Domena (teoria pierścieni) - Domain (ring theory)

W algebrze , dziedzinie matematyki , dziedziną jest niezerowy pierścień, w którym ab = 0 implikuje a = 0 lub b = 0 . (Czasami mówi się, że taki pierścień „ma właściwość produktu zerowego ”.) Odpowiednio, domena to pierścień, w którym 0 jest jedynym lewym dzielnikiem zerowym (lub równoważnie, jedynym prawym dzielnikiem zerowym). Przemienne domena nazywa się dziedzina całkowitości . Literatura matematyczna zawiera wiele wariantów definicji „dziedziny”.

Przykłady i nie-przykłady

Pierścienie grupowe i problem z zerowym dzielnikiem

Załóżmy, że G to grupa, a K to pole . Czy pierścień grupowy R = K [ G ] jest domeną? Tożsamość

pokazano, że element g skończonej aby n > 1 indukuje dzielnik zera 1 - g w R . Problemem dzielnik zera pyta, czy jest to jedyna przeszkoda; innymi słowy,

Biorąc pod uwagę pole K i grupę G bez skręcania , czy to prawda, że K [ G ] nie zawiera zerowych dzielników?

Nie są znane żadne kontrprzykłady, ale ogólnie problem pozostaje otwarty (stan na 2017 r.).

W przypadku wielu specjalnych klas grup odpowiedź jest twierdząca. Farkas i Snider udowodnili w 1976 roku, że jeśli G jest wolną od skrętów policykliczną grupą o skończonej liczbie i char K = 0, to pierścień grupowy K [ G ] jest domeną. Później (1980) Cliff usunął ograniczenie dotyczące charakterystyki pola. W 1988 Kropholler, Linnell i Moody uogólnili te wyniki na przypadek wolnych od skręcania grup rozwiązywalnych i rozwiązywalnych według skończonych. Wcześniej (1965), praca Michel Lazard , którego znaczenie nie docenione przez specjalistów w tej dziedzinie przez około 20 lat, miał do czynienia z przypadkiem, w którym K oznacza pierścień p-adyczne całkowite i G jest p p zbieżność podgrupy z GL ( n , Z ) .

Widmo domeny integralnej

Zerowe dzielniki mają topologiczną interpretację, przynajmniej w przypadku pierścieni przemiennych: pierścień R jest domeną całkową wtedy i tylko wtedy, gdy jest zredukowany, a jego widmo Spec R jest nieredukowalną przestrzenią topologiczną . Często uważa się, że pierwsza właściwość koduje jakąś nieskończenie małą informację, podczas gdy druga jest bardziej geometryczna.

Przykład: pierścień k [ x , y ] / ( xy ) , gdzie k jest polem, nie jest domeną, ponieważ obrazy x i y w tym pierścieniu są zerowymi dzielnikami. Geometrycznie odpowiada to faktowi, że widmo tego pierścienia, które jest sumą linii x = 0 i y = 0 , nie jest nieredukowalne. Rzeczywiście, te dwie linie są jego nieredukowalnymi składnikami.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs w pierścieniach nieprzemiennych (2nd ed.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN   978-0-387-95325-0 . MR   1838439 .
  • Charles Lanski (2005). Pojęcia w algebrze abstrakcyjnej . Księgarnia AMS. ISBN   0-534-42323-X .
  • César Polcino Milies; Sudarshan K. Sehgal (2002). Wprowadzenie do pierścieni grupowych . Skoczek. ISBN   1-4020-0238-6 .
  • Nathan Jacobson (2009). Podstawowe Algebra I . Dover. ISBN   978-0-486-47189-1 .
  • Louis Halle Rowen (1994). Algebra: grupy, pierścienie i pola . AK Peters . ISBN   1-56881-028-8 .