Limit bezpośredni - Direct limit

W matematyce , A bezpośrednie ograniczenie jest sposobem konstruowania (zazwyczaj duże) obiekt z wielu (zwykle mniejszy) obiektów, które są połączone w specyficzny sposób. Obiektami tymi mogą być grupy , pierścienie , przestrzenie wektorowe lub ogólnie obiekty z dowolnej kategorii . Sposób ich łączenia jest określony przez system homomorfizmów ( homomorfizm grupowy, homomorfizm pierścieniowy lub ogólnie morfizmy kategorii) pomiędzy tymi mniejszymi obiektami. Bezpośrednią granicę obiektów , w której zakresy znajdują się w pewnym ukierunkowanym zbiorze , oznaczono przez . (Jest to niewielkie nadużycie notacji, ponieważ tłumi system homomorfizmów, który jest kluczowy dla struktury granicy). ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\displaystyle i}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$

Granice bezpośrednie są szczególnym przypadkiem pojęcia współlimitu w teorii kategorii . Granice bezpośrednie są granicami dualnymi do granic odwrotnych, które są również szczególnym przypadkiem granic w teorii kategorii.

Formalna definicja

Najpierw podamy definicję struktur algebraicznych, takich jak grupy i moduły , a następnie ogólną definicję, którą można zastosować w dowolnej kategorii .

Granice bezpośrednie obiektów algebraicznych

W tej sekcji obiekty są rozumiane jako składające się z podstawowych zbiorów o określonej strukturze algebraicznej , takich jak grupy , pierścienie , moduły (na ustalonym pierścieniu), algebry (nad ustalonym ciałem) itp. Mając to na uwadze, homomorfizmy są rozumiane w odpowiednie ustawienie ( homomorfizmy grupowe itp.).

Niech będzie skierowanym zestawem . Niech będzie rodziną obiektów indeksowanych przez i będzie homomorfizmem dla wszystkich o następujących właściwościach: ${\ Displaystyle \ langle I \ leq \ rangle }$${\ Displaystyle \ {A_ {i}: ja \ w I \}}$${\displaystyle I\,}$${\ Displaystyle f_ {ij} \ dwukropek A_ {i} \ rightarrow A_ {j}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$jest tożsamością , i${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\ Displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij}}$dla wszystkich .${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Następnie para nazywa się systemem bezpośrednim over . ${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle I}$

Bezpośrednie ograniczenie systemu bezpośredniego jest oznaczona i jest zdefiniowany w następujący sposób. Jego zbiór bazowych jest unia rozłączne z „s modulo pewną relację równoważności : ${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\displaystyle A_{i}\,}$ ${\displaystyle \sim\,}$

${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i} = \ bigsqcup _ {i} A_ {i} {\ bigg /} \ sim.}$

Tutaj, jeśli i , to jeśli są jakieś z i i takie, które . Heurystycznie, dwa elementy w rozłącznej unii są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy „w końcu staną się równe” w systemie bezpośrednim. Równoważnym sformułowaniem, które podkreśla dwoistość do granicy odwrotnej, jest to, że element jest równoważny wszystkim jego obrazom pod mapami układu bezpośredniego, czyli zawsze . ${\ Displaystyle X_ {i} \ w A_ {i}}$${\ Displaystyle x_ {j} \ w A_ {j}}$${\ Displaystyle x_ {i} \ sim \, x_ {j}}$ ${\displaystyle k\w ja}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\ Displaystyle f_ {ik} (x_ {i}) = f_ {jk} (x_ {j}) \,}$${\ Displaystyle x_ {i} \ sim \, f_ {ij} (x_ {i})}$${\displaystyle i\leq j}$

Naturalnie z tej definicji uzyskuje się funkcje kanoniczne wysyłające każdy element do jego klasy równoważności. Operacje algebraiczne na są zdefiniowane w taki sposób, że te odwzorowania stają się homomorfizmami. Formalnie granica bezpośrednia systemu bezpośredniego składa się z obiektu wraz z homomorfizmami kanonicznymi . ${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ dwukropek A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i} \}$${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ dwukropek A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$

Limity bezpośrednie w dowolnej kategorii

Granica bezpośrednia może być określona w dowolnej kategorii za pomocą uniwersalnej właściwości . Niech będzie bezpośrednim systemem obiektów i morfizmów w (jak zdefiniowano powyżej). Cel jest para , gdy obiekt na i są morfizmami do siebie tak, że kiedy . Bezpośrednia granica systemu bezpośredniego jest uniwersalnie odpychającym celem w tym sensie, że jest celem i dla każdego celu istnieje unikalny morfizm, taki, że dla każdego i . Poniższy schemat ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle X \ phi _ {i} \ rangle}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ dwukropek X_ {i} \ rightarrow X}$${\displaystyle ja\w ja}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {j} \ circ f_ {ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle X \ phi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle X \ phi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle Y \ psi _ {i} \ rangle}$${\displaystyle u\okrężnica X\rightarrow Y}$${\ Displaystyle u \ circ \ phi _ {i} = \ psi _ {i}}$

będzie wtedy dojeżdżał do wszystkich i , j .

Często oznaczany jest bezpośredni limit

${\ Displaystyle X = \ varinjlim X_ {i}}$

przy czym rozumie się system bezpośredni i morfizmy kanoniczne . ${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\displaystyle \phi _{i}}$

W przeciwieństwie do obiektów algebraicznych, nie każdy system bezpośredni w dowolnej kategorii ma bezpośrednią granicę. Jeśli jednak tak jest, granica bezpośrednia jest unikalna w silnym sensie: przy innej granicy bezpośredniej X ′ istnieje unikalny izomorfizm X ′ → X, który łączy się z morfizmami kanonicznymi.

Przykłady

• Zbiór podzbiorów zestawu można częściowo uporządkować przez włączenie. Jeśli kolekcja jest skierowana, jej bezpośrednim ograniczeniem jest union . To samo dotyczy ukierunkowanego zbierania podgrup danej grupy lub ukierunkowanego zbierania podpierścieni danego pierścienia itp.${\ Displaystyle M_ {i}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ bigcup M_ {i}}$
• Niech będzie dowolny ukierunkowany zestaw z największym elementem . Bezpośrednia granica dowolnego odpowiadającego systemu bezpośredniego jest izomorficzna do, a morfizm kanoniczny jest izomorfizmem.${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle X_ {m}}$${\ Displaystyle \ phi _ {m}: X_ {m} \ rightarrow X}$
• Niech K będzie polem. Dla dodatniej liczby całkowitej n rozważmy ogólną grupę liniową GL( n;K ) składającą się z odwracalnych n x n - macierzy z wpisami z K . Mamy homomorfizm grupowy GL( n;K ) → GL( n +1; K ), który powiększa macierze umieszczając 1 w prawym dolnym rogu i zera w innym miejscu w ostatnim wierszu i kolumnie. Bezpośrednią granicą tego układu jest ogólna grupa liniowa K , zapisana jako GL( K ). Element GL( K ) można traktować jako nieskończoną macierz odwracalną, która różni się od nieskończonej macierzy identyczności tylko skończoną liczbą wpisów. Grupa GL( K ) ma zasadnicze znaczenie w algebraicznej K-teorii .
• Niech p będzie liczbą pierwszą . Rozważmy system bezpośredni złożony z grup czynników i homomorfizmów indukowanych przez mnożenie przez . Bezpośrednią granicę tego systemu stanowią wszystkie korzenie jedności porządku o pewnej sile i nazywa się grupą Prüfera .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} / p ^ {n + 1} \ mathbb {Z}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$
• Istnieje (nieoczywisty) iniekcyjny homomorfizm pierścienia od pierścienia wielomianów symetrycznych w zmiennych do pierścienia wielomianów symetrycznych w zmiennych. Formowanie bezpośredniej granicy tego układu bezpośredniego daje pierścień funkcji symetrycznych.${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• Niech F będzie C -valued snop na przestrzeni topologicznej X . Ustal punkt x w X . Otwarte sąsiedztwa x tworzą ukierunkowany zbiór uporządkowany przez inkluzję ( U ≤ V wtedy i tylko wtedy, gdy U zawiera V ). Odpowiednim systemem bezpośrednim jest ( F ( U ), r _{U , V} ), gdzie r jest mapą ograniczeń. Bezpośrednie granica tego systemu nazywane jest łodygę z F co X , oznaczony K _x . Dla każdej okolicy U z X kanoniczne morfizmem M ( U ) → F _x Associates odcinek s z F na U Element s _x łodygi M _x zwanej zarodek o s co X .
• Ograniczenia bezpośrednie w kategorii przestrzeni topologicznych są podawane przez umieszczenie ostatecznej topologii na leżącym u jej podstaw ograniczeniu bezpośrednim teorii mnogości .
• Ind-system jest indukcyjnym ograniczenia systemów.

Nieruchomości

Limity bezpośrednie są połączone z limitami odwrotnymi poprzez

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (\ varinjlim X_ {i}, Y) = \ varprojlim \ operatorname {Hom} (X_ {i}, Y).}$

Ważną właściwością jest to, że przyjmowanie bezpośrednich granic w kategorii modułów jest dokładnym funktorem . Oznacza to, że jeśli zaczniesz od ukierunkowanego systemu krótkich dokładnych sekwencji i utworzysz bezpośrednie granice, otrzymasz krótką dokładną sekwencję . ${\ Displaystyle 0 \ do A_ {i} \ do B_ {i} \ do C_ {i} \ do 0}$${\ Displaystyle 0 \ do \ varinjlim A_ {i} \ do \ varinjlim B_ {i} \ do \ varinjlim C_ {i} \ do 0}$

Powiązane konstrukcje i uogólnienia

Zauważmy, że system bezpośredni w kategorii dopuszcza alternatywny opis w kategoriach funktorów . Każdy ukierunkowany zestaw może być uważany za małą kategorię, której obiektami są elementy i istnieje morfizm wtedy i tylko wtedy, gdy . System bezpośredni nad jest wtedy tym samym, co funktor kowariantny . Colimit tego funktora jest taka sama jak w bezpośredniej granicy oryginalnego systemu bezpośredniego. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle I \ leq \ rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$${\ Displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Pojęciem ściśle związanym z limitami bezpośrednimi są filtrowane współlimity . Tutaj zaczynamy od funktora kowariantnego z przefiltrowanej kategorii do jakiejś kategorii i tworzymy kolimit tego funktora. Można pokazać, że kategoria ma wszystkie skierowane limity wtedy i tylko wtedy, gdy ma wszystkie filtrowane kolimity, a funktor zdefiniowany na takiej kategorii dojeżdża ze wszystkimi bezpośrednimi limitami wtedy i tylko wtedy, gdy przejeżdża ze wszystkimi filtrowanymi kolimitami. ${\ Displaystyle {\ mathcal {J}} \ do {\ mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Biorąc pod uwagę dowolną kategorię , mogą istnieć systemy bezpośrednie, w których nie ma bezpośredniej granicy (rozważmy na przykład kategorię zbiorów skończonych lub kategorię skończenie generowanych grup abelowych). W tym przypadku zawsze możemy osadzić się w kategorii, w której istnieją wszystkie bezpośrednie ograniczenia; obiekty z są nazywane obiektami ind z . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ tekst {Ind}} ({\ matematyka {C}})}$${\ Displaystyle {\ tekst {Ind}} ({\ matematyka {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Kategoryczny podwójny bezpośredniej granicy nazywany jest granica odwrotna . Jak wyżej, granice odwrotne mogą być postrzegane jako granice pewnych funktorów i są ściśle związane z granicami na współfiltrowanych kategoriach.

Terminologia

W literaturze można spotkać terminy „granica ukierunkowana”, „granica bezpośrednia indukcyjna”, „granica ukierunkowana”, „granica bezpośrednia” i „granica indukcyjna” dla zdefiniowanego powyżej pojęcia granicy bezpośredniej. Termin „granica indukcyjna” jest jednak niejednoznaczny, ponieważ niektórzy autorzy używają go do ogólnego pojęcia kolimitu.

Zobacz też

• Bezpośrednie granice grup

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementy matematyki. Teoria zbiorów , Przekład z francuskiego, Paryż: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie dla matematyka pracującego , Teksty magisterskie z matematyki , 5 (wyd. 2), Springer-Verlag