Dwukwaternion - Biquaternion

W abstrakcyjnej Algebra , że biquaternions są liczbami $w + x ı + y j + oo k$ , w którym $W, X, Y$ i $Z$ są liczbami zespolonymi lub ich warianty, a elementami ${1, I, J, K}$ mnożyć jak w grupie kwaternionów i dojeżdżać z ich współczynnikami. Istnieją trzy rodzaje bikwaternionów odpowiadających liczbom zespolonym i ich odmianom:

Dwukwaterniony, gdy współczynniki są liczbami zespolonymi .
Split-biquaternions, gdy współczynniki są liczbami split-complex .
Podwójne kwaterniony, gdy współczynniki są liczbami podwójnymi .

Ten artykuł dotyczy zwykłych bikwaternionów nazwanych przez Williama Rowana Hamiltona w 1844 roku (patrz Proceedings of the Royal Irish Academy 1844 i 1850, strona 388). Niektórzy z bardziej znanych orędowników tych bikwaternionów to Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein i Cornelius Lanczos . Jak omówiono poniżej, jednostkowa quasi-sfera bikwaternionów stanowi reprezentację grupy Lorentza , która jest podstawą szczególnej teorii względności .

Algebra z biquaternions może być uważany za produkt napinającej (przejęte liczb rzeczywistych), w którym $C$ i jest pole liczb zespolonych i $H$ lub jest Algebra podział kwasu (real) quaternions . Innymi słowy, biquaternions są po prostu złożonością kwaternionów. Postrzegane jako algebra zespolona, bikwaterniony są izomorficzne z algebrą macierzy zespolonych $2 \times 2$ $M$ $2$ $($ $C$ $)$ . Są one również izomorficzne z kilkoma algebrami Clifforda , w tym $H$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $0$ $3$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $2$ $($ $C$ $) = Cℓ$ $1,2$ $($ $R$ $)$ , algebrą Pauliego $Cℓ$ $3,0$ $($ $R$ $)$ i częścią parzystą $Cℓ$ $0$ $1,3$ $($ $R$ $) = Cℓ$ $0$ $3,1$ $($ $R$ $)$ z algebra czasoprzestrzeni . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ czasami \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Definicja

Niech ${1, i, j, k}$ będą bazą dla (rzeczywistych) kwaternionów $H$ i niech $u, v, w, x$ będą liczbami zespolonymi, wtedy

{\ Displaystyle q = u \ mathbf {1} + v \ mathbf {i} + w \ mathbf {j} + x \ mathbf {k}}

jest dwukwaternionem . Aby odróżnić pierwiastki kwadratowe od minus jeden w bikwaternionach, Hamilton i Arthur W. Conway zastosowali konwencję przedstawiania pierwiastka kwadratowego z minus jeden w polu skalarnym C przez h, aby uniknąć pomylenia z $i$ w grupie kwaternionów . Zakłada się przemienność pola skalarnego z grupą kwaternionów:

{\ Displaystyle h \ mathbf {i} = \ mathbf {i} h \ \ h \ mathbf {j} = \ mathbf {j} h \ \ h \ mathbf {k} = \ mathbf {k} h.}

Hamilton wprowadzono warunki bivector , biconjugate, bitensor i biversor rozszerzenie pojęcia stosowane w rzeczywistym Quaternions $H$ .

Pierwotna ekspozycja Hamiltona na temat bikwaternionów pojawiła się w 1853 r. w jego Wykładach na temat kwaternionów . Edycje Elements of Quaternions , w 1866 przez Williama Edwina Hamiltona (syna Rowana), oraz w 1899, 1901 przez Charlesa Jaspera Joly , zmniejszyły pokrycie biquaternionami na rzecz prawdziwych kwaternionów.

Biorąc pod uwagę operacje dodawania składowych i mnożenia zgodnie z grupą kwaternionów, zbiór ten tworzy 4-wymiarową algebrę nad liczbami zespolonymi C . Algebra bikwaternionów jest asocjacyjna , ale nie przemienna . Dwukwaternion jest jednostką lub dzielnikiem zera . Algebra z biquaternions tworzy kompozycję algebraiczne i może być wykonana z tessariny . Zobacz § Jako algebra kompozycji poniżej.

Miejsce w teorii pierścieni

Reprezentacja liniowa

Zwróć uwagę na produkt matrycy

{\ Displaystyle {\ zacznij {pmatrix} h i 0 \ \ 0 i - h \ koniec {pmatrix}} {\ zacznij {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}} = {\ zacznij {pmatrix} 0 i h \ \ h i 0 \ koniec{pmatrix}}}

.

Ponieważ h jest jednostką urojoną , każda z tych trzech tablic ma kwadrat równy minusowi macierzy jednostkowej . Gdy ten iloczyn macierzy interpretujemy jako ij = k, to otrzymujemy podgrupę macierzy, która jest izomorficzna z grupą kwaternionów . W konsekwencji,

{\zacząć{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\koniec {pmatrix}}

reprezentuje dwukwaternion q = u 1 + v i + w j + x k. Mając dowolną macierz zespoloną 2 × 2, istnieją wartości zespolone u , v , w , i x , aby przedstawić to w takiej postaci, aby pierścień macierzy M(2,C) był izomorficzny z pierścieniem dwukwaternionowym .

Podalgebry

Biorąc pod uwagę algebrę dwukwaternionową nad skalarnym ciałem liczb rzeczywistych $R$ , zbiór

\{\mathbf {1},h,\mathbf {i},h\mathbf {i},\mathbf {j},h\mathbf {j},\mathbf {k},h\mathbf {k } \}

stanowi podstawę, więc algebra ma osiem wymiarów rzeczywistych . Wszystkie kwadraty elementów $h i, h j$ i $h k$ są dodatnie, na przykład $(h i) 2 = h 2 i 2 = (- 1)(- 1) = + 1$ .

Podalgebrą podane przez

{\ Displaystyle \ {x + y (h \ mathbf {i}): x, y \ w \ mathbb {R} \}}

jest pierścieniem izomorficznym z płaszczyzną liczb rozszczepionych , która ma strukturę algebraiczną zbudowaną na podstawie hiperboli jednostkowej . The Elements $h j$ i $h k$ określić również takie subalgebras.

Ponadto,

{\ Displaystyle \ {x + y \ mathbf {j}: x, y \ w \ mathbb {C} \}}

jest subalgebrą izomorficzną z tesarynami .

Trzecia podalgebra zwana kokwaternionami jest generowana przez $h j$ i $h k$ . Widać, że $(h j)(h k) = (- 1) i$ , a kwadrat tego elementu wynosi $- 1$ . Te elementy generują dwuścienną grupę kwadratu. Liniowej podprzestrzeni z bazą ${1, I, h j, h k}$ zatem zamkniętą ze mnożenie i tworzy Algebra coquaternion.

W kontekście mechaniki kwantowej i Spinor Algebra w biquaternions $h ı, h, j$ , i $h K$ (lub ich ujemnych), patrząc w $M 2 (C)$ reprezentację, nazywane Pauli matryc .

Własności algebraiczne

Biquaternions mają dwie koniugacje :

biconjugate lub biscalar minus bivector jest i ${\ Displaystyle q ^ {*} = wx \ mathbf {i} -y \ mathbf {j} -z \ mathbf {k} \! \,}$
złożone sprzężenie współczynników biquaternion ${\ Displaystyle q ^ {\ gwiazda} = w ^ {\ gwiazda} + x ^ {\ gwiazda} \ mathbf {i} + y ^ {\ gwiazda} \ mathbf {j} + z ^ {\ gwiazda} \ mathbf { k} }$

gdzie kiedy? ${\ Displaystyle z ^ {\ gwiazda} = a-bh}$ ${\ Displaystyle Z = a + bh, \ quad a, b \ w \ mathbb {R}, \ quad h ^ {2} = - \ mathbf {1}.}$

Zauważ, że ${\ Displaystyle (pq) ^ {*} = q ^ {*} p ^ {*} \ quad (pq) ^ {\ gwiazda} = p ^ {\ gwiazda} q ^ {\ gwiazda} \ quad (q ^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.}$

Oczywiście, jeśli wtedy $q$ jest dzielnikiem zera. W przeciwnym razie jest zdefiniowany na liczbach zespolonych. Co więcej, łatwo jest zweryfikować. Pozwala to na zdefiniowanie odwrotności przez ${\ Displaystyle qq ^ {*} = 0}$ ${\ Displaystyle \ lbrace qq ^ {*} \ rbrace ^ {- \ mathbf {1}}}$ ${\ Displaystyle qq ^ {*} = q ^ {*} q}$

${\ Displaystyle q ^ {- \ mathbf {1} } = q ^ {*} \ lbrace q ^ {*} \ rbrace ^ {- \ mathbf {1} }}$ , gdyby ${\ Displaystyle qq ^ {*} \ neq 0.}$

Związek z transformacjami Lorentza

Rozważmy teraz liniową podprzestrzeń

{\ Displaystyle M = \ l nawias q \ dwukropek q ^ {*} = q ^ {\ gwiazda} \ r nawias = \ l nawias t + x (h \ mathbf {i}) + y (h \ mathbf {j}) + z (h\mathbf {k} )\colon t,x,y,z\in \mathbb {R} \rnawias .}

$M$ nie jest podalgebrą, ponieważ nie jest domknięta pod iloczynami ; na przykład. Rzeczywiście, $M$ nie może utworzyć algebry, jeśli nie jest nawet magmą . ${\ Displaystyle (h \ mathbf {i} ) (h \ mathbf {j} ) = h ^ {2} \ mathbf {ij} = - \ mathbf {k} \ notin M.}$

Twierdzenie: Jeżeli $q$ jest w $M$ , to ${\ Displaystyle qq ^ {*} = t ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2}.}$

Dowód: Z definicji,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} qq ^ {*} & = (t + xh \ mathbf {i} + yh \ mathbf {j} + zh \ mathbf {k} ) (t-xh \ mathbf {i} - yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\ mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}\\&=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z ^{2}.\end{wyrównany}}}

Definicja: Niech dwukwaternion $g$ spełnia Następnie transformacja Lorentza związana z $g$ jest dana przez ${\ Displaystyle gg ^ {*} = \ mathbf {1}.}$

{\ Displaystyle T (q) = g ^ {*} qg ^ {\ gwiazda}.}

Twierdzenie: Jeśli $q$ jest w $M$ , to $T (q)$ również jest w $M$ .

Dowód: ${\ Displaystyle (g ^ {*} qg ^ {\ gwiazda}) ^ {*} = (g ^ {\ gwiazda}) ^ {*} q ^ {*} g = (g ^ {*}) ^ {\ gwiazda }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.}$

Propozycja: ${\ Displaystyle \ quad T (q) (T (q)) ^ {*} = qq ^ {*}}$

Dowód: Zauważ najpierw, że $gg * = 1$ oznacza, że suma kwadratów jego czterech składowych zespolonych wynosi jeden. Wtedy suma kwadratów sprzężeń zespolonych tych składników również jest jeden. Dlatego teraz ${\ Displaystyle g ^ {\ gwiazda} (g ^ {\ gwiazda}) ^ {*} = \ mathbf {1}.}$

{\ Displaystyle (g ^ {*} qg ^ {\ gwiazda}) (g ^ {*} qg ^ {\ gwiazda}) ^ {*} = g ^ {*} qg ^ {\ gwiazda} (g ^ {\ gwiazdka })^{*}q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.}

Powiązana terminologia

Ponieważ biquaternions były elementem algebry liniowej od początków fizyki matematycznej , istnieje szereg pojęć, które są ilustrowane lub reprezentowane przez algebrę biquaternion. Grupa transformacji składa się z dwóch części, a pierwsza część charakteryzuje się ; wtedy transformacja Lorentza odpowiadająca $g$ jest dana przez ponieważ Taka transformacja jest obrotem przez mnożenie kwaternionów , a ich zbiór to O(3) Ale ta podgrupa $G$ nie jest normalną podgrupą , więc nie można utworzyć grupy ilorazowej . ${\ Displaystyle G = \ l klamra g: gg ^ {*} = 1 \ r klamra}$ ${\ Displaystyle G \ czapka H}$ ${\ Displaystyle G \ czapka M.}$ ${\ Displaystyle g = g ^ {\ gwiazda}}$ ${\ Displaystyle T (q) = g ^ {-1} qg}$ ${\ Displaystyle g ^ {*} = g ^ {-1}.}$ ${\ Displaystyle \ cong G \ czapka H.}$

Aby zobaczyć , konieczne jest pokazanie pewnej struktury podalgebry w dwukwaternionach. Niech $r$ reprezentuje element sfery pierwiastków kwadratowych z minus jeden w podalgebrze kwaternionów rzeczywistych $H$ . Wtedy $($ $hr$ $)$ $2$ $= +1 ,$ a płaszczyzna bikwaternionów podana przez jest przemienną podalgebrą izomorficzną z płaszczyzną liczb rozszczepionych . Tak jak zwykła płaszczyzna zespolona ma jednostkowy okrąg, ma jednostkową hiperbolę podaną przez ${\ Displaystyle G \ czapka M}$ ${\ Displaystyle D_ {R} = \ l nawias z = x + yhr: x, y \ w \ mathbb {R} \ r nawias}$ $D_{r}$

{\ Displaystyle \ exp (ahr) = \ cosh (a) + h \ \ sinh (a), \ quad a \ w R.}

Tak jak koło jednostkowe obraca się przez mnożenie przez jeden ze swoich elementów, tak hiperbola obraca się, ponieważ stąd te operatory algebraiczne na hiperboli nazywane są wersorami hiperbolicznymi . Okrąg jednostkowy w $C$ i hiperbola jednostkowa w $D$ $r$ są przykładami grup jednoparametrowych . Na każdy pierwiastek kwadratowy $r$ od minus jeden w $H$ , istnieje jednoparametrowa grupa w dwukwaternionach podanych przez $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ ${\ Displaystyle G \ czapka D_ {R}.}$

Przestrzeń bikwaternionów ma naturalną topologię poprzez metrykę euklidesową na $8-$ przestrzeni. W odniesieniu do tej topologii $G$ jest grupą topologiczną . Ponadto posiada strukturę analityczną, dzięki czemu jest sześcioparametrową grupą Liego . Rozważmy podprzestrzeń dwuwektorów . Następnie przekształcenie wykładnicze przenosi wektory rzeczywiste do i wektory $h$ do Gdy jest wyposażony w komutator , $A$ tworzy algebrę Liego dla $G$ . Tak więc to badanie przestrzeni sześciowymiarowej służy wprowadzeniu ogólnych koncepcji teorii Liego . Patrząc na reprezentację macierzową, $G$ nazywa się specjalną grupą liniową SL(2,C) w $M$ $2$ $($ $C$ $)$ . ${\ Displaystyle A = \ l nawias q: q ^ {*} = - q \ r nawias}$ $\exp:A\do G$ ${\ Displaystyle G \ czapka H}$ ${\ Displaystyle G \ czapka M.}$

Wiele pojęć szczególnej teorii względności zilustrowano za pomocą przedstawionych struktur dwukwaternionowych. Podprzestrzeń $M$ odpowiada przestrzeni Minkowskiego , której cztery współrzędne podają czasowo-przestrzenne lokalizacje zdarzeń w spoczynkowym układzie odniesienia . Każdy hiperboliczny wersor $exp(ahr)$ odpowiada prędkości w kierunku $r$ prędkości $c tanh a$ gdzie $c$ jest prędkością światła . Bezwładnościowy układ odniesienia tej prędkości może być układem spoczynkowym przez zastosowanie doładowania Lorentza $T$ podanego przez $g = exp(0,5 ahr)$ od tego czasu tak, że naturalnie hiperboloid reprezentujący zakres prędkości dla ruchu podświetlnego ma zainteresowanie fizyczne. Nastąpił znaczny praca skojarzenie tej „przestrzeni prędkości” z hiperboloidę modelu z geometrii hiperbolicznej . W szczególnej teorii względności parametr kąta hiperbolicznego hiperbolicznego wersora nazywany jest szybkością . Widzimy więc, że dwukwaternionowa grupa $G$ zapewnia reprezentację grupy dla grupy Lorentza . ${\ Displaystyle g ^ {\ gwiazda} = \ exp (-0,5 ahr) = g ^ {*}}$ $T(\exp(ahr))=1.$ ${\ Displaystyle G \ czapka M}$

Po wprowadzeniu teorii spinorów , szczególnie w rękach Wolfganga Pauliego i Élie Cartana , dwukwaternionowa reprezentacja grupy Lorentza została zastąpiona. Nowe metody zostały założone na podstawie wektorów w zbiorze

{\ Displaystyle \ {q\ :\ qq ^ {*} = 0 \} = \ lewo \ {w + x \ mathbf {i} + r \ mathbf {j} + z \ mathbf {k} \ :\ w ^ {2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\prawo\}}

który nazywa się złożonym stożkiem świetlnym . Powyższa reprezentacja grupy Lorentza pokrywa się z tym, co fizycy nazywają czterowektorami . Poza czterowektorami standardowy model fizyki cząstek elementarnych zawiera również inne reprezentacje Lorentza, znane jako skalary , oraz reprezentację $(1, 0) \oplus (0, 1)$ związaną np. z tensorem pola elektromagnetycznego . Ponadto, powoduje, fizyki cząstek zastosowania w $SL (2 C)$ reprezentacje (lub rzutowe reprezentacje grupy Lorentza) znane jako prawo- i leworęcznych spinors Weyl , spinors Majorana i spinors Diraca . Wiadomo, że każda z tych siedmiu reprezentacji może być skonstruowana jako podprzestrzenie niezmiennicze wewnątrz bikwaternionów.

Jako algebra kompozycji

Chociaż WR Hamilton wprowadził bikwaterniony w XIX wieku, jego nakreślenie jego struktury matematycznej jako szczególnego typu algebry nad ciałem zostało dokonane w XX wieku: bikwaterniony mogą być generowane z liczb bikompleksowych w ten sam sposób, w jaki wygenerował Adrian Albert. rzeczywiste kwaterniony z liczb zespolonych w tzw. konstrukcji Cayleya-Dicksona . W tej konstrukcji liczba bikompleksowa ( w,z ) ma sprzężenie ( w,z )* = ( w , – z ).

Biquaternion jest wtedy parą liczb bikompleksowych ( a, b ), gdzie iloczyn z drugim biquaternionem ( c, d ) jest

{\ Displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-d ^ {*} b, da + bc ^ {*}).}

Jeśli to dwukoniugat $a=(u,v),b=(w,z),$ ${\ Displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, -b).}$

Gdy ( a,b )* zapisujemy jako 4-wektor zwykłych liczb zespolonych,

{\ Displaystyle (u, v, w, z) ^ {*} = (u, -v, -w, -z).}

Biquaternions tworzą przykład algebry kwaternionów i ma norm

{\ Displaystyle N (u, v, w, z) = u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + z ^ {2}.}

Dwa biquaterniony p i q spełniają, wskazując, że N jest formą kwadratową dopuszczającą złożenie, tak że biquaternions tworzą algebrę złożeń . ${\ Displaystyle N (pq) = N (p) N (q)}$

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Arthur Buchheim (1885) „Pamiętnik o dwukwaternionach” , American Journal of Mathematics 7(4):293 do 326 od Jstor wczesnej treści.
Conway, Arthur W. (1911), „W sprawie stosowania kwaternionów do niektórych najnowszych osiągnięć w teorii elektrycznej”, Proceedings of the Royal Irish Academy , 29A : 1-9.
Furey, C. (2012). „Ujednolicona teoria ideałów”. Fiz. Rev. D . 86 (2): 025024. arXiv : 1002,1497 . Kod bib : 2012PhRvD..86b5024F . doi : 10.1103/PhysRevD.86.025024 . S2CID 118458623 .
Hamilton (1866) Elementy Quaternions University of Dublin Press. Edytowany przez Williama Edwina Hamiltona, syna zmarłego autora.
Hamilton (1899) Elementy Quaternions tom I (1901) tom II. Pod redakcją Charlesa Jaspera Joly ; opublikowane przez Longmans, Green & Co .
Kravchenko, Vladislav (2003), Applied Quaternionic Analysis , Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8 .
Silberstein, Ludwik (1912), "Quaternionic forma względności" , Magazyn Filozoficzny , Seria 6, 23 (137): 790-809, doi : 10.1080/14786440508637276.
Silberstein, Ludwik (1914), Teoria względności.
Synge, JL (1972), „Quaternions, przekształcenia Lorentza i macierze Conwaya-Diraca-Eddingtona”, Komunikaty Dublin Institute for Advanced Studies , Seria A, 21.
Girard, PR (1984), "Grupa kwaternionów i fizyka współczesna", European Journal of Physics , 5 (1): 25-32, Bibcode : 1984EJPh....5...25G , doi : 10.1088/0143-0807 /5/1/007.
Kilmister, CW (1994), Eddington poszukiwanie teorii fundamentalnej , Cambridge University Press, s. 121, 122, 179, 180, ISBN 978-0-521-37165-0.
Sangwine, Stephen J.; Ell, Todd A.; Le Bihan, Nicolas (2010), „Fundamentalne reprezentacje i właściwości algebraiczne biquaternionów lub złożonych kwaternionów”, Advances in Applied Clifford Algebras , 21 (3): 1-30, arXiv : 1001.0240 , doi : 10.1007/s00006-010-0263- 3 , S2CID 54729224.
Sangwine, Stephen J.; Alfsmann, Daniel (2010), "Określanie dzielników biquaternion zera, w tym idempotents i nilpotents", Postępy w stosowanych algebrach Clifforda , 20 (2): 401-410, arXiv : 0812.1102 , Bibcode : 2008arXiv0812.1102S , doi : 10.1007 /s00006-010-0202-3 , S2CID 14246706.
Tanişli, M. (2006), "Przemiana miernika i elektromagnetyzm z bikwaternionami", Europhysics Letters , 74 (4): 569, Bibcode : 2006EL.....74..569T , doi : 10.1209/epl/i2005-10571- 6.

Languages

In other projects