Całkowity pierścień ułamków - Total ring of fractions

W abstrakcyjnej Algebra , w całości pierścienia iloraz lub całkowitej pierścienia frakcji , jest konstrukcją, która jest uogólnieniem pojęcia w dziedzinie frakcji o o integralną domeny do pierścień przemienny R , które mogą mieć dzielnik zera . Konstrukcja osadza R w większym pierścieniu, dając każdemu niezerowemu dzielnikowi R odwrotność w większym pierścieniu. Jeśli homomorfizm od R do nowego pierścienia ma być iniekcyjny, żadne dalsze elementy nie mogą mieć odwrotności.

Definicja

Niech będzie pierścieniem przemiennym i niech będzie zbiorem elementów, które nie są zerowymi dzielnikami ; to jest multiplikatywnie zamknięty zbiór . Stąd możemy zlokalizować pierścień na zbiorze, aby otrzymać całkowity iloraz pierścienia . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$

Jeśli jest dziedziną , to pierścień ilorazu całkowitego jest taki sam jak pole ułamków. To uzasadnia notację , która jest czasami używana również dla pola ułamków, ponieważ nie ma niejednoznaczności w przypadku dziedziny. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S = R - \ {0 \}}$${\ Displaystyle Q (R)}$

Ponieważ w konstrukcji nie ma żadnych dzielników zerowych, mapa naturalna jest iniekcyjna, więc całkowity pierścień ilorazu jest rozszerzeniem . ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle R \ do Q (R)}$${\ displaystyle R}$

Przykłady

• Dla pierścienia iloczynowego A × B , całkowity iloraz pierścienia Q ( A × B ) jest iloczynem wszystkich pierścieni ilorazowych Q ( A ) × Q ( B ) . W szczególności, jeśli A i B są domenami całkowitymi, jest to iloczyn pól ilorazowych.

• Dla pierścienia funkcji holomorficznych na otwartym zbiorze D liczb zespolonych, pierścień całkowitego ilorazu jest pierścieniem funkcji meromorficznych na D , nawet jeśli D nie jest połączony.

• W pierścieniu artyńskim wszystkie elementy są jednostkami lub zerowymi dzielnikami. Stąd zbiór niezerowych dzielników to grupa jednostek pierścienia , i tak . Ale ponieważ wszystkie te elementy mają już odwrotności, . ${\ displaystyle R ^ {\ razy}}$${\ Displaystyle Q (R) = (R ^ {\ razy}) ^ {- 1} R}$${\ Displaystyle Q (R) = R}$

• W przemiennym regularnym pierścieniu R von Neumanna dzieje się to samo. Załóżmy, w R nie jest zerem dzielnik. Następnie w regularnym pierścieniu von Neumanna a  =  axa dla jakiegoś x w R , dając równanie a ( xa  - 1) = 0. Ponieważ a nie jest dzielnikiem zera, xa  = 1, pokazując a jest jednostką. Tutaj ponownie . ${\ Displaystyle Q (R) = R}$

• W geometrii algebraicznej rozważa się snop pierścieni ilorazowych na schemacie i można to wykorzystać do podania jednej możliwej definicji dzielnika Cartiera .

Całkowity pierścień frakcji zredukowanego pierścienia

Jest ważny fakt:

Dowód: każdy element Q ( A ) jest albo jednostką, albo zerodivisorem. Zatem każdy właściwy ideał I z Q ( A ) musi składać się z zerodivisorów. Ponieważ zbiór zerodivisorów Q ( A ) jest sumą minimalnych ideałów pierwszych, ponieważ Q ( A ) jest zredukowana , przez unikanie liczby pierwszej , ja muszę być zawarty w niektórych . Stąd ideały są maksymalnymi ideałami Q ( A ), których punkt przecięcia wynosi zero. Tak więc, zgodnie z chińskim twierdzeniem o resztach zastosowanym do Q ( A ), mamy: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} P (A)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} P (A)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} P (A)}$

${\ Displaystyle Q (A) \ simeq \ prod _ {i} P (a) / {\ mathfrak {p}} _ {i} P (a)}$ .

Na koniec, jest pole pozostałość z . Rzeczywiście, pisząc S dla multiplikatywnie zamkniętego zbioru niezerowych dzielników, przez dokładność lokalizacji, ${\ Displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

${\ Displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A) = A [S ^ {- 1}] / {\ mathfrak {p}} _ {i} A [S ^ { -1}] = (A / {\ mathfrak {p}} _ {i}) [S ^ {- 1}]}$ ,

która już jest polem i tak musi być . ${\ Displaystyle Q (A / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Uogólnienie

Jeśli jest przemienne pierścienia i jakikolwiek multiplikatywnie domknięty w The lokalizacja może nadal być wykonana, ale homomorfizm pierścień z do może nie być pomocą wstrzyknięć. Na przykład, jeśli , to jest trywialny pierścień. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle 0 \ in S}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$

Cytaty

Bibliografia

• Matsumura, Hideyuki (1980), algebra przemienna
• Matsumura, Hideyuki (1989), teoria pierścienia przemiennego