Główna domena idealna - Principal ideal domain

W matematyce , o główną domeną idealny , lub PID , jest integralną domeny , w której każdy ideał jest główny , czyli mogą być generowane przez jeden element. Mówiąc bardziej ogólnie, główny idealny pierścień jest niezerowym pierścieniem przemiennym, którego ideały są głównymi, chociaż niektórzy autorzy (np. Bourbaki) określają PID jako pierścienie główne. Różnica polega na tym, że główny idealny pierścień może mieć zero dzielników, podczas gdy główna domena idealna nie może.

Główne domeny idealne są więc obiektami matematycznymi, które zachowują się nieco jak liczby całkowite w odniesieniu do podzielności : każdy element PID ma unikalny rozkład na pierwiastki pierwsze (a więc jest analogiem podstawowego twierdzenia arytmetyki ); dowolne dwa elementy PID mają największy wspólny dzielnik (chociaż może nie być możliwe znalezienie go za pomocą algorytmu Euklidesa ). Jeśli x i y są elementami PID bez wspólnych dzielników, to każdy element PID można zapisać w postaci ax + by .

Główne domeny idealne są noetherowskie , są integralnie zamknięte , są unikalnymi domenami faktoryzacji i domenami Dedekinda . Wszystkie domeny euklidesowe i wszystkie pola są głównymi domenami idealnymi.

Główne domeny idealne pojawiają się w następującym łańcuchu inkluzji klasowych :

rngs ⊃ pierścienie ⊃ pierścienie przemienne ⊃ integralne domeny ⊃ integralnie zamknięte domen ⊃ domen GCD ⊃ unikalnych domen faktoryzacji ⊃ podstawowych obszarów idealne ⊃ euklidesowa Domains ⊃ pola ⊃ algebraicznie zamknięte pola

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Rack i quandle Quasigroup i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
Podobny do pierścienia Pierścień Rng Semiring Blisko pierścienia Pierścień przemienny Domena całkowa Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata- podobna Krata Semilattice Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria krat
moduł -like Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra- like Algebra Asocjacyjny Niezespolone Algebra kompozycji Lie algebra Oceniono Bialgebra
v t mi

Przykłady

Przykłady zawierają:

• ${\ displaystyle K}$ : dowolne pole ,
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ : The pierścień z liczb całkowitych ,
• ${\ displaystyle K [x]}$ : pierścienie wielomianów w jednej zmiennej ze współczynnikami w polu. (Odwrotność jest również prawdą, tj. Jeśli jest PID, to jest polem.) Ponadto pierścień formalnych szeregów potęg w jednej zmiennej nad polem jest PID, ponieważ każdy ideał ma postać , ${\ displaystyle A [x]}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (x ^ {k})}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ : pierścień liczb całkowitych Gaussa ,
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]}$ (gdzie jest prymitywnym pierwiastkiem sześciennym 1): liczby całkowite Eisensteina , ${\ displaystyle \ omega}$
• Dowolny dyskretny pierścień wartościujący , na przykład pierścień p- adycznych liczb całkowitych . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Bez przykładów

Przykłady domen integralnych, które nie są identyfikatorami PID:

• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$ jest przykładem pierścienia, który nie jest unikalną domeną faktoryzacji , ponieważ w związku z tym nie jest główną domeną idealną, ponieważ główne domeny idealne są unikalnymi domenami faktoryzacji. ${\ Displaystyle 4 = 2 \ cdot 2 = (1 + {\ sqrt {-3}}) (1 - {\ sqrt {-3}}).}$

• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ : pierścień wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych. Nie jest zasadniczy, ponieważ jest przykładem ideału, którego nie można wygenerować za pomocą pojedynczego wielomianu. ${\ displaystyle \ langle 2, x \ rangle}$
• ${\ Displaystyle K [x, y]}$ : pierścienie wielomianów w dwóch zmiennych . Ideał nie jest zasadniczy. ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$
• Większość pierścieni algebraicznych liczb całkowitych nie jest głównymi domenami idealnymi, ponieważ mają one ideały, które nie są generowane przez pojedynczy element. Jest to jedna z głównych motywacji stojących za definicją domen Dedekinda Dedekinda, ponieważ liczby całkowitej pierwszej nie można już uwzględniać w elementach, zamiast tego są one pierwszymi ideałami. W rzeczywistości wiele z p-tego pierwiastka jedności nie jest głównymi domenami idealnymi. W rzeczywistości numer klasy pierścienia algebraicznych liczb całkowitych daje pojęcie o tym, „jak daleko” jest od bycia główną dziedziną idealną. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {p}]}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {p}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Moduły

Kluczowym wynikiem jest twierdzenie o strukturze: Jeśli R jest główną domeną idealną, a M jest skończenie generowanym modułem R , to jest bezpośrednią sumą modułów cyklicznych, tj. Modułów z jednym generatorem. Moduły cykliczne są dla niektórych izomorficzne (zauważ, że może to być równe , w którym to przypadku jest ). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R / xR}$${\ Displaystyle x \ w R}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle R / xR}$${\ displaystyle R}$

Jeśli M jest wolnym modułem w głównej idealnej domenie R , to każdy podmoduł M jest znowu wolny. Nie dotyczy to modułów nad dowolnymi pierścieniami, jak pokazano na przykładzie modułów powyżej . ${\ Displaystyle (2, X) \ subseteq \ mathbb {Z} [X]}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$

Nieruchomości

W głównej dziedzinie ideału dowolne dwa elementy a , b mają największy wspólny dzielnik , który można otrzymać jako generator ideału ( a , b ) .

Wszystkie domeny euklidesowe są głównymi domenami idealnymi, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdą. Przykładem dziedzina ideałów głównych, które nie jest euklidesowa domena jest pierścień W tej dziedzinie nie Q i R istnieje, z 0 ≤ | r | <4 , więc pomimo i mając największy wspólny dzielnik 2 . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ lewo [{\ Frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ po prawej].}$${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {-19}}) = (4) q + r}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-19}}}$${\ displaystyle 4}$

Każda główna domena idealna jest unikalną domeną faktoryzacji (UFD). Odwrotna sytuacja nie zachodzi, ponieważ dla dowolnego UFD K pierścień K [ X , Y ] wielomianów w 2 zmiennych jest UFD, ale nie jest PID. (Aby to udowodnić, spójrz na ideał wygenerowany przez To nie jest cały pierścień, ponieważ nie zawiera on wielomianów stopnia 0, ale nie może być wygenerowany przez żaden pojedynczy element.) ${\ Displaystyle \ lewo \ langle X, Y \ prawo \ rangle.}$

1. Każda główna domena idealna jest Noetherian .
2. We wszystkich pierścieniach jedności maksymalne ideały są pierwsze . W głównych domenach ideałów zachodzi niemal odwrotna sytuacja: każdy niezerowy ideał pierwszy jest maksymalny.
3. Wszystkie główne domeny idealne są integralnie zamknięte .

Poprzednie trzy stwierdzenia podają definicję domeny Dedekind , a zatem każda główna domena idealna jest domeną Dedekind.

Niech A będzie domeną integralną. Wtedy następujące są równoważne.

1. A to PID.
2. Każdy główny ideał A jest zasadniczy.
3. A to domena Dedekind, która jest UFD.
4. Każdy ostatecznie wygenerowany ideał A jest główny (tj. A jest domeną Bézouta ), a A spełnia warunek łańcucha wznoszącego się na ideałach głównych .
5. A przyznaje normę Dedekind-Hasse .

Każda norma euklidesowa jest normą Dedekind-Hasse; zatem (5) pokazuje, że domena euklidesowa jest PID. (4) w porównaniu z:

• Domena całkowa jest UFD wtedy i tylko wtedy, gdy jest domeną GCD (tj. Domeną, w której każde dwa elementy mają największy wspólny dzielnik) spełniającą warunek łańcucha wznoszącego na głównych ideałach.

Domena całkowa jest domeną Bézout wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa elementy w niej mają gcd, które jest liniową kombinacją tych dwóch. Domena Bézout jest więc domeną GCD i (4) daje kolejny dowód na to, że PID to UFD.

Zobacz też

• Tożsamość Bézouta

Uwagi

Bibliografia

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Algebry, pierścienie i moduły . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN   1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej . Wydawnictwo Addison-Wesley. 5 wyd., 1967. ISBN   0-201-53467-3
• Nathan Jacobson . Podstawowa algebra I. Dover, 2009. ISBN   978-0-486-47189-1
• Paulo Ribenboim. Klasyczna teoria liczb algebraicznych . Springer, 2001. ISBN   0-387-95070-2

Linki zewnętrzne

• Główny pierścień na MathWorld