Prosty moduł - Simple module

W matematyce , szczególnie w teorii pierścieni , proste moduły nad pierścieniem R to (lewe lub prawe) moduły nad R, które są niezerowe i nie mają niezerowych odpowiednich podmodułów . Równoważnie, moduł M jest prosta tylko wtedy, gdy każda cykliczny modułem generowane przez niezerową elementu M równa się M . Proste moduły tworzą bloki konstrukcyjne dla modułów o skończonej długości i są analogiczne do prostych grup w teorii grup .

W tym artykule, wszystkie moduły będą traktowane jako prawo unital moduły nad pierścieniem R .

Przykłady

Moduły Z są takie same jak grupy abelowe , więc prosty moduł Z jest grupą abelową, która nie ma niezerowych odpowiednich podgrup . Są to cykliczne grupy od głównego celu .

Jeśli I jest tuż idealny z R , to , że jest proste w odpowiedni moduł, wtedy i tylko wtedy, że jest minimalna wartość niezerową prawo idealnym: jeśli M jest niezerowe właściwa modułem z I , to jest to również prawda idealnym więc nie jestem minimalny. I odwrotnie, jeśli że nie jest minimalne, to jest niezerowy prawo idealnym J właściwie zawartych w I . J jest właściwym modułem podrzędnym I , więc nie jest prosty.

Jeśli I jest tuż ideał R , wtedy moduł iloraz R / , że jest prosty, jeżeli i tylko wtedy, że ma maksymalny prawo idealnym: jeśli M jest niezerowe właściwa modułem z R / I , wtedy preimage na M pod iloraz mapa R R / i jest prawem idealnym, który nie jest równy R i który zawiera właściwie ja . Dlatego nie jestem maksymalny. I odwrotnie, jeśli że nie jest maksymalne, to nie jest idealny prawo J odpowiednio zawierającego I . Mapa ilorazowa R / I R / J ma niezerowe jądro, które nie jest równe R / I , a zatem R / I nie jest proste.

Każdy prosty R -module jest izomorficzny ilorazowi R / m , gdzie m jest maksymalną tuż idealny z R . W powyższym akapicie każdy iloraz R / m jest prostym modułem. I odwrotnie, załóżmy, że M jest prostym modułem R. Następnie, dla każdej niezerowej elementu x o M cykliczny modułem xR muszą być równe M . Napraw taki x . Stwierdzenie, że xR = M jest równoważna surjectivity z Homomorfizm R M , który wysyła R do xr . Jądro tego homomorfizmu jest prawem idealnym I z R , a standardowym stany twierdzenie, że M jest izomorficzna z R / I . Z powyższego akapitu dowiadujemy się, że I jest maksymalnym poprawnym ideałem. Dlatego M jest izomorficzne do ilorazu R przez maksymalny prawy ideał.

Jeśli k to pole , a G oznacza grupę, to reprezentacja grupy z G jest lewy moduł na pierścieniowej grupy k [ g] (szczegóły patrz strona główna tego związku ). Proste moduły k [G] są również znane jako reprezentacje nieredukowalne . Głównym celem teorii reprezentacji jest zrozumienie nieredukowalnych reprezentacji grup.

Podstawowe właściwości prostych modułów

Proste moduły to dokładnie moduły o długości 1; jest to przeformułowanie definicji.

Każdy prosty moduł jest nierozkładalny , ale sytuacja odwrotna na ogół nie jest prawdą.

Każdy prosty moduł jest cykliczny , to znaczy jest generowany przez jeden element.

Nie każdy moduł ma prosty moduł podrzędny; pod uwagę na przykład Z -module Z w związku z pierwszym przykładem powyżej.

Niech M i N będą (lewymi lub prawymi) modułami na tym samym pierścieniu i niech f  : M N będzie homomorfizmem modułu. Jeżeli M jest prosta, a M jest albo homomorfizm zero lub za pomocą wstrzyknięć ponieważ jądro f jest modułem z M . Jeżeli N jest prosta, a M jest albo homomorfizm zero lub suriekcją ponieważ obraz z F jest modułem z N . Jeżeli M = N , a M jest endomorfizm z M i jeśli M jest prosta, to znane ze stanu techniki wynika, że dwa wyrażenia F jest albo zerem albo homomorfizm Izomorfizm. W konsekwencji pierścień endomorfizmu dowolnego prostego modułu jest pierścieniem dzielącym . Ten wynik jest znany jako lemat Schura .

Odwrotność lematu Schura nie jest generalnie prawdziwa. Na przykład, Z -module Q nie jest prosta, ale jego pierścień endomorfizm jest izomorficzny pola Q .

Proste moduły i serie kompozycji

Jeśli M jest modułem, który ma niezerowy właściwy podmoduł N , to istnieje krótka dokładna sekwencja

Wspólne podejście do udowodnienia faktu o M jest pokazanie, że faktem jest prawdziwe dla terminu środkowej krótkim dokładnej sekwencji, gdy jest prawdziwe dla lewego i prawego ujęciu, a następnie udowodnić fakt dla N i M / N . Jeśli N ma niezerowy właściwy podmoduł, to proces ten można powtórzyć. Tworzy łańcuch podmodułów

Aby w ten sposób to udowodnić, potrzebne są warunki na tej sekwencji i na modułach M i / M i + 1 . Szczególnie przydatnym warunkiem jest to, że długość ciągu jest skończona, a każdy moduł ilorazowy M i / M i + 1 jest prosty. W tym przypadku sekwencji o nazwie szereg kompozycji dla M . Aby udowodnić zdanie indukcyjnie za pomocą szeregu kompozycji, najpierw dowodzi się stwierdzenie dla prostych modułów, które stanowią przypadek bazowy indukcji, a następnie okazuje się, że stwierdzenie pozostaje prawdziwe po rozszerzeniu modułu o moduł prosty. Na przykład lemat dopasowywania pokazuje, że pierścień endomorfizmu nierozkładalnego modułu o skończonej długości jest pierścieniem lokalnym , tak więc istnieje silne twierdzenie Krulla-Schmidta, a kategorią modułów o skończonej długości jest kategoria Krulla-Schmidta .

Twierdzenie Jordana – Höldera i twierdzenie Schreiera o udokładnianiu opisują relacje między wszystkimi szeregami kompozycji pojedynczego modułu. Grupa Grothendieck ignoruje kolejność w szeregu kompozycji i postrzega każdy moduł o skończonej długości jako formalną sumę prostych modułów. W przypadku pierścieni półprostych nie oznacza to straty, ponieważ każdy moduł jest modułem półprostym, a więc bezpośrednią sumą prostych modułów. Teoria postaci zwykłych zapewnia lepszą kontrolę operacji arytmetycznych i stosuje proste, C, G, moduły rozumieć strukturę grup skończonych G . Modularna teoria reprezentacji używa znaków Brauera do przeglądania modułów jako formalnych sum prostych modułów, ale interesuje się również sposobem łączenia tych prostych modułów w serie kompozycji. Jest to sformalizowane poprzez zbadanie funktora Ext i opisanie kategorii modułów na różne sposoby, w tym kołczany (których węzły są prostymi modułami i których brzegami są serie kompozycji nie-półprostych modułów o długości 2) i teorię Auslandera-Reitena, gdzie powiązany wykres ma wierzchołek dla każdego nierozkładalnego modułu.

Twierdzenie Jacobsona o gęstości

Ważnym postępem w teorii prostych modułów było twierdzenie Jacobsona o gęstości . Twierdzenie o gęstości Jacobsona stwierdza:

Niech U będzie prostym prawym modułem R i napisz D = End R ( U ). Niech A być dowolny D -linear operatora o U i niech x być ograniczony D -linearly niezależnie podzbiór U . Następnie istnieje element r o r” , tak że x · A = x · r dla wszystkich x w X .

W szczególności każdy prymitywny pierścień może być postrzegany jako (to znaczy izomorficzny do) pierścień operatorów liniowych D w jakiejś przestrzeni D.

Konsekwencją twierdzenia Jacobsona o gęstości jest twierdzenie Wedderburna; to znaczy, że każdy prawy artinian prosty pierścień jest izomorficzny pełnym pierścieniem matrycy n -by- n macierzy nad pierścieniem podziału pewnego n . Można to również ustalić jako następstwo twierdzenia Artina – Wedderburna .

Zobacz też

Bibliografia