Reprezentacja grupy - Group representation

Reprezentacja grupy „działa” na obiekt. Prostym przykładem jest to, jak symetrie wielokąta foremnego , składającego się z odbić i obrotów, przekształcają wielokąt.

W matematycznej dziedzinie teorii reprezentacji , reprezentacje grupy opisują streszczenie grupy pod względem bijective przekształceń liniowych (tj Automorfizmy ) w przestrzeni wektorów ; w szczególności mogą być używane do reprezentowania elementów grupy jako macierzy odwracalnych, dzięki czemu operacja grupowania może być reprezentowana przez mnożenie macierzy . Reprezentacje grup są ważne, ponieważ pozwalają sprowadzić wiele problemów teorii grup do problemów algebry liniowej , co jest dobrze rozumiane. Są one również ważne w fizyce, ponieważ na przykład opisują, jak grupa symetrii układu fizycznego wpływa na rozwiązania równań opisujących ten układ.

Termin reprezentacja grupy jest również używany w bardziej ogólnym sensie, aby oznaczać dowolny „opis” grupy jako grupy przekształceń jakiegoś obiektu matematycznego. Bardziej formalnie „reprezentacja” oznacza homomorfizm z grupy do grupy automorfizmu obiektu. Jeśli obiekt jest przestrzenią wektorową, mamy reprezentację liniową . Niektórzy używają realizacji do ogólnego pojęcia i rezerwują termin reprezentacja dla szczególnego przypadku reprezentacji liniowych. Większość tego artykułu opisuje teorię reprezentacji liniowej; zobacz ostatnią sekcję dla uogólnień.

Gałęzie teorii reprezentacji grup

Teoria reprezentacji grup dzieli się na podteorie w zależności od rodzaju reprezentowanej grupy. Poszczególne teorie różnią się w szczegółach, chociaż niektóre podstawowe definicje i koncepcje są podobne. Najważniejsze podziały to:

Grupy skończone — reprezentacje grup są bardzo ważnym narzędziem w badaniu grup skończonych. Pojawiają się również w zastosowaniach teorii grup skończonych do krystalografii i geometrii. Jeżeli pole skalarów przestrzeni wektorowej ma charakterystykę p , a p dzieli porządek grupy, to nazywa się to modularną teorią reprezentacji ; ten szczególny przypadek ma bardzo różne właściwości. Zobacz teoria reprezentacji grup skończonych .
Grupy zwarte lub grupy zwarte lokalnie — Wiele wyników teorii reprezentacji skończonych grup jest udowadnianych przez uśrednianie po grupie. Dowody te można przenieść na nieskończone grupy przez zastąpienie średniej całką, pod warunkiem, że można zdefiniować akceptowalne pojęcie całki. Można to zrobić dla grup zwartych lokalnie, używając miary Haara . Powstała teoria jest centralną częścią analizy harmonicznej . Pontryagin dwoistość opisuje teorię grup przemiennych, jako uogólniona transformaty Fouriera . Zobacz też: Twierdzenie Petera-Weyla .
Grupy Liego — wiele ważnych grup Liego jest zwartych, więc odnoszą się do nich wyniki teorii zwartej reprezentacji. Stosowane są również inne techniki specyficzne dla grup Liego. Większość grup ważnych w fizyce i chemii to grupy Liego, a ich teoria reprezentacji ma kluczowe znaczenie dla zastosowania teorii grup w tych dziedzinach. Zobacz Reprezentacje grup Liego i Reprezentacje algebr Liego .
Liniowe grupy algebraiczne (lub ogólniej schematy grup afinicznych ) — są to analogi grup Liego, ale nad bardziej ogólnymi polami niż tylko R lub C . Chociaż liniowe grupy algebraiczne mają klasyfikację bardzo podobną do klasyfikacji grup Liego i dają początek tym samym rodzinom algebr Liego, ich reprezentacje są raczej różne (i znacznie mniej zrozumiałe). Techniki analityczne stosowane do badania grup Liego muszą zostać zastąpione technikami z geometrii algebraicznej , gdzie stosunkowo słaba topologia Zariskiego powoduje wiele technicznych komplikacji.
Niezwarte grupy topologiczne — klasa niezwartych grup jest zbyt szeroka, aby skonstruować jakąkolwiek ogólną teorię reprezentacji, ale zbadano szczególne przypadki szczególne, czasami przy użyciu technik ad hoc. W półprosty grupy Liego mają głęboki teorii, w oparciu o kompaktowej obudowie. Komplementarne rozwiązywalne grupy Liego nie mogą być klasyfikowane w ten sam sposób. Ogólna teoria grup Liego zajmuje się produktami półbezpośrednimi tych dwóch typów, za pomocą ogólnych wyników zwanych teorią Mackeya , która jest uogólnieniem metod klasyfikacji Wignera .

