Magma (algebra) - Magma (algebra)

Struktury algebraiczne między magmami i grupami .

W algebry abstrakcyjnej , a magmy , binär lub, rzadziej, groupoid jest podstawowym rodzajem algebraiczne struktury . W szczególności magma składa się z zestawu wyposażonego w pojedynczą operację binarną, która z definicji musi zostać zamknięta . Żadne inne właściwości nie są narzucane.

Historia i terminologia

Termin groupoid został wprowadzony w 1927 roku przez Heinricha Brandta, opisując jego groupoid Brandta (przetłumaczony z niemieckiego Gruppoid ). Termin ten został następnie zawłaszczony przez BA Hausmanna i Øysteina Ore (1937) w znaczeniu (zbioru z operacją binarną) użytym w tym artykule. W kilku recenzjach kolejnych artykułów w Zentralblatt Brandt zdecydowanie nie zgodził się z tym przeładowaniem terminologicznym. Grupoid Brandta jest groupoidem w sensie stosowanym w teorii kategorii, ale nie w sensie używanym przez Hausmanna i Ore'a. Niemniej jednak, wpływowe książki z teorii półgrup, w tym Clifford i Preston (1961) oraz Howie (1995), używają grupoidów w sensie Hausmanna i Ore'a Hollings (2014) pisze, że termin groupoid jest „być może najczęściej używany we współczesnej matematyce” w sensie nadanym mu w teorii kategorii.

Według Bergmana i Hausknechta (1996): „Nie ma ogólnie przyjętego słowa na zbiór z niekoniecznie asocjacyjną operacją binarną. Słowo groupoid jest używane przez wielu uniwersalnych algebraistów, ale pracownicy teorii kategorii i dziedzin pokrewnych zdecydowanie sprzeciwiają się temu zastosowaniu ponieważ używają tego samego słowa do oznaczenia „kategorii, w której wszystkie morfizmy są odwracalne.” Terminu magma użył Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965] ”. Wydaje się również, w Bourbaki jest ELEMENTÓW de mathématique , Algèbre, chapitres 1 3-1970.

Definicja

Magma to zbiór M powiązany z operacją •, która wysyła dwa dowolne elementy a , b ∈ M do innego elementu, a • b . Symbol • jest ogólnym symbolem zastępczym dla poprawnie zdefiniowanej operacji. Aby zakwalifikować się jako magma, zbiór i operacja ( M , •) muszą spełniać następujący warunek (znany jako aksjomat magmy lub zamknięcia ):

Dla wszystkich A , B w M , w wyniku tej operacji jest • b jest również M .

A w notacji matematycznej:

${\ Displaystyle a, b \ w M \ implikuje a \ cdot b \ w M}$ .

Jeśli zamiast • jest operacją częściową , to ( M , •) nazywa się częściową magmą lub częściej częściową grupoidą .

Morfizm magm

Morfizmem magm jest funkcja f  : M → N , mapowanie magmy M do magmy N , który zachowuje działanie Binary

f ( x • _M y ) = f ( x ) • _N f ( y )

gdzie • _K i • _N oznacza binarny operację M i N , odpowiednio.

Notacja i kombinatoryka

Operację magmy można zastosować wielokrotnie, aw ogólnym przypadku niezespolonym kolejność ma znaczenie, co jest zapisane w nawiasach. Ponadto operacja • jest często pomijana i zapisywana przez zestawienie:

( a • ( b • c )) • d = ( a ( bc )) d

Skrót jest często używany w celu zmniejszenia liczby nawiasów, w których pomijane są najbardziej wewnętrzne operacje i pary nawiasów, zastępując je tylko zestawieniem, xy • z = ( x • y ) • z . Na przykład powyższe jest skrócone do następującego wyrażenia, nadal zawierającego nawiasy:

( a • bc ) d .

Sposobem na całkowite uniknięcie używania nawiasów jest notacja przedrostków , w której to samo wyrażenie byłoby zapisane •• a • bcd . Innym sposobem znanym programistom jest notacja postfiksowa ( odwrotna notacja polska ), w której to samo wyrażenie byłoby zapisane abc •• d • , w którym kolejność wykonywania jest po prostu od lewej do prawej (bez Currying ).

Zbiór wszystkich możliwych ciągów składających się z symboli oznaczających elementy magmy i zestawy zrównoważonych nawiasów nazywamy językiem Dyck . Całkowita liczba różnych sposobów pisania n zastosowań operatora magmy jest przez liczbę katalońskiego , C _n . Na przykład C ₂ = 2 , co jest po prostu stwierdzeniem, że ( ab ) c i a ( bc ) to jedyne dwa sposoby połączenia trzech elementów magmy z dwoma operacjami. Co mniej trywialne, C ₃ = 5 : (( ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab ) ( cd ) , a (( bc ) d ) i a ( b ( cd )) .

Jest n ^{n 2} magm z n pierwiastkami, więc jest 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (sekwencja A002489 w OEIS ) magmy z 0, 1, 2, 3, 4, ... elementami. Odpowiednie liczby nieizomorficznych magm to 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (sekwencja A001329 w OEIS ), a liczby jednocześnie nieizomorficznych i nie- antyizomorficznych magm to 1, 1, 7, 1734 , 89521056, ... (sekwencja A001424 w OEIS ).

Darmowa magma

Darmo magma , M _X , na zestawie, X , jest „najbardziej ogólnie możliwe” magma generowane przez X (czyli istnieją żadne powiązania lub aksjomaty nałożone na wytwórców; patrz wolnego obiektu ). Operacja binarna na M _X jest tworzona przez zawijanie każdego z dwóch operandów w nawiasach i zestawianie ich w tej samej kolejności. Na przykład:

a • b = ( a ) ( b )

a • ( a • b ) = ( a ) (( a ) ( b ))

( a • a ) • b = (( a ) ( a )) ( b )

M _X można opisać jako zbiór niezespolonych słów na X z zachowanymi nawiasami.

Może też być postrzegana w kategoriach znanych w dziedzinie informatyki , jak magma drzewo binarne z liśćmi oznaczonych przez elementy X . Operacja polega na łączeniu drzew u nasady. Dlatego odgrywa fundamentalną rolę w składni .

Wolna magma ma taką uniwersalną właściwość , że jeśli f  : X → N jest funkcją od X do dowolnej magmy, N , to istnieje unikalne rozszerzenie f do morfizmu magm, f  ′

K  ' K _X → N .

Rodzaje magmy

Magmy nie są często badane jako takie; zamiast tego istnieje kilka różnych rodzajów magmy, w zależności od tego, jakie aksjomaty musi spełnić operacja. Powszechnie badane rodzaje magmy obejmują:

Quasigroup

Magma, w której podział jest zawsze możliwy

Pętla

Kwazgrupa z elementem tożsamości

Półgrupa

Magma, w której operacja jest skojarzona

Półgrupa odwrotna

Półgrupa z odwrotnością.

Semilattice

Półgrupa, w której operacja jest przemienna i idempotentna

Monoid

Półgrupa z elementem tożsamości

Grupa

Monoid z odwrotnymi elementami lub równoważnie pętla asocjacyjna lub niepusta asocjacyjna quasi-grupa

Grupa abelowa

Grupa, w której operacja jest przemienna

Zauważ, że każda z podzielności i odwracalności implikuje właściwość anulowania .

Klasyfikacja według właściwości

Nazywa się magma ( S , •) , z x , y , u , z ∈ S

Środkowy

Jeśli spełnia tożsamość, xy • uz ≡ xu • yz

Lewa półśrodkowa

Jeśli spełnia tożsamość, xx • yz ≡ xy • xz

Prawe półśrodkowe

Jeśli spełnia tożsamość, yz • xx ≡ yx • zx

Semimedial

Jeśli jest zarówno lewy, jak i prawy, półśrodkowy

Lewy rozdzielczy

Jeśli spełnia tożsamość, x • yz ≡ xy • xz

Prawo rozdzielcze

Jeśli spełnia tożsamość, yz • x ≡ yx • zx

Autodystrybucja

Jeśli jest rozdzielczy zarówno po lewej, jak i po prawej stronie

Przemienne

Jeśli spełnia tożsamość, xy ≡ yx

Idempotent

Jeśli spełnia tożsamość, xx ≡ x

Unipotent

Jeśli spełnia tożsamość, xx ≡ yy

Zeropotent

Jeśli spełnia tożsamości, xx • y ≡ xx ≡ y • xx

Alternatywny

Jeśli spełnia tożsamości xx • y ≡ x • xy i x • yy ≡ xy • y

Asocjacja mocy

Jeśli submagma wygenerowana przez dowolny element jest asocjacyjna

Elastyczne

jeśli xy • x ≡ x • yx

Półgrupa lub asocjacyjne

Jeśli spełnia tożsamość, x • yz ≡ xy • z

Lewa unar

Jeśli spełnia tożsamość, xy ≡ xz

Prawe unar

Jeśli spełnia tożsamość, yx ≡ zx

Półgrupa z mnożeniem przez zero lub półgrupa zerowa

Jeśli spełnia tożsamość, xy ≡ uv

Unital

Jeśli ma element tożsamości

Lewo - anulowanie

Jeśli dla wszystkich x , y i z , xy = xz implikuje y = z

Prawo do anulowania

Jeśli dla wszystkich x , y i z , yx = zx implikuje y = z

Anuluje

Jeśli jest zarówno prawostronna, jak i lewostronna

Półgrupa z lewej zerami

Jeśli jest to półgrupa i dla wszystkich x zachodzi tożsamość x ≡ xy

Półgrupa z prawej zer

Jeśli jest to półgrupa i dla wszystkich x zachodzi tożsamość x ≡ yx

Wersja próbna

Jeśli jakakolwiek trójka (niekoniecznie odrębnych) elementów generuje medialną submagmę

Entropic

Jeśli jest to homomorficzny obraz środkowej magmy anulowania .

Kategoria magm

Kategoria magm, oznaczona jako Mag , to kategoria, której obiektami są magmy i której morfizmy są homomorfizmami magmy . Kategoria Mag ma bezpośrednie iloczyny i istnieje funktor włączający : Ustaw → Med ↪ Mag jako trywialne magmy, z operacjami podanymi przez rzutowanie : x  T  y = y   .

Ważną właściwością jest to, że endomorfizm iniekcyjny można rozszerzyć do automorfizmu rozszerzenia magmy , po prostu kolimit ( stałej sekwencji) endomorfizmu .

Ponieważ Singleton ({*}, *) jest obiekt zerowy z Mag , a ponieważ Mag jest algebraiczna , Mag jest szpiczasty i kompletne .

Uogólnienia

Zobacz grupę n -arną .

Zobacz też

• Kategoria magmy
• Obiekt Auto magma
• Algebra uniwersalna
• System algebry komputerowej Magmy , nazwany na cześć przedmiotu tego artykułu.
• Przemienne nieasocjacyjne magmy
• Struktury algebraiczne, których aksjomatami są tożsamości
• Algebra grupoidów
• Zestaw do przedpokoju

Bibliografia

Dalsza lektura

• Bruck, Richard Hubert (1971), przegląd systemów binarnych (wyd. 3), Springer, ISBN   978-0-387-03497-3