Stojaki i kwanty - Racks and quandles

W matematyce , stojaki i kwanty są zbiorami z binarnymi operacjami spełniającymi aksjomaty analogiczne do ruchów Reidemeistera używanych do manipulowania diagramami węzłów .

Chociaż są używane głównie do uzyskania niezmienników węzłów, mogą być postrzegane jako samodzielne konstrukcje algebraiczne . W szczególności definicja kwandy aksjomatyzuje właściwości koniugacji w grupie .

Historia

W 1943 r. Mituhisa Takasaki (高崎光久) wprowadził strukturę algebraiczną, którą nazwał Kei ( which), która później stała się znana jako nieewolwentna kwanda. Jego motywacją było znalezienie nieasocjacyjnej struktury algebraicznej, aby uchwycić pojęcie odbicia w kontekście geometrii skończonej . Pomysł został ponownie odkryty i uogólniony w (niepublikowanej) korespondencji z 1959 r. między Johnem Conwayem a Gavinem Wraithem , którzy w tym czasie byli studentami studiów licencjackich na Uniwersytecie w Cambridge . To tutaj po raz pierwszy pojawiają się współczesne definicje kwandy i stojaków. Wraith zainteresował się tymi strukturami (które początkowo nazwał sekwencjami ) w szkole. Conway przemianował je na ruiny , po części jako gra słów od imienia swojego kolegi, a po części dlatego, że powstają jako pozostałości (lub „wrak i ruina”) grupy, gdy odrzuca się strukturę multiplikatywną i bierze pod uwagę tylko strukturę koniugacyjną . Pisownia „rack” stała się teraz powszechna.

Konstrukcje te pojawiły się ponownie w latach 80.: w artykule Davida Joyce'a z 1982 roku (gdzie ukuto termin quandle ), w artykule Siergieja Matwiejewa z 1982 roku (pod nazwą grupoidy dystrybucyjne ) oraz w referacie konferencyjnym Egberta Brieskorna z 1986 roku (gdzie zostały nazwane zbiorami automorficznymi ). Szczegółowy przegląd stojaków i ich zastosowań w teorii węzłów można znaleźć w pracy Colina Rourke'a i Rogera Fenna .

Regały

Stojak może być zdefiniowany jako zestaw z binarnym pracy takiej, że dla każdego prawo self-rozdzielcze posiada: ${\ Displaystyle \ operatorname {R}}$${\ Displaystyle \ trójkąt w lewo}$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R}}$

${\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo (b \ trójkąt w lewo do) = (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w lewo (a \ trójkąt w lewo do)}$

a dla każdego istnieje coś takiego, że ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} ,}$${\displaystyle c\w \mathrm {R}}$

${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$

Ta definicja, choć zwięzła i powszechnie stosowana, jest nieoptymalna do pewnych celów, ponieważ zawiera kwantyfikator egzystencjalny, który nie jest tak naprawdę konieczny. Aby tego uniknąć, możemy napisać unikatowy tak, że jako Mamy wówczas ${\displaystyle c\w \mathrm {R}}$${\displaystyle a\triangleleft c=b}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a}$

a zatem

${\displaystyle a\triangleleft (b\trianglerighta)=b}$

i

${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$

Stosując ten pomysł, stojak można równoważnie zdefiniować jako zbiór z dwiema operacjami binarnymi i taki, że dla wszystkich${\ Displaystyle \ operatorname {R}}$${\ Displaystyle \ trójkąt w lewo}$${\displaystyle \triangleright}$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}}$

1. ${\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo (b \ trójkąt w lewo do) = (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w lewo (a \ trójkąt w lewo do)}$ (lewe samodzielne prawo)
2. ${\displaystyle (c\trianglerightb)\trianglerighta=(c\trianglerighta)\triangleright (b\trianglerighta)}$ (prawe samodzielne prawo)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Wygodnie jest powiedzieć, że element działa od lewej w wyrażeniu i działa od prawej w wyrażeniu . Trzecie i czwarte aksjomaty zębatki mówią wtedy, że te lewe i prawe działania są odwrotnością siebie. Korzystając z tego, możemy wyeliminować jedną z tych akcji z definicji stojaka. Jeśli wyeliminujemy prawą akcję i zatrzymamy lewą, otrzymamy zwięzłą definicję podaną na początku. ${\displaystyle a\w \mathrm {R}}$${\displaystyle a\triangleleft b}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

W literaturze dotyczącej stojaków i kwantli stosuje się wiele różnych konwencji. Na przykład wielu autorów woli pracować z właściwym działaniem. Ponadto, korzystanie z symboli i bynajmniej nie jest uniwersalne: wielu autorów używać notacji wykładniczej ${\ Displaystyle \ trójkąt w lewo}$${\displaystyle \triangleright}$

${\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo b = {} ^ {a} b}$

i

${\ Displaystyle b \ triangleright a = b ^ {a},}$

podczas gdy wielu innych pisze

${\displaystyle b\triangleright a=b\gwiazda a.}$

Jeszcze inną równoważną definicją stojaka jest to, że jest to zestaw, w którym każdy element działa po lewej i prawej stronie jako automorfizm stojaka, przy czym akcja lewa jest odwrotnością działania prawej. W tej definicji fakt, że każdy element działa jako automorfizm, koduje lewe i prawe prawo samodzielności, a także te prawa:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a \ trójkąt w lewo (b \ trójkąt w prawo c) & = (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w prawo (a \ \ trójkąt w lewo c) \ \ (c \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w prawo a & = (c \ triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$

które są konsekwencją definicji podanych wcześniej.

Quandles

Quandle jest zdefiniowany jako stojaka, takie, że dla wszystkich${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$${\displaystyle a\w \mathrm {Q}}$

${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$

lub równoważnie

${\displaystyle a\triangleright a=a.}$

Przykłady i zastosowania

Każda grupa podaje kwartę, w której operacje pochodzą z koniugacji:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a \ triangleleft b & = a ^ {-1} \ \ b \ trójkąta a & = a ^ {-1} ba \ \ & = a ^ {-1} \ triangleleft b \ koniec { wyrównane}}}$

W rzeczywistości każde prawo równania spełnione przez koniugację w grupie wynika z aksjomatów kwantowych. Można więc myśleć o kwardle jako o tym, co pozostaje z grupy, gdy zapominamy o mnożeniu, tożsamości i odwrotnościach i pamiętamy tylko operację koniugacji.

Każdy oswojony węzeł w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ma „fundamentalną kwandę”. Aby to zdefiniować, można zauważyć, że podstawowa grupa dopełnienia węzła lub grupa węzłów ma prezentację ( prezentację Wirtingera ), w której relacje dotyczą tylko koniugacji. Tak więc ta prezentacja może być również wykorzystana jako prezentacja kwandy. Podstawowym kwantą jest bardzo potężny niezmiennik węzłów. W szczególności, jeśli dwa węzły mają izomorficzne kwardle podstawowe, to istnieje homeomorfizm trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, który może być odwróceniem orientacji , przenosząc jeden węzeł do drugiego.

Mniej potężne, ale łatwiej obliczalne niezmienniki węzłów można uzyskać przez zliczanie homomorfizmów od kwandy węzła do ustalonej kwandy Ponieważ prezentacja Wirtingera ma jeden generator dla każdej nici na diagramie węzła , niezmienniki te można obliczyć przez zliczanie sposobów oznaczania każdego pasmo przez element podlega pewnym ograniczeniom. Bardziej wyrafinowane niezmienniki tego rodzaju można skonstruować za pomocą kohomologii kwantowej . ${\displaystyle \mathrm {Q}.}$${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$

Kwandy Aleksandra są również ważne, ponieważ można ich użyć do obliczenia wielomianu Aleksandra węzła. Niechbyć modułem nad pierścieniemz wielomianów Laurent w jednej zmiennej. Wtedy Aleksander quandle jestwykonany w quandle lewym działania podanego przez ${\ Displaystyle \ operatorname {A}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [t, t ^ {-1}]}$${\ Displaystyle \ operatorname {A}}$

${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$

Regały są użytecznym uogólnieniem kwanty w topologii, ponieważ podczas gdy kwanty mogą reprezentować węzły na okrągłym obiekcie liniowym (takim jak lina lub nić), listwy mogą reprezentować wstążki, które mogą być zarówno skręcone, jak i zawiązane.

Quandle mówi się involutory jeśli dla wszystkich${\displaystyle \mathrm {Q}}$${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q},}$

${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$

lub równoważnie,

${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$

Każda symetryczna przestrzeń tworzy mimowolną kwandę, gdzie jest wynikiem „odbicia przez ”. ${\displaystyle a\trójkąt w lewo b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

Zobacz też

• Biracki i bikwandy
• Stół kadziowy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Knot Quandaries Quelled by Quandles - licencjackie wprowadzenie do quandles i innych niezmienników węzłów
• Badanie pomysłów Quandle autorstwa Scotta Cartera
• Niezmienniki węzła pochodzące z Quandles i Racks autorstwa Seiichi Kamada
• Półki, Regały, Wrzeciona i Wrzeciona , s. 56 Lie 2-Algebras autorstwa Alissa Crans
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle