Topologia Zariskiego - Zariski topology

W geometrii algebraicznej i przemiennej algebry The Topologia Zariski jest topologia która jest określona przede wszystkim przez swoich zbiorów domkniętych . Bardzo różni się od topologii, które są powszechnie używane w analizie rzeczywistej lub złożonej ; w szczególności nie jest to Hausdorff . Topologia ta została wprowadzona głównie przez Oscar Zariski a później uogólnione do tworzenia zestawu ideał pierwszy o przemiennej ringu przestrzeni topologicznej, zwane widmo pierścienia.

Topologia Zariskiego pozwala na używanie narzędzi z topologii do badania rozmaitości algebraicznych, nawet jeśli pole bazowe nie jest polem topologicznym . Jest to jedna z podstawowych idei teorii schematów , która pozwala budować ogólne rozmaitości algebraiczne przez sklejanie rozmaitości afinicznych w sposób podobny do tego w teorii rozmaitości , gdzie rozmaitości buduje się poprzez sklejanie wykresów , które są otwartymi podzbiorami rzeczywistych afinicznych spacje .

Topologia Zariskiego rozmaitości algebraicznej to topologia, której zbiory domknięte są podzbiorami algebraicznymi rozmaitości. W przypadku rozmaitości algebraicznej nad liczbami zespolonymi , topologia Zariskiego jest zatem bardziej zgrubna niż zwykła topologia, ponieważ każdy zbiór algebraiczny jest zamknięty dla zwykłej topologii.

Uogólnienie topologii Zariskiego na zbiór ideałów pierwszych pierścienia przemiennego wynika z Nullstellensatz Hilberta , który ustanawia bijektywną zgodność między punktami rozmaitości afinicznej określonej nad ciałem algebraicznie domkniętym a ideałami maksymalnymi pierścienia jego funkcji regularnych . Sugeruje to zdefiniowanie topologii Zariskiego na zbiorze ideałów maksymalnych pierścienia przemiennego jako topologii takiej, że zbiór ideałów maksymalnych jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest to zbiór wszystkich ideałów maksymalnych, które zawierają dany ideał. Inną podstawową ideą teorii schematów Grothendiecka jest traktowanie jako punktów nie tylko zwykłych punktów odpowiadających ideałom maksymalnym, ale także wszystkich (nieredukowalnych) rozmaitości algebraicznych, które odpowiadają ideałom pierwszym. Zatem topologia Zariskiego na zbiorze ideałów pierwszych (widmo) pierścienia przemiennego jest topologią taką, że zbiór ideałów pierwszych jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest to zbiór wszystkich ideałów pierwszych, które zawierają ustalony ideał.

Topologia odmian Zariskiego

W klasycznej geometrii algebraicznej (czyli tej części geometrii algebraicznej, w której nie stosuje się schematów , wprowadzonej przez Grothendiecka około 1960 r.), topologia Zariskiego jest definiowana na rozmaitościach algebraicznych . Topologia Zariskiego, zdefiniowana na punktach rozmaitości, to taka topologia, że zbiory domknięte są podzbiorami algebraicznymi rozmaitości. Ponieważ najbardziej elementarnymi rozmaitościami algebraicznymi są rozmaitości afiniczne i rzutowe , warto w obu przypadkach uściślić tę definicję. Zakładamy, że pracujemy nad ustalonym, algebraicznie domkniętym ciałem k (w klasycznej geometrii k jest prawie zawsze liczbami zespolonymi ).

Odmiany afiniczne

Najpierw definiujemy topologię na przestrzeni afinicznej utworzonej przez n -krotki elementów k . Topologia jest definiowana przez określenie jej zbiorów domkniętych, a nie zbiorów otwartych, i przyjmuje się je po prostu jako wszystkie zbiory algebraiczne w To znaczy, że zbiory domknięte są zbiorami postaci ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

${\ Displaystyle V (S) = \ {x \ w \ mathbb {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 \ forall f \ w S \}}$

gdzie S jest dowolnym zbiorem wielomianów w n zmiennych nad k . Jest to prosta weryfikacja pokazująca, że:

• V ( S ) = V (( S )), gdzie ( S ) jest ideałem generowanym przez elementy S ;
• Dla dowolnych dwóch ideałów wielomianów I , J , mamy
  1. ${\ Displaystyle V (I) \ filiżanka V (J) \, = \ V (IJ);}$
  2. ${\ Displaystyle V (I) \ czapka V (J) \ = \ V (I + J).}$

Wynika z tego, że sumy skończone i dowolne przecięcia zbiorów V ( S ) również mają tę postać, tak że zbiory te tworzą zbiory domknięte topologii (odpowiednik ich dopełnienia, oznaczone D ( S ) i zwane zbiorami głównymi otwartymi , forma samą topologię). To jest topologia Zariskiego na${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

Jeśli X jest afinicznym zbiorem algebraicznym (nierozkładalnym lub nie), to topologia Zariskiego na nim jest zdefiniowana po prostu jako topologia podprzestrzenna indukowana przez jej włączenie do jakiegoś Ekwiwalentnie, można sprawdzić, że: ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

• Elementy afinicznego pierścienia współrzędnych

${\ Displaystyle A (X) \, = \, k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}] / I (X)}$

działają jako funkcje na X, tak jak elementy działają jako funkcje na ; tutaj I(X) jest ideałem wszystkich wielomianów znikających na X . ${\displaystyle k[x_{1},\kropki,x_{n}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$

• Dla dowolnego zbioru wielomianów S , niech T będzie zbiorem ich obrazów w A(X) . Wtedy podzbiór X

${\ Displaystyle V '(T) = \ {x \ w X \ mid f (x) = 0 \ forall f \ w T \}}$

(te zapisy nie są standardowe) jest równe przecięciu z X z V(S) .

Ustala to, że powyższe równanie, wyraźnie uogólnienie poprzedniego, definiuje topologię Zariskiego na dowolnej odmianie afinicznej.

Odmiany projekcyjne

Przypomnijmy, że n- wymiarowa przestrzeń rzutowa jest zdefiniowana jako zbiór klas równoważności niezerowych punktów in przez zidentyfikowanie dwóch punktów, które różnią się skalarną wielokrotnością k . Elementy pierścienia wielomianowego nie są włączone, ponieważ każdy punkt ma wielu przedstawicieli, które dają różne wartości w wielomianu; jednak w przypadku wielomianów jednorodnych warunek posiadania zerowej lub niezerowej wartości w dowolnym punkcie rzutowym jest dobrze zdefiniowany, ponieważ skalarne czynniki wielokrotne z wielomianu. Dlatego jeśli S jest dowolnym zbiorem jednorodnych wielomianów, o których możemy rozsądnie mówić ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1}}$${\displaystyle k[x_{0},\kropki,x_{n}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle V (S) = \ {x \ w \ mathbb {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 \ forall f \ w S \}.}$

Dla tych zbiorów można ustalić te same fakty, co powyżej, z wyjątkiem tego, że słowo „idealny” musi zostać zastąpione wyrażeniem „ jednorodny ideał ”, tak że V ( S ) dla zbiorów S wielomianów jednorodnych określa topologię na As powyżej uzupełnienia tych zbiorów są oznaczone jako D ( S ) lub, jeśli istnieje prawdopodobieństwo pomyłki, D′ ( S ). ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}.}$

Rzutowa topologia Zariskiego jest definiowana dla rzutowych zbiorów algebraicznych, tak jak afiniczna jest definiowana dla afinicznych zbiorów algebraicznych, biorąc topologię podprzestrzenną. Podobnie można wykazać, że topologia ta jest samoistnie zdefiniowana przez zbiory elementów rzutowego pierścienia współrzędnych, według tego samego wzoru jak powyżej.

Nieruchomości

Bardzo przydatnym faktem dotyczącym tych topologii jest to, że możemy wykazać dla nich podstawę składającą się ze szczególnie prostych elementów, a mianowicie D ( f ) dla pojedynczych wielomianów (lub dla rozmaitości rzutowych wielomianów jednorodnych) f . Rzeczywiście, że stanowią one bazę, wynika z podanego wyżej wzoru na przecięcie dwóch zbiorów domkniętych Zariskiego (zastosuj go wielokrotnie do ideałów głównych generowanych przez generatory ( S )). Są to tak zwane zbiory wyróżniające lub podstawowe otwarte.

Według podstawowego twierdzenia Hilberta i pewnych elementarnych własności pierścieni noetherskich , każdy afiniczny lub rzutowy pierścień współrzędnych jest noetherowski. W konsekwencji przestrzenie afiniczne lub rzutowe z topologią Zariskiego są noetherowskimi przestrzeniami topologicznymi , co oznacza, że ​​każdy zamknięty podzbiór tych przestrzeni jest zwarty .

