Pierścień dywizji - Division ring

W Algebra , A pierścień Division , zwany także obszar skosu , jest pierścieniem , w którym podział jest możliwe. W szczególności, jest różna od zera pierścieniowy, w którym co elementu niezerowe ma Liczba odwrotna , to znaczy, element ogólnie oznaczony $jest$ $-1$ , tak że $w$ $A$ $-1$ $=$ $-1$ $= 1$ . Tak więc podział może być zdefiniowana jako $a$ $/$ $b$ $=$ $a$ $, b$ $-1$ , ale zapis jest ogólnie unikać ponieważ mogą odnieść $do$ $b$ $-1$ $\neq$ $b$ $-1$ .

Pierścień dzielący jest generalnie pierścieniem nieprzemiennym . Jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy jest to pole , w którym to przypadku termin „pierścień dzielący” jest rzadko używany, z wyjątkiem właściwości pierścieni dzielących, które są prawdziwe, nawet jeśli są przemienne lub w dowodzie, że określony pierścień podziału jest przemienny . Na przykład małe twierdzenie Wedderburna stwierdza, że wszystkie skończone pierścienie dzielenia są przemienne, a zatem są ciałami skończonymi .

Historycznie pierścienie podziału były czasami nazywane polami, podczas gdy pola nazywano „polami przemiennymi”. W niektórych językach, takich jak francuski , słowo równoważne z „polem” („korpus”) jest używane zarówno w przypadkach przemiennych, jak i nieprzemiennych, a rozróżnienie między tymi dwoma przypadkami jest dokonywane przez dodanie cech takich jak „corps commutatif” (pole przemienne ) lub „corps gauche” (pole skośne).

Wszystkie pierścienie rozdzielające są proste . Oznacza to, że nie mają one dwustronnego ideału poza ideałem zerowym i sobą.

Relacja z ciałami i algebrą liniową

Wszystkie pola są podziałami; bardziej interesującymi przykładami są nieprzemienne pierścienie podziału. Najbardziej znanym przykładem jest pierścień Quaternions H . Jeśli w konstrukcjach kwaternionów dopuścimy tylko racjonalne zamiast rzeczywistych współczynników, otrzymamy kolejny pierścień dzielący. W ogóle, jeśli R jest pierścieniem a S jest moduł prosty przez R , a następnie przez lematu SCHUR w The pierścień endomorfizm z S oznacza pierścień przegród; każdy pierścień dzielący powstaje w ten sposób z jakiegoś prostego modułu.

Wiele algebry liniowej można sformułować i pozostaje ona poprawna dla modułów na pierścieniu podziału D zamiast przestrzeni wektorowych nad ciałem. W tym celu należy określić, czy rozważamy prawy, czy lewy moduł, a także należy zachować ostrożność przy prawidłowym rozróżnianiu lewej i prawej strony we wzorach. Pracując we współrzędnych, elementy skończonego wymiaru prawego modułu mogą być reprezentowane przez wektory kolumnowe, które można pomnożyć po prawej stronie przez skalary, a po lewej przez macierze (reprezentujące mapy liniowe); dla elementów skończonego wymiaru lewego modułu należy zastosować wektory wierszowe, które można pomnożyć po lewej stronie przez skalary, a po prawej przez macierze. Moduł podwójny prawego modułu to moduł lewy i na odwrót. Transpozycja macierzy musi być postrzegana jako macierz na przeciwległym pierścieniu podziału D ^op , aby reguła $(AB) T = B T A T$ pozostała ważna.

Każdy moduł nad pierścieniem dzielącym jest bezpłatny ; to znaczy ma podstawę, a wszystkie bazy modułu mają taką samą liczbę elementów . Odwzorowania liniowe między modułami o skończonych wymiarach na pierścieniu dzielącym można opisać macierzami ; fakt, że mapy liniowe z definicji przemieszczają się z mnożeniem przez skalar, najdogodniej można przedstawić w notacji, zapisując je po przeciwnej stronie wektorów, tak jak są to skalary. Eliminacji Gaussa algorytm pozostaje w mocy. Ranking kolumn macierzy to wymiar prawego modułu generowanego przez kolumny, a rząd wierszy to wymiar lewego modułu generowanego przez wiersze; można użyć tego samego dowodu, co w przypadku przypadku przestrzeni wektorowej, aby wykazać, że te rangi są takie same i określić rangę macierzy.

W rzeczywistości jest również odwrotna sytuacja i daje to charakterystykę pierścieni dzielących poprzez ich kategorię modułową: pierścień jednoczęściowy R jest pierścieniem rozdzielającym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy moduł R jest wolny .

Centrum pierścienia podziału jest przemienne, a tym samym polu. Dlatego każdy pierścień podziału jest algebrą podziału na jego środku. Pierścienie podziału można z grubsza sklasyfikować w zależności od tego, czy mają skończone wymiary lub nieskończenie wymiarowe w ich środkach. Pierwsze nazywane są centralnie skończonymi, a drugie centralnie nieskończonymi . Każde pole jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim środkiem. Pierścień kwaternionów hamiltonowskich tworzy 4-wymiarową algebrę nad swoim środkiem, która jest izomorficzna z liczbami rzeczywistymi.

