Endomorfizm pierścień - Endomorphism ring


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

W abstrakcyjnej Algebra The pierścień endomorfizm o Abelowych grupy X , oznaczonej koniec ( X ) jest zbiorem wszystkich endomorfizm o X (to zbiór wszystkich homomorfizmów o X w siebie) posiadające operacji dodawania określonych punktowej Dodatkowo od funkcji i operacji mnożenia określonych kompozycji funkcji . Za pomocą tych operacji, zestaw endomorfizm od An grupa przemienna tworzy (unital) pierścienia , przy czym mapa zerowej jako dodatku do identyfikacji i mapę tożsamości jak multiplikatywna tożsamości .

Funkcje związane są ograniczone do tego, co określa się jako homomorfizmu w kontekście, który zależy od kategorii obiektu pod uwagę. Pierścień endomorfizm konsekwencji koduje kilka wewnętrznych właściwości obiektu. Gdy otrzymany obiekt jest często Algebra przez jakiś pierścień R, to mogą być również nazywane Algebra endomorfizm .

Opis

Niech ( , +) być grupa przemienna i rozważamy homomorfizm grup z do . Następnie dodano dwie takie homomorfizmów może być zdefiniowana punktowo do uzyskania innego homomorfizm grupy. Wyraźnie, biorąc pod uwagę dwie takie homomorfizmy f i g , suma f i g jest w homomorfizm ( f + g ), ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Pod koniec tej operacji ( ) jest grupa przemienna. Dzięki dodatkowej operacji składu homomorfizmów, koniec ( ) jest pierścieniem z multiplikatywnej tożsamości. Kompozycja ta jest wyraźnie ( FG ), ( x ) = f ( g ( x )) . Multyplikatywnej tożsamość jest homomorfizmem tożsamość na A .

Jeśli zestaw nie tworzy Abelowych grupy, wtedy powyżej konstrukcja niekoniecznie dodatku , a następnie suma dwóch homomorfizmów nie musi być homomorfizm. Ten zestaw endomorfizm jest kanoniczny przykład koło pierścienia , który nie jest pierścień.

Nieruchomości

Przykłady

  • W kategorii R moduły pierścień endomorfizm danego R -module M obejmuje tylko R Homomorfizmy modułów , które zazwyczaj są podzbiorem tych abelian homomorfizmów grupy. Kiedy M jest skończoną generowane moduł rzutowa pierścień endomorfizm jest kluczowa dla Morita równoważności kategorii modułu.
  • Dla każdej grupy abelowe , ponieważ każdy matryca prowadzi naturalną strukturę Homomorfizm w następujący sposób:
,
Można użyć tego izomorfizm skonstruować wiele non-przemiennych pierścień endomorfizmów. Na przykład , ponieważ .
Ponadto, gdy jest to pole nie ma kanoniczna Izomorfizm tak , to znaczy pierścień endomorfizm z miejsca-wektor jest identyfikowany z pierścieniem n -by- n macierzy z wpisami . Bardziej ogólnie, Algebra endomorfizm z wolnego modułu naturalnie -by- matryc pozycji w pierścieniu .
  • W szczególnym przykładzie poprzednim punkcie, dla każdej pierścieniowej R z jedności zakończenia ( R R ) = R , w którym elementy R ustawy o R od lewej mnożenia.
  • W ogóle, pierścień endomorfizmów można zdefiniować dla obiektów o dowolnej kategorii preadditive .

Uwagi

  1. ^ Fraleigh (1976 , str. 211)
  2. ^ Passman (1991 , str. 4-5)
  3. ^ Dummit i Foote , s. 347)
  4. ^ Jacobson 2009 , s. 118.
  5. ^ Jacobson 2009 , s. 111, propan, 3,1.
  6. ^ Wisbauer 1991 , str.163.
  7. ^ Wisbauer 1991 , s. 263.
  8. ^ Camillo i in. 2006 .
  9. ^ Grupa przemienna mogą być również traktowane jako moduły przez pierścień całkowitymi.
  10. ^ Drozd & Kiriczenko 1994 , ss. 23-31.

Referencje

  • Camillo, VP; Khurana, D .; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), "modułów ciągłe są czysty", J. Algebra , 304 (1): 94-111, doi : 10,1016 / j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN  0021-8693 , M.  2.255.822
  • Drozd, Yu. ZA.; Kiriczenko VV (1994), skończonych wymiarów Algebry , Berlin: Springer-Verlag, ISBN  3-540-53380-X
  • Dummit David; Foote, Richard, Algebra