quaternion - Quaternion


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
quaternion mnożenie
× 1 ja jot k
1 1 ja jot k
ja ja -1 k - j
jot jot - k -1 ja
k k jot - I -1

W matematyce , że kwaterniony to system liczbowy , który rozciąga się na liczbach zespolonych . Zostały one po raz pierwszy opisany przez irlandzki matematyk William Rowan Hamilton w 1843 roku i stosowane do mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej . Cechą charakterystyczną jest to, że quaternions mnożenie dwóch kwaterniony jest nieprzemienna . Hamilton kwaternion zdefiniowany jako iloraz dwóch skierowanych linii w przestrzeni trójwymiarowej lub równoważnie jako iloraz dwóch wektorów .

Kwaterniony są zazwyczaj przedstawiane w postaci:

gdzie , b , c i d są liczbami rzeczywistymi, a I , J i K są podstawowymi jednostkami kwaternionowej .

Quaternions znaleźć zastosowanie zarówno w czystych i matematyki stosowanej , w szczególności dla obliczeń związanych obrotów trójwymiarowych takich jak w trójwymiarowej grafiki komputerowej , wizji komputerowej i tekstury krystalograficznej analizy. W praktycznych zastosowaniach, to można je stosować razem z innymi metodami, takimi jak kątów Eulera i matryc obrotowych , lub jako alternatywa do nich, w zależności od zastosowania.

We współczesnym języku matematycznym, kwaterniony tworzą cztero- wymiarową asocjacyjną unormowane podział algebry nad liczb rzeczywistych , a zatem również domeny . W rzeczywistości, jako pierwsze kwaterniony nieprzemienna podział Algebra odkrycie. Algebra z quaternions często oznaczane H (dla Hamilton ), lub w tablicy pogrubiony przez ( Unicode U + 210D, ℍ). Można ją również podawać przez Clifford Algebra klasyfikacje C £ -l 0,2 ( ) ≅ C £ -l 0 3,0 ( ) . Algebra posiada szczególne miejsce w analizie, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobenius , to jest jeden z dwóch skończonych wymiarowe pierścieni podziału zawierających liczb rzeczywistych jako właściwy podpierścień , druga jest liczbami zespolonymi. Pierścienie te są również euklidesowe algebry Hurwitz , z których kwaterniony są największym asocjacyjne algebra . Dalsze rozszerzenie quaternions daje w wyniku nie-asocjatywnym octonions , który jest ostatnim Normed Algebra podział przestrzeni liczb rzeczywistych (wydłużenie o octonions, sedenions ma dzielnik zera , a więc nie może być normalizowane podział Algebra).

W kwaterniony jednostkowe mogą być traktowane jako wybór struktury grupy o 3 sfery S 3 , która daje grupę wirówki (3) , który jest izomorficzny su (2) , a także do uniwersalnego pokrywy w SO (3) .

Graficzne przedstawienie produktów jednostek kwaternionowej o 90 ° -rotations w płaszczyznach 4D przestrzeni objętej przez dwa {1, i , j , k }. W lewej czynnikiem może być traktowany jako obracana przez prawo. Na przykład:
w kolorze niebieskim: 1 / I -plane: 1 ⋅  I  =  I , I / k -plane: I  ⋅  j  =  k
w czerwonym : 1 / j -plane: 1 ⋅  j  =  j , j / k -plane: j  ⋅  I  = - k

Historia

Quaternion tablica na Brougham (Broom) Most , Dublin , który mówi:

Oto jak mijał
w dniu 16 października 1843 roku
Sir William Rowan Hamilton
w błysku geniuszu odkrył
podstawową formułę
kwaternionów mnożenia
i 2 = j 2 = k 2 = IJK = -1
i przeciąć go na kamieniu z tego mostu

Quaternions zostały wprowadzone przez Hamiltona w 1843 ważnych prekursorów tego Prace obejmowały tożsamość Eulera cztery-kwadrat (1748) oraz Olinde Rodrigues ' parametryzację ogólnych obrotów za pomocą czterech parametrów (1840), ale żadna z tych pisarzy traktowany obroty czterech parametrów jako algebra. Carl Friedrich Gauss miał również odkrył quaternions w 1819 roku, ale ta praca nie została opublikowana aż do 1900 roku.

Hamilton wiedział, że liczby zespolone mogą być interpretowane jako punkty na płaszczyźnie , i szukał sposobu, aby zrobić to samo dla punktów w trójwymiarowej przestrzeni . Punkty w przestrzeni może być reprezentowane przez ich współrzędne, które są trójki liczb, a przez wiele lat wiedział, jak dodawać i odejmować trójek liczb. Jednak Hamilton został zatrzymany na problemie mnożenia i dzielenia przez długi czas. Nie mógł dowiedzieć się, jak obliczyć iloraz współrzędnych dwóch punktów w przestrzeni.

Wielki przełom w kwaterniony końcu przyszedł w poniedziałek 16 października 1843 w Dublinie , kiedy Hamilton był w drodze do Royal Irish Academy , gdzie miał zamiar przewodniczyć posiedzeniu rady. Idąc wzdłuż ścieżki holowniczej z Kanałem Królewskim z żoną, pojęcia za kwaterniony brali kształt w jego umyśle. Kiedy odpowiedź na niego dotarło, Hamilton nie mógł oprzeć się pokusie, aby wyrzeźbić wzór na kwaterniony,

w kamieniu Brougham mostu jak zatrzymał się na nim. Mimo, że od tamtej pory rzeźba zniknęła nastąpił coroczna pielgrzymka od 1989 roku nazywa się Hamilton Spacer dla naukowców i matematyków, którzy chodzą od Dunsink Obserwatorium mostu Royal Canal na pamiątkę odkrycia Hamiltona.

Następnego dnia, Hamilton napisał list do swojego przyjaciela i kolegi matematyka Johna T. Graves, opisując tok myślenia, który doprowadził do jego odkrycia. List ten został później opublikowany w liście do czasopisma naukowego; Hamilton stwierdza:

I tu mnie olśniło pogląd, że musimy przyznać, że w pewnym sensie, czwarty wymiar przestrzeni dla celów obliczenia z trójek ... Obwód elektryczny wydawało się zamknąć, a iskra błysnęła dalej.

Hamilton nazywany Czteroosobowy z tymi zasadami mnożenia kwaternionów i poświęcił większość resztę swego życia na studiowanie i ich nauczaniu. Leczenie Hamiltona jest bardziej geometryczny niż nowoczesne podejście, które podkreśla kwaterniony algebraiczne właściwości. Założył szkołę „quaternionists” i starał się popularyzować quaternions w kilku książkach. Ostatnim i najdłuższy z jego książek, Elementy kwaterniony , wynosiła 800 stron; został stworzony przez jego syna i opublikowane wkrótce po jego śmierci.