Przykłady

Jak wspomniano powyżej, wszystkie pola są pierścieniami podziału.
W kwaterniony tworzą pierścień Nieprzemiennej podziału.
Podzbiór kwaternionów $a + bi + cj + dk$ , tak że $a$ , $b$ , $c$ i $d$ należą do ustalonego podpola liczb rzeczywistych , jest nieprzemiennym pierścieniem dzielenia. Kiedy to podpole jest polem liczb wymiernych , jest to pierścień podziału wymiernych kwaterniony .
Niech będzie automorfizmem pola . Niech oznaczają pierścień posiadanie szeregu Laurent o złożonych współczynników, przy czym namnażanie jest zdefiniowany w następujący sposób: a nie po prostu pozwalając współczynniki zamienić bezpośrednio nieokreślonego , na , określenie dla każdego indeksu . Jeśli jest nietrywialnym automorfizmem liczb zespolonych (takich jak koniugacja ), to otrzymany pierścień szeregu Laurenta jest ściśle nieprzemiennym pierścieniem dzielącym, znanym jako skośny pierścień szeregu Laurenta ; jeśli $σ$ $=$ $id,$ to zawiera standardowe mnożenie szeregów formalnych . Koncepcję tę można uogólnić na pierścień szeregu Laurenta na dowolnym stałym polu , biorąc pod uwagę nietrywialny -automorfizm . ${\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle Z ^ {i} \ alfa: = \ sigma ^ {i} (\ alfa) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Główne twierdzenia

Małe twierdzenie Wedderburna : wszystkie skończone pierścienie dzielenia są przemiennymi, a zatem skończonymi ciałami . ( Ernst Witt dał prosty dowód.)

Twierdzenie Frobeniusa : Jedynymi skończeniowymiarowymi algebrami podziału asocjacyjnego na liczbach rzeczywistych są same liczby rzeczywiste, liczby zespolone i kwaterniony .

Powiązane pojęcia

Pierścienie podziału były kiedyś nazywane „polami” w starszym użyciu. W wielu językach słowo oznaczające „ciało” jest używane na określenie pierścieni podziału, w niektórych językach oznacza to przemienne lub nieprzemienne pierścienie podziału, podczas gdy w innych konkretnie określa się przemienne pierścienie podziału (w języku angielskim nazywamy to teraz polami). Pełniejsze porównanie można znaleźć w artykule dotyczącym pól .

Nazwa „Pole pochylone ” ma interesującą cechę semantyczną : modyfikator (tutaj „pochylenie”) rozszerza zakres terminu podstawowego (tutaj „pole”). Zatem pole jest szczególnym typem pola skośnego, a nie wszystkie pola skośne są polami.

Podczas gdy zakłada się, że pierścienie dzielenia i algebry, o których tu mowa, mają mnożenie asocjacyjne, interesujące są również niezespolone algebry dzielenia, takie jak oktoniony .

Pole bliskie jest strukturą algebraiczną podobną do pierścienia dzielącego, z tym wyjątkiem, że ma tylko jedno z dwóch praw dystrybucji .

Uwagi

^ W tym artykule pierścienie mają 1.
^ 1948, Pierścienie i ideały. Northampton w stanie Massachusetts, Mathematical Association of America
^ Artin, Emil, 1965: zebrane dokumenty. Pod redakcją Serge Lang, John T. Tate. New York i in .: Springer
^ Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252
^ Na obszarze języka angielskiego terminy „skew field” i „sfield” zostały wymienione w 1948 r. Przez Neala McCoya jako „czasami używane w literaturze”, a od 1965 r. Skewfield ma wpis w OED . Niemiecki termin Schiefkörper jest udokumentowany, jako sugestia vd Waerdena , w tekście E. Artina z 1927 r. I został użyty przez E. Noether jako tytuł wykładu w 1928 r.
^ Lam (2001), lemat Schura , s. 33 w Książkach Google .
^ Grillet, Pierre Antoine. Algebra abstrakcyjna. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; dowód można znaleźć tutaj
^ Proste pierścienie przemienne to pola. Zobacz Lam (2001), proste pierścienie przemienne , str. 39, w Google Books oraz ćwiczenie 3.4 , s. 45, w Książkach Google .
^ Lam (2001), s. 10

Zobacz też

Tożsamość Hua

Bibliografia

Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs nieprzemiennych pierścieni . Teksty magisterskie z matematyki . 131 (wyd. 2). Skoczek. ISBN 0-387-95183-0 . Zbl 0980.16001 .

Dalsza lektura

Cohn, PM (1995). Pola pochyłe. Teoria pierścieni podziału ogólnego . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 57 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-43217-0 . Zbl 0840.16001 .

Linki zewnętrzne

[1] W tym artykule pierścienie mają 1.

[2] 1948, Pierścienie i ideały. Northampton w stanie Massachusetts, Mathematical Association of America

[3] Artin, Emil, 1965: zebrane dokumenty. Pod redakcją Serge Lang, John T. Tate. New York i in .: Springer

[4] Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252

[5] Na obszarze języka angielskiego terminy „skew field” i „sfield” zostały wymienione w 1948 r. Przez Neala McCoya jako „czasami używane w literaturze”, a od 1965 r. Skewfield ma wpis w OED . Niemiecki termin Schiefkörper jest udokumentowany, jako sugestia vd Waerdena , w tekście E. Artina z 1927 r. I został użyty przez E. Noether jako tytuł wykładu w 1928 r.

[6] Lam (2001), lemat Schura , s. 33 w Książkach Google .

[7] Grillet, Pierre Antoine. Algebra abstrakcyjna. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; dowód można znaleźć tutaj

[8] Proste pierścienie przemienne to pola. Zobacz Lam (2001), proste pierścienie przemienne , str. 39, w Google Books oraz ćwiczenie 3.4 , s. 45, w Książkach Google .

[9] Lam (2001), s. 10

Languages

In other projects