mapsto (u + v) \ oplus (uv), \ quad q \ mapsto (w + z) \ oplus (wz).}$

W , iloczynem tych obrazów, zgodnie z iloczynem algebry wskazanym powyżej, jest ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

${\ Displaystyle (u + v) (w + z) \ oplus (UV) (wz).}$

Ten element jest również obrazem pq pod mapowaniem do. Tak więc produkty się zgadzają, odwzorowanie jest homomorfizmem; a ponieważ jest bijektywny , jest izomorfizmem. ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Chociaż podzielone biquaternions tworzą ośmiowymiarową przestrzeń, taką jak biquaternions Hamiltona, na podstawie Twierdzenia jest oczywiste, że algebra ta dzieli się na bezpośrednią sumę dwóch kopii rzeczywistych kwaternionów.

Biquaternion Hamiltona

Nie należy mylić biquaternionów typu split-biquaternions z (zwykłymi) biquaternionami wprowadzonymi wcześniej przez Williama Rowana Hamiltona . Biquaternions Hamiltona są elementami algebry

${\ Displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}$

${\ Displaystyle C \ ell _ {3,0} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}$

Synonimy

Następujące terminy i związki odnoszą się do algebry typu split-biquaternion:

• eliptyczne biquaternions - Clifford 1873 , Rooney 2007 harvnb błąd: brak celu: CITEREFClifford1873 ( pomoc )
• Biquaternion Clifforda - Joly 1902 , van der Waerden 1985 błąd harvnb: brak celu: CITEREFJoly1902 ( pomoc )
• dyquaternions - Rosenfeld 1997
• ${\ displaystyle \ mathbb {D} \ otimes \ mathbb {H}}$ gdzie D = liczby zespolone podzielone - Bourbaki 1994 , Rosenfeld 1997 błąd harvnb: brak celu: CITEREFBourbaki1994 ( pomoc )
• ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ , suma bezpośrednia dwóch algebr kwaternionów - van der Waerden 1985

Zobacz też

• Split-octonions

Bibliografia