Moduł projekcyjny - Projective module

W matematyce , zwłaszcza Algebra The klasy z modułów projekcyjnych powiększa klasę wolnych modułów (czyli modułów z wektorów bazowych ), na pierścieniu , przy zachowaniu niektóre z głównych cech wolnych modułów. Poniżej przedstawiono różne równoważne charakterystyki tych modułów.

Każdy wolny moduł jest modułem rzutowym, ale odwrotność nie jest w stanie utrzymać się nad niektórymi pierścieniami, takimi jak pierścienie Dedekinda , które nie są głównymi domenami idealnymi . Jednak każdy moduł rzutowy jest modułem swobodnym, jeśli pierścień jest główną domeną idealną, taką jak liczby całkowite lub pierścień wielomianowy (jest to twierdzenie Quillena-Suslina ).

Moduły projekcyjne zostały po raz pierwszy wprowadzone w 1956 roku we wpływowej książce Homological Algebra autorstwa Henri Cartana i Samuela Eilenberga .

Definicje

Podnoszenie nieruchomości

Zwykła kategoria teoretyczna definicja dotyczy własności podnoszenia, która przenosi się z modułów swobodnych do projekcyjnych: moduł P jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego modułu surjektywnego homomorfizm f  : NM i każdego modułu homomorfizm g  : PM , istnieje moduł homomorfizmu h  : PN taki , że f h = g . (Nie wymagamy, aby homomorfizm podnoszenia h był unikalny; nie jest to właściwość uniwersalna .)

Moduł projekcyjny-P.svg

Zaletą tej definicji „odrzutu” jest to, że można ją przeprowadzić w kategoriach bardziej ogólnych niż kategorie modułowe: nie potrzebujemy pojęcia „obiekt swobodny”. Może być również dualizowany, co prowadzi do modułów iniekcyjnych . Właściwość podnoszenia może być również przeformułowana jako każdy morfizm od do czynników przez każdy epimorfizm do . Tak więc, z definicji, moduły projekcyjne są dokładnie obiektami projekcyjnymi w kategorii modułów R.

Sekwencje z podziałem dokładnym

Moduł P jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy każda krótka dokładna sekwencja modułów postaci

jest dokładną sekwencją podziału . Oznacza to, że dla każdego surjektywnego homomorfizmu modułu f  : BP istnieje odwzorowanie sekcji , czyli homomorfizm modułu h  : PB taki, że f  h = id P . W tym przypadku, h ( p ) jest bezpośredni do składnika z B , H jest Izomorfizm od P do h ( P ) , a H  F jest występ na do składnika h ( P ) . Równoważnie,

Bezpośrednie sumy darmowych modułów

Moduł P jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, jeśli jest inny moduł P , tak że suma prosta od P i Q jest wolny modułu.

Dokładność

R -module P jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy w covariant funktora hom ( P , - ): R - ModAb jest dokładne funktor , gdzie R - Mod jest kategoria z lewej R -modules i Ab jest kategoria abelowa grupy . Gdy pierścień R jest przemienny, Ab jest korzystnie zastąpiony przez R- Mod w poprzedniej charakterystyce. Funktor ten jest zawsze lewostronny, ale gdy P jest rzutowy, jest również prawostronnie dokładny. Oznacza to, że P jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy ten funktor zachowuje epimorfizmy (homomorfizmy suriektywne) lub jeżeli zachowuje skończone współgranice.

Podwójna podstawa

Moduł P jest rzutowe, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zestaw i zestaw taki sposób, że dla każdego x w P , F i ( x ) jest różna od zera tylko na skończoną wielu I i .

Podstawowe przykłady i właściwości

Następujące właściwości modułów rzutowych można szybko wywnioskować z dowolnej z powyższych (równoważnych) definicji modułów rzutowych:

  • Sumy bezpośrednie i sumy bezpośrednie modułów projekcyjnych są rzutowe.
  • Jeśli e = e 2 jest idempotentnym w pierścieniu R , to Re jest rzutowym lewym modułem nad R .

Związek z innymi właściwościami teorii modułu

Relację modułów rzutowych do modułów swobodnych i płaskich ujęto w następującym schemacie właściwości modułów:

Właściwości modułu w algebrze przemiennej

Implikacje od lewej do prawej są prawdziwe w każdym kręgu, chociaż niektórzy autorzy definiują moduły wolne od skręcania tylko w domenie. Implikacje od prawej do lewej są prawdziwe w odniesieniu do pierścieni, które je oznaczają. Mogą istnieć inne pierścienie, w których są prawdziwe. Na przykład implikacja oznaczona jako „pierścień lokalny lub PID” jest również prawdziwa dla pierścieni wielomianowych nad polem: jest to twierdzenie Quillena-Suslina .

Moduły projekcyjne a darmowe

Każdy wolny moduł jest rzutowy. Odwrotna sytuacja jest prawdziwa w następujących przypadkach:

Ogólnie jednak moduły projekcyjne nie muszą być darmowe:

Różnica między wolnymi i projekcyjnych modułów jest, w pewnym sensie, mierzona algebraicznej K -theory grupy K 0 ( R ), patrz niżej.

Moduły projekcyjne vs. płaskie

Każdy moduł projekcyjny jest płaski . Odwrotność jest generalnie nieprawdą: grupa abelowa Q jest modułem Z, który jest płaski, ale nie rzutowy.

I odwrotnie, skończenie powiązany płaski moduł jest rzutowy.

Govorov (1965) i Lazard (1969) okazało się, że moduł M jest płaski tylko wtedy, gdy jest to ogranicza bezpośrednio z skończenie generowanych wolnych modułów .

Ogólnie, dokładną relację między płaskością a rzutowością ustalili Raynaud i Gruson (1971) (zob. także Drinfeld (2006) oraz Braunling, Groechenig i Wolfson (2016) ), którzy wykazali, że moduł M jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki:

  • M jest płaskie,
  • M to bezpośrednia suma przeliczalnie wygenerowanych modułów,
  • M spełnia pewien warunek typu Mittag-Leffler.

Kategoria modułów projekcyjnych

Podmoduły modułów rzutowych nie muszą być rzutowe; pierścień R, dla którego każdy podmoduł lewego modułu rzutowego jest rzutowy, nazywany jest lewym dziedzicznym .

Iloraz modułów rzutowych również nie muszą być rzutowe, na przykład Z / n jest ilorazem Z , ale nieskrętnym, a więc niepłaskim, a zatem nie rzutowym.

Kategoria skończenie generowanych modułów projekcyjnych nad pierścieniem jest kategorią ścisłą . (Patrz także algebraiczna teoria K ).

Rozdzielczości projekcyjne

Biorąc pod uwagę moduł M , A rzutowa rozdzielczości z M nieskończona dokładna kolejność modułów

··· → P n → ··· → P 2P 1P 0M → 0,

wszelkich P i y rzutowe. Każdy moduł posiada rozdzielczość projekcyjną. W rzeczywistości istnieje wolna rozdzielczość (rozdzielczość przez wolne moduły ). Dokładna sekwencja modułów projekcyjnych może być czasami skracana do P ( M ) → M → 0 lub P M → 0 . Klasycznym przykładem rozwiązania rzutowego jest kompleks Koszula ciągu regularnego , który jest swobodnym rozwiązaniem ideału generowanego przez ciąg.

Długość o ograniczonej rozdzielczości jest indeks n takie, że P n jest różne od zera, a p i = 0 o I większe niż n . Jeśli M dopuszcza skończoną rozdzielczość projekcyjną, minimalną długość spośród wszystkich skończonych rozdzielczości projekcyjnych M nazywamy jego wymiarem rzutowym i oznaczamy pd( M ). Jeśli M nie dopuszcza skończonej rozdzielczości rzutowej, to umownie mówi się, że wymiar rzutowy jest nieskończony. Jako przykład rozważmy moduł M taki, że pd( M ) = 0 . W tej sytuacji dokładność sekwencji 0 → P 0M → 0 wskazuje, że strzałka w środku jest izomorfizmem, a zatem samo M jest rzutowe.

Moduły projekcyjne nad pierścieniami przemiennymi

Moduły projekcyjne nad pierścieniami przemiennymi mają ładne właściwości.

Lokalizacja modułu rzutowej jest moduł rzutowa na zlokalizowanej pierścienia. Moduł projekcyjny nad pierścieniem lokalnym jest bezpłatny. Zatem moduł rzutowy jest lokalnie swobodny (w tym sensie, że jego lokalizacja przy każdym ideale pierwszym jest wolna od odpowiadającej lokalizacji pierścienia).

Odwrotność jest prawdziwa dla skończenie generowanych modułów nad pierścieniami Noetherian : skończenie generowany moduł nad przemiennym pierścieniem Noetherian jest lokalnie wolny wtedy i tylko wtedy, gdy jest rzutowany.

Istnieją jednak przykłady skończenie generowanych modułów nad pierścieniem nienoetheryjskim, które są lokalnie wolne i nie rzutowe. Na przykład, pierścień Boole'a ma wszystkie swoje lokalizacje izomorficzne z F 2 , polem dwóch elementów, więc każdy moduł nad pierścieniem Boole'a jest lokalnie wolny, ale istnieją pewne moduły nieprojekcyjne nad pierścieniami Boole'a. Jednym z przykładów jest R / I , gdzie R jest bezpośrednim iloczynem policzalnie wielu kopii F 2 , a I jest bezpośrednią sumą policzalnie wielu kopii F 2 wewnątrz R . R -module R / I jest lokalnie wolne od R jest logiczna (i jest skończoną generowane jako R -module też z zestawem obejmującym wielkości: 1), a R / I jest rzutowa z powodu , że nie jest głównym idealnym . (Jeśli moduł ilorazowy R / I , dla dowolnego pierścienia przemiennego R i idealnego I , jest modułem rzutowym R , to I jest głównym.)

Jednakże, jest to prawda, że skończona przedstawione moduły M na pierścienia przemiennego R (w szczególności, gdy M jest skończoną generowane R -module i R jest noetherian) dodaje są równoważne.

  1. jest płaski.
  2. jest rzutowy.
  3. jest wolny jak -module dla każdego maksymalnej idealny do badań .
  4. jest wolny jako -moduł dla każdego ideału pierwszego z R .
  5. Istnieje generowanie idealnej jednostki takiej, która jest wolna jako -moduł dla każdego i .
  6. jest lokalnie wolnym snopem (gdzie jest snop powiązany z M .)

Co więcej, jeśli R jest noetheriańską domeną całkową, to zgodnie z lematem Nakayamy warunki te są równoważne

  • Wymiar powierzchni-wektor jest taki sam dla wszystkich głównych idei z R, w którym jest pole pozostałości przy . To znaczy, M ma stałą rangę (jak zdefiniowano poniżej).

Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Jeśli B oznacza (ewentualnie nie-przemienne) -algebra że jest skończoną generowane rzutowa -module zawierające A jako podpierścień, następnie bezpośredni czynnik B .

Ranga

Niech P być skończenie generowane przez moduł rzutowa pierścienia przemiennego R i X jest widmem z R . Ranga z P na ideałem pierwszym w X jest ranga swobodnego -module . Jest to lokalnie stała funkcja na X . W szczególności, jeśli X jest połączone (to znaczy, jeśli R nie ma innych idempotentów niż 0 i 1), to P ma stałą rangę.

Pakiety wektorowe i moduły bezpłatne lokalnie

Podstawową motywacją teorii jest to, że moduły projekcyjne (przynajmniej nad pewnymi pierścieniami przemiennymi) są analogami wiązek wektorowych . Można to precyzyjnie określić dla pierścienia ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych na zwartej przestrzeni Hausdorffa , a także dla pierścienia gładkich funkcji na gładkiej rozmaitości (patrz twierdzenie Serre'a-Swana, które mówi o skończenie generowanym module rzutowym nad przestrzenią gładkie funkcje na zwartej rozmaitości to przestrzeń gładkich odcinków gładkiej wiązki wektorowej).

Pakiety wektorowe są bezpłatne lokalnie . Jeśli istnieje pojęcie „lokalizacji”, które można przenieść na moduły, takie jak zwykła lokalizacja pierścienia , można zdefiniować moduły wolne lokalnie, a moduły rzutowe zazwyczaj pokrywają się z modułami wolnymi lokalnie.

Moduły projekcyjne nad pierścieniem wielomianowym

Quillen-Suslin twierdzenie , który rozwiązuje problemy SERRE, znajduje się inny głęboko Wynik : Jeżeli K jest pole , lub bardziej ogólnie ideał główny domeny i R = K [ X 1 , ..., x n ] jest wielomianem pierścień ponad K , to każdy moduł rzutowy nad R jest wolny. Ten problem został po raz pierwszy podniesiony przez Serre'a z polem K (i skończonymi modułami). Bass ustalił to dla nieskończenie generowanych modułów, a Quillen i Suslin niezależnie i jednocześnie potraktowali przypadek skończenie generowanych modułów.

Ponieważ każdy moduł rzutowy nad główną domeną idealną jest wolny, można zadać to pytanie: jeśli R jest pierścieniem przemiennym takim, że każdy (skończenie wygenerowany) moduł R rzutowy jest wolny, to każdy (skończenie wygenerowany) R rzutowy jest R [ X ] - moduł wolny? Odpowiedź brzmi: nie . Kontrprzykład występuje z R równym lokalnemu pierścieniowi krzywej y 2 = x 3 w początku. Tak więc twierdzenia Quillena-Suslina nigdy nie można udowodnić przez prostą indukcję na liczbę zmiennych.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia