Dodanie macierzy - Matrix addition

W matematyce , dodawanie macierzy jest operacja dodawania dwóch macierzy poprzez dodanie odpowiednich wpisów. Istnieją jednak inne operacje, które można również uznać za dodawanie do macierzy, takie jak suma bezpośrednia i suma Kroneckera .

Suma wstępna

Dwie macierze muszą mieć taką samą liczbę wierszy i kolumn, które mają zostać dodane. W takim przypadku suma dwóch macierzy A i B będzie macierzą, która ma taką samą liczbę wierszy i kolumn jak A i B . Suma A i B , oznaczona jako A + B , jest obliczana przez dodanie odpowiednich elementów A i B :

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} & = {\ zacząć {bmatrix} a_ {11} i a_ {12} i \ cdots i a_ {1n} \ \ a_ {21} i a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{wyrównany}}\,\!}

Lub bardziej zwięźle (zakładając, że A + B = C ):

{\ Displaystyle c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij}}

Na przykład:

{\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} 1 i 3 \ \ 1 i 0 \ \ 1 i 2 \ koniec {bmatrix}} + {\ zacznij {bmatrix} 0 i 0 \ \ 7 i 5 \ \ 2 i 1 \ koniec {bmatrix}} = {\ zacznij {bmatrix} 1 +0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmacierz}}={\begin{bmacierz}1&3\\8&5\\3&3\end{bmacierz}}}

Podobnie można również odjąć jedną macierz od drugiej, o ile mają te same wymiary. Różnica między A i B , oznaczona jako A − B , jest obliczana przez odjęcie elementów B od odpowiadających im elementów A i ma takie same wymiary jak A i B . Na przykład:

{\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} 1 i 3 \ \ 1 i 0 \ \ 1 i 2 \ koniec {bmatrix}} - {\ zacznij {bmatrix} 0 i 0 \ \ 7 i 5 \ \ 2 i 1 \ koniec {bmatrix}} = {\ zacznij {bmatrix} 1 -0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatryca}}={\begin{bmacierz}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatryca}}}

Suma bezpośrednia

Inną, rzadziej używaną operacją, jest suma bezpośrednia (oznaczona przez ⊕). Zauważ, że suma Kroneckera jest również oznaczona ⊕; kontekst powinien wyjaśniać użycie. Bezpośrednia suma dowolnej pary macierzy A o rozmiarze m × n i B o rozmiarze p × q jest macierzą o rozmiarze ( m + p ) × ( n + q ) zdefiniowaną jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ zacząć {bmatrix} \ mathbf {A} i {\ pogrubienie {0}} \ \ {\ pogrubienie {0}} i \ mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vpunkty &\ddots &\vpunkty &\vpunkty &\ddots &\vpunkty \\a_ {m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Na przykład,

{\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} 1 i 3 i 2 \ \ 2 i 3 i 1 \ koniec {bmatrix}} \ oplus {\ zacznij {bmatrix} 1 i 6 \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} = {\ zacznij {bmatrix} 1 i 3 i 2 i 0 i 0 \ \ 2 i 3 i 1 i 0 i 0 \ \ 0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\koniec{bmatrycy}}}

Bezpośrednia suma macierzy jest specjalnym rodzajem macierzy blokowej . W szczególności bezpośrednia suma macierzy kwadratowych jest macierzą przekątną blokową .

Macierz sąsiedztwa unii rozłącznych wykresach (lub multigraphs ) jest bezpośrednim suma ich matryc przylegania. Dowolny element sumy prostej dwóch przestrzeni wektorowych macierzy może być reprezentowany jako suma prosta dwóch macierzy.

Ogólnie rzecz biorąc, bezpośrednia suma n macierzy wynosi:

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {A} _ {i} = \ operatorname {diag} (\ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2} ,\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\ cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}

gdzie zera są w rzeczywistości blokami zer (tj. macierzami zerowymi).

Suma Kroneckera

Suma Kroneckera różni się od sumy bezpośredniej, ale jest również oznaczana przez ⊕. Jest ona definiowana za pomocą iloczynu Kroneckera ⊗ i dodawania macierzy normalnych. Jeśli A jest n -by- n , B jest m -by- m i oznacza macierz jednostkową k -by- k , to suma Kroneckera jest zdefiniowana przez: ${\ Displaystyle \ mathbf {ja} _ {k}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {ja} _ {m} + \ mathbf {ja} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}. }

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Zarys algebry liniowej Schauma (6 wyd.). Edukacja McGraw-Hill. Numer ISBN 9781260011449.
Riley, KF; Hobson, poseł; Bence SJ (2006). Metody matematyczne dla fizyki i inżynierii (3 wyd.). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9780511810763 . Numer ISBN 978-0-521-86153-3.

Languages

In other projects