p -liczba adic - p-adic number

Liczby całkowite 3-adyczne, z wybranymi odpowiadającymi im znakami na ich podwójnej grupie Pontryagin

W matematyce , p -adic system liczbowy dla każdej liczby pierwszej  p rozciąga się zwykłą arytmetykę z liczb wymiernych w inny sposób z rozszerzenia racjonalnego systemu liczbowego do rzeczywistych i skomplikowanych numerycznych systemów. Rozszerzenie osiąga się poprzez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” lub wartości bezwzględnej . W szczególności dwie liczby p -adyczne uważa się za bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez dużą potęgę p : im wyższa potęga, tym bliżej się znajdują. Ta właściwość umożliwia p -adic numery zakodować kongruencji informacji w sposób, który okazuje się mieć potężne aplikacje w teorii liczb - w tym na przykład w słynnym dowód na Wielkie Twierdzenie Fermata przez Andrew Wiles .

Liczby te zostały po raz pierwszy opisane przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż z perspektywy czasu niektóre wcześniejsze prace Ernsta Kummera można interpretować jako implicite używające liczb p- adycznych. W p numery -adic były motywowane głównie przez próbę doprowadzenia pomysłów i technik serii moc metod w teorii liczb . Ich wpływ wykracza teraz daleko poza to. Na przykład dziedzina analizy p- adycznej zasadniczo dostarcza alternatywną formę rachunku różniczkowego .

Bardziej formalnie, dla danego prime  p The field Q p o p liczb -adic jest ukończenie z liczb wymiernych . Pole Q p otrzymuje również topologię wyprowadzoną z metryki , która sama jest wyprowadzona z porządku p- adycznego , alternatywnego wyceny liczb wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest kompletna w tym sensie, że każda sekwencja Cauchy'ego zbiega się do punktu w Q p . To właśnie umożliwia rozwój rachunku różniczkowego na Q p , i to właśnie współdziałanie tej analitycznej i algebraicznej struktury nadaje systemom liczb p- adycznych ich moc i użyteczność.

P w „ P -adic” jest zmienna i może być zastąpiony Prime (w wyniku, na przykład, „po 2 polisialilowy ilości”) lub z inną ekspresja jest liczbą pierwszą. Słowo „adyczne” od „ p- adycznego” pochodzi od końcówki występującej w słowach takich jak diadyczny lub triadyczny .

p -adyczne rozwinięcie liczb wymiernych

Rozszerzeniem dziesiętnym dodatniej liczby wymiernej r jest jej reprezentacja jako szereg

gdzie każda jest liczbą całkowitą taką, że To rozwinięcie można obliczyć przez długie dzielenie licznika przez mianownik, który sam opiera się na następującym twierdzeniu: Jeśli jest liczbą wymierną taką, że istnieje liczba całkowita a taka, że i z Rozszerzenie dziesiętne otrzymuje się przez wielokrotne zastosowanie tego wyniku do pozostałych s, które w iteracji przyjmują rolę pierwotnej liczby wymiernej r .

P - adyczne rozszerzenie liczby wymiernej jest określony w podobny sposób, ale z innym etapie podziału. Dokładniej, mając ustaloną liczbę pierwszą p , każda niezerowa liczba wymierna może być jednoznacznie zapisana jako gdzie k jest (prawdopodobnie ujemną) liczbą całkowitą, a n i dwzględnie pierwszymi liczbami całkowitymi, obie względnie pierwsze z p . Liczba całkowita k jest P -adic wartość od R , oznaczone i jest jego str -adic wartość bezwzględna , oznaczoną (wartość bezwzględna jest mała, gdy wartość jest duża). Etap podziału składa się z pisania

gdzie a jest liczbą całkowitą taką, że i s jest albo zerem, albo liczbą wymierną taką, że (czyli ).

P - adic ekspansja z R jest formalny seria moc

uzyskany przez powtarzanie w nieskończoność kroku dzielenia na kolejnych resztach. W rozwinięciu p -adycznym wszystkie są liczbami całkowitymi takimi, że:

Jeśli przy n > 0 , proces zatrzymuje się ostatecznie z zerową resztą; W tym przypadku szereg jest zakończona tylną warunki ze współczynnikiem zerowej i jest przedstawienie R w podstawowym p .

Istnienie i obliczenie rozwinięcia p- adycznego liczby wymiernej wynika z identyczności Bézouta w następujący sposób. Jeżeli, jak wyżej, a d i p są względnie pierwsze, to istnieją liczby całkowite t i u takie, że So

Następnie euklidesowa podział od nukleotydu o p daje

with To daje krok dzielenia jako

tak, że w iteracji

to nowa liczba wymierna.

Wyjątkowość etapie dzielenia i całego p -adic rozszerzenia jest łatwe: jeśli trzeba , a p podziałów z dostaje a więc

P -adic rozszerzenie liczby wymiernej to cykl, który jest zbieżny do liczby racjonalnego, jeśli stosuje się definicję serii zbieżnej z p -adic wartości bezwzględnej. W standardowym zapisie p- adycznym cyfry zapisywane są w takiej samej kolejności, jak w standardowym systemie o podstawie p , a mianowicie z potęgami podstawy rosnącymi w lewo. Oznacza to, że produkcja cyfr jest odwrócona, a granica występuje po lewej stronie.

P -adic ekspansja liczby wymiernej jest ostatecznie okresowe . Z drugiej strony, szereg z zbieżny (do p -adic wartość bezwzględna) do liczby wymiernej, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ostatecznie okresowej; w tym przypadku szereg jest rozwinięciem p- adycznym tej liczby wymiernej. Dowód jest podobny do podobnego wyniku dla powtarzania ułamków dziesiętnych .

Przykład

Obliczmy rozwinięcie 5-adic identyczności Bézouta dla 5, a mianownikiem 3 jest (dla większych przykładów można to obliczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa ). Zatem

W kolejnym kroku należy „podzielić” (czynnik 5 w liczniku ułamka należy postrzegać jako „ przesunięcie ” wartościowania p -adycznego, a zatem nie bierze udziału w „dzieleniu”). Mnożenie tożsamości Bézout przez daje

„Część całkowita” nie znajduje się we właściwym przedziale. Więc trzeba użyć dzielenia euklidesowego przez dla otrzymania dawania

oraz

Podobnie trzeba

oraz

Ponieważ „pozostałość” została już znaleziona, proces można łatwo kontynuować, dając współczynniki dla nieparzystych potęg pięciu, a dla parzystych potęg. Lub w standardowej notacji 5-adic

z wielokropkiem po lewej stronie.

seria p -adyczna

W tym artykule, przy danej liczbie pierwszej p , szereg p- adyczny jest szeregiem formalnym postaci

gdzie każda wartość niezerowa jest liczbą wymierną taką, że żaden z i nie jest podzielny przez p .

Każdą liczbę wymierną można rozpatrywać jako szereg p- adyczny z jednym wyrazem, polegający na faktoryzacji postaci z n i d, które są względnie pierwsze z p .

Szereg p- adyczny jest znormalizowany, jeśli każda z nich jest liczbą całkowitą w przedziale Tak więc rozwinięcie p- adyczne liczby wymiernej jest znormalizowanym szeregiem p- adycznym.

P -adic wartość lub p -adic zamówienie z niezerowym p -adic serii jest najniższa całkowita I tak, że kolejność serii jest zero nieskończoność

Dwa szeregi p -adyczne są równoważne, jeśli mają ten sam rząd k , i jeśli dla każdej liczby całkowitej nk różnica między ich sumami częściowymi

ma Greater kolejności niż N (to znaczy jest liczbą wymierną od postaci z i i b , zarówno względnie pierwsze z P ).

Dla każdego szeregu p -adicznego istnieje unikalny szereg znormalizowany taki, że i są równoważne. jest normalizacja z dowodem na to jest podobne do dowodu istnienia p -adic rozszerzenie liczby wymiernej. W szczególności każdą liczbę wymierną można uznać za szereg p- adyczny z pojedynczym wyrazem niezerowym, a normalizacja tego szeregu jest dokładnie wymierną reprezentacją liczby wymiernej.

Innymi słowy, równoważność szeregu p -adycznego jest relacją równoważności , a każda klasa równoważności zawiera dokładnie jeden znormalizowany szereg p -adyczny.

Zwykłe operacje serii (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) map p -adic seria do p -adic serii i są kompatybilne z równoważności p -adic serii. Oznacza to, że oznaczamy równoważność z ~ , jeśli S , T i U są niezerowymi szeregami p -adycznymi takimi, że jeden

Co więcej, S i T mają ten sam porządek i ten sam pierwszy człon.

Notacja pozycyjna

Możliwe jest użycie notacji pozycyjnej podobnej do tej, która jest używana do przedstawiania liczb o podstawie p .

Niech będzie znormalizowanym szeregiem p -adycznym, tj. każdy jest liczbą całkowitą w przedziale. Można przypuszczać, że ustalając dla (if ) i dodając otrzymane w ten sposób wyrazy zerowe do szeregu.

Jeżeli notacja pozycyjna polega na zapisywaniu kolejnych, uporządkowanych według malejących wartości i , często z p występującym po prawej stronie jako indeks:

Tak więc obliczenia w powyższym przykładzie pokazują, że

oraz

Gdy kropka oddzielająca jest dodawana przed cyframi o indeksie ujemnym, a jeśli indeks p występuje, pojawia się ona tuż za kropką oddzielającą. Na przykład,

oraz

Jeśli reprezentacja p -adyczna jest skończona po lewej stronie (to znaczy dla dużych wartości i ), to ma wartość nieujemnej liczby wymiernej postaci z liczbami całkowitymi. Te liczby wymierne są dokładnie nieujemnymi liczbami wymiernymi, które mają skończoną reprezentację w podstawie p . W przypadku tych liczb wymiernych obie reprezentacje są takie same.

Definicja

Istnieje kilka równoważnych definicji liczb p -adycznych. Podane tutaj jest stosunkowo elementarne, ponieważ nie zawiera żadnego innego pojęcia matematycznego niż te wprowadzone w poprzednich rozdziałach. Inne równoważne definicje użyciu zakończenie o dyskretnych pierścienia wyceny (patrz § całkowite p-adyczne ) zakończenie przestrzeni metrycznej (patrz § właściwości topologicznych ) lub odwrotności wartości graniczne (patrz § właściwości modułowe ).

P liczba -adic można zdefiniować jako znormalizowana p -adic serii . Ponieważ istnieją inne równoważne definicje, które są powszechnie stosowane, często mówi się, że znormalizowana p -adic seria przedstawia się p liczbę -adic, zamiast mówić, że jest to p liczba -adic.

Można również powiedzieć, że każdy szereg p -adyczny reprezentuje liczbę p -adyczną, ponieważ każdy szereg p -adyczny jest równoważny unikalnemu znormalizowanemu szeregowi p -adycznemu. Jest to przydatne do definiowania operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) liczb p -adycznych: wynik takiej operacji uzyskuje się przez normalizację wyniku odpowiedniej operacji na szeregu. To dobrze definiuje operacje na liczbach p -adycznych, ponieważ operacje na szeregach są zgodne z równoważnością szeregu p -adycznego.

Dzięki tym operacjom liczby p -adyczne tworzą pole (matematyka) zwane polem liczb p -adycznych i oznaczane lub Istnieje unikalny homomorfizm pola z liczb wymiernych na liczby p -adyczne, który odwzorowuje liczbę wymierną na jej p -adic ekspansja. Obraz tego homomorfizmu jest powszechnie utożsamiany z polem liczb wymiernych. Pozwala to biorąc pod uwagę p -adic numery jak w polu rozszerzenia z liczb wymiernych oraz liczby wymierne jako podpola z p liczb -adic.

Wartość z niezerowym p liczba -adic X , często oznaczone jest wykładnikiem P w pierwszym niezerowym okres co s -adic serii, która reprezentuje X . Umownie, czyli wycena zerowa, to wycena ta jest wyceną dyskretną . Ograniczeniem tego wartościowania do liczb wymiernych jest wartościowanie p- adyczne , czyli wykładnik v w faktoryzacji liczby wymiernej, jak w przypadku zarówno n, jak i d względnie pierwszej z p .

p -adyczne liczby całkowite

W p -adic całkowitymip -adic numery z dodatnią wyceną.

Każda liczba całkowita jest liczbą całkowitą p -adic (łącznie z zerem, ponieważ ). Liczby wymierne postaci z d względnie pierwsze z p i są również p -adic liczbami całkowitymi.

W p -adic całkowite tworzą przemienne pierścień , oznaczaną lub który posiada następujące właściwości.

  • Jest to dziedzina całkowa , ponieważ jest to podpierścień ciała, lub ponieważ pierwszy wyraz szeregu reprezentujący iloczyn dwóch niezerowych szeregów p -adycznych jest iloczynem ich pierwszych wyrazów.
  • Te jednostki (elementów) z odwracalnymi są p -adic liczby wyceny zera.
  • Jest to główna dziedzina idealna , tak że każdy ideał jest generowany przez potęgę p .
  • Jest to lokalny pierścień pierwszego wymiaru Krulla , ponieważ jego jedynymi ideałami pierwszymiideał zerowy i ideał generowany przez p , unikalny maksymalny ideał.
  • Jest to dyskretny pierścień wyceny , ponieważ wynika to z poprzednich nieruchomości.
  • To zakończenie lokalnej pierścienia , który jest lokalizacja stanowi w ideałem

Ostatnia własność dostarcza definicji liczb p -adycznych, która jest równoważna powyższej: pole liczb p -adycznych jest polem ułamków dopełnienia lokalizacji liczb całkowitych przy ideale pierwszym generowanym przez p .

Właściwości topologiczne

P -adic wartość umożliwia zdefiniowanie wartości bezwzględnej w p liczb -adic: w p -adic bezwzględną wartość niezerową p liczba -adic X jest

gdzie jest p -adyczna wycena x . P -adic wartość bezwzględna jest to wartość bezwzględna który spełnia silne nierówności trójkąta , ponieważ dla każdego x i y jeden posiadający

  • wtedy i tylko wtedy gdy

Co więcej, jeśli ktoś ma

To sprawia, że liczby p -adyczne są przestrzenią metryczną , a nawet przestrzenią ultrametryczną , z odległością p -adyczną określoną przez

Jako przestrzeń metryczna, liczby p- adyczne tworzą dopełnienie liczb wymiernych wyposażonych w wartość bezwzględną p- adyczną. Zapewnia to inny sposób definiowania liczb p- adycznych. Jednak ogólną konstrukcję uzupełnienia można w tym przypadku uprościć, ponieważ metryka jest definiowana przez wartościowanie dyskretne (w skrócie, z każdego ciągu Cauchy'ego można wydobyć taki podciąg, że różnice między dwoma kolejnymi wyrazami mają ściśle malejące wartości bezwzględne i taki podsekwencję sekwencja sum cząstkowych o p -adic cyklu, a tym samym niepowtarzalny znormalizowane P -adic serii może się wiązać do każdej klasy równoważności sekwencji Cauchy'ego, więc na zakończenie budowy, wystarczy rozważenie znormalizowane szereg p- adyczny zamiast klas równoważności sekwencji Cauchy'ego).

Ponieważ metryka jest definiowana na podstawie wyceny dyskretnej, każda otwarta kula jest również zamknięta. Dokładniej, otwarta kula równa się zamkniętej kuli, gdzie v jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że Podobnie, gdzie w jest największą liczbą całkowitą taką, że

Oznacza to, że liczby p -adyczne tworzą lokalnie zwartą przestrzeń , a p -adyczne liczby całkowite - czyli kula - tworzą zwartą przestrzeń .

Właściwości modułowe

Pierścień iloraz mogą być identyfikowane za pomocą pierścienia z liczb modulo Można to pokazano uwagi, że każdy s -adic całkowitą, reprezentowany jest przez znormalizowane p -adic serii, jest zgodny modulo z częściowym sumy którego wartość jest liczbą całkowitą z przedziału Prosta weryfikacja pokazuje, że definiuje to izomorfizm pierścienia od do

Ograniczenia odwrotnego z pierścieni jest zdefiniowany jak pierścień utworzony przez te sekwencje tak, że i w każdym I .

Odwzorowanie, które odwzorowuje znormalizowany szereg p- adyczny na sekwencję jego sum częściowych, jest izomorfizmem pierścienia od do odwrotnej granicy. Jest to inny sposób definiowania liczb całkowitych p- adycznych ( aż do izomorfizmu).

Ta definicja p -adycznych liczb całkowitych jest szczególnie przydatna do praktycznych obliczeń, ponieważ umożliwia budowanie p -adycznych liczb całkowitych przez kolejne przybliżenia.

Na przykład, do obliczenia odwrotności p- adycznej (multiplikatywnej) liczby całkowitej, można użyć metody Newtona , zaczynając od odwrotności modulo p ; następnie każdy krok Newtona oblicza odwrotność modulo z odwrotności modulo

Ta sama metoda może być użyta do obliczenia pierwiastka kwadratowego p- adycznego z liczby całkowitej, która jest resztą kwadratową modulo p . Wydaje się, że jest to najszybsza znana metoda sprawdzania, czy duża liczba całkowita jest kwadratem: wystarczy sprawdzić, czy dana liczba całkowita jest kwadratem wartości znalezionej w, gdy tylko jest większa niż podwójna liczba całkowita.