Teoria reprezentacji zależy również w dużym stopniu od rodzaju przestrzeni wektorowej, na której działa grupa. Rozróżnia się reprezentacje skończenie wymiarowe i nieskończenie wymiarowe. W przypadku nieskończonej-wymiarowej, dodatkowe struktury są ważne (na przykład, czy przestrzeń jest przestrzeń Hilberta , przestrzeń Banacha , itd.).

Należy również wziąć pod uwagę rodzaj pola, nad którym zdefiniowana jest przestrzeń wektorowa. Najważniejszym przypadkiem jest dziedzina liczb zespolonych . Inne ważne przypadki to pola liczb rzeczywistych , pola skończone i pola liczb p-adycznych . Ogólnie rzecz biorąc, ciała algebraicznie domknięte są łatwiejsze w obsłudze niż ciała niealgebraicznie domknięte. Nie bez znaczenia jest również charakterystyka pola; wiele twierdzeń dla grup skończonych zależy od charakterystyki pola nie dzielącego porządku grupy .

Definicje

Reprezentacji z grupy G, w przestrzeni wektorów V nad pola K jest homomorfizmem grupy z G GL ( V ), w ogólnej grupy liniowego o V . Oznacza to, że reprezentacja jest mapą

{\ Displaystyle \ rho \ dwukropek G \ do \ operatorname {GL} (V)}

takie, że

{\ Displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) = \ rho (g_ {1}) \ rho (g_ {2}), \ qquad {\ tekst {dla wszystkich}} g_ {1}, g_ { 2}\w G.}

Tutaj V nazywamy przestrzenią reprezentacji, a wymiar V nazywamy wymiarem reprezentacji. Powszechną praktyką jest odwoływanie się do samego V jako reprezentacji, gdy homomorfizm jest jasny z kontekstu.

W przypadku, w którym V jest skończonym wymiarze n jest wspólne wybranie podstawę dla V i identyfikacji GL ( V ) z GL ( n , k ) , grupę n -by- n odwracalnych matryc na polu K .

Jeśli G jest grupą topologiczny i V to przestrzeń topologiczna wektor , A ciągły przedstawienie z G na V, to reprezentacja ρ taki, że stosowanie cp: G x V → V zdefiniowane przez cp ( g , v ) = ρ ( g ) ( v ) jest ciągła .
Jądro z rysunku p grupy G określa się jako normalne podgrupie G którego obraz na podstawie p jest transformacja tożsamości:

{\ Displaystyle \ ker \ rho = \ lewo \ {g \ w G \ mid \ rho (g) = \ operator {id} \ prawo \}}.

Wierny reprezentacja jest taka, w której homomorfizm G → GL ( V ), to za pomocą wstrzyknięć ; innymi słowy taki, którego jądro jest trywialną podgrupą { e } składającą się tylko z elementu tożsamości grupy.

Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie wektorowe K V i W , dwie reprezentacje ρ : G → GL( V ) i π : G → GL( W ) są uważane za równoważne lub izomorficzne, jeśli istnieje izomorfizm w przestrzeni wektorowej α : V → W tak, że dla wszystko g w G ,

{\ Displaystyle \ alfa \ circ \ rho (g) \ circ \ alfa ^ {-1} = \ pi (g).}

Przykłady

Rozważmy liczbę zespoloną u = e ^{2πi / 3,} która ma własność u ³ = 1. Cykliczna grupa C ₃ = {1, u , u ² } ma reprezentację ρ na zadaną wzorem : ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ rho \ lewo (1 \ prawy) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {bmatrix}} \ qquad \ rho \ lewo (u \ po prawej) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}. }

Ta reprezentacja jest wierna, ponieważ ρ jest mapą jeden do jednego .

Inną reprezentacją C ₃ on , izomorficzną do poprzedniej, jest σ dana wzorem: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ Sigma \ lewo (1 \ po prawej) = {\ zacznij {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {bmatrix}} \ qquad \ sigma \ po lewej (u \ po prawej) = {\ zacznij {bmatrix} u i 0 \\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}} .}

Grupa C ₃ może być również wiernie reprezentowana przez τ przez: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ tau \ lewy (1 \ prawy) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {bmatrix}} \ qquad \ tau \ lewy (u \ prawy) = {\ zacząć {bmatrix} a& -b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}

gdzie

{\ Displaystyle a = {\ tekst {Re}} (u) = - {\ tfrac {1} {2}}, \ qquad b = {\ tekst {im}} (u) = {\ tfrac {\ sqrt { 3}}{2}}.}

Inny przykład:

Niech będzie przestrzenią jednorodnych wielomianów stopnia 3 nad liczbami zespolonymi w zmiennych ${\ Displaystyle V}$ $x_{1},x_{2},x_{3}.$

Następnie działa poprzez permutację trzech zmiennych. $S_{3}$ ${\ Displaystyle V}$

Na przykład wysyła do . ${\ Displaystyle (12)}$ $x_{1}^{3}$ $x_{2}^{3}$

Redukowalność

Podprzestrzeń W od V, która jest niezmienna w działaniu grupowym, nazywana jest podreprezentacją . Jeśli V ma dokładnie dwie podreprezentacje, a mianowicie podprzestrzeń zerowymiarową i samo V , wtedy mówimy, że reprezentacja jest nieredukowalna ; jeśli ma odpowiednią podreprezentację wymiaru niezerowego, mówi się, że reprezentacja jest redukowalna . Reprezentacja wymiaru zero nie jest ani redukowalna, ani nieredukowalna, podobnie jak liczba 1 nie jest ani złożona, ani pierwsza .

Przy założeniu, że charakterystyka pola K nie dzieli wielkości grupy, reprezentacje grup skończonych można rozłożyć na prostą sumę nieredukowalnych podreprezentacji (patrz twierdzenie Maschkego ). Dotyczy to w szczególności każdej reprezentacji skończonej grupy nad liczbami zespolonymi , ponieważ cechą liczb zespolonych jest zero, co nigdy nie dzieli rozmiaru grupy.

W powyższym przykładzie dwie pierwsze podane reprezentacje (ρ i σ) można rozłożyć na dwie jednowymiarowe podreprezentacje (dane przez span{(1,0)} i span{(0,1)}), podczas gdy trzecia reprezentacja (τ) jest nieredukowalne.

Uogólnienia

Reprezentacje mnogościowe

Ustawiania teoretyczna reprezentacji (znany również jako działanie grupy lub reprezentacji permutacji ) z grupy G na zbiorze X jest podawany przez funkcję p: G → X ^X , zbiór funkcji od X do X , tak, że dla wszystkich g ₁ , g ₂ w G i wszystkie x w X :

{\ Displaystyle \ rho (1) [x] = x}

{\ Displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) [x] = \ rho (g_ {1}) [\ rho (g_ {2}) [x]],}

gdzie jest element tożsamości G . Ten stan i aksjomaty dla grupy oznacza, że ρ ( g ) jest bijection (lub permutacji ) dla wszystkich g z G . W ten sposób możemy równoważnie zdefiniować reprezentację permutacyjną jako homomorfizm grupy od G do symetrycznej grupy S _X z X . ${\ Displaystyle 1}$

Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule dotyczącym akcji grupowej .

Reprezentacje w innych kategoriach

Każdą grupę G można postrzegać jako kategorię z jednym obiektem; morfizmy w tej kategorii to tylko elementy G . Biorąc pod uwagę dowolną kategorii C , A reprezentacja od G do C jest funktor od G do C . Takie funktor zaznacza obiekt X w C i homomorfizm z grupy G AUT ( X ), przy czym grupy automorfizm z X .

W przypadku, gdy C jest Vect _K , kategorią przestrzeni wektorowych nad ciałem K , ta definicja jest równoważna reprezentacji liniowej. Podobnie reprezentacja mnogościowa jest po prostu reprezentacją G w kategorii zbiorów .

Gdy C jest Ab , kategorią grup abelowych , otrzymane obiekty nazywamy G - modułami .

Inny przykład rozważyć kategoria przestrzeni topologicznych , Top . Reprezentacje w Top to homomorfizmy od G do grupy homeomorficznej przestrzeni topologicznej X .

Dwa typy reprezentacji ściśle związane z reprezentacjami liniowymi to:

reprezentacje rzutowe : w kategorii przestrzeni rzutowych . Można je opisać jako „reprezentacje liniowe aż do transformacji skalarnych”.
reprezentacje afiniczne : w kategorii przestrzeni afinicznych . Na przykład grupa euklidesowa działa afinicznie na przestrzeń euklidesową .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwsze danie . Teksty magisterskie z matematyki , lektury z matematyki. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . Numer ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .. Wprowadzenie do teorii reprezentacji z naciskiem na grupy Liego .
Jurij I. Lubicz. Wprowadzenie do teorii reprezentacji grup Banacha . Przetłumaczone z wydania rosyjskojęzycznego z 1985 r. (Charków, Ukraina). Birkhäuser Verlag. 1988.

Languages

In other projects