Teoria niezmiennicza - Invariant theory

Teoria niezmienna jest gałęzią algebry abstrakcyjnej czynienia z działaniami z grup o algebraicznych odmian , takich jak przestrzenie wektorowe, z punktu widzenia ich wpływu na funkcje. Klasycznie teoria zajmowała się kwestią jednoznacznego opisu funkcji wielomianowych , które nie zmieniają się lub są niezmienne pod wpływem przekształceń z danej grupy liniowej . Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę działanie specjalnej grupy liniowej SL _n na przestrzeni macierzy n przez n przez mnożenie od lewej, to wyznacznik jest niezmiennikiem tego działania, ponieważ wyznacznik AX jest równy wyznacznikowi X , gdy A jest w SL _n .

Wstęp

Pozwolić być grupa i skończone-wymiarowej przestrzeni wektorów na polu (która w klasycznej teorii stałych był zazwyczaj przyjmuje się liczbami zespolonymi ). Przedstawienie z IN jest homomorfizm grupę , która wywołuje działanie grupy o o . Jeżeli jest przestrzenią funkcji wielomianowych on , to akcja grupowa on wywołuje działanie on według następującego wzoru: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ pi : G \ do GL (V)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$

${\ Displaystyle (g \ cdot f) (x): = f (g ^ {-1} (x)) \ qquad \ forall x \ w V, g \ w g, f \ w k [V].}$

Przy tym działaniu naturalne jest uwzględnienie podprzestrzeni wszystkich funkcji wielomianowych, które są niezmiennicze w ramach tego działania grupowego, czyli zbioru wielomianów takiego, że dla wszystkich . Ta przestrzeń niezmienniczych wielomianów jest oznaczona . ${\displaystyle g\cdot f=f}$${\ Displaystyle g \ w G}$${\ Displaystyle k [V] ^ {G}}$

Pierwszym problemem teorii niezmienny : Czy skończenie generowane algebra nad ? ${\ Displaystyle k [V] ^ {G}}$${\displaystyle k}$

Na przykład, jeśli i przestrzeń macierzy kwadratowych oraz działanie on jest dana przez mnożenie od lewej, to jest izomorficzna do algebry wielomianowej w jednej zmiennej, generowanej przez wyznacznik. Innymi słowy, w tym przypadku każdy wielomian niezmienniczy jest kombinacją liniową potęg wielomianu determinującego. Czyli w tym przypadku jest skończenie generowane nad . ${\ Displaystyle G = SL_ {n}}$${\ Displaystyle V = M_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle k [V] ^ {G}}$${\ Displaystyle k [V] ^ {G}}$${\displaystyle k}$

Jeśli odpowiedź brzmi tak, to kolejnym pytaniem jest znalezienie minimalnej bazy i pytanie, czy moduł relacji wielomianowych między elementami bazy (znany jako syzygies ) jest skończenie generowany nad . ${\displaystyle k[V]}$

Niezmiennicza teoria grup skończonych ma bliskie związki z teorią Galois . Jednym z pierwszych ważnych wyników było główne twierdzenie o funkcjach symetrycznych opisujące niezmienniki grupy symetrycznej działającej na pierścień wielomianowy ] przez permutacje zmiennych. Bardziej ogólnie, twierdzenie Chevalleya-Shepharda-Todda charakteryzuje grupy skończone, których algebra niezmienników jest pierścieniem wielomianowym. Współczesne badania nad niezmienniczą teorią grup skończonych kładą nacisk na wyniki „skuteczne”, takie jak wyraźne ograniczenia stopni generatorów. Przypadek charakterystyki pozytywnej , bliski ideologicznie modułowej teorii reprezentacji , jest obszarem aktywnych badań, powiązanym z topologią algebraiczną . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots,x_{n}}$

Niezmiennicza teoria grup nieskończonych jest nierozerwalnie związana z rozwojem algebry liniowej , zwłaszcza teorii form kwadratowych i wyznaczników . Innym tematem o silnym wzajemnym oddziaływaniu była geometria rzutowa , w której oczekiwano, że teoria niezmiennicza odegra główną rolę w organizowaniu materiału. Jednym z najważniejszych punktów tej relacji jest metoda symboliczna . Teoria reprezentacji półprostych grup Liego ma swoje korzenie w teorii niezmienniczej.