Jednak poza skończonymi zbiorami algebraicznymi żaden zbiór algebraiczny nigdy nie jest przestrzenią Hausdorffa . W starej literaturze topologicznej termin „zwarty” był traktowany jako obejmujący własność Hausdorffa, a ta konwencja jest nadal honorowana w geometrii algebraicznej; dlatego zwartość w nowoczesnym sensie nazywana jest „quasi-zwartością” w geometrii algebraicznej. Ponieważ jednak każdy punkt ( a ₁ , ..., a _n ) jest zerowym zbiorem wielomianów x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n , punkty są domknięte, a więc każda odmiana spełnia T ₁ aksjomat .

Każda regularna mapa odmian jest ciągła w topologii Zariskiego. W rzeczywistości topologia Zariskiego jest najsłabszą topologią (z najmniejszą liczbą zbiorów otwartych), w której jest to prawdą i w której punkty są zamknięte. Można to łatwo zweryfikować, zauważając, że zbiory Zariskiego-domknięte są po prostu przecięciami odwrotnych obrazów 0 przez funkcje wielomianowe, uważane za regularne odwzorowania na${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}.}$

Widmo pierścienia

We współczesnej geometrii algebraicznej rozmaitość algebraiczna jest często reprezentowana przez związany z nią schemat , który jest przestrzenią topologiczną (wyposażoną w dodatkowe struktury) lokalnie homeomorficzną do widma pierścienia . Widmo przemiennego pierścienia A , oznaczoną spec ( ) , to zestaw głównych idei A , wyposażonych w topologii Zariski , w którym zamknięte są zbiory zestawów

${\ Displaystyle V (I) = \ {P \ w \ operatorname {spec} \ (A) \ mid I \ podseteq P \}}$

gdzie jestem ideałem.

Aby zobaczyć związek z klasycznym obrazem, zauważ, że dla dowolnego zbioru S wielomianów (nad ciałem algebraicznie domkniętym), z Nullstellensatz Hilberta wynika, że punkty V ( S ) (w starym sensie) są dokładnie krotkami ( a ₁ , ..., a _n ) taki, że ideał wygenerowany przez wielomiany x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n zawiera S ; ponadto są to ideały maksymalne i przez „słabego” Nullstellensatza ideał dowolnego afinicznego pierścienia współrzędnych jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma taką formę. Zatem V ( S ) jest „to samo co” maksymalne ideały zawierające S . Innowacją Grothendiecka w definiowaniu Spec było zastąpienie ideałów maksymalnych wszystkimi ideałami pierwszymi; w tym sformułowaniu naturalne jest po prostu uogólnienie tej obserwacji na definicję zbioru domkniętego w widmie pierścienia.

Innym sposobem, być może bardziej podobnym do oryginału, interpretacji współczesnej definicji jest uświadomienie sobie, że elementy A mogą być faktycznie traktowane jako funkcje na głównych ideałach A ; mianowicie jako funkcje w Spec A . Po prostu, każdy ideał pierwszy P ma odpowiadające mu pole resztowe , które jest polem ułamków ilorazu A / P , a każdy element A ma odbicie w tym polu resztowym. Co więcej, elementy, które faktycznie znajdują się w P, to dokładnie te, których odbicie znika w P . Więc jeśli myślimy o mapie, związanego do dowolnego elementu A z A :

${\ Displaystyle e_ {a} \ dwukropek {\ bigl (} P \ w \ operatorname {specyfikacja} (A) {\ bigr )} \ mapsto \ lewo ({\ Frac {a \; {\ bmod {P}}} {1}}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)}$

(„ocena a ”), która każdemu punktowi przypisuje swoje odbicie w polu pozostałości, jako funkcję na Spec A (której wartości leżą w różnych polach w różnych punktach), to mamy

${\ Displaystyle e_ {a} (P) = 0 \ Leftrightarrow P \ w V (a)}$

Bardziej ogólnie, V ( I ) dla dowolnego ideału I jest wspólnym zbiorem, na którym znikają wszystkie "funkcje" w I , co jest formalnie podobne do definicji klasycznej. W rzeczywistości zgadzają się w tym sensie, że gdy A jest pierścieniem wielomianów nad jakimś algebraicznie domkniętym ciałem k , maksymalne ideały A są (jak omówiono w poprzednim akapicie) utożsamiane z n -krotkami elementów k , ich ciałami resztowymi są po prostu k , a mapy "oceny" są w rzeczywistości obliczaniem wielomianów w odpowiednich n -krotkach. Ponieważ, jak pokazano powyżej, klasyczna definicja jest zasadniczo definicją nowoczesną, w której rozważane są tylko maksymalne ideały, pokazuje to, że interpretacja nowoczesnej definicji jako „zerowych zbiorów funkcji” zgadza się z definicją klasyczną, w której obie mają sens.

Tak jak Spec zastępuje rozmaitości afiniczne, konstrukcja Proj zastępuje rozmaitości rzutowe we współczesnej geometrii algebraicznej. Podobnie jak w przypadku klasycznym, aby przejść od definicji afinicznej do definicji projekcyjnej, wystarczy zastąpić „ideał” „ideałem jednorodnym”, chociaż istnieje komplikacja związana z „nieistotnym ideałem maksymalnym”, o którym mowa w cytowanym artykule.

Przykłady

• Spec k , widmo z pola K jest przestrzenią topologiczną z jednego elementu.
• Spec ℤ, widmo liczb całkowitych ma punkt domknięty dla każdej liczby pierwszej p odpowiadający ideałowi maksymalnemu ( p ) ⊂ ℤ oraz jeden punkt generyczny niezamknięty (tj. którego domknięciem jest cała przestrzeń) odpowiadający ideałowi zerowemu (0). Zatem domknięte podzbiory Spec ℤ to dokładnie cała przestrzeń i skończone sumy punktów domkniętych.
• Widmo k [ t ], widmo wielomianu pierścienia nad pola k : takie wielomianem pierścień jest znany jako główny idealnym domeny i nieprzywiedlne wielomiany są głównymi elementami z k [ t ]. Jeżeli k jest algebraicznie domknięty , na przykład ciało liczb zespolonych , to wielomian niestały jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowy, postaci t − a , dla jakiegoś elementu a z k . Widmo składa się więc z jednego punktu domkniętego dla każdego elementu a o k oraz punktu generycznego odpowiadającego ideałowi zerowemu, a zbiór punktów domkniętych jest homeomorficzny z linią afiniczną k wyposażoną w jej topologię Zariskiego. Z powodu tego homeomorfizmu niektórzy autorzy nazywają linię afiniczną widmem k [ t ]. Jeśli k nie jest algebraicznie domknięte, na przykład ciało liczb rzeczywistych , obraz staje się bardziej skomplikowany z powodu istnienia nieliniowych wielomianów nierozkładalnych. Na przykład widmo ℝ[ t ] składa się z punktów zamkniętych ( x − a ), dla a in ℝ, punktów zamkniętych ( x ² + px + q ) gdzie p , q są w ℝ i z ujemnym wyróżnikiem p ² − 4 q < 0 i wreszcie punkt ogólny (0). Dla dowolnego pola domknięte podzbiory Spec k [ t ] są skończonymi sumami punktów domkniętych i całej przestrzeni. (Jest to wynika z powyższej dyskusji na ciało algebraicznie domknięte Dowód ogólnym przypadku wymaga. Algebrę , a mianowicie fakt, że wymiar Krull z k [ t ] jest jeden - zobacz ideał główny twierdzenie krulla ).

Dalsze właściwości

Najbardziej dramatyczna zmiana w topologii z klasycznego obrazu na nową polega na tym, że punkty niekoniecznie są już zamknięte; rozszerzając definicję, Grothendieck wprowadził punkty generyczne , które są punktami o maksymalnym domknięciu, czyli minimalnych ideałach pierwszych . Zamknięte punkty odpowiadają maksymalnym ideałom A . Jednak widmo i widmo rzutowe są nadal przestrzeniami T ₀ : biorąc pod uwagę dwa punkty P , Q , które są ideałami pierwszymi A , przynajmniej jeden z nich, powiedzmy P , nie zawiera drugiego. Wtedy D ( Q ) zawiera P , ale oczywiście nie Q .

Podobnie jak w klasycznej geometrii algebraicznej, każde widmo lub widmo rzutowe jest (quasi)zwarte, a jeśli dany pierścień jest noetheryjski, to przestrzeń jest przestrzenią noetherską. Jednak te fakty są sprzeczne z intuicją: zwykle nie oczekujemy, że zbiory otwarte, inne niż połączone komponenty , będą zwarte, a w przypadku odmian afinicznych (na przykład przestrzeni euklidesowej) nie oczekujemy nawet, że sama przestrzeń będzie zwarta. Jest to jeden z przykładów geometrycznej nieprzydatności topologii Zariskiego. Grothendieck rozwiązać ten problem poprzez zdefiniowanie pojęcia properness z programu (faktycznie, od morfizmu schematów), który odzyskuje intuicyjną ideę zwartości: Proj jest właściwa, ale nie jest Spec.

Zobacz też

• Przestrzeń spektralna

Cytaty

Bibliografia