Podnoszenie Hensela jest podobną metodą, która pozwala „podnieść” moduł faktoryzacji p wielomianu o współczynnikach całkowitych do modułu faktoryzacji dla dużych wartości n . Jest to powszechnie używane w algorytmach faktoryzacji wielomianowej .

Notacja

Istnieje kilka różnych konwencji pisania rozszerzeń p -adycznych. Do tej pory ten artykuł użył notację p -adic ekspansji, w którym uprawnieniap wzrost od prawej do lewej. W tym zapisie od prawej do lewej 3-adic rozwinięcie 15 jest na przykład zapisane jako

Podczas wykonywania arytmetyki w tej notacji cyfry są przenoszone po lewej stronie. Możliwe jest również napisanie rozwinięć p -adycznych, tak aby potęgi p wzrastały od lewej do prawej, a cyfry były przenoszone na prawo. Z tym zapisem od lewej do prawej 3-adyczne rozwinięcie 15 to

Rozszerzenia p -adyczne mogą być zapisywane z innymi zestawami cyfr zamiast {0, 1, ...,  p  − 1 }. Na przykład, rozwinięcie 3-adyczne 1 / 5 można zapisać za pomocą zrównoważonych cyfr trójskładnikowych { 1 ,0,1} jako

W rzeczywistości każdy zestaw liczb całkowitych p, które są w różnych klasach reszt modulo p, może być użyty jako cyfry p- adyczne. W teorii liczb przedstawiciele Teichmüllera są czasami używani jako cyfry.

Notacja cytatówjest odmianąp-adycznej reprezentacjiliczb wymiernych,która została zaproponowana w 1979 roku przezErica HehneraiNigela Horspoolado implementacji na komputerach (dokładnej) arytmetyki z tymi liczbami.

Kardynalność

Oba i są niepoliczalne i mają liczność kontinuum . Dla Wynika to z p -adic reprezentacji, która określa bijection się na zestaw zasilania dla Wynika to z jego wypowiedzi jako przeliczalnie nieskończenie unii egzemplarzy

Zamknięcie algebraiczne

Q p zawiera Q i jest ciałem o charakterystyce 0 .

Ponieważ 0 można zapisać jako sumę kwadratów, Q p nie można zamienić w uporządkowane pole .

R ma tylko jedno właściwe rozszerzenie algebraiczne : C ; innymi słowy, to rozszerzenie kwadratowe jest już algebraicznie domknięte . Natomiast algebraiczne zamknięcie z Q p , oznaczonąma nieskończoną stopnia, czyli Q p ma nieskończenie wiele inequivalent algebraicznych rozszerzeń. Również przeciwstawienie przypadku liczb rzeczywistych, chociaż istnieje unikalne rozszerzenie wartościowania p -adycznego nato drugie, nie jest (metrycznie) kompletne. Jego (metryczne) zakończenie nazywa się C p lub Ω p . Tutaj osiąga się koniec, ponieważ C p jest algebraicznie domknięte. Jednak w przeciwieństwie do C to pole nie jest lokalnie zwarte.

C p i C są izomorficzne jak pierścienie, więc możemy uznać C p za C o egzotycznej metryce. Dowód istnienia takiego izomorfizmu pola opiera się na aksjomie wyboru i nie dostarcza wyraźnego przykładu takiego izomorfizmu (czyli nie jest konstruktywny ).

Jeżeli K jest ograniczony przedłużenie Galois o Q s The grupa Galois jest rozpuszczalny . W ten sposób grupa Galois jest możliwa do rozwiązania .

Grupa multiplikatywna

Q p zawiera n -te pole cyklotomiczne ( n > 2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy n | p − 1 . Na przykład n -tego pola cyclotomic jest podpolem Q 13 tylko wtedy, gdy n = 1, 2, 3, 4, 6 lub 12 . W szczególności nie ma multiplikatywnego p - skręcania w Q p , jeśli p > 2 . Ponadto -1 jest jedynym nietrywialnym elementem skrętnym w Q 2 .

Biorąc pod uwagę liczbę naturalną k , indeks multiplikatywnej grupy k -tych potęg niezerowych elementów Q p in jest skończony.

Liczba e , zdefiniowana jako suma odwrotności silni , nie należy do żadnego pola p- adycznego; ale e pQ p ( p ≠ 2 ) . Dla p = 2 należy przyjąć co najmniej czwartą potęgę. (Zatem liczba o podobnych własnościach jak e — mianowicie p- ty pierwiastek e p — należy do wszystkich p .)

