Równoważność Morita - Morita equivalence

W abstrakcyjnej Algebra , Morita równoważności jest związek określony pomiędzy pierścieniami zabezpieczający je wiele pierścieniowe teoretyczna właściwości. Dokładniej dwa pierścienie, takie jak R , S są równoważne Morita (oznaczone przez ), jeśli ich kategorie modułów są addytywnie równoważne (oznaczone przez ). Jego nazwa pochodzi od japońskiego matematyka Kiiti Mority, który zdefiniował równoważność i podobne pojęcie dwoistości w 1958 roku. ${\ Displaystyle R \ w przybliżeniu S}$ ${\ Displaystyle {} _ {R} M \ około {} _ {S} M}$

Motywacja

Pierścienie są powszechnie badane pod kątem ich modułów , ponieważ moduły mogą być postrzegane jako reprezentacje pierścieni. Każdy pierścień R ma na sobie naturalną strukturę modułu R , w której działanie modułu jest zdefiniowane jako mnożenie w pierścieniu, więc podejście poprzez moduły jest bardziej ogólne i daje użyteczne informacje. Z tego powodu często bada się pierścień, studiując kategorię modułów nad tym pierścieniem. Równoważność Mority prowadzi ten punkt widzenia do naturalnego wniosku, definiując pierścienie jako równoważne Mority, jeśli ich kategorie modułów są równoważne . Pojęcie to jest interesujące tylko w przypadku pierścieni nieprzemiennych , ponieważ można wykazać , że dwa pierścienie przemienne są równoważne Mority wtedy i tylko wtedy , gdy są izomorficzne .

Definicja

Dwa pierścienie R i S (skojarzone, z 1) są uważane za ( Morita ) równoważne, jeśli istnieje równoważność kategorii (lewych) modułów nad R , R-Mod i kategorii (lewych) modułów nad S , S-Mod . Można wykazać, że lewe kategorie modułów R-Mod i S-Mod są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy prawe kategorie modułów Mod-R i Mod-S są równoważne. Dalej można wykazać, że każdy funktor od R-Mod do S-Mod, który daje równoważność, jest automatycznie addytywny .

Przykłady

Dowolne dwa pierścienie izomorficzne są równoważne Mority.

Pierścień macierzy n -by- n z elementami w R , oznaczony jako M _n ( R ), jest równoważny Mority do R dla dowolnego n > 0 . Zauważ, że uogólnia to klasyfikację prostych pierścieni artyńskich podaną przez teorię Artina-Wedderburna . Aby zobaczyć równoważność, zauważ, że jeśli X jest lewym modułem R, to X ⁿ jest modułem _Mn ( R ) , gdzie struktura modułu jest dana przez mnożenie macierzy po lewej stronie wektorów kolumnowych z X . Pozwala to na zdefiniowanie funktora z kategorii lewych modułów R do kategorii lewych modułów _Mn ( R ). Funktor odwrotny jest definiowany przez uświadomienie sobie, że dla dowolnego modułu _Mn ( R ) istnieje lewy moduł R X taki, że moduł _Mn ( R ) jest otrzymywany z X, jak opisano powyżej.

Kryteria równoważności

Równoważności można scharakteryzować następująco: jeśli F : R-Mod S-Mod i G : S-Mod R-Mod są funktorami addytywnymi (kowariantnymi) , to F i G są równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy występuje zrównoważenie ( S , R ) - bimodule P tak, że _S P i P _R są skończenie generowane projekcyjne generatorów i są naturalne isomorphisms z funktorów , i funktorów skończenie generowane generatory rzutowe są czasami nazywane progenerators dla ich kategorii modułu. ${\ Displaystyle \ do}$ ${\ Displaystyle \ do}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {F} (-) \ cong P \ otimes _ {R}-}$${\ Displaystyle \ operatorname {G} (-) \ cong \ operatorname {Hom} (_ {S} P, -).}$

Dla każdego prawostronnego funktora F z kategorii modułów lewo- R do kategorii modułów lewo- S , który komutuje z sumami prostymi , twierdzenie algebry homologicznej pokazuje, że istnieje (S,R) -bimoduł E taki, że funktor jest naturalnie izomorficzny z funktorem . Ponieważ równoważności są z konieczności dokładne i przemienne z sumami bezpośrednimi, oznacza to, że R i S są równoważne Morita wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją bimoduły _R M _S i _S N _R takie, jak (R,R) bimoduły i jako (S,S ) bimoduły. Co więcej, N i M są powiązane poprzez izomorfizm bimodułu (S,R) : . ${\ Displaystyle \ Operatorname {F} (-)}$${\ Displaystyle E \ otimes _ {R}-}$${\ Displaystyle M \ otimes _ {S} N \ cong R}$${\ Displaystyle N \ otimes _ {R} M \ cong S}$${\ Displaystyle N \ cong \ operatorname {Hom} (M_ {S}, S_ {S})}$

Mówiąc bardziej konkretnie, dwa pierścienie R i S są równoważne Morita wtedy i tylko wtedy, gdy dla modułu progeneratora P _R , co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle S \ cong \ operatorname {koniec} (P_ {R})}$

${\ Displaystyle S \ cong e \ mathbb {M} _ {n} (R) e}$

(izomorfizm pierścieni) dla pewnej liczby całkowitej dodatniej n i pełnej idempotentnej e w pierścieniu macierzy M _n ( R ).

Wiadomo, że jeśli R jest równoważne Morita S , to pierścień C( R ) jest izomorficzny z pierścieniem C( S ), gdzie C(-) oznacza środek pierścienia , a ponadto R / J ( R ) jest Morita odpowiednik S / J ( S ), gdzie J (-) oznacza rodnik Jacobsona .

Podczas gdy pierścienie izomorficzne są równoważne Morita, pierścienie równoważne Morita mogą być nieizomorficzne. Prostym przykładem jest to, że pierścień podziału D jest odpowiednikiem Mority dla wszystkich jego pierścieni macierzy M _n ( D ), ale nie może być izomorficzny, gdy n  > 1. W szczególnym przypadku pierścieni przemiennych, pierścienie równoważne Mority są w rzeczywistości izomorficzne. Wynika to bezpośrednio z powyższego komentarza, ponieważ jeśli R jest Morita równoważne S , . ${\ Displaystyle R = \ nazwa operatora {C} (R) \ cong \ nazwa operatora {C} (S) = S}$

Właściwości zachowane przez równoważność

Wiele właściwości jest zachowywanych przez funktor równoważności dla obiektów w kategorii modułu. Mówiąc ogólnie, każda właściwość modułów zdefiniowana wyłącznie w kategoriach modułów i ich homomorfizmów (a nie ich podstawowych elementów lub pierścienia) jest właściwością kategoryczną, która zostanie zachowana przez funktor równoważności. Na przykład, jeśli F (-) jest funktorem równoważności od R-Mod do S-Mod , to moduł R M ma jedną z następujących właściwości wtedy i tylko wtedy, gdy moduł S F ( M ) ma: injective , projective , flat , wierny , prosty , półprosty , skończenie generowane , skończenie przedstawiony , Artinian i Noetherian . Przykłady właściwości, które niekoniecznie są zachowane, obejmują bycie wolnym i cykliczność .

Wiele własności teoretycznych pierścieni jest określanych w kategoriach ich modułów, a więc te własności są zachowane pomiędzy równoważnymi pierścieniami Mority. Własności współdzielone przez równoważne pierścienie nazywane są niezmiennymi własnościami Mority . Na przykład, pierścień R jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego moduły są półproste, a ponieważ półproste moduły są zachowane w równoważności Morita, równoważny pierścień S również musi mieć wszystkie swoje moduły półproste, a zatem sam może być pierścieniem półprostym.

Czasami nie jest od razu oczywiste, dlaczego nieruchomość powinna być zachowana. Na przykład, używając jednej standardowej definicji regularnego pierścienia von Neumanna (dla wszystkich a w R istnieje x w R takie, że a  =  axa ) nie jest jasne, że równoważny pierścień powinien być również regularny von Neumanna. Jednak inne sformułowanie brzmi: pierścień jest regularny von Neumanna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego moduły są płaskie. Ponieważ płaskość jest zachowana w całej równoważności Mority, jest teraz jasne, że regularność von Neumanna jest niezmiennikiem Mority.

Następujące właściwości są niezmiennikami Mority:

• proste , półproste
• von Neumann regularny
• prawy (lub lewy) Noetherian , prawy (lub lewy) Artinian
• prawy (lub lewy) samowstrzykujący
• quasi-Frobenius
• prime , right (lub left) primitive , semiprimitive , semiprimitive
• prawy (lub lewy) (pół-)dziedziczny
• prawy (lub lewy) nieliczba pojedyncza
• prawy (lub lewy) spójny
• semiprimary , right (lub left) perfect , semiperfect
• półlokalny

Przykłady własności, które nie są niezmiennikami Mority, obejmują przemienne , lokalne , zredukowane , dziedzinowe , prawe (lub lewe) Goldie , Frobenius , niezmiennicze liczba podstawowa i Dedekind skończone .

Istnieją co najmniej dwa inne testy określające, czy właściwość pierścienia jest niezmiennikiem Mority. Element E w pierścieniu B jest pełny idempotent gdy e ²  =  e a rer  =  R . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$jest niezmiennikiem Mority wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R jest spełniony , to eRe dla każdego pełnego idempotentnego e, podobnie jak każdy macierzowy pierścień _Mn ( R ) dla każdej dodatniej liczby całkowitej n ;${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

lub

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$jest niezmiennikiem Mority wtedy i tylko wtedy, gdy: dla dowolnego pierścienia R i pełnego idempotentnego e w R , R spełnia wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień eRe spełnia .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Dalsze wskazówki

Dualna z teorią równoważności jest teoria dualności między kategoriami modułów, gdzie użyte funktory są raczej kontrawariantne niż kowariantne. Teoria ta, choć podobna w formie, ma istotne różnice, ponieważ nie ma dualizmu między kategoriami modułów dla dowolnych pierścieni, chociaż dualności mogą istnieć dla podkategorii. Innymi słowy, ponieważ moduły nieskończenie wymiarowe generalnie nie są zwrotne , teoria dualności łatwiej stosuje się do skończenie generowanych algebr nad pierścieniami noetherian. Być może nie jest zaskoczeniem, że powyższe kryterium ma odpowiednik dualności, gdzie naturalny izomorfizm jest podany w kategoriach funktora hom, a nie funktora tensorowego.

Równoważność Mority można również zdefiniować w bardziej ustrukturyzowanych sytuacjach, takich jak symplektyczne groupoidy i C*-algebry . W przypadku C*-algebr do uzyskania wyników przydatnych w zastosowaniach potrzebna jest silniejsza równoważność typu, zwana silną równoważnością Mority , ze względu na dodatkową strukturę C*-algebr (pochodzącą z operacji ewolutywnej *), a także dlatego, że C*-algebry niekoniecznie zawierają element tożsamości.

Znaczenie w teorii K

Jeśli dwa pierścienie są równoważne Morita, istnieje indukowana równoważność odpowiednich kategorii modułów rzutowych, ponieważ równoważności Mority zachowają dokładne sekwencje (a zatem moduły rzutowe). Ponieważ algebraiczna K teorii pierścienia jest zdefiniowana (w podejściu Quillen w ) pod względem grup homotopii w (w przybliżeniu) w klasyfikacyjnym przestrzeni w nerwie w (małe) kategorii skończenie wytworzonych modułów rzutowych na pierścieniu Morita równoważne pierścienie musi mieć izomorficzne grupy K.

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Dalsza lektura

• Reiner, I. (2003). Maksymalne zamówienia . Monografie Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego. Nowa seria. 28 . Wydawnictwo Uniwersytetu Oksfordzkiego . s. 154–169. Numer ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008 .