Praca Davida Hilberta nad kwestią skończonego generowania algebry niezmienników (1890) zaowocowała stworzeniem nowej dyscypliny matematycznej, algebry abstrakcyjnej. Późniejszy artykuł Hilberta (1893) zajmował się tymi samymi pytaniami w bardziej konstruktywny i geometryczny sposób, ale pozostawał praktycznie nieznany, dopóki David Mumford nie przywrócił tych idei do życia w latach 60., w znacznie bardziej ogólnej i nowoczesnej formie, w swoim geometrycznym niezmienniku. teoria . W dużej mierze ze względu na wpływ Mumforda, przedmiot teorii niezmienniczej jest postrzegany jako obejmujący teorię działań liniowych grup algebraicznych na rozmaitości afiniczne i rzutowe . Odrębny nurt teorii niezmienniczej, sięgający klasycznych metod konstruktywnych i kombinatorycznych z XIX wieku, został opracowany przez Gian-Carlo Rotę i jego szkołę. Wybitnym przykładem tego kręgu idei jest teoria standardowych jednomianów .

Przykłady

Proste przykłady teorii niezmienniczej pochodzą z obliczania jednomianów niezmienniczych z działania grupowego. Rozważmy na przykład -akcję przy wysyłaniu ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x \ mapsto -x i y \ mapsto -y \ koniec {wyrównany}}}$

Następnie, ponieważ są jednomiany najniższego stopnia, które są niezmiennicze, mamy to ${\ Displaystyle x ^ {2}, xy, y ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] ^ {\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}} \ cong \ mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] \cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Ten przykład stanowi podstawę do wykonywania wielu obliczeń.

XIX-wieczne początki

Cayley po raz pierwszy ustalił teorię niezmienniczą w swojej „O teorii przekształceń liniowych (1845)”. Na początku swojej pracy Cayley przypisuje artykuł George'a Boole'a z 1841 roku: „dochodzenia zasugerował mi bardzo elegancki artykuł na ten sam temat... autorstwa pana Boole'a”. (Artykuł Boole'a był Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Klasycznie, termin „niezmienne teorii” odnosi się do badania niezmienniczych postaci algebraicznej (równoważnie symetryczne tensory ) do działania z przekształceń liniowych . Był to główny kierunek studiów w drugiej połowie XIX wieku. W tym obszarze zakorzenione są aktualne teorie dotyczące grupy symetrycznej i funkcji symetrycznych , algebry przemiennej , przestrzeni moduli i reprezentacji grup Liego .

Bardziej szczegółowo, mając skończenie wymiarową przestrzeń wektorową V wymiaru n , możemy rozważyć algebrę symetryczną S ( S ^r ( V )) wielomianów stopnia r nad V , oraz działanie na nią GL( V ). W rzeczywistości dokładniejsze jest rozważenie względnych niezmienników GL( V ) lub reprezentacji SL( V ), jeśli będziemy mówić o niezmiennikach : to dlatego, że skalarna wielokrotność identyczności będzie działać na tensor rangi r w S( V ) przez „wagę” r- tej potęgi skalara. Chodzi zatem o zdefiniowanie podalgebry niezmienników I ( S ^r ( V )) dla działania. W języku klasycznym patrzymy na niezmienniki n -arnych r -ic, gdzie n jest wymiarem  V . (To nie to samo, co znajdowanie niezmienników GL( V ) na S( V ); jest to nieciekawy problem, ponieważ jedynymi takimi niezmiennikami są stałe.) Najbardziej badanym przypadkiem były niezmienniki form binarnych, gdzie n  = 2.

