Subring - Subring

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścienie • Podkolczyki • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy idealny • Pierścień ilorazu całkowitego • Pierścień produktu • Wolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieniowe • Jądro • Automorfizm wewnętrzny • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścionek stopniowany • Ewolucja pierścienia • Kategoria pierścieni • Pierwszy dzwonek ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień niezespolony • Pierścień do kłamstwa • Pierścień Jordan • Semiring • Semifield
Algebra przemienna Pierścienie przemienne • Domena integralna • Domena integralnie zamknięta • Domena GCD • Unikalna dziedzina faktoryzacji • Główna domena idealna • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Algebraiczna teoria liczb • Algebraiczne pole liczbowe • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p -adyczna teoria liczb i ułamki dziesiętne • Bezpośredni limit / Odwrotny limit • Pierścień zerowy ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - pierścień p- koła ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - liczby całkowite p ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • uzasadnienia p -adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Podstawa - p liczby rzeczywiste ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p -adyczne ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adyczny ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Pierścienie nieprzemienne • Pierścień dzielenia • Pierścień półpierwotny • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Wolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v t mi

W matematyce , A podpierścień z R jest podgrupa o pierścień , który sam, kiedy pierścień operacji binarnych dodawania i mnożenia z R są ograniczone do podzbioru i który działa na tej samej tożsamości mnożnikowy jako R . Dla tych, którzy definiują pierścienie bez wymagania istnienia multiplikatywnej tożsamości, podrzędny R jest tylko podzbiorem R, który jest pierścieniem dla operacji R (oznacza to, że zawiera addytywną tożsamość R ). Ta ostatnia daje ściśle słabszy warunek, nawet dla pierścieni, które mają tożsamość multiplikatywną, tak że na przykład wszystkie ideały stają się podrzędami (i mogą mieć tożsamość multiplikatywną różną od tożsamości R ). Z definicją wymagającą multiplikatywnej tożsamości (która jest używana w tym artykule), jedynym ideałem R będącym podrzędem R jest samo R.

Definicja

Podpierścień pierścienia ( R , +, *, 0, 1) jest podzbiorem S z R , który pozwala zachować strukturę pierścienia, to znaczy pierścień ( S +, *, 0, 1) z S ⊆ R . Równoważnie, to jest zarówno podgrupy z ( R +, 0) , a submonoid z ( R *, 1) .

Przykłady

Pierścień i jego ilorazy nie mają podrzędnych (o identyczności multiplikatywnej) innych niż pełny pierścień. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

Każdy pierścień ma unikalny, najmniejszy podrzędny, izomorficzny do jakiegoś pierścienia z n liczbą całkowitą nieujemną (patrz charakterystyka ). Liczby całkowite odpowiadają n = 0 w tej instrukcji, ponieważ jest izomorficzne do . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 0 \ mathbb {Z}}$

Test subring

Test podpierścień jest twierdzenie , które stwierdza, że dla każdego pierścienia R , A podzbiór S z R JeSt podpierścień wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zamknięty pod mnożenia i odejmowania i zawiera zwielokrotniony tożsamości R .

Na przykład, pierścień Z z liczb jest podpierścień w zakresie od liczb rzeczywistych , a także podpierścień z pierścieniem wielomianów Z [ x ].

Pierścienie przedłużające

Jeżeli S jest podpierścień pierścienia R , to jest równoważne R mówi się rozszerzenie pierścienia z S , zapisane jako R / S w podobny notacji że rozszerzenie ciała .

Subring generowany przez zestaw

Niech R będzie pierścieniem. Każdy przecięcia subrings z R jest ponownie podpierścień z R . Dlatego też, jeśli X jest dowolnym podzbiorem R , przecięcia wszystkich subrings z R zawierający X jest podpierścień S z R . S jest najmniejsza podpierścień z R , zawierającego X . ( „Najmniejszym” oznacza, że jeśli T ma innego podpierścień z R zawierający X , a S jest zawarte w T ). S jest uważany za podpierścień z R generowanego przez X . Jeśli S = R, można powiedzieć, że pierścień R jest generowane przez X .

Stosunek do ideałów

Odpowiednie idee są subrings (bez jeden), które są zamknięte na podstawie lewego i prawego przez mnożenie elementów R .

Jeśli pominie się wymóg, zgodnie z którym pierścienie mają element jedności, to podpierścienie muszą być tylko niepuste iw inny sposób pasować do struktury pierścienia, a ideały stają się podrzędami. Ideały mogą, ale nie muszą, mieć swoją własną tożsamość multiplikatywną (różną od tożsamości pierścienia):

• Idealne I = {( z , 0) | zw w Z } pierścienia Z × Z = {( x , y ) | x , y w Z } z dodawaniem i mnożeniem składowym ma tożsamość (1,0), która jest różna od tożsamości (1,1) pierścienia. Tak ja to pierścień z jedności, a „podpierścień-bez-jedności”, ale nie „podpierścień-z-jedność” Z × Z .
• Właściwe ideały Z nie mają multiplikatywnej tożsamości.

Jeśli ja to ideałem przemiennej pierścień B , wówczas przecięcie I z jakimkolwiek podpierścień S do R pozostaje pierwsza w S . W tym przypadku mówi się, że ja leży nad I  ∩  S . Sytuacja jest bardziej skomplikowana, gdy R nie jest przemienna.

Profil za pomocą przemiennych podrzędów

Pierścionek może być profilowany przez różnorodność przemiennych podpierścieni, które zawiera:

• Kwaternion pierścień H zawiera tylko płaszczyźnie zespolonej w postaci płaskiej podpierścień
• Coquaternion pierścień zawiera trzy rodzaje przemiennych płaskich subrings: w liczbie podwójnej samolotem, podzielonego liczbę zespoloną płaszczyzny, jak również zwykłe płaszczyźnie zespolonej
• Pierścień 3 x 3 rzeczywistych matryc zawiera 3-wymiarowych subrings przemienne wygenerowane przez macierz tożsamości i nilpotent ε rzędu 3 (εεε = 0 ≠ εε). Na przykład grupę Heisenberga można zrealizować jako połączenie grup jednostek dwóch z tych generowanych przez nilpotent podrzędów macierzy 3 × 3.

Zobacz też

• Integralne rozszerzenie
• Rozszerzenie grupy
• Rozszerzenie algebraiczne
• Rozszerzenie rudy

Bibliografia

• Iain T. Adamson (1972). Podstawowe pierścienie i moduły . Uniwersyteckie teksty matematyczne. Oliver i Boyd. s. 14–16. ISBN   0-05-002192-3 .
• Strona 84 z Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. Trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN   978-0-201-55540-0 , Zbl   0848.13001
• David Sharpe (1987). Pierścienie i faktoryzacja . Cambridge University Press . s.  15–17 . ISBN   0-521-33718-6 .