Zasada lokalno-globalna

Helmut Hasse „s zasada local-global mówi się utrzymywać przez równania, jeżeli może być rozwiązany w ciągu liczby wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy może to być rozwiązane w ciągu liczb rzeczywistych i nad p liczb -adic dla każdego prime  p . Zasada ta obowiązuje, na przykład, dla równań podanych przez formy kwadratowe , ale zawodzi dla wyższych wielomianów w kilku nieokreślonych.

Racjonalna arytmetyka z podnoszeniem Hensela

Uogólnienia i powiązane koncepcje

Realne i p- adyczne liczby są uzupełnieniami wymiernych; można w analogiczny sposób uzupełnić inne pola, np. ogólne pola liczb algebraicznych . Zostanie to teraz opisane.

Załóżmy, że D jest domeną Dedekinda, a E jest jej polem ułamków . Wybierz niezerową liczbę pierwszą idealną P z D . Jeśli x jest niezerowym elementem E , to xD jest ideałem ułamkowym i może być jednoznacznie rozłożony na czynniki jako iloczyn dodatnich i ujemnych potęg niezerowych ideałów pierwszych z D . Piszemy ord P ( x ) dla wykładnika P w tej faktoryzacji, a dla dowolnego wyboru liczby c większej niż 1 możemy ustawić

Uzupełnianie w odniesieniu do tej wartości bezwzględnej |.| P daje pole E P , właściwe uogólnienie pola liczb p -adycznych na to ustawienie. Wybór c nie zmienia uzupełnienia (różne wybory dają tę samą koncepcję ciągu Cauchy'ego, a więc to samo uzupełnienie). Wygodnie jest, gdy pole pozostałości D / P jest skończone, przyjąć za c wielkość D / P .

Na przykład, gdy E jest ciałem liczbowym , twierdzenie Ostrowskiego mówi, że każda nietrywialna niearchimedesowa wartość bezwzględna na E powstaje jako jakieś |.| P . Pozostałe nietrywialne wartości bezwzględne na E wynikają z różnych osadzeń E w liczbach rzeczywistych lub zespolonych. (W rzeczywistości niearchimedesowe wartości bezwzględne można traktować po prostu jako różne osadzenia E w polach C p , stawiając w ten sposób opis wszystkich nietrywialnych wartości bezwzględnych pola liczbowego na wspólnej podstawie.)

Często trzeba jednocześnie śledzić wszystkie wyżej wymienione uzupełnienia, gdy E jest polem liczbowym (lub ogólniej polem globalnym ), które są postrzegane jako kodowanie informacji „lokalnych”. Jest to realizowane przez pierścienie adele i grupy idle .

p -adyczne liczby całkowite mogą być rozszerzone na p -adyczne solenoidy . Istnieje mapa od do okręgu, którego włókna są liczbami całkowitymi p -adycznymi , analogicznie do tego, jak istnieje mapa od do okręgu, którego włókna są .

Zobacz też

Przypisy

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

  • Cassels, JWS (1986), Local Fields , London Mathematical Society Student Texts, 3 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-31525-5, Zbl  0595.2006
  • Dedekind, Richard ; Weber, Heinrich (2012), Teoria funkcji algebraicznych jednej zmiennej , Historia matematyki, 39 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-8330-3. — Tłumaczenie na język angielski Johna Stillwella z Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
  • Gouvêa, FQ (marzec 1994), "A Marvelous Dowód", American Mathematical Monthly , 101 (3): 203-222, doi : 10.2307/2975598 , JSTOR  2975598
  • Gouvêa, Fernando Q. (1997), Liczby p- adyczne: Wprowadzenie (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl  0874.11002
  • Hazewinkel, M., wyd. (2009), Podręcznik algebry , 6 , Holandia Północna, s. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
  • Hehner, Eric CR ; Horspool, R. Nigel (1979), „Nowa reprezentacja liczb wymiernych dla szybkiej i łatwej arytmetyki” , SIAM Journal on Computing , 8 (2): 124-134, CiteSeerX  10.1.1.64.7714 , doi : 10.1137/0208011
  • Hensel, Kurt (1897), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83-88
  • Kelley, John L. (2008) [1955], Topologia ogólna , New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
  • Koblitz, Neal (1980),Analiza p- adyczna: krótki kurs na temat najnowszych prac , London Mathematical Society Lecture Note Series, 46 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-28060-5, Zbl  0439.12011
  • Robert, Alain M. (2000), Kurs analizy p- adycznej , Springer, ISBN 0-387-98669-3

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne