Grupa kłamstw - Lie group

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie Koło Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Algebry kłamstwa
Półprosta algebra Liego
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstwa w fizyce
Naukowcy Sophus kłamstwo Henri Poincaré Zabijanie Wilhelma Elie Cartan Hermanna Weyla Claude Chevalley Harisz-Chandra Armand Borel
Słowniczek Tabela grup kłamstw
v T mi

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , ą grupa Lie (wym / l ı / „Lee”) jest grupa , która jest również różniczkowalną kolektora . Kolektor jest przestrzenią, która lokalnie przypomina przestrzeni euklidesowej , natomiast grupy zdefiniować abstrakcyjną i ogólną koncepcję mnożenia i podjęcie odwrotności (dział). Łącząc te dwie idee, otrzymuje się ciągłą grupę, w której punkty można pomnożyć razem i wziąć ich odwrotność. Jeśli dodatkowo mnożenie i branie odwrotności jest określone jako gładkie (różniczowalne), otrzymuje się grupę Liego.

Grupy Liego dostarczają naturalnego modelu dla koncepcji symetrii ciągłej , której słynnym przykładem jest symetria obrotowa w trzech wymiarach (podana przez specjalną grupę ortogonalną ). Grupy Liego są szeroko stosowane w wielu dziedzinach współczesnej matematyki i fizyki . ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (3)}$

Grupy kłamstw zostały po raz pierwszy znalezione przez badanie podgrup macierzy zawartych w lub , grupy macierzy odwracalnych powyżej lub . Są one teraz nazywane grupami klasycznymi , ponieważ koncepcja została rozszerzona daleko poza te źródła. Grupy Liego zostały nazwane na cześć norweskiego matematyka Sophusa Lie (1842–1899), który położył podwaliny pod teorię grup przekształceń ciągłych . Pierwotną motywacją Liego do wprowadzenia grup Liego było modelowanie ciągłych symetrii równań różniczkowych , w podobny sposób, w jaki skończone grupy są używane w teorii Galois do modelowania dyskretnych symetrii równań algebraicznych . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Historia

Według najbardziej autorytatywnego źródła dotyczącego wczesnej historii grup Liego (Hawkins, s. 1), sam Sophus Lie uważał zimę 1873–1874 za datę narodzin swojej teorii grup ciągłych. Hawkins sugeruje jednak, że to „ogromna działalność badawcza Liego w okresie czterech lat od jesieni 1869 do jesieni 1873” doprowadziła do powstania teorii ( tamże ). Niektóre z wczesnych pomysłów Lie zostały opracowane w ścisłej współpracy z Felixem Kleinem . Lie spotykał się z Kleinem codziennie od października 1869 do 1872: w Berlinie od końca października 1869 do końca lutego 1870 oraz w Paryżu, Getyndze i Erlangen w kolejnych dwóch latach ( tamże , s. 2). Lie stwierdził, że wszystkie główne wyniki uzyskano do roku 1884. Jednak w latach siedemdziesiątych XIX wieku wszystkie jego prace (z wyjątkiem pierwszego przypisu) zostały opublikowane w czasopismach norweskich, co utrudniało uznanie jego pracy w całej Europie ( tamże , s. 76). ). W 1884 roku młody niemiecki matematyk, Fryderyk Engel , rozpoczął pracę z Lie nad systematycznym traktatem mającym na celu ujawnienie jego teorii grup ciągłych. Z tych wysiłków powstała trzytomowa Theorie der Transformationsgruppen , opublikowana w 1888, 1890 i 1893 roku. Termin groupes de Lie po raz pierwszy pojawił się w języku francuskim w 1893 roku w pracy doktorskiej Arthura Tresse'a, studenta Lie.

Idee Liego nie pozostawały w izolacji od reszty matematyki. W rzeczywistości jego zainteresowanie geometrią równań różniczkowych było po raz pierwszy motywowane pracą Carla Gustava Jacobiego , dotyczącą teorii równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu i równań mechaniki klasycznej . Wiele prac Jacobiego zostało opublikowanych pośmiertnie w latach 60. XIX wieku, wzbudzając ogromne zainteresowanie we Francji i Niemczech (Hawkins, s. 43). Idée fixe Liego polegało na opracowaniu teorii symetrii równań różniczkowych, która umożliwiłaby im to, co zrobił Évariste Galois z równaniami algebraicznymi: mianowicie sklasyfikowanie ich w kategoriach teorii grup. Lie i inni matematycy wykazali, że najważniejsze równania funkcji specjalnych i wielomianów ortogonalnych zwykle wynikają z symetrii teoretycznych grup. We wczesnych pracach Lie chodziło o zbudowanie teorii grup ciągłych , uzupełniającej teorię grup dyskretnych, która rozwinęła się w teorii form modularnych w rękach Felixa Kleina i Henri Poincarégo . Początkowe zastosowanie, które Lie miał na myśli, dotyczyło teorii równań różniczkowych . Na modelu teorii Galois i równaniach wielomianowych kierowała koncepcją teorii zdolnej do unifikacji, poprzez badanie symetrii , całego obszaru równań różniczkowych zwyczajnych . Nie spełniła się jednak nadzieja, że ​​teoria kłamstwa ujednolici całą dziedzinę równań różniczkowych zwyczajnych. Metody symetrii dla ODE są nadal badane, ale nie dominują w temacie. Istnieje różniczkowa teoria Galois , ale została opracowana przez innych, takich jak Picard i Vessiot, i dostarcza teorii kwadratur , całek nieoznaczonych wymaganych do wyrażenia rozwiązań.

Dodatkowym bodźcem do rozważenia grup ciągłych były idee Bernharda Riemanna , dotyczące podstaw geometrii, a ich dalszy rozwój w rękach Kleina. W ten sposób Lie połączył trzy główne tematy dziewiętnastowiecznej matematyki, tworząc swoją nową teorię: ideę symetrii, której przykładem jest Galois poprzez algebraiczne pojęcie grupy ; teoria geometrii i jawne rozwiązania równań różniczkowych mechaniki, opracowane przez Poissona i Jacobiego; oraz nowe rozumienie geometrii, które pojawiło się w pracach Plückera , Möbiusa , Grassmanna i innych, a którego kulminacją była rewolucyjna wizja tematu Riemanna.

Choć dziś Sophus Lie jest słusznie uznawany za twórcę teorii grup ciągłych, duży krok w rozwoju teorii ich struktury, która miała wywrzeć głęboki wpływ na dalszy rozwój matematyki, poczynił Wilhelm Killing , który w 1888 r. opublikował pierwszą pracę z serii zatytułowanej Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( Skład ciągłych skończonych grup transformacji ) (Hawkins, s. 100). Praca Killinga, później udoskonalona i uogólniona przez Élie Cartana , doprowadziła do klasyfikacji półprostych algebr Liego , teorii przestrzeni symetrycznych Cartana oraz opisu Hermanna Weyla reprezentacji zwartych i półprostych grup Liego przy użyciu najwyższych wag .

W 1900 roku David Hilbert zakwestionował teoretyków kłamstwa swoim Piątym Problemem przedstawionym na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu.

Weyl urzeczywistnił wczesny okres rozwoju teorii grup Liego, ponieważ nie tylko sklasyfikował nieredukowalne reprezentacje półprostych grup Liego i połączył teorię grup z mechaniką kwantową, ale także postawił samą teorię Liego na mocniejszych podstawach poprzez: wyraźnie wypowiadając rozróżnienie między nieskończenie małymi grupami Liego (tj. algebrami Liego) a właściwymi grupami Liego i rozpoczął badania topologii grup Liego. Teoria grup Liego była systematycznie przerabiana we współczesnym języku matematycznym w monografii Claude'a Chevalley'a .

Przegląd

Grupy Liego są gładkimi rozmaitościami różniczkowymi i jako takie mogą być badane za pomocą rachunku różniczkowego , w przeciwieństwie do przypadku bardziej ogólnych grup topologicznych . Jedną z kluczowych idei w teorii grup Liego jest zastąpienie globalnego obiektu, grupy, jego lokalną lub zlinearyzowaną wersją, którą Lie sam nazwał „grupą nieskończoną” i która od tego czasu stała się znana jako jej algebra Liego .

Grupy Liego odgrywają ogromną rolę we współczesnej geometrii na kilku różnych poziomach. Felix Klein argumentował w swoim programie Erlangen, że można rozważać różne „geometrie” określając odpowiednią grupę transformacji, która pozostawia pewne właściwości geometryczne niezmienne . Zatem geometria euklidesowa odpowiada na wybór grupy E, (3) na odległość, w zachowaniu przemian euklidesowa przestrzeni R ³ , dopasowaną geometrię odpowiada rozszerzenia grupę do grupy konforemny , natomiast w geometrii rzutowej jest zainteresowany we właściwościach niezmiennikami rzutowa grupy . Ten pomysł później doprowadził do pojęcia struktury G , gdzie G jest grupą Liego „lokalnych” symetrii rozmaitości.

Grupy Liego (i związane z nimi algebry Liego) odgrywają ważną rolę we współczesnej fizyce, przy czym grupa Liego zazwyczaj odgrywa rolę symetrii układu fizycznego. Tutaj szczególnie ważne są reprezentacje grupy Liego (lub jej algebry Liego ). Teoria reprezentacji jest szeroko stosowana w fizyce cząstek elementarnych . Do grup, których reprezentacje mają szczególne znaczenie, należą grupa rotacyjna SO(3) (lub jej podwójna osłona SU(2) ), specjalna grupa unitarna SU(3) oraz grupa Poincaré .

Na poziomie „globalnym”, za każdym razem, gdy grupa Liego działa na obiekt geometryczny, taki jak rozmaitość riemannowska lub rozmaitość symplektyczna , działanie to zapewnia miarę sztywności i daje bogatą strukturę algebraiczną. Obecność ciągłych symetrii wyrażonych przez działanie grupy Liego na rozmaitości nakłada silne ograniczenia na jej geometrię i ułatwia analizę rozmaitości. Liniowe działania grup Liego są szczególnie ważne i są badane w teorii reprezentacji .

W 1940 roku 1950, Ellis Kolchin , Armand Borel i Claude Chevalley sobie sprawę, że wiele fundamentalnych wyniki dotyczące grup Liego można opracować całkowicie algebraicznie, co doprowadziło do teorii grup algebraicznych zdefiniowanych przez dowolnego pola . Ten wgląd otworzył nowe możliwości w czystej algebrze, zapewniając jednolitą konstrukcję dla większości skończonych grup prostych , a także w geometrii algebraicznej . Teoria form automorficznych , ważna gałąź współczesnej teorii liczb , zajmuje się obszernie analogami grup Liego nad pierścieniami Adele ; P -adyczne grupy Liego odgrywają ważną rolę, poprzez ich powiązania z reprezentacjami Galois w teorii liczb.

Definicje i przykłady

Grupa prawdziwy Lie to grupa , która jest również skończenie wymiarowa prawdziwy gładka kolektora , w którym operacje grupowe mnożenia i inwersji są gładkie mapy . Płynność mnożenia grup

${\ Displaystyle \ mu: G \ razy G \ do G \ quad \ mu (x, y) = xy}$

oznacza, że μ jest gładkim odwzorowaniem rozmaitości produktów G × G na G . Te dwa wymagania można połączyć w jedno wymaganie mapowania

${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {-1} y}$

być płynnym odwzorowaniem kolektora produktu na G .

Pierwsze przykłady

• Rzeczywiste macierze odwracalne 2×2 tworzą grupę w wyniku mnożenia, oznaczaną przez GL(2, R ) lub przez GL ₂ ( R ):

${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (2 \ mathbf {R} ) = \ lewo \ {A = {\ zacząć {pmatrix} a & b \ \ c & d \ koniec {pmatrix}}: \ \ det A = ad-bc \neq 0\prawo\}.}$

Jest to czterowymiarowa, niekompaktowa, prawdziwa grupa Liego; jest to otwarty podzbiór . Ta grupa jest odłączona ; ma dwie połączone składowe odpowiadające dodatnim i ujemnym wartościom wyznacznika .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

• Do obrotu matryc tworzą podgrupę z GL (2, R ) , oznaczoną SO (2, R ) . Jest to grupa Liego sama w sobie: konkretnie jednowymiarowa, zwarta, połączona grupa Liego, która jest dyfeomorficzna do koła . Używając kąta obrotu jako parametru, tę grupę można sparametryzować w następujący sposób:${\displaystyle \varphi}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {SO} (2, \ mathbf {R} ) = \ lewo \ {{\ zacząć {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \ \ \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

Dodanie kątów odpowiada pomnożeniu elementów SO(2, R ) , a przyjęcie kąta przeciwnego odpowiada inwersji. Zatem zarówno mnożenie, jak i inwersja są mapami różniczkowymi.

• Grupa afiniczna jednego wymiaru jest dwuwymiarową macierzową grupą Liego, składającą się z rzeczywistych macierzy górnego trójkąta, przy czym pierwsze wejście diagonalne jest dodatnie, a drugie wejście diagonalne ma wartość 1. Zatem grupa składa się z macierzy postaci${\displaystyle 2\razy 2}$

${\ Displaystyle A = \ lewo ({\ zacząć {tablica} {cc} a & b \ \ 0 i 1 \ koniec {tablica}} \ po prawej), \ quad a> 0, \, b \ w \ mathbb {R}.}$

Nieprzykładowy

Przedstawiamy teraz przykład grupy z niepoliczalną liczbą elementów, która nie jest grupą Liego w określonej topologii. Grupa podana przez

${\ Displaystyle H = \ lewo \ {\ lewo ({\ zacząć {macierz} e ^ {2 \ pi ja \ theta} i 0 \ \ 0 i e ^ {2 \ pi ia \ theta} \ koniec {macierz}} \ po prawej) :\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{macierz}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

z o ustalonej liczby niewymiernej jest podgrupą torusa , że nie jest to grupa Lie podawany do topologii podprzestrzeni . Jeśli weźmiemy na przykład dowolne małe sąsiedztwo punktu in , część in jest odłączona. Grupa wije się wielokrotnie wokół torusa, nigdy nie osiągając poprzedniego punktu spirali i w ten sposób tworzy gęstą podgrupę . ${\ Displaystyle a \ w \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$

Grupie można jednak nadać inną topologię, w której odległość między dwoma punktami jest definiowana jako długość najkrótszej ścieżki w grupie łączącej się z . W tej topologii jest identyfikowany homeomorficznie z rzeczywistą linią, identyfikując każdy element z liczbą w definicji . W tej topologii jest tylko grupą liczb rzeczywistych dodawanych, a zatem jest grupą Liego. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ w H}$ ${\ Displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$

Grupa jest przykładem „ podgrupy Liego ” grupy Liego, która nie jest zamknięta. Zobacz poniżej omówienie podgrup Lie w części poświęconej podstawowym pojęciom. ${\ Displaystyle H}$

Grupy Matrix Lie

Pozwolić oznaczają grupę odwracalnych macierzy z wpisami w . Każdy zamknięty podgrupy z oznacza grupę Lie; Tego rodzaju grupy Liego nazywane są macierzowymi grupami Liego. Ponieważ większość interesujących przykładów grup Liego można zrealizować jako macierzowe grupy Liego, niektóre podręczniki ograniczają uwagę do tej klasy, w tym Halla i Rossmanna. Ograniczenie uwagi do macierzowych grup Liego upraszcza definicję algebry Liego i mapy wykładniczej. Poniżej znajdują się standardowe przykłady macierzowych grup Liego. ${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$

• Specjalny liniowe grupy ponad i , i składający się z matrycy z wyznacznik jednego i wpisy lub${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {SL} (n \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ Operatorname {SL} (n \ mathbb {C})}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$
• Te jednostkowe grupy i grupy specjalne jednostkowe, i składające się ze złożonych macierzy spełniających (a także w przypadku )${\ Displaystyle {\ tekst {U}} (n)}$${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (n)}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle U ^ {*} = U ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ det (U) = 1}$${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (n)}$
• W ortogonalne grupy i grupy specjalne prostopadłe, i składające się z rzeczywistym macierzy spełniających (a także w przypadku )${\ Displaystyle {\ tekst {O}} (n)}$${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (n)}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle R ^ {\ operatorname {T}} = R ^ {-1}}$${\ Displaystyle \ det (R) = 1}$${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (n)}$

Wszystkie powyższe przykłady należą do grupy klasycznych .

Pojęcia pokrewne

Kompleks grupa Lie jest zdefiniowana w ten sam sposób, z wykorzystaniem skomplikowanych kolektory zamiast rzeczywistych (np ) oraz holomorficzne map. Podobnie, stosując alternatywną realizację metryczny od można zdefiniować p -adic grupę Lie nad p liczb -adic , grupę topologii, który jest również analityczne p -adic kolektorów, tak, że operacje grupy są analityczne. W szczególności, każdy punkt ma sąsiedztwo p- adyczne. ${\ Displaystyle \ Operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Piąty problem Hilberta dotyczył pytania, czy zastąpienie rozmaitości różniczkowalnych rozmaitościami topologicznymi lub analitycznymi może dać nowe przykłady. Odpowiedź na to pytanie okazała się negatywna: w 1952 roku Gleason , Montgomery i Zippin wykazali, że jeśli G jest rozmaitością topologiczną z ciągłymi operacjami grupowymi, to na G istnieje dokładnie jedna struktura analityczna, która przekształca ją w grupę Liego (patrz także hipoteza Hilberta-Smitha ). Jeśli dopuszcza się, aby leżąca u jej podstaw rozmaitość była nieskończenie wymiarowa (na przykład, rozmaitość Hilberta ), to dochodzimy do pojęcia nieskończenie wymiarowej grupy Liego. Możliwe jest zdefiniowanie analogów wielu grup Liego nad ciałami skończonymi , co daje większość przykładów skończonych grup prostych .

Język teorii kategorii dostarcza zwięzłej definicji grup Liego: grupa Liego jest obiektem grupowym w kategorii gładkich rozmaitości. Jest to ważne, ponieważ umożliwia uogólnienie pojęcia grupy Liego na supergrupy Liego .

Definicja topologiczna

Grupę Liego można zdefiniować jako ( Hausdorffa ) grupę topologiczną, która w pobliżu elementu tożsamości wygląda jak grupa przekształcenia, bez odniesienia do rozmaitości różniczkowalnych. Najpierw definiujemy immersyjnie liniową grupę Liego jako podgrupę G ogólnej grupy liniowej taką, że ${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$

1. dla pewnego sąsiedztwa V elementu tożsamości e w G , topologia na V jest topologią podprzestrzeni i V jest zamknięta w .${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$
2. G ma co najwyżej niezliczoną ilość połączonych elementów.

(Na przykład zamknięta podgrupa ; to znaczy grupa Liego macierz spełnia powyższe warunki.) ${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$

Następnie grupę Liego definiuje się jako grupę topologiczną, która (1) jest lokalnie izomorficzna w pobliżu identyczności z wewnętrznie liniową grupą Liego i (2) ma co najwyżej przeliczalnie wiele połączonych elementów. Pokazanie definicji topologicznej jako równoważnej do zwykłej jest techniczne (a początkujący czytelnicy powinni pominąć poniższe), ale odbywa się z grubsza w następujący sposób:

1. Mając grupę Liego G w zwykłym, wielorakim sensie, odpowiednik grupy Liego i algebry Liego (lub wersja trzeciego twierdzenia Liego ) konstruuje zanurzoną podgrupę Liego, taką, która dzieli tę samą algebrę Liego; są więc lokalnie izomorficzne. Stąd G spełnia powyższą definicję topologiczną.${\ Displaystyle G '\ podzbiór \ nazwa operatora {GL} (n \ mathbb {C})}$${\displaystyle G,G'}$
2. I odwrotnie, niech G będzie grupą topologiczną, która jest grupą Liego w powyższym sensie topologicznym i wybierzmy immersyjnie liniową grupę Liego, która jest lokalnie izomorficzna z G . Następnie, według wersji twierdzenia o podgrupie zamkniętej , jest rozmaitością realno-analityczną, a następnie, poprzez izomorfizm lokalny, G uzyskuje strukturę rozmaitości w pobliżu elementu tożsamościowego. Następnie pokazujemy, że prawo grupowe na G może być podane przez formalne szeregi potęgowe; więc operacje grupowe są rzeczywiste, a samo G jest rozmaitością rzeczywistej analizy.${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$

Definicja topologiczna implikuje stwierdzenie, że jeśli dwie grupy Liego są izomorficzne jako grupy topologiczne, to są one izomorficzne jako grupy Liego. W rzeczywistości określa ogólną zasadę, że w dużym stopniu topologia grupy Liego wraz z prawem grupowym określa geometrię grupy.

Więcej przykładów grup Liego

Grupy kłamstw występują w obfitości w matematyce i fizyce. Grupy macierzowe lub grupy algebraiczne są (w przybliżeniu) grupami macierzy (na przykład grupami ortogonalnymi i symplektycznymi ), które dają większość bardziej powszechnych przykładów grup Liego.

Wymiary jeden i dwa

Jedynymi połączonymi grupami Liego z pierwszym wymiarem są prosta rzeczywista (operacją grupową jest dodawanie) oraz grupa kołowa liczb zespolonych o wartości bezwzględnej jeden (operacją grupową jest mnożenie). Grupy często określane jako , grupy jednostkowych matryce. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle U(1)}$${\displaystyle 1\razy 1}$

W dwóch wymiarach, jeśli ograniczymy uwagę do po prostu połączonych grup, to są one klasyfikowane przez ich algebry Liego. Istnieją (aż do izomorfizmu) tylko dwie algebry Liego drugiego wymiaru. Powiązane proste połączone grupy Lie to (przy czym operacją grupową jest dodawanie wektorów) oraz grupa afiniczna w wymiarze jeden, opisana w poprzednim podrozdziale w „pierwszych przykładach”. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Dodatkowe przykłady

• Grupę su (2) oznacza grupę o jednolitych matryc wyznacznika . Topologicznie jest -sfera ; jako grupa może być utożsamiany z grupą kwaternionów jednostkowych .${\displaystyle 2\razy 2}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (2)}$${\displaystyle 3}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$
• Grupa Heisenberga jest połączoną nilpotentną grupą wymiarów Liego , odgrywającą kluczową rolę w mechanice kwantowej .${\displaystyle 3}$
• Grup Lorentz jest 6-wymiarowej grupa Lie liniowych izometrycznych w przestrzeni Minkowskiego .
• Grupa Poincaré jest 10-wymiarową grupą Liego izometrii afinicznych przestrzeni Minkowskiego.
• Te wyjątkowe grupy Lie typów G ₂ , F ₄ , E, ₆ , E ₇ , E ₈ mają wymiar 14, 52, 78, 133, i 248. Wraz z serii ABCD grup prostych Lie , wyjątkowe grupy zakończenia listę proste grupy Liego.
• Grupa symplektyczna składa się z wszystkich macierzy zachowujących formę symplektyczną na . Jest to połączona grupa Liego wymiaru .${\ Displaystyle {\ tekst {Sp}} (2n, \ mathbb {R})}$${\displaystyle 2n\razy 2n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2n ^ {2} + n}$

Konstrukcje

Istnieje kilka standardowych sposobów tworzenia nowych grup Lie ze starych:

• Iloczyn dwóch grup Liego to grupa Liego.
• Każda topologicznie zamknięta podgrupa grupy Liego jest grupą Liego. Jest to znane jako twierdzenie o zamkniętej podgrupie lub twierdzenie Cartana .
• Iloraz grupy Liego przez zamkniętą podgrupę normalną to grupa Liego.
• Uniwersalna osłona z podłączonym grupy Lie to grupa Lie. Na przykład grupa jest uniwersalną okładką grupy kół . W rzeczywistości każde pokrycie rozmaitości różniczkowalnej jest również rozmaitością różniczkowalną, ale poprzez określenie pokrycia uniwersalnego gwarantuje się strukturę grupową (zgodną z innymi jej strukturami).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Powiązane pojęcia

Niektóre przykłady grup, które nie są grupami Liego (z wyjątkiem trywialnego znaczenia, że ​​każda grupa mająca co najwyżej policzalnie wiele elementów może być postrzegana jako 0-wymiarowa grupa Liego, z dyskretną topologią ), to:

• Grupy nieskończenie wymiarowe, takie jak grupa addytywna nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej rzeczywistej lub przestrzeń funkcji gładkich od rozmaitości do grupy Liego , . Nie są to grupy Liego, ponieważ nie są to rozmaitości skończenie wymiarowe .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, G)}$
• Niektóre całkowicie rozłączne grupy , takie jak grupa Galois o nieskończonym rozszerzeniu pól lub grupa addytywna liczb p -adycznych. Nie są to grupy Liego, ponieważ leżące u ich podstaw przestrzenie nie są rzeczywistymi rozmaitościami. (Niektóre z tych grup to " p -adyczne grupy Liego".) Na ogół tylko grupy topologiczne o podobnych właściwościach lokalnych do R ⁿ dla jakiejś dodatniej liczby całkowitej n mogą być grupami Liego (oczywiście muszą mieć również strukturę różniczkowalną).

Podstawowe koncepcje

Algebra Liego związana z grupą Liego

Z każdą grupą Liego możemy powiązać algebrę Liego, której podstawową przestrzenią wektorową jest przestrzeń styczna grupy Liego w elemencie tożsamości i która całkowicie oddaje lokalną strukturę grupy. Nieformalnie możemy myśleć o elementach algebry Liego jako o elementach grupy, które są „ nieskończenie blisko” tożsamości, a nawias Liego algebry Liego jest powiązany z komutatorem dwóch takich nieskończenie małych elementów. Przed podaniem abstrakcyjnej definicji podajemy kilka przykładów:

• Algebra Liego przestrzeni wektorowej R ⁿ to po prostu R ⁿ z nawiasem Liego określonym przez
      [ A ,  B ] = 0.
  (Ogólnie nawias Liego połączonej grupy Liego wynosi zawsze 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa .)
• Algebra Liego ogólnej grupy liniowej GL( n , C ) macierzy odwracalnych jest przestrzenią wektorową M( n , C ) macierzy kwadratowych z nawiasem Liego określonym wzorem
      [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• Jeśli G jest zamkniętą podgrupą GL( n , C ), to algebra Liego z G może być traktowana nieformalnie jako macierze m z M( n , C ) takie, że 1 + ε m jest w G , gdzie ε jest nieskończenie małą liczba dodatnia z ε ²  = 0 (oczywiście taka liczba rzeczywista ε nie istnieje). Na przykład grupa ortogonalna O( n , R ) składa się z macierzy A z AA ^T  = 1, więc algebra Liego składa się z macierzy m z (1 + ε m )(1 + ε m ) ^T  = 1, czyli równoważne m  +  m ^T  = 0, ponieważ ε ²  = 0.
• Powyższy opis może być bardziej rygorystyczny w następujący sposób. Algebra Liego domkniętej podgrupy G GL( n , C ) może być obliczona jako

${\ Displaystyle \ operatorname {kłamstwo} (G) = \ {X \ w M (n; \ mathbb {C}) | \ operatorname {exp} (tX) \ w G {\ tekst {dla wszystkich}} t {\ tekst{ w }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$gdzie exp( tX ) jest definiowane za pomocą macierzy wykładniczej . Można wtedy pokazać, że algebra Liego z G jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, która jest zamknięta pod działaniem nawiasu, .${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$

Konkretna definicja podana powyżej dla grup macierzy jest łatwa w obsłudze, ale ma pewne drobne problemy: aby jej użyć, najpierw musimy przedstawić grupę Liego jako grupę macierzy, ale nie wszystkie grupy Liego można przedstawić w ten sposób, oraz nie jest nawet oczywiste, że algebra Liego jest niezależna od używanej przez nas reprezentacji. Aby obejść te problemy, podajemy ogólną definicję algebry Liego grupy Liego (w 4 krokach):

1. Pola wektorowe na dowolnej gładkiej rozmaitości M można traktować jako wyprowadzenia X pierścienia gładkich funkcji na rozmaitości, a zatem tworzą algebrę Liego pod nawiasem Liego [ X ,  Y ] =  XY  −  YX , ponieważ nawias Liego dowolnego dwa derywacje to derywacja.
2. Jeśli G jest dowolną grupą działającą gładko na rozmaitości M , to działa ona na pola wektorowe, a przestrzeń wektorowa pól wektorowych ustalonych przez grupę jest zamknięta pod nawiasem Liego i dlatego również tworzy algebrę Liego.
3. Stosujemy tę konstrukcję w przypadku, gdy rozmaitość M jest podległą przestrzenią grupy Liego  G , gdzie G działa na G  =  M przez lewe translacje L _g ( h ) =  gh . To pokazuje, że przestrzeń lewostronnych pól wektorowych (pola wektorowe spełniające L _{g *} X _h =  X _gh dla każdego h w G , gdzie L _{g *} oznacza różniczkę L _g ) na grupie Liego jest algebrą Liego pod Lie nawias pól wektorowych.
4. Dowolny wektor styczny na identyczności grupy Liego można rozszerzyć do pola wektorowego niezmiennego w lewo przez translację w lewo wektora stycznego do innych punktów rozmaitości. Konkretnie, lewostronne rozszerzenie elementu v przestrzeni stycznej w identyczności jest polem wektorowym zdefiniowanym przez v ^ _g  =  L _{g *} v . To identyfikuje przestrzeń styczną T _e G na identyczności z przestrzenią lewostronnych pól wektorowych, a zatem czyni przestrzeń styczną na identyczności algebrą Liego, nazywaną algebrą Liego G , zwykle oznaczaną przez fraktur. Zatem nawias Liego on jest wyraźnie określone przez [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e .${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ta algebra Liego jest skończenie wymiarowa i ma taki sam wymiar jak rozmaitość G . Algebra Liego z G określa G aż do „lokalnego izomorfizmu”, gdzie dwie grupy Liego nazywane są lokalnie izomorficznymi, jeśli wyglądają tak samo w pobliżu elementu tożsamości. Problemy dotyczące grup Liego są często rozwiązywane przez rozwiązanie odpowiedniego problemu dla algebr Liego, a wynik dla grup zwykle następuje łatwo. Na przykład proste grupy Liego są zwykle klasyfikowane przez klasyfikację najpierw odpowiednich algebr Liego. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Możemy również określić strukturę Lie algebra na T _è stosując prawo niezmienne pól wektorowych zamiast w lewo niezmiennych pól wektorowych. Prowadzi to do tej samej algebry Liego, ponieważ odwrotność odwzorowania na G może być użyta do identyfikacji lewych niezmienniczych pól wektorowych z prawymi niezmienniczymi polami wektorowymi i działa jako −1 w przestrzeni stycznej T _e .

Strukturę algebry Liego na T _e można również opisać następująco: działanie komutatora

( x , y ) → xyx ^-1 y ^-1

o G x G wysyła ( e ,  e ) do e , tak więc jej wydajności Pochodna działanie dwuliniowo na T _e G . Ta dwuliniowa operacja jest w rzeczywistości odwzorowaniem zerowym, ale druga pochodna, przy właściwej identyfikacji przestrzeni stycznych, daje operację spełniającą aksjomaty nawiasu Liego i jest równa dwukrotności tej zdefiniowanej przez pola wektorowe niezmiennicze lewostronnie.

Homomorfizmy i izomorfizmy

Jeśli G i H są grupami Liego, to homomorfizm grup Liego f  : G → H jest homomorfizmem grup gładkich . W przypadku złożonych grup Liego taki homomorfizm musi być mapą holomorficzną . Jednak te wymagania są nieco rygorystyczne; każdy ciągły homomorfizm między rzeczywistymi grupami Liego okazuje się być (rzeczywistym) analitycznym .

Złożenie dwóch homomorfizmów Liego jest ponownie homomorfizmem, a klasa wszystkich grup Liego, razem z tymi morfizmami, tworzy kategorię . Co więcej, każdy homomorfizm grup Liego wywołuje homomorfizm między odpowiednimi algebrami Liego. Niech będzie homomorfizmem grupy Liego i niech będzie jego pochodną w tożsamości. Jeśli utożsamimy algebry Liego z G i H z ich przestrzeniami stycznymi w elementach tożsamości, to jest odwzorowaniem między odpowiednimi algebrami Liego: ${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek G \ do H}$${\ Displaystyle \ phi _ {*}}$${\ Displaystyle \ phi _ {*}}$

${\ Displaystyle \ phi _ {*} \ dwukropek {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {h}}}$

Można pokazać, że w rzeczywistości jest to homomorfizm algebry Liego (co oznacza, że ​​jest to odwzorowanie liniowe, które zachowuje nawias Liego ). W języku teorii kategorii mamy zatem funktor kowariantny z kategorii grup Liego do kategorii algebr Liego, który wysyła grupę Liego do swojej algebry Liego i homomorfizm grupy Liego do jej pochodnej w tożsamości. ${\ Displaystyle \ phi _ {*}}$

Dwie grupy Liego są nazywane izomorficznymi, jeśli istnieje między nimi homomorfizm bijektywny, którego odwrotność jest również homomorfizmem grupy Liego. Równoważnie jest to dyfeomorfizm będący jednocześnie homomorfizmem grupowym. Zauważ, że z powyższego wynika, że ​​ciągły homomorfizm z grupy Liego do grupy Liego jest izomorfizmem grup Liego wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywny. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$

Grupa Liego a izomorfizmy algebry Liego

Izomorficzne grupy Liego z konieczności mają izomorficzne algebry Liego; uzasadnione jest zatem pytanie, w jaki sposób klasy izomorfizmu grup Liego odnoszą się do klas izomorfizmu algebr Liego.

Pierwszym wynikiem w tym kierunku jest trzecie twierdzenie Liego , które mówi, że każda skończenie wymiarowa, rzeczywista algebra Liego jest algebrą Liego pewnej (liniowej) grupy Liego. Jednym ze sposobów udowodnienia trzeciego twierdzenia Liego jest użycie twierdzenia Ado , które mówi, że każda skończenie wymiarowa rzeczywista algebra Liego jest izomorficzna z macierzową algebrą Liego. Tymczasem dla każdej skończenie wymiarowej macierzy algebry Liego istnieje grupa liniowa (macierzowa grupa Liego) z tą algebrą jako algebrą Liego.

Z drugiej strony, grupy Liego z izomorficznymi algebrami Liego nie muszą być izomorficzne. Co więcej, ten wynik pozostaje prawdziwy, nawet jeśli założymy, że grupy są połączone. Innymi słowy, globalna struktura grupy Liego nie jest określona przez jej algebrę Liego; na przykład, jeśli Z jest dowolną dyskretną podgrupą środka G, to G i G / Z mają tę samą algebrę Liego (patrz przykłady w tabeli grup Liego ). Przykładem znaczenia w fizyce są grupy SU(2) i SO(3) . Te dwie grupy mają izomorficzne algebry Liego, ale same grupy nie są izomorficzne, ponieważ SU(2) jest po prostu połączone, a SO(3) nie.

Z drugiej strony, jeśli wymagamy, aby grupa Liego była po prostu połączona , wtedy struktura globalna jest określona przez jej algebrę Liego: dwie po prostu połączone grupy Liego z izomorficznymi algebrami Liego są izomorficzne. (Zobacz następny podrozdział, aby uzyskać więcej informacji na temat po prostu połączonych grup Liego.) W świetle trzeciego twierdzenia Liego możemy zatem powiedzieć, że istnieje zależność jeden do jednego między klasami izomorfizmu skończenie wymiarowych algebr Liego i klasami izomorfizmu po prostu połączone grupy Lie.

Po prostu połączone grupy Lie

Mówi się, że grupa Lie jest po prostu połączona, jeśli każda pętla może być stale zmniejszana do punktu w . To pojęcie jest ważne ze względu na następujący wynik, który ma prosty związek jako hipotezę: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Twierdzenie : Załóżmy i są grupami spoczywać algebr Liego i i że jest homomorfizmem algebry Lie. Jeśli jest po prostu połączony, to istnieje unikalny homomorfizm grupy Liego taki, że , gdzie jest różniczką przy tożsamości.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \phi:G\rightarrow H}$${\ Displaystyle \ phi _ {*} = f}$${\ Displaystyle \ phi _ {*}}$${\displaystyle \phi}$

Trzecie twierdzenie Liego mówi, że każda skończenie wymiarowa rzeczywista algebra Liego jest algebrą Liego grupy Liego. Z trzeciego twierdzenia Liego i poprzedniego wyniku wynika, że ​​każda skończenie wymiarowa rzeczywista algebra Liego jest algebrą Liego unikatowej, po prostu połączonej grupy Liego.

Przykładem po prostu połączonej grupy jest specjalna grupa unitarna SU(2) , która jako rozmaitość jest trójsferą. Z drugiej strony, grupa rotacyjna SO(3) nie jest po prostu połączona. (Patrz Topologia SO(3) .) Niepowodzenie SO(3) w prostym połączeniu jest ściśle związane z rozróżnieniem między spinem całkowitym a spinem połówkowym w mechanice kwantowej. Inne przykłady prostych połączonych grup Liego obejmują specjalną grupę unitarną SU(n) , grupę spinową (podwójne pokrycie grupy rotacyjnej) Spin(n) for , oraz zwartą grupę symplektyczną Sp(n) . ${\displaystyle n\geq 3}$

Metody określania, czy grupa Liego jest po prostu połączona, czy nie, omówiono w artykule o podstawowych grupach grup Liego .

Mapa wykładnicza

Mapę wykładniczy z Algebra Lie w ogólnej grupy liniowego na jest określona przez macierz wykładniczy , ponieważ w zwykły szeregu potęgowego: ${\displaystyle M(n;\mathbb {C})}$ ${\displaystyle GL(n;\mathbb {C})}$${\displaystyle GL(n;\mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ Frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {X ^ {3} {3!}} + \ cdots}$

dla macierzy . Jeśli jest zamkniętą podgrupą , to odwzorowanie wykładnicze przyjmuje algebrę Liego do ; w ten sposób mamy mapę wykładniczą dla wszystkich grup macierzy. Każdy element tego, który jest wystarczająco bliski tożsamości, jest wykładnikiem macierzy w algebrze Liego. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle GL(n;\mathbb {C})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Powyższa definicja jest łatwa w użyciu, ale nie jest zdefiniowana dla grup Liego, które nie są grupami macierzy, i nie jest jasne, czy mapa wykładnicza grupy Liego nie zależy od jej reprezentacji jako grupy macierzy. Możemy rozwiązać oba problemy, używając bardziej abstrakcyjnej definicji mapy wykładniczej, która działa dla wszystkich grup Liego, w następujący sposób.

Dla każdego wektora w Algebra Lie z (to znaczy, w miejscu styczności z na tożsamości), dowodzi, że jeden jest unikalny jedną podgrupę parametrów , tak że . Powiedzenie, że jest to podgrupa jednoparametrowa, oznacza po prostu, że jest to gładka mapa do i, że ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle c (s + t) = c (s) c (t) \ }$

dla wszystkich i . Operacja po prawej stronie to mnożenie grup w . Formalne podobieństwo tego wzoru do wzoru obowiązującego dla funkcji wykładniczej uzasadnia definicję ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\}$

Nazywa się to mapą wykładniczą i odwzorowuje algebrę Liego na grupę Liego . Zapewnia dyfeomorfizm między otoczeniem 0 in i otoczeniem in . Ta mapa wykładnicza jest uogólnieniem funkcji wykładniczej dla liczb rzeczywistych (ponieważ jest algebra Liego grupy Liego dodatnich liczb rzeczywistych z mnożeniem), dla liczb zespolonych (ponieważ jest algebra Liego grupy Liego niezerowych liczb zespolonych z mnożeniem) oraz dla macierzy (ponieważ z komutatorem regularnym jest algebra Liego grupy Liego wszystkich macierzy odwracalnych). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle M (n \ mathbb {R} )}$${\ Displaystyle GL (n \ mathbb {R} )}$

Ponieważ wykładniczy mapa jest suriekcją na pewnym otoczeniu o , to jest wspólne elementy kłamstwo algebry zadzwonić generatorów nieskończenie grupy . Podgrupa generowane przez jest składnikiem tożsamości . ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$

Przekształcenie wykładnicze i algebra Liego określają strukturę grupy lokalnej każdej połączonej grupy Liego, ze względu na wzór Bakera–Campbella–Hausdorffa : istnieje sąsiedztwo elementu zerowego , takie, że mamy ${\ Displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle X, Y \ w U}$

${\ Displaystyle \ exp (X) \ \ exp (Y) = \ exp \ lewo (X + Y + {\ tfrac {1} {2}} [X, Y] + {\ tfrac {1} {12}} [\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

gdzie pominięte terminy są znane i obejmują nawiasy Liego składające się z czterech lub więcej elementów. W przypadku i dojazdów formuła ta sprowadza się do znanego prawa wykładniczego${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

Mapa wykładnicza dotyczy homomorfizmów grup Liego. Oznacza to, że jeśli jest homomorfizmem grupy Liego i indukowanym odwzorowaniem na odpowiednich algebrach Liego, to dla wszystkich mamy ${\ Displaystyle \ phi : G \ do H}$${\ Displaystyle \ phi _ {*}: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi_{*}(x)).\,}$

Innymi słowy, poniższy diagram dojeżdża ,

(W skrócie, exp to naturalna transformacja z funktora Lie do funktora tożsamościowego w kategorii grup Liego.)

Wykładnicze odwzorowanie z algebry Liego na grupę Liego nie zawsze jest na , nawet jeśli grupa jest połączona (chociaż odwzorowuje się na grupę Liego dla połączonych grup, które są albo zwarte, albo nilpotentne). Na przykład mapa wykładnicza SL(2, R ) nie jest surjektywna. Ponadto przekształcenie wykładnicze nie jest ani surjektywne, ani injekcyjne dla nieskończenie wymiarowych (patrz poniżej) grup Liego modelowanych w przestrzeni C ^∞ Frécheta , nawet od arbitralnego małego sąsiedztwa 0 do odpowiedniego sąsiedztwa 1.

Podgrupa kłamstw

Lie podgrupa grupy Lie oznacza grupę Lie który jest podzbiorem od i tak, że na mapie włączenie od się to za pomocą wstrzyknięć zanurzenie i homomorfizm grup . Zgodnie z twierdzeniem Cartan za , zamkniętym podgrupie od przyznaje unikalny gładką strukturę, która sprawia, że jest on osadzony Lie podgrupa -ie podgrupa Lie takie, że mapa jest włączenie gładki osadzanie. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Przykłady podgrup niezamkniętych są obfite; Rozważmy na przykład być torusa wymiaru 2 lub większą, niech będzie podgrupa jeden parametr z nachylenia irracjonalnego , czyli taki, który owija się wokół w G . Następnie mamy homomorfizm grupy Liego z . Zamknięcie od będzie w ramach torusa . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ do G}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (\ varphi) = H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$

Wykładniczy map daje korespondencja jeden do jednego między podłączonymi podgrup kłamstwo podłączonego grupy Lie i subalgebras z algebry kłamstwo . Zazwyczaj podgrupa odpowiadająca podalgebrze nie jest podgrupą zamkniętą. Nie istnieje kryterium oparte wyłącznie na strukturze, które określa, które podalgebry odpowiadają podgrupom domkniętym. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Reprezentacje

Ważnym aspektem badania grup Liego są ich reprezentacje, czyli sposób, w jaki mogą działać (liniowo) na przestrzeniach wektorowych. W fizyce grupy Liego często kodują symetrie systemu fizycznego. Sposób, w jaki wykorzystuje się tę symetrię do pomocy w analizie systemu, to często teoria reprezentacji. Rozważmy na przykład niezależne od czasu równanie Schrödingera w mechanice kwantowej, . Załóżmy, że system, o którym mowa, ma grupę rotacyjną SO(3) jako symetrię, co oznacza, że ​​operator hamiltonianu komutuje z działaniem SO(3) na funkcję falową . (Jednym z ważnych przykładów takiego układu jest atom wodoru , który ma pojedynczy sferyczny orbital.) To założenie nie musi koniecznie oznaczać, że rozwiązania są funkcjami rotacyjnie niezmienniczymi. Oznacza to raczej, że przestrzeń rozwiązań do jest niezmienna przy obrotach (dla każdej stałej wartości ). Przestrzeń ta stanowi zatem reprezentację SO(3). Te reprezentacje zostały sklasyfikowane, a klasyfikacja prowadzi do znacznego uproszczenia problemu , zasadniczo przekształcając trójwymiarowe równanie różniczkowe cząstkowe w jednowymiarowe równanie różniczkowe zwyczajne. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ psi = E \ psi}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ psi = E \ psi}$${\ Displaystyle E}$

Przypadek połączonej zwartej grupy Liego K (w tym właśnie wspomniany przypadek SO(3)) jest szczególnie podatny na analizę. W takim przypadku każda skończenie wymiarowa reprezentacja K rozkłada się na bezpośrednią sumę reprezentacji nieredukowalnych. Z kolei reprezentacje nieredukowalne zostały sklasyfikowane przez Hermanna Weyla . Klasyfikacja odbywa się według „najwyższej wagi” reprezentacji. Klasyfikacja jest ściśle związana z klasyfikacją reprezentacji półprostej algebry Liego .

Można również badać (ogólnie nieskończenie wymiarowo) unitarne reprezentacje dowolnej grupy Liego (niekoniecznie zwartej). Na przykład można podać stosunkowo prosty, jednoznaczny opis reprezentacji grupy SL(2,R) i reprezentacji grupy Poincaré .

Klasyfikacja

Grupy kłamstw mogą być traktowane jako płynnie zmieniające się rodziny symetrii. Przykłady symetrii obejmują obrót wokół osi. Trzeba zrozumieć naturę „małych” przekształceń, na przykład rotacji o małe kąty, które łączą pobliskie przekształcenia. Obiekt matematyczny przechwytujący tę strukturę nazywa się algebrą Liego ( sam Lie nazwał je „grupami nieskończoności”). Można to zdefiniować, ponieważ grupy Liego są gładkimi rozmaitościami, a więc mają przestrzenie styczne w każdym punkcie.

Algebra Lie każdej zwartej grupie Lie (z grubsza: jeden dla których symetrie tworzą zbiór ograniczony) można rozłożyć jako sumę prostą wystąpienia Abelowych Lie algebry i pewnej liczby prostych nich. Struktura abelowej algebry Liego jest matematycznie nieciekawa (ponieważ nawias Liego ma identyczne zero); zainteresowanie jest w prostych sumach. Powstaje zatem pytanie: czym są proste algebry Liego grup zwartych? Okazuje się, że w większości należą do czterech nieskończonych rodzin, „klasycznych algebr Liego” A _n , B _n , C _n i D _n , które mają proste opisy w kategoriach symetrii przestrzeni euklidesowej. Ale jest też tylko pięć „wyjątkowych algebr Liego”, które nie należą do żadnej z tych rodzin. E ₈ jest największym z nich.

Grupy Liego są klasyfikowane zgodnie z ich właściwościami algebraicznymi ( proste , półproste , rozwiązywalne , nilpotentne , abelowe ), ich powiązaniami ( spójne lub po prostu połączone ) i ich zwartością .

Pierwszym kluczowym wynikiem jest dekompozycja Leviego , która mówi, że każda połączona grupa Liego jest półbezpośrednim iloczynem rozwiązywalnej podgrupy normalnej i podgrupy półprostej.

• Wszystkie połączone zwarte grupy Liego są znane: są to skończone ilorazy centralne iloczynu kopii grupy kołowej S ¹ i prostych zwartych grup Liego (odpowiadających połączonym diagramom Dynkina ).
• Każda prosto połączona rozwiązywalna grupa Liego jest izomorficzna z zamkniętą podgrupą grupy odwracalnych górnych trójkątnych macierzy pewnego rzędu, a każda skończenie wymiarowa nieredukowalna reprezentacja takiej grupy jest jednowymiarowa. Grupy, które można rozwiązać, są zbyt skomplikowane, aby je sklasyfikować, z wyjątkiem kilku małych wymiarów.
• Każda po prostu połączona nilpotentna grupa Liego jest izomorficzna z zamkniętą podgrupą grupy odwracalnych górnych trójkątnych macierzy z jedynkami na przekątnej pewnego rzędu, a każda skończenie wymiarowa nieredukowalna reprezentacja takiej grupy jest jednowymiarowa. Podobnie jak grupy rozwiązywalne, grupy nilpotentne są zbyt nieuporządkowane, aby je klasyfikować, z wyjątkiem kilku małych wymiarów.
• Proste grupy Liego są czasami definiowane jako te, które są proste jako grupy abstrakcyjne, a czasami są definiowane jako połączone grupy Liego za pomocą prostej algebry Liego. Na przykład SL(2, R ) jest prosty według drugiej definicji, ale nie według pierwszej. Wszystkie zostały sklasyfikowane (dla obu definicji).
• Półproste grupy Liego to grupy Liego, których algebra Liego jest iloczynem prostych algebr Liego. Są centralnymi rozszerzeniami produktów prostych grup Liego.

Składnik tożsamości każdej grupy Liego jest otwartą podgrupą normalną , a grupa ilorazowa jest grupą dyskretną . Uniwersalna osłona dowolnej połączonej grupy Liego jest po prostu połączoną grupą Liego i odwrotnie, każda połączona grupa Liego jest ilorazem po prostu połączonej grupy Liego przez dyskretną normalną podgrupę centrum. Każdą grupę Liego G można rozłożyć na odrębne, proste i abelowe grupy w kanoniczny sposób w następujący sposób. Pisać

G _con dla połączonego składnika tożsamości

G _sol dla największej połączonej normalnej, możliwej do rozwiązania podgrupy

G _nil dla największej połączonej normalnej podgrupy nilpotentnej

tak, że mamy sekwencję normalnych podgrup

1 ⊆ G _zero ⊆ G _zol ⊆ G _con ⊆ G .

Następnie

G / G _con jest dyskretny

G _con / G _sol jest centralnym rozszerzeniem produktu prostych połączonych grup Liego .

G _sol / G _nil to abel. Podłączony grupa przemienna Lie jest izomorficzny produktu kopii R i grupa koło S ¹ .

G _nil /1 jest nilpotentny, a zatem jego rosnąca seria centralna ma wszystkie ilorazy abelowe.

Można to wykorzystać do zredukowania niektórych problemów dotyczących grup Liego (takich jak znajdowanie ich unitarnych reprezentacji) do tych samych problemów dla połączonych grup prostych oraz nilpotentnych i rozwiązywalnych podgrup o mniejszym wymiarze.

• Grupa dyfeomorfizmu grupy Liego działa przechodnie na grupę Liego
• Każda grupa Liego jest paralelizowalna , a więc orientowalna rozmaitość (istnieje izomorfizm wiązki między jej wiązką styczną a iloczynem siebie z przestrzenią styczną w tożsamości)

Nieskończenie wymiarowe grupy Liego

Grupy Liego są często definiowane jako skończenie wymiarowe, ale istnieje wiele grup, które przypominają grupy Liego, z wyjątkiem tego, że są nieskończenie wymiarowe. Najprostszym sposobem zdefiniowania nieskończenie wymiarowych grup Liego jest modelowanie ich lokalnie na przestrzeniach Banacha (w przeciwieństwie do przestrzeni euklidesowej w przypadku skończenie wymiarowych), a w tym przypadku znaczna część podstawowej teorii jest podobna do teorii skończenie wymiarowego Liego. grupy. Jest to jednak niewystarczające dla wielu zastosowań, ponieważ wiele naturalnych przykładów nieskończenie wymiarowych grup Liego nie jest rozmaitościami Banacha. Zamiast tego należy zdefiniować grupy Liego wzorowane na bardziej ogólnych lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeniach wektorowych. W tym przypadku relacja między algebrą Liego a grupą Liego staje się raczej subtelna i kilka wyników dotyczących skończenie wymiarowych grup Liego nie jest już aktualnych.

Literatura nie jest całkowicie jednolita w swojej terminologii co do tego, jakie dokładnie właściwości grup nieskończenie wymiarowych kwalifikują grupę do przedrostka Lie in Lie group . Po stronie algebry Liego sprawy są prostsze, ponieważ kryteria kwalifikujące przedrostek Lie w algebrze Liego są czysto algebraiczne. Na przykład nieskończenie wymiarowa algebra Liego może, ale nie musi mieć odpowiadającej grupy Liego. Oznacza to, że może istnieć grupa odpowiadająca algebrze Liego, ale może nie być wystarczająco ładna, aby nazwać ją grupą Liego, lub połączenie między grupą a algebrą Liego może nie być wystarczająco dobre (na przykład niepowodzenie mapa wykładnicza, aby znaleźć się w sąsiedztwie tożsamości). To „wystarczająco ładne”, co nie jest powszechnie definiowane.

Niektóre z przebadanych przykładów obejmują:

• Grupa dyfeomorfizmów rozmaitości. Dosyć dużo wiadomo o grupie dyfeomorfizmów koła. Jego Lie algebra jest (mniej lub bardziej) algebra Witt , którego centralne przedłużenie na algebrę Virasoro (patrz Virasoro algebrę z Witt algebry dla wyprowadzenia tego faktu) jest algebra symetrii dwuwymiarowej teorii pola konformalna . Grupy dyfeomorfizmu zwartych rozmaitości o większym wymiarze są regularnymi grupami Fréchet Lie ; niewiele wiadomo o ich strukturze.
• Grupa dyfeomorfizmu czasoprzestrzeni pojawia się czasami w próbach kwantyzacji grawitacji.
• Grupa gładkich przekształceń od rozmaitości do skończenie wymiarowej grupy Liego jest przykładem grupy cechowania (z operacją mnożenia punktowego ) i jest używana w kwantowej teorii pola i teorii Donaldsona . Jeśli rozmaitość jest kołem, nazywa się je grupami pętli i mają rozszerzenia centralne, których algebry Liego są (mniej więcej) algebrami Kaca–Moody'ego .
• Istnieją nieskończenie wymiarowe analogi ogólnych grup liniowych, grup ortogonalnych i tak dalej. Ważnym aspektem jest to, że mogą one mieć prostsze własności topologiczne: patrz na przykład twierdzenie Kuipera . Na przykład w M-teorii 10-wymiarowa teoria cechowania SU(N) staje się teorią 11-wymiarową, gdy N staje się nieskończone.

Zobacz też

Uwagi

Notatki wyjaśniające

Cytaty

Bibliografia