Po śmierci Hamiltona, jego uczeń Peter Tait kontynuuje promowanie quaternions. W tym czasie, kwaterniony były obowiązkowe temat badania w Dublinie. Tematy w fizyce i geometrii, które teraz opisany za pomocą wektorów, takich jak kinematyki w przestrzeni i równaniami Maxwella , zostały opisane w całości w kategoriach kwaterniony. Nie było nawet profesjonalnym stowarzyszeniem badań naukowych, Kwaterniony Society , poświęcone badaniu kwaterniony i innych hypercomplex liczba systemów.

Od połowy 1880 roku, kwaterniony zaczął być wypierany przez analizy wektorowej , który został opracowany przez Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside i Hermanna von Helmholtza . Analiza wektorowa opisano te same zjawiska jako kwaterniony, więc pożyczyłem kilka pomysłów i terminologię obficie z literatury kwaterniony. Jednakże analiza wektor był koncepcyjnie prostsze i notationally czystsze i ostatecznie kwaterniony zostały przesunięte na niewielką rolę w matematyce i fizyce . Skutkiem ubocznym tej transformacji jest to, że praca Hamiltona jest trudne do zrozumienia dla wielu współczesnych czytelników. Oryginalne definicje Hamiltona są nieznane, a jego styl pisania był rozwlekły i trudny do zrozumienia.

Jednak kwaterniony mieli ożywienie od końca 20 wieku, głównie ze względu na ich użyteczność w opisywaniu obrotów przestrzennych . Reprezentacje obrotów przez kwaterniony są bardziej zwarte i szybciej obliczyć niż reprezentacjami matryce. Ponadto, w przeciwieństwie do kątów Eulera , nie są podatne na „ kardanowego zamka ”. Z tego powodu, kwaterniony są stosowane w grafice komputerowej , wizji komputerowej , robotyki , teorii sterowania , przetwarzania sygnałów , kontrola postawy , fizyki , bioinformatyki , dynamiki molekularnej , symulacji komputerowych oraz mechaniki orbitalnej . Na przykład, to jest wspólne dla kontroli postawy systemów kosmicznych być nakazane pod względem kwaterniony. Quaternions otrzymali kolejny zastrzyk z teorii liczb ze względu na ich relacje z form kwadratowych .

Quaternions w fizyce

PR Girarda esej Grupa quaternion i nowoczesna fizyka omawia pewne role kwaterniony w fizyce. To „pokazuje, w jaki sposób różne fizyczne kowariancji grupy SO (3) grupę Lorentz ogólnej grupy względność Clifford Algebra su (2), a grupa dopasowaną mogą być łatwo związane z grupy kwaternionów ” w nowoczesnych Algebra . Girard rozpoczął od omówienia reprezentacji grup i reprezentując pewne grupy kosmicznych z krystalografii . Zaczął kinematyki z ciała sztywnego ruchu. Następny używał złożonych kwaterniony ( biquaternions ) do reprezentowania Grupa Lorentza w szczególnej teorii względności, w tym precesji Thomasa . Przytoczył pięciu autorów, począwszy Ludwik Silberstein , którzy wykorzystali potencjał funkcji jednej zmiennej kwaternionów wyrazić równań Maxwella w jednym równania różniczkowego . Dotyczące ogólnej teorii względności, wyraził wektor Runge-Lenz . Wspomniał o biquaternions Clifford ( splitowe biquaternions ) jako przykład Clifford algebry . Wreszcie, powołując się odwrotność biquaternion, Girard opisane CONFORMAL mapy na czasoprzestrzeni . Wśród odniesień pięćdziesięciu, Girard zawarte Alexander Macfarlane i jego Bulletin z quaternion Society . W 1999 roku pokazał, jak równania Einsteina ogólnej teorii względności mogą być formułowane w algebry Clifforda, który jest bezpośrednio związany z kwaterniony.

Stwierdzenie, 1924, że w mechanice kwantowej wirowania elektronu i innych cząstek masy (zwanej spinors ) może być opisana za pomocą quaternions wzmocniona zainteresowania; kwaterniony pomogła zrozumieć, jak obroty elektronów o 360 ° można odróżnić od tych, o 720 ° (zwanej dalej „ Plate Trick ”). Począwszy od 2018 roku, ich stosowanie nie wyprzedziła grup rotacyjnych .

Definicja

Kwaternion to ekspresja w postaci

gdzie , b , c , dliczbami rzeczywistymi , a I , J , K , są symbole , które mogą być interpretowane jako jednostek wektory kierujące wzdłuż trzech osi przestrzennych. W praktyce, jeśli jeden z , b , c , d jest 0, odpowiadający termin jest pominięta; Jeśli , b , c , d są zero, kwaternion jest kwaternion zera , oznaczonych 0; Jeżeli jeden z b , c , d jest równe 1, odpowiadające wyrażenie opisana prostu ı , J lub K .

Hamilton opisuje kwaternion , ponieważ składa się z części skalarnych i część wektora. Kwaternion nazywany jest częścią wektora (czasami część urojona ) z Q i jest częścią skalarny (czasami część rzeczywista ) z q . Kwaternion równa jego części rzeczywistej (czyli jej część wektor jest zero) nazywa się skalarną i identyfikuje się z odpowiednią liczbą rzeczywistą. Oznacza to, że liczby rzeczywiste są podzbiorem kwaterniony. Quaternion równa jej część wektora nazywamy quaternion wektor .

Zestaw składa quaternions 4 wymiarową przestrzeń wektorową ciągu liczb rzeczywistych , a jako podstawę , dodając componentwise

i mnożenie skalarne componentwise

Mnożnikowy Struktura grupy, zwany produkt Hamilton , oznaczoną zestawienia, można określać na quaternions w następujący sposób:

  • Prawdziwy quaternion 1 jest element neutralny .
  • Rzeczywiste kwaterniony złagodzenia wszystkich innych quaternions, to jest wodny roztwór = QA każdego kwaternionów Q i każde rzeczywistym kwaterniony się . W terminologii algebraicznych to znaczy, że pole realnych kwaterniony są ośrodkiem tego kwaternionów algebry.
  • Produkt jest najpierw podana dla elementów bazowych (patrz następny podrozdział), a następnie rozszerzony na wszystkie kwaterniony za pomocą rozdzielność i centrum własności rzeczywistych kwaterniony. Produkt Hamilton jest przemienne , a asocjacyjne , stąd kwaterniony tworzą asocjacyjnej algebraiczne ciągu liczb rzeczywistych.
  • Dodatkowo, każdy niezerowy quaternion ma odwrotny w stosunku do produktu Hamilton:

Zatem kwaterniony tworzą algebraiczne podziału .

Mnożenie elementów bazowych

Tabliczka mnożenia
× 1 ja jot k
1 1 ja jot k
ja ja -1 k - j
jot jot - k -1 ja
k k jot - I -1
Non przemienność podkreślają kolorowe kwadraty

Elementy bazowych i , j oraz k dojazdy z prawdziwym kwaterniony 1, czyli

Pozostałe produkty z elementów bazowych są zdefiniowane przez

i

Te preparaty są równoważne mnożenia

W rzeczywistości, równość IJK = -1 Wyniki

Odwrotna implikacja wynika z manipulacji podobny do poniższego. Klikając prawym mnożąc obie strony -1 = IJK przez - k , dostaje

Wszystkie inne produkty można określić podobnymi sposobami.

Środek

Środek o nieprzemiennej pierścienia jest podpierścień pierwiastków C , tak że cx = xc o co X . W centrum algebry kwaternionów jest podpole realnych kwaterniony. W rzeczywistości, jest to część definicji, że prawdziwe kwaterniony należą do środka. I odwrotnie, jeśli q = + Bi + CJ + dk należący do środka, a następnie

i c = d = 0 . Podobnie obliczenia w j zamiast I wynika, że należy również b = 0 . Zatem Q = jest prawdziwy kwaternion.

Noncommutativity mnożenia ma pewne nieoczekiwane konsekwencje, między innymi, że wielomian Równania ciągu kwaterniony może mieć więcej różnych rozwiązań niż stopień wielomianu. Na przykład, równanie z 2 + 1 = 0 , ma Kwaterniony nieskończenie wiele rozwiązań, które są kwaterniony z = bi + cj + dk , tak że b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Zatem te „korzenie -1” wytworzeniem sfery jednostkowej w trójwymiarowej przestrzeni quaternions wektora.

Produkt Hamilton

Dla dwóch elementów 1 + b 1 i + C 1 j + d 1 k i 2 + b 2 I + C 2 j + d 2 K , ich produktów, zwany produkt Hamiltona ( 1 + b 1 i + C 1 J + d 1 K ) ( 2 + b 2 i + c 2 J + d 2 K ), jest określony przez produkty elementów bazowych i prawa rozdzielczej . Prawo rozdzielcze pozwala rozwijać produkt tak, że jest to suma iloczynów elementów bazowych. Daje to następujące wyrażenie:

Teraz elementy bazowe można mnożyć stosując zasady podane powyżej, aby uzyskać:

Produkt dwóch quaternions obrotu będzie równoważny obrót 2 + b 2 I + c 2 J + d 2 K następuje przez obrót 1 + b 1 i + C 1 j + d 1 k .

Skalarne i wektorowe części

Kwaternion z postaci A + 0 i + 0 J + 0 k , gdzie jest liczbą rzeczywistą, nazywany jest skalarem , a kwaternion w formę 0 + bi + cj + dk , w którym b , c i d są prawdziwe liczby i co najmniej jeden b , c lub d jest różne od zera, nazywana jest kwaternion wektor . Jeśli + bi + cj + dk jest dowolny quaternion, następnie nazywa jego skalarne część i bi + cj + dk nazywa swój udział wektorowych . Chociaż każdy quaternion może być postrzegana jako wektor w czterowymiarowej przestrzeni wektorowej, powszechne jest odnieść się do wektora części jako wektory w przestrzeni trójwymiarowej. Z tej konwencji, wektor jest taki sam jak element wektora przestrzeni R 3 .

Hamilton nazywany również wektor kwaterniony prawo quaternions i liczb rzeczywistych (uważanych za kwaterniony z zerowym wektor część) skalarnych kwaterniony .

Jeśli quaternion jest podzielony na skalarnym oraz z części wektora, czyli

Następnie wzory dodawania i mnożenia są:

gdzie „ · ” oznacza iloczyn skalarny i „ x ” jest produktem przekroju .

Koniugacji, normą, a wzajemna

Sprzęganie quaternions analogiczny do sprzęgania z liczb zespolonych i przeniesienia (znany również jako odwrócenie) elementów algebrach Clifford . Aby zdefiniować go, niech będzie quaternion. Sprzężoną z Q jest kwaternion . Jest oznaczany q * , Q , Q , T , lub . Koniugacja jest zanik , co oznacza, że jest to jego własna odwrotna, więc sprzęgania elementu dwukrotnie zwraca oryginalny element. Koniugat produktu dwóch quaternions jest produktem koniugatów w odwrotnej kolejności . To jest, jeżeli P i Q są kwaterniony, a następnie ( PQ ) * = q * p * nie P * P * .

Koniugacja kwaterniony, w przeciwieństwie do złożonej konfiguracji można wyrazić mnożenia i dodanie quaternions:

Sprzęganie można stosować do wyodrębniania i skalarne wektorów częściami kwaterniony. Skalarna część P jest ( P + P * ) / 2 , a część wektora p jest ( P - P * ) / 2 .

Pierwiastek z produktu z kwaterniony z jego koniugatu nazywa jego normą jest oznaczana || q || (Hamilton nazwał tę ilość tensor z q , ale jest to sprzeczne z nowoczesnym rozumieniu „ tensora ”). We wzorze, jest wyrażona w sposób następujący:

Ma to miejsce zawsze nieujemną liczbą rzeczywistą i jest taka sama, jak na normy euklidesowej H uważane za miejsca wektora R 4 . Pomnożenie kwaternion przez liczby rzeczywistej wagi jego normę o wartości bezwzględnej liczby. Oznacza to, że jeśli α jest prawdziwa, a następnie

Jest to szczególny przypadek tego, że normą jest mnożnikowy , co oznacza, że

dla dowolnych dwóch Quaternions p i q . Multiplicativity to efekt wzoru dla koniugatu produktu. Alternatywnie wynika z tożsamości

(gdzie i oznacza zwykle jednostka urojona ), a tym samym z właściwości multiplikatywnej z determinantami matryc kwadratowych.

Norma ta umożliwia określenie odległości D ( p , q ) między P i Q , jak norma ich różnicą

To sprawia, H w przestrzeni metrycznej . Dodawanie i mnożenie są ciągłe w topologii metrycznej. Istotnie, dla dowolnego skalara, pozytywne posiada ona

Ciągłość wynika z podjęciem do zera w limicie. Ciągłość mnożenia posiada podobnie.

jednostka quaternion

Jednostka quaternion jest quaternion z normą jednym. Dzielenie niezerowych Kwaterniony q przez jej norma wytwarza jednostka kwaternion U Q nazwie versor z q :

Każdy quaternion ma rozkład polarnego .

Korzystanie koniugacji a norma umożliwia zdefiniowanie Odwrotność o niezerowej kwaterniony. Produktem kwaterniony z jego odwrotność powinien być równy 1, a rozważania powyżej oznacza, że produkt i (w dowolnej kolejności) wynosi 1. Zatem wzajemne z Q określa się jako

To sprawia, że możliwe jest podzielenie dwa quaternions p i q na dwa różne sposoby (gdy q jest różna od zera). Oznacza to, że ich iloraz mogą być p, q -1 lub Q -1 s . Notacja p / q jest niejednoznaczny, ponieważ nie precyzuje, czy q dzieli się na lewo lub na prawo.

własności algebraiczne

Cayley wykres Q 8 . Czerwone strzałki oznaczają mnożenie z prawej strony przez I i zielone strzałki przedstawiają mnożenie po prawej przez j .

Zestaw H wszystkich quaternions jest przestrzeń wektor ciągu liczb rzeczywistych z wymiarem 4. (dla porównania, rzeczywiste liczby mają wymiar 1, liczby zespolone mają montażowa 2, a octonions mają wymiar 8) Namnażanie quaternions jest łączne i dystrybuuje ponad dodawanie wektorów, ale to nie jest przemienne. W związku z tym kwaterniony H a non-przemienne asocjacyjny Algebra przestrzeni liczb rzeczywistych. Mimo H zawiera kopie liczb zespolonych, to nie jest asocjacyjną algebra ciągu liczb zespolonych.

Ponieważ możliwe jest podzielenie quaternions, tworzą one algebraiczne podziału . Jest to konstrukcja podobna do pola , z wyjątkiem braku przemienności mnożenia. Skończenie wymiarowe asocjacyjne podział algebry ciągu liczb rzeczywistych są bardzo rzadkie. Twierdzenie Frobeniusa stwierdza, że istnieją dokładnie trzy: R , C i H . Norma czyni quaternions w unormowanej Algebra i unormowane algebrami podziału ciągu liczb rzeczywistych są bardzo rzadko: tw Hurwitza mówi, że są tylko cztery: R , C , H i O (z octonions ). W kwaterniony również przykładem kompozycji Algebra io unital banachowskiej Algebra .

Trójwymiarowy wykres Q 8 . Czerwone, zielone i niebieskie strzałki oznaczają mnożenie przez I, J i K odpowiednio. Mnożenie przez liczby ujemne są pominięte dla jasności.


Ponieważ produkt dowolnych dwóch wektorów bazowych wynosi plus lub minus inny wektor bazowy, zestaw {± 1, ± I ± j , ± k } tworzy grupę pod mnożenia. Ten non grupa przemienna nazywana jest grupą kwaternion jest oznaczony P 8 . Prawdziwy pierścień grupy Q 8 jest pierścień R [Q 8 ], który jest również ośmiowymiarowej miejsca wektora przez R . Ma jeden wektor bazowy dla każdego elementu Q 8 . W kwaterniony to pierścień iloraz z R [Q 8 ] przez idealny generowanych przez elementy 1 + (1) , i + (- i ) , j + (- j ) i k + (- k ) . W tym przypadku pierwszy składnik, w każdym z tych różnic jest jednym z elementów bazowych 1, I , J i K , a drugi człon jest jednym z elementów bazowych -1 - I - J , i - k , a nie odwraca dodatków 1, í , j oraz k .

Kwaterniony i geometria R 3

Część wektora kwaterniony mogą być interpretowane jako wektor współrzędnych, w R 3 , w związku z czym algebraiczne operacje z quaternions odzwierciedla geometrię R 3 . Operacje takie jak kropki wektora i iloczynów może być definiowane w kategoriach quaternions, a to sprawia, że możliwe jest zastosowanie technik kwaternionowej gdzie wektory przestrzenne powstać. Przydatna aplikacja z kwaterniony został interpolować orientacje kluczowych klatek w grafice komputerowej.

W pozostałej części tej sekcji I , J i K będzie oznaczać zarówno trzy urojonej wektorów bazowych z H i podstawę R 3 . Zauważ, że zastąpienie I przez - I , j przez - j oraz k o - k wysyła wektor jego Liczba przeciwna, więc odwrotnością dodatek wektora jest taka sama jak jego koniugatu jako kwaterniony. Z tego powodu koniugacji jest czasami nazywany odwrotną przestrzenny .

Dla dwóch Quaternions wektor p = b 1 i + C 1 J + d 1 k a q = b 2 I + c 2 J + d 2 K ich punkt produkt analogicznie do wektorów w R 3 jest

może to być również wyrażone w składniku wolne sposób jak

Odpowiada to skalarnych części produktów pq * , JO * , s * Q i Q * p . Należy pamiętać, że ich części wektorowe są różne.

Iloczyn z p i q względem orientacji określonej przez uporządkowane podstawie ı , J i K jest

(Przypomnijmy, że orientacja jest konieczne, aby określić znak). Jest równe części wektora produktu PQ (jak quaternions), a także jako część wektora - q * p * . Ma również wzór

Do komutatora [ s , q ] = pq - qp , dwóch Vector kwaterniony uzyskuje

W ogóle, niech p i q być kwaterniony i pisać

gdzie p y i q y są elementy skalarne i i są elementy wektora p i q . Następnie mamy formułę

To pokazuje, że noncommutativity z mnożenia kwaternionów pochodzi z pomnożenia kwaterniony wektorowych. Pokazuje również, że dwa kwaterniony dojeżdżają wtedy i tylko wtedy, gdy ich części wektorowe są współliniowe. Hamilton wykazała, że produkt ten oblicza trzeci wierzchołek trójkąta kulistym z dwiema danymi wierzchołki i związane z nimi łukowe długości, który jest także Algebra punktów Geometria eliptyczna .

Kwaterniony urządzenia mogą być identyfikowane z obrotami w R 3 i nazwano wersorów przez Hamiltona. Zobacz także kwaterniony i obrót przestrzenny uzyskać więcej informacji na temat modelowania obroty trójwymiarowe za pomocą quaternions.

Zobacz Andrew J. Hanson. wizualizację quaternions,

reprezentacje macierzowe

Tak jak kompleks numery mogą być reprezentowane jako podłoża , dzięki czemu można quaternions. Istnieją co najmniej dwie metody reprezentowania quaternions jako matryc w taki sposób, że dodanie kwaternion i mnożenie macierzy odpowiadają dodawania i mnożenia macierzy . Jednym z nich jest zastosowanie 2 x 2 złożonych macierzy, a drugi jest w użyciu 4 x 4 rzeczywistym macierzy. W każdym przypadku, biorąc pod uwagę reprezentacja jest jednym z rodziny liniowo związane przedstawień. W terminologii streszczenie Algebra , to za pomocą wstrzyknięć homomorfizmy od H do pierścieni macierzy M, (2, C ) i M (4, R ) , odpowiednio.

Za pomocą 2 x 2 złożonych matrycy, kwaternion + Bi + CJ + dk można przedstawić jako

Ta reprezentacja ma następujące właściwości:

  • Ograniczenie dowolne dwa b , c i d do zera tworzy reprezentację liczb zespolonych . Na przykład, ustawienie c = d = 0 tworzy ukośną złożonej reprezentacji macierzy liczb zespolonych, ustawiając b = d = 0 daje prawdziwy reprezentacji macierzy.
  • Norma jest kwaterniony (pierwiastek kwadratowy z wyrobu z koniugatu, jak w przypadku liczb zespolonych) jest pierwiastkiem kwadratowym z determinantą odpowiedniej matrycy.
  • Koniugat o kwaterniony odpowiada sprzężoną transpozycję macierzy.
  • Poprzez ograniczenie tej reprezentacji uzyskuje się izomorfizm pomiędzy podgrupie quaternions jednostkowych i wizerunku su (2) . Topologicznie, że kwaterniony jednostkowe3-kuli , tak podstawowa przestrzeń su (2) jest również 3-kuli. Grupę su (2) jest ważna dla opisania wirowanie w mechanice kwantowej ; patrz matryc Pauli .
  • Istnieje silna zależność pomiędzy jednostkami quaternion i Macierze Pauliego. Uzyskanie ośmiu kwaternion macierze jednostkowe biorąc do , B , C i D , zestaw trzech z nich na zero, a czwarty 1 lub -1. Mnożenie macierzy dowolne dwa Pauli zawsze otrzymuje macierz jednostkową kwaternion, wszystkie z nich z wyjątkiem 1. Otrzymuje się poprzez -1 i +2 = J 2 = K 2 = ijk = -1. Np ostatnia równość jest

Korzystanie 4 × 4 prawdziwe matryce, które same quaternion można zapisać jako

Jednakże przedstawienie quaternions w M (4 ℝ) nie jest wyjątkowa. Na przykład, ten sam kwaternion może być reprezentowane

W rzeczywistości, istnieje 48 różnych reprezentacji tej formy. Dokładniej, istnieje 48 zestawów czterokrotnie matryc tak, że funkcja wysyłania 1, I , J i K do matryc w czwórki jest homomorfizmem, to znaczy, że wysyła sum i produktów kwaterniony do kwot i produktów matrycach , W tym przedstawieniu, koniugat o kwaterniony odpowiada transponowaniem matrycy. Czwarty moc normy w kwaterniony jest wyznacznikiem odpowiedniej matrycy. Podobnie jak w przypadku 2 x 2 złożonej reprezentacji powyżej liczby zespolone mogą być produkowane poprzez ograniczenie ponownie współczynniki odpowiednio; Na przykład, jako blok diagonalnych macierzy z dwoma 2 x 2 bloki ustawienie c = d = 0 .

Każda macierz 4x4 przedstawienie quaternions odpowiada tabeli mnożenia quaternions jednostkowych. Na przykład, ostatni reprezentacji macierzy podane powyżej, odpowiada tabeli mnożenia

× za re - b - C
za za re -b -c
-d -d za do -b
b b - C za - d
do do b re za

która jest izomorficzna - poprzez - do

× 1 k - I - j
1 1 k -i -j
-k -k 1 jot -i
ja ja - j 1 - k
jot jot ja k 1

Ograniczenie takiej tabeli mnożenia mieć identyczność w pierwszym rzędzie i kolumny i dla znaków z nagłówków być przeciwne do nagłówki kolumn, a jest 3 możliwego wyboru drugiej kolumnie (znak ignorując) 2 możliwy wybory do trzeciej kolumny (ignorując znak) i 1 możliwy wybór dla czwartej kolumnie (ignorując znak); sprawia, że 6 mozliwosci. Następnie, w drugiej kolumnie można dobrać tak, aby być dodatnia lub ujemna, w trzeciej kolumnie mogą być wybrane jako pozytywny lub negatywny, a czwarta kolumna może być wybrany jako pozytywny lub negatywny, co daje 8 możliwości oznaczenia. Mnożąc możliwości stanowiska liter i ich znaków daje 48. Następnie zastępując 1 z , I z b , J z c i k o d i usuwania nagłówki wierszy i kolumn daje reprezentacji macierzy CJ + Bi + dk .

cztery twierdzenie Lagrange'a kwadratowy

Quaternions wykorzystywane są również w jednym z dowodów Lagrange'a cztery kwadratowy twierdzenia w teorii liczb , w którym stwierdza, że każda liczba całkowita nieujemna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych. A także jako elegancki twierdzenie w sobie cztery kwadratowe twierdzenie Lagrange'a ma użytecznych zastosowań w dziedzinach matematyki poza teorii liczb, takich jak kombinatorycznej projektowania teorii. Dowód kwaternion oparte wykorzystuje quaternions Hurwitz , A podpierścień pierścienia wszystkich quaternions dla których nie jest analogiem algorytmu euklidesowej .

Kwaterniony w parach liczb zespolonych

Kwaterniony może być reprezentowany w parach liczb zespolonych. Z tej perspektywy, kwaterniony są wynikiem stosowania budowę Cayley-Dickson na liczbach zespolonych. Jest to uogólnienie konstrukcji zespolonej jako pary liczb rzeczywistych.

Niech C 2 jest dwuwymiarową przestrzeń wektor ciągu liczb zespolonych. Wybierz bazę składającą się z dwóch elementów 1 i j . A wektor w C 2 może być zapisana w zakresie elementów bazowych 1 i j jak

Jeśli określenie J 2 = -1 i ij = - ji , to może się rozmnażać dwóch wektorów, stosując prawo rozdzielczą. Pisanie k zamiast produktu ij prowadzi do tych samych zasad jak zwykle mnożenie kwaternionów. W związku z tym, powyższy wektor liczb zespolonych odpowiada kwaternion a + bi + cj + dk . Jeśli zapisuje elementy C 2 jako uporządkowanych par i quaternions jak czterokrotnie, po czym korespondencji

Pierwiastki -1

W liczbach zespolonych, C nie tylko dwie cyfry i i - i , których kwadrat jest -1. W H istnieje nieskończenie wiele kwadratowych korzenie minus jeden, że roztwór kwaternion przez pierwiastek kwadratowy z -1 jednostka kuli w R 3 . W tym celu patrz pozwolić q = + Bi + CJ + dk być kwaternion i zakładamy, że jej kwadratowy wynosi -1. Jeśli chodzi o o , b , c i d , to znaczy

Aby spełnić te trzy ostatnie równania albo = 0 lub b , c i d są wszystkie 0. To ostatnie jest możliwe, ponieważ jest liczbą rzeczywistą i pierwszy Równanie to oznacza, że 2 = -1 . W związku z tym, = 0 i b 2 + C 2 + d 2 = 1 . Innymi słowy, aby kwaternionowej kwadratów do -1 tylko wtedy, gdy jest to wektor z normą kwaternion 1. Według definicji zbiór wszystkich takich wektorów stanowi kula urządzenia.

Tylko negatywne realne kwaterniony mieć nieskończenie wiele pierwiastków kwadratowych. Wszyscy inni mają tylko dwie (lub jedno w przypadku 0).

Identyfikacja pierwiastków kwadratowych minus jeden w H została przyznana przez Hamiltona ale często pomijane w innych tekstach. Przez 1971 sfera została uwzględniona przez Sama Perlis w jego trzech stron ekspozycji zawarte w wątkach Dawnych w Algebra (strona 39) opublikowanych przez Krajową Radę Nauczycieli Matematyki . Niedawno sfera kwadratowych korzeni minus jeden jest opisany w Ian R. Porteous książki „s Clifford algebr i klasycznych grup (Cambridge, 1995) w twierdzeniu 8.13 na stronie 60.

H jako związek złożonych płaszczyznach

Każda para pierwiastków kwadratowych -1 tworzy odrębne kopie zespolonej wewnątrz quaternions. Jeżeli P 2 = -1 , a kopia jest określana przez funkcję

W języku streszczenie Algebra każda jest za pomocą wstrzyknięć pierścień homomorfizm od C do H . Obrazów z zanurzeń odpowiadających q oraz - q są identyczne.

Każdy non-real quaternion leży w podprzestrzeni H izomorficzna C . Napisz q jako suma jej części skalarnego wektora i jego części:

Rozkładają część wektora dalej jako produkt jej norma i jej versor:

(Należy zauważyć, że nie jest to taka sama jak .) The versor z częścią wektora q , , jest kwaternion wektor jednostkowy, więc jej kwadratowy wynosi -1. Dlatego określa kopię liczb zespolonych przez funkcję

Zgodnie z tą funkcją, Q jest obrazem liczby zespolonej . Tak więc H jest unia złożonych płaszczyznach przecinających się we wspólnej prostej rzeczywistej , gdzie jest Unia przejęła sferę pierwiastków kwadratowych minus jeden, mając na uwadze, że ten sam samolot jest związany z antypodyczne punktach kuli.

przemienne subrings

Zależność quaternions ze sobą w złożonej subplanes od H można także zidentyfikować i wyrażone w przemiennych subrings . W szczególności, ponieważ dwa Quaternions p i q dojazdy (tj PQ = qp ) tylko wtedy, gdy znajdują się w tym samym złożoną subplane z H , profil H , jak związek złożonych płaszczyznach powstaje, gdy próbuje się znaleźć wszystkie przemienne subrings z kwaterniony pierścień . Ta metoda przemiennych subrings również użyto do profilowania podzielone-quaternions , które jako Algebra ciągu liczb rzeczywistych są izomorficzne do 2 x 2 rzeczywistym macierzy .

Funkcje zmiennej kwaternionów

Julia określa i ustawia Mandelbrota może być rozszerzony na Quaternions, ale muszą stosować przekroje, które mają mieć wizualnie w 3 płaszczyznach. Ten zestaw Julia jest cross przekroju w płaszczyźnie xy.

Jak funkcjami zmiennej zespolonej , funkcje zmiennej kwaternionów sugerują użytecznych modeli fizycznych. Na przykład, oryginalne pola elektryczne i magnetyczne opisane przez Maxwella były funkcje zmiennej kwaternionów. Przykłady innych funkcji obejmują rozszerzenie zbioru Mandelbrota i Julii ustawia w 4-wymiarowej przestrzeni.

Wykładnicza, funkcje logarytm i energetycznych

Biorąc pod uwagę kwaternion,

wykładniczy jest obliczana jako

,

Wynika stąd, że polarny rozkładem kwaterniony mogą być zapisane

w którym kąt a wektor jednostkowy jest określona przez:

i

Każda jednostka kwaternion może być wyrażona w postaci polarny jako .

Mocy z kwaterniony podniesiona do dowolnego wykładnika (real) jest dane przez:

geodezyjnej normą

Odległość geodezyjnej d g ( p , q ) między Quaternions jednostka p i q są zdefiniowane jako:

i sprowadza się do wartości bezwzględnej pół wartość kąta p i q wzdłuż wielkiej łuku o S 3 kuli. Kąt ten może być wyliczony z kwaternion iloczynu skalarnego bez logarytmu jak:

Trójwymiarowej i czterowymiarowej grupy rotacji

Określenie „ sprzęganie ”, oprócz wyżej podane znaczenie, można również oznaczać przy element do RAR -1 gdzie r jest nieco różna od zera kwaternion. Wszystkie elementy, które są sprzężone do danego elementu (w tym znaczeniu tego słowa) koniugatu mają taką samą część rzeczywistą i taką samą normę części wektora. (Zatem koniugat w innym sensie jeden z koniugatów w tym sensie).

Tak więc na przykład multiplikatywna grupa Quaternions niezerowych aktach sprzęgania na kopii R 3, składający się z części rzeczywistej quaternions z równą zero. Koniugacja przez kwaterniony jednostkowej (A kwaternionów wartości bezwzględnej 1) cos (θ część rzeczywista) jest obrotem przez kąt 2e, oś obrotu usytuowaną kierunek część wektora. Zalety kwaterniony są:

Zbiór wszystkich quaternions jednostkowych ( wersorów ) stanowi 3-sfery S 3 i grupy (a grupy Lie ) w mnożenia podwójne pokrycie grupy SO (3, R ) rzeczywistego prostopadłej 3 x 3 matryce z wyznacznik 1 od dwóch jednostkę kwaterniony odpowiadają każdym obrocie na podstawie wyżej korespondencji. Zobacz sztuczkę płyty .

Obraz podgrupie wersorów to do grupy punktowej , i odwrotnie, preimage grupy punktowej jest podgrupą wersorów. Preimage grupy punktowej skończonej nazywa o tej samej nazwie, z prefiksem binarnym . Na przykład, preimage z dwudziestościennego grupy jest binarny grupa dwudziestościan .

Grupa się wersorów jest izomorficzny SU (2), grupy złożone jednostkowe 2 x 2 macierzy wyznacznik 1.

Niech być zbiorem quaternions od formy do + bi + cj + dk , gdzie , b , c i d są albo wszystkie liczby całkowite lub wszystkie liczby wymierne z nieparzystym w liczniku i mianowniku 2. Zestaw jest pierścień (w rzeczywistości domeny ) i kraty i jest zwany pierścień quaternions Hurwitz . Istnieje 24 kwaterniony urządzenia w tym pierścieniu i są wierzchołkami regularnej 24 komórek z symbol schläfliego {3,4,3}. Odpowiadają one podwójną pokrywą obrotową grupa symetrii regularnej czworościanu . Podobnie wierzchołkami regularnych 600 komórek z symbol schläfliego {3,3,5} mogą być traktowane jako jednostka icosians , co odpowiada podwójnej osłoną obrotową grupy symetrii regularnych dwudziestościanu . Podwójna pokrywa obrotowej grupy symetrii regularnego ośmiościanu odpowiada quaternions reprezentujących wierzchołki disphenoidal 288 komórek .

algebry quaternion

W Quaternions można uogólnić do dalszych algebr zwanych algebry quaternion . Wziąć F być dowolny obszar z charakter różny od 2, a A i B do być elementy F ; czterowymiarowego jednolity asocjacyjny Algebra można określić na F w podstawie 1, I , J i ij , gdzie i 2 = , J 2 = b i ij = - ji (tak, (Ij), 2 = - AB ).

Algebrami kwaternionowej są izomorficzne z Algebra 2 x 2 matrycy ponad F lub tworzą algebrach podział na F , w zależności od wyboru i b .

Kwaterniony jak parzystej części Cℓ 3,0 (R)

Przydatność quaternions dla geometrycznych obliczeń może być uogólnione do innych wymiarów, identyfikując quaternions w parzystej części Cℓ + 3,0 ( R ) z Clifford Algebra Cℓ 3,0 ( R ). Jest to algebra asocjacyjne multivector zbudowane z podstawowych elementów bazowych Ď 1 , σ 2 , σ 3 stosując zasady dotyczące produktu

Jeśli te podstawowe elementy bazowe są brane do reprezentowania wektorów w przestrzeni 3D, a potem okazuje się, że odbicie wektora R w płaszczyźnie prostopadłej do wektora jednostka W można zapisać:

Dwa odbicia wykonać obrót o kąt dwukrotnie kąta między dwiema płaszczyznami odbicia, tak

odpowiada obrót o 180 ° w płaszczyźnie zawierającej Ď 1 i Ď 2 . Jest to bardzo podobne do odpowiednich wzorze kwaternionów,

W rzeczywistości, dwa są identyczne, jeśli wykonujemy identyfikację

i to jest bardzo proste, aby potwierdzić, że ta zachowuje relacje Hamilton

W tym obrazie, kwaterniony nie odpowiadają wektory ale bivectors - ilościach wielkości i kierunków związanych z poszczególnymi 2D płaszczyznach zamiast 1D kierunkach . Relacja na liczbach zespolonych staje się jaśniejsza, zbyt: w 2D, z dwóch kierunków wektora σ 1 i σ 2 , istnieje tylko jeden bivector Podstawa elementem σ 1 Ď 2 , więc tylko jedna urojona. Ale w 3D, z trzech wektorów kierunkach, istnieją trzy elementy bazowe bivector Ď 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , więc trzy wyobrażenia.

Takie rozumowanie biegnie dalej. W Clifford Algebra Cℓ 4,0 ( R ) znajduje się sześć elementów bazowych bivector, ponieważ z czterech podstawowych kierunków wektora sześć różnych par, a zatem sześć różnych liniowo niezależne samolot może być zdefiniowana. Obroty tych przestrzeni za pomocą tych uogólnienia quaternions, zwane wirników , mogą być bardzo przydatne do zastosowań związanych z jednorodnych współrzędnych . Ale to tylko w 3D, że liczba bazowych bivectors równa liczbie wektorów bazowych, a każdy bivector można zidentyfikować jako pseudowektor .

Istnieje wiele korzyści dla umieszczania quaternions w tym szerszym kontekście:

  • Wirniki są naturalną częścią geometrycznej algebraicznie i łatwo zrozumieć, jak kodowanie podwójnego odbicia.
  • W algebrze geometrycznej, wirnik i obiekty to działa na żywo w tej samej przestrzeni. Eliminuje to potrzebę zmiany reprezentacje i do kodowania nowych struktur i metod danych, które tradycyjnie wymagane podczas powiększania algebry liniowej z kwaterniony.
  • Wirniki są powszechnie stosowane do każdego elementu algebry, nie tylko wektory i inne kwaterniony, ale także linie, samoloty, koła, kule, promienie, i tak dalej.
  • W konformalną modelu geometrii euklidesowej, wirniki umożliwiają kodowanie rotacji, translacji i skalowania w jednym elementem algebry, uniwersalnie działającego na dowolnym elemencie. W szczególności oznacza to, że wirnik może stanowić obrót wokół dowolnej osi, przy czym kwaterniony są ograniczone do osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
  • Przekształcenia wirnika kodowane dokonać interpolacji szczególnie proste.

W celu uzyskania dalszych szczegółów na temat zastosowań geometrycznych Clifford algebr, zobacz Geometryczne algebry .

grupa Brauer

W kwaterniony są „zasadniczo” jedynym (nietrywialne) Algebra centralna prosta (CSA) w ciągu liczb rzeczywistych, w tym sensie, że każdy CSA ciągu liczb rzeczywistych jest równoznaczne Brauer albo do reals lub gdy kwaterniony. Ściślej, grupa Brauer z liczb rzeczywistych składa się z dwóch grup, które są przedstawione przez Real i quaternions, gdzie grupa Brauer jest zbiorem wszystkich CSA, aż stosunek równoważności jeden CSA będąc pierścień matrycy na inną. Przez twierdzenia Artin-Wedderburn (w szczególności część Wedderburna'S), CSA są algebrami matrycy nad Algebra podziału, a zatem kwaterniony są tylko nietrywialnym Algebra podział przestrzeni liczb rzeczywistych.

CSA - pierścienie nad polem, które są proste algebry (nie ma nietrywialne 2-stronne ideały, tak jak z polami), którego centrum jest dokładnie pole - to nieprzemienna analog pola rozszerzeń i są bardziej restrykcyjne niż ogólnych rozszerzeń pierścienia , Fakt, że kwaterniony są tylko nietrywialnym CSA przestrzeni liczb rzeczywistych (do równoważności) mogą być porównane z faktem, że te liczby są złożone tylko nietrywialnym rozszerzenie pola liczb rzeczywistych.

notowania

  • „I uważa się za niewytworność lub niedoskonałości w quaternions, albo raczej w stanie, do którego został dotychczas rozłożony, kiedy staje się i wydaje się być konieczne odwołanie się do osi x, y, z, etc.” - William Rowan Hamilton [Cytowane w piśmie z Tait do Cayley].
  • „Czas mówi się, że tylko jeden wymiar, a przestrzeń ma trzy wymiary [...] Matematyczne uczestniczy quaternion obu tych elementów;. W języku technicznym może być uznane za«czas oraz przestrzeń», lub«przestrzeń plus czas» . i w tym sensie, że ma, a przynajmniej obejmuje odniesienie do, czterech wymiarach i jak One of Time, Space trzech, być może w łańcuchu symboli girdled być .” - William Rowan Hamilton [Cyt RP Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton ].
  • „Quaternions przyszedł z Hamilton po jego naprawdę dobre dzieło zostało zrobione i, choć pięknie pomysłowy, nie byłem zły niezmieszane do tych, którzy nie dotknął ich w jakikolwiek sposób, w tym Clerk Maxwell .” - W. Thompson, Lord Kelvin . (1892).
  • „I przyszedł później, aby zobaczyć, że o ile analiza wektor I było wymagane dotyczy, quaternion był nie tylko nie jest to wymagane, ale był dodatni zło bez niemałej wielkości i że przez jego unikanie ustanowienie analizy wektorowej powstał dość prosty i jego pracy również uproszczone, a to może być wygodnie zharmonizowane ze zwykłego kartezjańskiego pracy.” - Oliver Heaviside . (1893). Elektromagnetyczna teoria tom I, str. 134-135. Londyn: Elektryk drukowania i Publishing Company.
  • „Ani macierze ani kwaterniony i zwykłych wektorów zostali wygnani z tych dziesięciu [dodatkowe] rozdziałów. Bo pomimo bezspornego potęgi współczesnego Tensor rachunku, te starsze języki matematyczne nadal, moim zdaniem, do zaoferowania widocznych korzyści w zakresie ograniczonym szczególnej teorii względności. Ponadto, w nauce, jak również w codziennym życiu, opanowanie więcej niż jednego języka jest cenny, ponieważ poszerza nasze poglądy, sprzyja krytyki w odniesieniu do, i chroni przed hypostasy [słabą Fundacji ] z sprawa ekspresji słów lub symboli matematycznych.” - Ludwik Silberstein . (1924). Uwagi dotyczące przygotowania drugą edycję swojej Teorii Względności .
  • ”... kwaterniony wydają się wydzielać atmosferę XIX-wiecznej próchnicy, jako dość nieudanych gatunków w walce-do-życia idei matematycznych. Matematycy wprawdzie nadal zachować ciepłe miejsce w ich sercach dla niezwykłych właściwościach algebraicznych z kwaterniony ale, niestety, taki entuzjazm niewiele znaczy trudniej grotami naukowca fizycznej.” - Simon L. Altmann . (1986).

Zobacz też

Uwagi

Referencje

artykuły i zasoby zewnętrzne

Książki i publikacje

  • Hamilton, William Rowan . Na kwaterniony lub na nowy system wyobrażeń w algebrze . Filozoficzne Magazine. Cz. 25 n 3 str. 489-495. 1844.
  • Hamilton, William Rowan (1853), " Wykłady o kwaterniony ". Royal Irish Academy.
  • Hamilton (1866) Elementy kwaterniony University of Dublin prasowej. Edytowany przez Edwin William Hamilton, syn zmarłego autora.
  • Hamilton (1899) Elementy Quaternions tom I (1901), tom II. Edytowany przez Karola Jasper Joly ; opublikowane przez Longmans, Green & Co .
  • Tait, Peter Guthrie (1873), " Elementarna traktat o kwaterniony ". 2d ed, Cambridge, [Eng.]. University Press.
  • Maxwell James Clerk (1873), " Traktat o elektryczności i magnetyzmu ". Clarendon Press, Oxford.
  • Tait, Peter Guthrie (1886), " "zarchiwizowana kopia" . Zarchiwizowana od oryginału w dniu 8 sierpnia 2014 r . Źródło: 26 czerwca 2005 ..”MA sek. RSE Encyclopaedia Britannica , dziewiąte wydanie, 1886, vol. XX, str. 160-164. (Zbzzipowane PostScript pliku)
  • Joly, Charles Jasper (1905), " Podręcznik z kwaterniony ". Londyn, Macmillan i CO, ograniczone.; Nowy Jork, Firma Macmillan. LCCN 05036137 // R84
  • Macfarlane, Aleksander (1906), " analiza wektorowa i kwaterniony ", 4th ed. 1-te tys. Nowy Jork, J. Wiley & Sons; [itd itd.]. LCCN es 16000048
  • Wikiźródła Chisholm, Hugh, wyd. (1911). " Algebra ". Encyclopaedia Britannica (ED 11).. Cambridge University Press.( Patrz rozdział o kwaterniony. )
  • Finkelstein, David Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich i David Speiser (1962), " Podstawy mechaniki kwantowej quaternion ". J. Math. Phys. 3, str. 207-220, MathSciNet.
  • Du Val Patrick (1964), " Homographies, Quaternions i obrotów ". Oxford, Clarendon Press (Oxford monografie matematyczne). LCCN 64056979 // R81
  • Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analiza : Ewolucja idei Systemu Vectorial , University of Notre Dame Press. Badania głównych i pomniejszych systemów wektorowych 19 wieku (Hamilton, Möbiusa, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, Macauley, Gibbs, Heaviside).
  • Altmann Simon L. (1986), " rotacji kwaterniony i dwukrotnie grupy ". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN  0-19-855372-2
  • Altmann, Simon L. (1989), " Hamilton, Rodrigues, a Scandal Kwaterniony ". Mathematics Magazine. Cz. 62, nr 5. P. 291-308, grudzień 1989.
  • Adler, Stephen L. (1995), " Quaternionic mechanika kwantowa i pola kwantowe ". New York: Oxford University Press. Międzynarodowy seria monografii na temat fizyki (Oxford, Anglia) 88. LCCN 94006306 ISBN  0-19-506643-X
  • Trifonov, Vladimir (1995), " liniowy Rozwiązanie Four-wymiarowości problemu ", Europhysics Letters, 32 (8) 621-626, doi : 10,1209 / 0295-5075 / 32/8/ 001
  • Ward, JP (1997), " kwaterniony i Cayley Liczby: Algebra and Applications ", Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-4513-4
  • Kantor, IL oraz Solodnikov AS (1989), " liczby hiperzespolone, elementarną wprowadzenie do algebrach ", Springer-Verlag, New York, ISBN  0-387-96980-2
  • Gürlebeck, Klaus i Sprössig, Wolfgang (1997), " Quaternionic i Clifford rachunek dla fizyków i inżynierów ". Chichester; Nowy Jork: Wiley (metody matematyczne w praktyce, w. 1). LCCN 98169958 ISBN  0-471-96200-7
  • Kuipers, Jack (2002), " Quaternions i rotacji sekwencje: starter z aplikacjami na orbitach, Aerospace, i Virtual Reality " (wydanie reprint), Princeton University Press . ISBN  0-691-10298-8
  • Conway John Horton i Smith, Derek A. (2003), " Na kwaterniony i Octonions: ich geometrii, arytmetyki i symetrii ", AK Peters Ltd. ISBN  1-56881-134-9 ( przegląd ).
  • Jack, PM (2003). Przestrzeń fizyczna jako struktura kwaternionów, I: Równania Maxwella. Krótką notatkę. arXiv : matematyka-ph / 0307038
  • Krawczenko, Władysław (2003), " Applied Analysis Quaternionic " Heldermann Verlag ISBN  3-88538-228-8 .
  • Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadieżda Michajłowna Gubareni Vladimir V. Kiriczenko. Algebry, pierścienie i moduły . Tom 1 2004 Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0
  • Hanson, Andrew J. (2006), " Wizualizacja kwaterniony ", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN  0-12-088400-3
  • Trifonov, Vladimir (2007), " Natural Geometria niezerowe kwaterniony " International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251-257, doi : 10.1007 / s10773-006-9234-9
  • Ernst & Sonja Pods Binz (2008) Geometria Heisenberga grup amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , rozdział 1: "pochylać Pole kwaterniony" (23 stron) ISBN  978-0-8218-4495-3 .
  • Chris JL Doran ; Anthony N. Lasenby (2003). Algebra geometryczna dla fizyków . Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-48022-2 .
  • Vince, John A. (2008), Geometryczny Algebra Computer Graphics , Springer, ISBN  978-1-84628-996-5 .
  • Cząsteczek, które mogą być traktowane jako klasyczne sztywnych korpusów dynamiki molekularnej symulacji komputerowej stosuje quaternions. Zostały one po raz pierwszy wprowadzony w tym celu przez DJ Evans, (1977), „Na Przedstawicielstwa orientacji przestrzennej”, Mol. Phys., Tom 34, str 317.
  • Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions i Macierze kwaterniony", Algebra liniowa i jej zastosowania, Vol. 251, s. 21-57.
  • Ron Goldman (2010). Przemyślenie Quaternions: Teoria i Systemów . Morgan & Claypool Publishers. ISBN  978-1-60845-420-4 .

Linki i monografie