Inne prace obejmowały prace Felixa Kleina przy obliczaniu niezmienniczych pierścieni o skończonych działaniach grup na ( dwójkowe grupy wielościenne , sklasyfikowane według klasyfikacji ADE ); są to pierścienie współrzędnych osobliwości du Val . ${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {2}}$

Praca Davida Hilberta , udowadniająca, że I ( V ) była w wielu przypadkach skończona, niemal położyła kres klasycznej teorii niezmienniczej na kilkadziesiąt lat, choć klasyczna epoka w tym temacie trwała do ostatnich publikacji Alfreda Younga , ponad 50 lata później. Jawne obliczenia dla określonych celów są znane w czasach nowożytnych (np. Shioda z binarną oktawiką).

Twierdzenia Hilberta

Hilberta (1890) okazało się, że jeśli V jest przedstawienie skończone przestrzennej złożonej algebraicznej grupy G = SL _n ( C ), wówczas pierścień invarianty z G działającego na pierścień wielomianów R = S ( V ) jest skończoną wygenerowany. Jego dowód użył operatora Reynoldsa ρ od R do R ^G z właściwościami

• ρ (1) = 1
• ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) gdy a jest niezmiennikiem.

Hilbert skonstruował operator Reynoldsa wyraźnie, używając procesu omega Cayleya Ω, chociaż obecnie bardziej powszechne jest konstruowanie ρ pośrednio w następujący sposób: dla grup zwartych G , operator Reynoldsa jest podany przez wzięcie średniej przez G , a niezwarte grupy redukcyjne mogą być zredukowane do przypadku grup zwartych przy użyciu unitarnej sztuczki Weyla .

Mając operator Reynoldsa, twierdzenie Hilberta jest udowodnione w następujący sposób. Pierścień R jest pierścieniem wielomianowym, więc jest stopniowany w stopniach, a ideał I jest zdefiniowany jako ideał generowany przez jednorodne niezmienniki dodatnich stopni. Według twierdzenia Hilberta ideał I jest skończony (jako ideał). Stąd I jest skończenie generowany przez skończenie wiele niezmienników G (ponieważ jeśli otrzymamy dowolny – być może nieskończony – podzbiór S, który generuje skończenie wygenerowany ideał I , to I jest już generowany przez jakiś skończony podzbiór S ). Niech i ₁ ,..., i _n będzie skończonym zbiorem niezmienników G generującego I (jako ideał). Kluczową ideą jest pokazanie, że generują one pierścień R ^G niezmienników. Załóżmy, że x jest pewnym jednorodnym niezmiennikiem stopnia d  > 0. Wtedy

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

jakiegoś a _j w pierścieniu R , ponieważ x jest w idealnym I . Możemy założyć, że a _j jest jednorodne stopnia d − deg i _j dla każdego j (w przeciwnym razie zastępujemy a _j jego jednorodną składową stopnia d − deg i _j ; jeśli zrobimy to dla każdego j , równanie x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n pozostaną ważne). Teraz stosując operator Reynoldsa do x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n daje

x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

Pokażemy teraz, że x leży w R- algebrze wygenerowanej przez i ₁ ,..., i _n .

Najpierw zróbmy to w przypadku, gdy wszystkie elementy ρ( a _k ) mają stopień mniejszy niż d . W tym przypadku wszystkie są w R -algebrze generowanej przez i ₁ ,..., i _n (przez nasze założenie indukcyjne). Dlatego też, x jest w tym R -algebrze (od x = ρ ( ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( _n ) i _N ).

W ogólnym przypadku nie możemy być pewni, że wszystkie elementy ρ( a _k ) mają stopień mniejszy niż d . Ale możemy zastąpić każde ρ( a _k ) jego jednorodną składową stopnia d − deg i _j . W rezultacie te zmodyfikowane ρ( a _k ) są nadal G -niezmiennikami (ponieważ każdy jednorodny składnik G -niezmiennicza jest G -niezmiennikiem) i mają stopień mniejszy niż d (ponieważ deg i _k > 0). Równanie x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n nadal obowiązuje dla naszego zmodyfikowanego ρ( a _k ), więc możemy ponownie wywnioskować, że x leży w R -algebrze wygenerowanej przez i ₁ ,..., i _n .

Stąd, przez indukcję na stopniu, wszystkie elementy R ^G są w R -algebrze generowanej przez i ₁ ,..., i _n .

Geometryczna teoria niezmiennicza

Współczesne sformułowanie geometrycznej teorii niezmienniczej jest dziełem Davida Mumforda i kładzie nacisk na konstrukcję ilorazu przez działanie grupowe, które powinno uchwycić niezmienną informację poprzez swój pierścień współrzędnych. Jest to subtelna teoria, w której sukces uzyskuje się poprzez wykluczenie niektórych „złych” orbit i utożsamianie innych z „dobrymi” orbitami. W odrębnym opracowaniu zrehabilitowano symboliczną metodę teorii niezmienniczej , pozornie heurystyczną notację kombinatoryjną.

Jedną z motywacji było skonstruowanie przestrzeni moduli w geometrii algebraicznej jako ilorazów schematów parametryzujących oznaczone obiekty. W latach 70. i 80. teoria ta rozwinęła interakcje z geometrią symplektyczną i topologią ekwiwariantną i została wykorzystana do konstruowania przestrzeni moduli obiektów w geometrii różniczkowej , takich jak instantony i monopole .

Zobacz też

• Twierdzenie Grama
• teoria reprezentacji grup skończonych
• Seria Molien
• niezmiennik (matematyka)
• Niezmiennik postaci binarnej
• Pierwsze i drugie podstawowe twierdzenie teorii niezmienniczej

Bibliografia

• Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1970), „Teoria niezmiennicza, stare i nowe”, Postępy w matematyce , 4 : 1-80, doi : 10.1016/0001-8708(70) 90015-0 , ISSN  0001-8708 , MR  0255525Przedrukowany jako Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1971), "Teoria niezmiennicza, stare i nowe", Postępy w matematyce , Boston, MA: Academic Press , 4 : 1-80, doi : 10.1016/0001-8708(70) 90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, MR  0279102
• Dolgachev, Igor (2003), Wykłady z teorii niezmienniczej , London Mathematical Society Lecture Note Series, 296 , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615436 , ISBN 978-0-521-52548-0, MR  2004511
• Łaska JH; Young, Alfred (1903), Algebra niezmienników , Cambridge: Cambridge University Press
• Grosshans, Frank D. (1997), Algebraiczne przestrzenie jednorodne i teoria niezmiennicza , New York: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Kung, Józef PS; Rota, Gian-Carlo (1984), „niezmiennicza teoria form binarnych” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , Nowa seria, 10 (1): 27-85, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904 , MR  0722856
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen" , Mathematische Annalen , 36 (4): 473-534, doi : 10.1007/BF01208503 , ISSN  0025-5831
• Hilbert, D. (1893), „Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariantensysteme)” , Matematyka. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007/BF01444162
• Neusel, Mara D.; Smith, Larry (2002), niezmiennicza teoria grup skończonych , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 Najnowsze źródło wiedzy o modułowych niezmiennikach grup skończonych.
• Olver, Peter J. (1999), Klasyczna teoria niezmiennicza , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2Wprowadzenie na poziomie licencjackim do klasycznej teorii niezmienników form binarnych, w tym procesu Omega od strony 87.
• Popov, VL (2001) [1994], "Niezmienniki, teoria" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Springer, TA (1977), teoria niezmiennicza , New York: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Starsza, ale wciąż przydatna ankieta.
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorytmy w teorii niezmiennej , New York: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Piękne wprowadzenie do teorii niezmienników grup skończonych i technik ich obliczania z wykorzystaniem baz Gröbnera.
• Weyl, Hermann (1939), Grupy klasyczne. Ich niezmienniki i reprezentacje , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255
• Weyl, Hermann (1939b), „Niezmienniki” , Książę Matematyczny Journal , 5 (3): 489-502, doi : 10.1215/S0012-7094-39-00540-5 , ISSN  0012-7094 , MR  0000030

Zewnętrzne linki

• H. Kraft, C. Procesi, Klasyczna teoria niezmiennicza , elementarz
• VL Popov, EB Vinberg, „Teoria niezmiennicza”, w geometrii algebraicznej . IV. Encyklopedia nauk matematycznych, 55 (przekład z wydania rosyjskiego z 1989 r.) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi+284 s.; ISBN  3-540- 54682-0