Kategoria pierścieni - Category of rings

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazu • Ułamkowy ideał • Całkowity iloraz pierścienia • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W matematyce The kategoria pierścieni , oznaczoną pierścienia , jest kategoria których obiekty są pierścienie (o tożsamości) a którego morfizmami są homomorfizmy pierścieniu (tj zachowania osobistego). Podobnie jak wiele kategorii w matematyce, kategoria pierścieni jest duża , co oznacza, że klasa wszystkich pierścieni jest właściwa .

Jako konkretna kategoria

Kategoria Ring jest kategorią konkretną, co oznacza, że ​​obiekty są zbiorami o dodatkowej strukturze (dodawanie i mnożenie), a morfizmy to funkcje, które tę strukturę zachowują. Istnieje naturalny funktor zapominania

U  : Pierścień → Ustaw

dla kategorii pierścieni do kategorii zbiorów, która wysyła każdy pierścień do swojego zbioru bazowego (zapominając w ten sposób operacje dodawania i mnożenia). Funktor ten ma sprzężenie lewe

F  : Ustaw → Dzwonek

przyporządkowujący każdego zestawu X na swobodnym pierścienia generowanego przez X .

Można też postrzegać kategorię pierścieni jako kategorię konkretną nad Ab ( kategoria grup abelowych ) lub nad Mon ( kategoria monoidów ). W szczególności istnieją funktory zapominania

A  : Pierścień → Ab

M  : Dzwonek → Pon

które „zapominają” odpowiednio o mnożeniu i dodawaniu. Oba te funktory opuściły adjoint. Lewy sprzężona z A jest funktor przyporządkowujący każdym grupa przemienna X (traktowane jako Z - moduł ) pierścień tensora T ( X ). Lewe sprzężenie M jest funktorem, który przypisuje każdemu monoidowi X integralny pierścień monoidu Z [ X ].

Nieruchomości

Limity i współlimity

Kategoria Ring jest zarówno pełna, jak i współkompletna , co oznacza, że ​​wszystkie małe limity i współlimity istnieją w Ring . Podobnie jak wiele innych kategorii algebraicznych, funktor zapominania U  : Ring → Set tworzy (i zachowuje) limity i filtrowane współlimity , ale nie zachowuje ani koproduktów ani koekalizatorów . Zapominające funktory Ab i Mon również tworzą i zachowują granice.

Przykłady limitów i colimits w Ring obejmują:

• Pierścień liczb całkowitych Z jest obiektem początkowym w Ring .
• Zerowym jest zacisk obiektu w pierścień .
• Produkt w Pierścienia jest przez bezpośredniego produktu pierścieni . Jest to po prostu iloczyn kartezjański bazowych zbiorów z dodawaniem i mnożeniem zdefiniowanymi komponentami.
• Współprodukt rodziny pierścieni istnieje i jest ona prowadzona przez Analogiczną konstrukcję do wolnego produktu z grup. Koproduktem niezerowych pierścieni może być pierścień zerowy; w szczególności dzieje się tak, gdy czynniki mają względnie pierwszą charakterystykę (ponieważ charakterystyka koproduktu ( R _i ) _{i ∈ I} musi podzielić charakterystykę każdego z pierścieni R _i ).
• Korektor w pierścień jest tylko teoretycznie ustawiania korektora (korektor dwóch homomorfizmów pierścienia jest zawsze podpierścień ).
• Coequalizer dwóch homomorfizmów pierścieniowych f i g z R do S jest iloraz z S przez idealny wytworzonej przez wszystkie elementy postaci f ( r ) - g ( R ) dla r ∈ R .
• Biorąc homomorfizmem pierścień F  : R → S się parę jądra z F (jest tylko pullback z F z siebie) jest kongruencją na badania . Idealny określona tą kongruencja właśnie (pierścień teoretyczna) jądra w f . Zauważ, że jądra z teorią kategorii nie mają sensu w Ringu, ponieważ nie ma zerowych morfizmów (patrz poniżej).

morfizmy

W przeciwieństwie do wielu kategorii badanych w matematyce, nie zawsze istnieją morfizmy między parami obiektów w Ring . Wynika to z faktu, że homomorfizmy pierścieniowe muszą zachować tożsamość. Na przykład nie ma morfizmów od pierścienia zerowego 0 do dowolnego niezerowego pierścienia. Warunkiem koniecznym jest, aby być morfizmami od R do S jest to, że charakterystyczne z S podziału niż R .

Zauważ, że chociaż niektóre hom-sets są puste, kategoria Ring jest nadal połączona, ponieważ ma początkowy obiekt.

Niektóre specjalne klasy morfizmów w pierścieniu obejmują:

• Izomorfizmy w pierścieniu to bijektywne homomorfizmy pierścienia.
• Monomorfizmy w pierścieniu to homomorfizmy iniektywne . Jednak nie każdy monomorfizm jest regularny .
• Każdy surjektywny homomorfizm jest epimorfizmem w Ring , ale odwrotność nie jest prawdziwa. Włączenie Z → Q jest epimorfizmem niesuriektywnym. Naturalny homomorfizm pierścienia od dowolnego przemiennego pierścienia R do dowolnej z jego lokalizacji jest epimorfizmem, który niekoniecznie jest surjekcyjny.
• Surjektywne homomorfizmy można scharakteryzować jako regularne lub ekstremalne epimorfizmy w pierścieniu (te dwie klasy pokrywają się).
• Bimorfizmy w pierścieniu to epimorfizmy iniektywne. Włączenie Z → Q jest przykładem bimorfizmu, który nie jest izomorfizmem.

Inne właściwości

• Jedynym obiektem iniektywnym w pierścieniu aż do izomorfizmu jest pierścień zerowy (tj. obiekt końcowy).
• Przy braku zerowych morfizmów kategoria pierścieni nie może być kategorią przedaddytywną . (Jednak każdy pierścień — uważany za kategorię z jednym obiektem — jest kategorią przedaddytywną).
• Kategoria pierścieni jest kategorią symetryczną monoidalną z iloczynem tensorowym pierścieni ⊗ _Z jako iloczynem monoidalnym i pierścieniem liczb całkowitych Z jako obiektem jednostkowym. Z twierdzenia Eckmanna-Hiltona wynika , że monoid w pierścieniu jest pierścieniem przemiennym . Działaniem monoid (= przemienne ring) R na przedmiot (= pierścienia) z pierścienia jest R -algebra .

Podkategorie

Kategoria pierścionków posiada szereg ważnych podkategorii . Należą do nich pełne podkategorii na pierścień przemienny , dziedzina całkowitości , głównych domen idealnych i polami .

Kategoria pierścieni przemiennych

Kategoria pierścień przemienny , oznaczonej CRing , jest pełen podkategoria Pierścienia , której obiekty są wszystkie pierścień przemienny . Kategoria ta jest jednym z centralnych przedmiotów badań w przedmiocie algebry przemiennej .

Każdy pierścień może być przemienne biorąc iloraz przez idealny wytworzonej przez wszystkie elementy w formie ( xy - yx ). To definiuje funktor Pierścień → CRing który pozostaje sprzężona z funktora integracji, tak że CRing jest refleksyjny podkategorii z pierścienia . Wolne przemienne pierścień o zestaw generatorów E jest wielomianem pierścień Z [ E ], których zmienne pochodzą z E . Daje to lewy funktor sprzężony do funktora zapominającego od CRing do Set .

CRing jest zamknięty w Ring , co oznacza, że ​​limity w CRing są takie same jak w Ring . Colimity są jednak ogólnie różne. Można je utworzyć, biorąc przemienny iloraz współlimitów w pierścieniu . Koprodukt dwóch przemiennych pierścieni jest określony przez iloczyn tensorowy pierścieni . Ponownie, koprodukt dwóch niezerowych pierścieni przemiennych może wynosić zero.

Kategorii naprzeciwko od CRing jest równoważny do kategorii programów afinicznych . Równoważność daje kontrawariantny funktor Spec, który wysyła pierścień przemienny do swojego widma , czyli schemat afiniczny .

Kategoria pól

Kategoria pola , oznaczone pole , to pełna podkategoria CRing której obiekty są pola . Kategoria pól nie jest tak dobrze zachowana jak inne kategorie algebraiczne. W szczególności nie istnieją wolne pola (tzn. nie ma lewego przylegającego do zapominającego funktora Pole → Zestaw ). Wynika stąd, że pole to nie odblaskowy podkategoria CRing .

Kategoria pól nie jest ani skończenie zupełna, ani skończenie zbieżna. W szczególności Field nie ma ani produktów, ani koproduktów.

Innym ciekawym aspektem kategorii pól jest to, że każdy morfizm jest monomorfizmem . Wynika to z faktu, że jedyne ideały w polu F to ideał zerowy i samo F. Można wtedy zobaczyć morfizmy w Field jako rozszerzenia pola .

Kategoria pól nie jest połączona . Nie ma morfizmów pomiędzy polami o różnej charakterystyce . Połączone składowe Fielda to pełne podkategorie charakterystyki p , gdzie p = 0 lub jest liczbą pierwszą . Każda taka podkategoria ma obiekt początkowy : pierwsze pole charakterystyki p (czyli Q, jeśli p = 0, w przeciwnym razie pole skończone F _p ).

Powiązane kategorie i funktory

Kategoria grup

Istnieje naturalny funktor z pierścienia do kategorii grup , Grp , który wysyła każdy pierścień R do swojej grupy jednostek U ( R ) i każdy homomorfizm pierścienia do ograniczenia do U ( R ). Funktor ten ma lewe sprzężenie, które przesyła każdą grupę G do pierścienia grupy całkowej Z [ G ].

Innym funktor od tych kategorii wysyła każdy pierścień R do grupy jednostek pierścienia macierzy M ₂ ( R ), który działa na rzutowej linii ponad pierścieniem P ( R ).

R –algebry

Biorąc pierścienia przemiennego R można określić kategorię R -Alg którego obiekty są wszystkie R -algebras i których morfizmami są R homomorfizmy -algebra.

Kategorię pierścieni można uznać za szczególny przypadek. Każdy pierścień można uznać za Z- algebrę w wyjątkowy sposób. Homomorfizmy pierścieniowe są dokładnie homomorfizmami Z- algebry. Kategoria pierścieni jest zatem izomorficzna z kategorią Z-Alg . Wiele stwierdzeń dotyczących kategorii pierścieni można uogólnić do stwierdzeń dotyczących kategorii R -algebr.

Dla każdego przemiennego pierścienia R istnieje funktor R -Alg → Ring, który zapomina o strukturze modułu R. Funktor ten ma lewe sprzężenie, które wysyła każdy pierścień A do iloczynu tensorowego R ⊗ _Z A , uważanego za R- algebrę przez ustawienie r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Pierścionki bez tożsamości

Wielu autorów nie wymaga, aby pierścienie miały element tożsamości multiplikatywnej, a zatem nie wymagają homomorfizmu pierścienia, aby zachować tożsamość (powinna istnieć). Prowadzi to do dość innej kategorii. Dla rozróżnienia takie struktury algebraiczne nazywamy rngami, a ich morfizmy homomorfizmami . Kategoria wszystkich rng będzie oznaczona symbolem Rng .

Kategoria pierścienie, pierścień , to nonfull podkategorii z RNG . Jest niepełna, ponieważ między pierścieniami występują homomorfizmy rng, które nie zachowują tożsamości, a zatem nie są morfizmami w Ring . Funktor inkluzji Pierścień → Rng ma lewe sprzężenie, które formalnie łączy tożsamość z dowolnym rng. Funktor inkluzji Pierścień → Rng przestrzega limitów, ale nie współlimitów.

Zerowym służy zarówno jako początkową i końcową obiektu w rng (to jest, jest to celem zera ). Wynika z tego , że Rng , podobnie jak Grp, ale w przeciwieństwie do Ring , ma zero morfizmów . To tylko homomorfizmy rng, które mapują wszystko na 0. Pomimo istnienia zerowych morfizmów, Rng nadal nie jest kategorią przedaddytywną . Punktowa suma dwóch homomorfizmów rng generalnie nie jest homomorfizmem rng.

Istnieje w pełni wierny funktor z kategorii grup abelowych do Rng wysyłający grupę abelową do skojarzonego rng o kwadratu zerowym .

Konstrukcje swobodne są mniej naturalne w Rng niż w Ring . Na przykład, wolny rng generowany przez zbiór { x } jest pierścieniem wszystkich integralnych wielomianów nad x bez stałego członu, podczas gdy wolny pierścień generowany przez { x } jest tylko pierścieniem wielomianowym Z [ x ].

Bibliografia

• Adamek, Jiří; Horsta Herrlicha; George E. Strecker (1990). Kategorie abstrakcyjne i konkretne (PDF) . John Wiley & Synowie. Numer ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders ; Garrett Birkhoff (1999). Algebra ((3rd ed.) ed.). Providence, Rhode Island: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 0-8218-1646-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla Matematyka Pracującego . Teksty magisterskie z matematyki 5 ((2nd ed.) ed.). Skoczek. Numer ISBN 0-387-98403-8.