Radix - Radix

W pozycyjnym systemie liczbowym , radix lub podstawa to liczba unikalnych cyfr , w tym cyfry zero, używane do reprezentowania liczb. Na przykład dla systemu dziesiętnego/denarnego (najczęściej używany obecnie system) podstawa (liczba podstawowa) to dziesięć, ponieważ używa dziesięciu cyfr od 0 do 9.

W każdym standardowym systemie liczb pozycyjnych liczba jest konwencjonalnie zapisywana jako ( x ) y z x jako ciągiem cyfr i y jako podstawą, chociaż dla podstawy dziesiątej zwykle przyjmuje się indeks dolny (i pomijany wraz z parą nawiasów ). , ponieważ jest to najczęstszy sposób wyrażania wartości . Na przykład (100) 10 odpowiada 100 (system dziesiętny jest implikowany w drugim) i reprezentuje liczbę sto, podczas gdy (100) 2 (w systemie binarnym o podstawie 2) reprezentuje liczbę cztery.

Etymologia

Radix to łacińskie słowo oznaczające „korzeń”. Korzeń można uznać za synonim podstawy w sensie arytmetycznym.

W systemach liczbowych

Na przykład w systemie o podstawie 13 ciąg cyfr, taki jak 398, oznacza liczbę (dziesiętną) 3 × 13 2 + 9 × 13 1 + 8 × 13 0 = 632.

Bardziej ogólnie, w systemie o podstawie b ( b > 1 ), ciąg cyfr d 1d n oznacza liczbę d 1 b n -1 + d 2 b n -2 + … + d n b 0 , gdzie 0 ≤ d I < b . W przeciwieństwie do dziesiętnego, czyli radix 10, który ma jedynki, dziesiątki, setki itd., radix b miałby jedynkę, a b 1 s, a b 2 s' miejsce itp.

Powszechnie używane systemy liczbowe obejmują:

Podstawa/podstawa Nazwa Opis
2 Binarny system liczbowy Używany wewnętrznie przez prawie wszystkie komputery jest podstawą 2 . Dwie cyfry to „0” i „1”, wyrażone przez przełączniki wyświetlające odpowiednio OFF i ON. Stosowany w większości liczników elektrycznych .
8 System ósemkowy Używany sporadycznie w informatyce. Osiem cyfr to „0”–„7” i reprezentują 3 bity (2 3 ).
10 System dziesiętny Najczęściej używany system liczb na świecie jest używany w arytmetyce. Jego dziesięć cyfr to „0”–„9”. Stosowany w większości liczników mechanicznych .
12 Dwunastkowy (dziesiątkowy) system Czasem zalecany ze względu na podzielność przez 2, 3, 4 i 6. Był tradycyjnie używany jako część ilości wyrażonych w dziesiątkach i brutto .
16 System szesnastkowy Często używany w obliczeniach jako bardziej zwarta reprezentacja binarna (1 cyfra szesnastkowa na 4 bity). Szesnaście cyfr to „0”–„9”, po których następuje „A”–„F” lub „a”–„f”.
20 System Vigesimal Tradycyjny system liczbowy w kilku kulturach, nadal używany przez niektórych do liczenia. Historycznie znany również jako system punktacji w języku angielskim, obecnie najbardziej znany w zwrocie „cztery punkty i siedem lat temu” w przemówieniu gettysburskim .
60 System sześćdziesiętny Pochodzi ze starożytnego Sumeru i przeszedł w ręce Babilończyków . Używany dzisiaj jako podstawa współczesnego kołowego układu współrzędnych (stopnie, minuty i sekundy) oraz pomiaru czasu (minuty i sekundy) przez analogię do obrotu Ziemi.

Systemy ósemkowe i szesnastkowe są często używane w informatyce ze względu na ich łatwość jako skróty dla binarnych. Każda cyfra szesnastkowa odpowiada sekwencji czterech cyfr binarnych, ponieważ szesnaście to czwarta potęga dwójki; na przykład szesnastkowy 78 16 jest binarny 111 1000 2 . Podobnie, każda cyfra ósemkowa odpowiada unikalnej sekwencji trzech cyfr binarnych, ponieważ osiem to sześcian dwóch.

Ta reprezentacja jest wyjątkowa. Niech b będzie dodatnią liczbą całkowitą większą od 1. Wtedy każdą dodatnią liczbę całkowitą a można jednoznacznie wyrazić w postaci

gdzie m jest nieujemną liczbą całkowitą, a r 's są liczbami całkowitymi takimi, że

0 < r m < b i 0 ≤ r i < b dla i = 0, 1, ... , m − 1.

Radices to zazwyczaj liczby naturalne . Możliwe są jednak inne systemy pozycyjne, na przykład podstawa złotego podziału (której podstawa jest niecałkowitą liczbą algebraiczną ) i podstawa ujemna (której podstawa jest ujemna). Ujemna podstawa umożliwia reprezentację liczb ujemnych bez użycia znaku minus. Na przykład niech b = -10. Następnie ciąg cyfr, taki jak 19, oznacza liczbę (dziesiętną) 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki