Notacja pozycyjna - Positional notation

Słowniczek terminów używanych w pozycyjnych systemach liczbowych

Systemy pozycyjne (albo zapis miejsce wartości lub położenia systemie liczbowym ) zazwyczaj oznacza przedłużenie każdej podstawy z hinduistami arabska systemie liczbowym (lub w systemie dziesiętnym ). Bardziej ogólnie, system pozycyjny to system liczbowy, w którym udział cyfry w wartości liczby jest wartością cyfry pomnożoną przez współczynnik określony przez pozycję cyfry. We wczesnych systemach liczbowych , takich jak cyfry rzymskie , cyfra ma tylko jedną wartość: I oznacza jeden, X oznacza dziesięć, a C sto (jednak wartość może zostać zanegowana, jeśli zostanie umieszczona przed inną cyfrą). W nowoczesnych systemach pozycyjnych, takich jak system dziesiętny , pozycja cyfry oznacza, że ​​jej wartość należy pomnożyć przez jakąś wartość: w 555 trzy identyczne symbole reprezentują odpowiednio pięćset, pięć dziesiątek i pięć jednostek, ze względu na ich różne pozycje w ciągu cyfr.

Babilończyk systemie liczbowym , podstawa 60, pierwszy układ pozycjonowania się rozwijać, a jego działanie jest już obecny w czasie, sposób i kąty są liczone w identyfikacyjne związane do 60, takich jak 60 minut w godzinie i 360 stopni na kole . Obecnie system liczb hindusko-arabskich ( podstawa dziesięć ) jest najczęściej używanym systemem na świecie. Jednak binarny system liczbowy (podstawa dwa) jest stosowany w prawie wszystkich komputerach i urządzeniach elektronicznych, ponieważ łatwiej go efektywnie zaimplementować w obwodach elektronicznych .

Opisano układy o podstawie ujemnej, podstawie złożonej lub cyfrach ujemnych. Większość z nich nie wymaga znaku minusa do oznaczenia liczb ujemnych.

Użycie punktu podstawy (miejsca dziesiętnego o podstawie dziesiątej) rozszerza się na ułamki i pozwala na reprezentowanie dowolnej liczby rzeczywistej z dowolną dokładnością. Dzięki notacji pozycyjnej obliczenia arytmetyczne są znacznie prostsze niż w przypadku jakiegokolwiek starszego systemu liczbowego; doprowadziło to do szybkiego rozpowszechnienia się notacji, gdy została wprowadzona w Europie Zachodniej.

Historia

Suanpan (liczba przedstawiona na zdjęciu to 6 302 715 408)

Obecnie system o podstawie 10 ( dziesiętny ), który prawdopodobnie jest motywowany liczeniem dziesięcioma palcami , jest wszechobecny. Inne bazy były używane w przeszłości, a niektóre są nadal używane. Na przykład babiloński system liczbowy , uznawany za pierwszy pozycyjny system liczbowy, miał podstawę-60 . Brakowało mu jednak prawdziwego 0. Początkowo wywnioskowane tylko z kontekstu, później, około 700 pne, zero zaczęło być oznaczane „spacją” lub „symbolem interpunkcyjnym” (takim jak dwa ukośne kliny) między cyframi. Był to symbol zastępczy, a nie prawdziwe zero, ponieważ nie był używany samodzielnie. Nie był też używany na końcu numeru. Liczby takie jak 2 i 120 (2×60) wyglądały tak samo, ponieważ większa liczba nie zawierała ostatecznego symbolu zastępczego. Tylko kontekst mógł je odróżnić.

erudyta Archimedes (ok. 287–212 p.n.e.) wynalazł dziesiętny system pozycyjny w swoim Sand Reckoner, oparty na 10 8, a później doprowadził niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa do ubolewania nad tym, jakie wyżyny osiągnęłaby nauka już w jego czasach, gdyby Archimedes w pełni zdał sobie sprawę z potencjału swojego pomysłowego odkrycia.

Zanim notacja pozycyjna stała się standardem, używano prostych systemów addytywnych ( notacja znakowo-wartościowa ), takich jak cyfry rzymskie , a księgowi w starożytnym Rzymie iw średniowieczu używali liczydła lub liczników kamiennych do wykonywania arytmetyki.

chińskie cyfry prętowe ; Forma pionowa górnego rzędu Forma
pozioma dolnego rzędu

Pręty liczące i większość liczydła zostały wykorzystane do reprezentowania liczb w pozycyjnym systemie liczbowym. Z licznymi prętami lub liczydłem do wykonywania operacji arytmetycznych, zapisywanie wartości początkowych, pośrednich i końcowych obliczeń można łatwo wykonać za pomocą prostego systemu addytywnego w każdej pozycji lub kolumnie. Takie podejście nie wymagało zapamiętywania tabel (podobnie jak notacja pozycyjna) i mogło szybko przynieść praktyczne rezultaty.

Najstarszym zachowanym systemem notacji pozycyjnej jest system chińskich cyfr prętowych , używany co najmniej od początku VIII wieku. Nie jest jasne, czy system ten został wprowadzony z Indii, czy był to rozwój autochtoniczny. Cyfry indyjskie wywodzą się z cyfr brahmi z około III wieku pne, które to symbole nie były wówczas używane pozycyjnie. Średniowieczne cyfry indyjskie są pozycyjne, podobnie jak pochodne cyfry arabskie , zapisane od X wieku.

Po rewolucji francuskiej (1789-1799), nowy rząd francuski promował rozszerzenie systemu dziesiętnego. Niektóre z tych działań pro-dziesiętnych — takie jak czas dziesiętny i kalendarz dziesiętny — zakończyły się niepowodzeniem. Inny francuski pro-dziesiętne wysiłki waluty decimalisation i metrication Miar rozpowszechnione szeroko poza Francji niemal całego świata.

Historia ułamków pozycyjnych

J. Lennart Berggren zauważa, że ​​pozycyjne ułamki dziesiętne zostały po raz pierwszy użyte przez arabskiego matematyka Abu'l-Hasana al-Uqlidisiego już w X wieku. Żydowski matematyk Immanuel Bonfils używał ułamków dziesiętnych około 1350 roku, ale nie opracował żadnego zapisu do ich reprezentacji. Perski matematyk Jamshīd al-Kāshi dokonał tego samego odkrycia ułamków dziesiętnych w XV wieku. Al Khwarizmi wprowadził frakcje do krajów islamskich na początku IX wieku; jego prezentacja ułamków była podobna do tradycyjnych chińskich ułamków matematycznych z Sunzi Suanjing . Ta forma ułamka z licznikiem na górze i mianownikiem na dole bez poziomej kreski była również używana przez X - wieczne dzieło Abu'l-Hasan al-Uqlidisi i XV-wieczne dzieło Jamshida al-Kāshī "Klucz arytmetyczny".

Zapis dziesiętny Stevina.svg

Przyjęcie dziesiętnej reprezentacji liczb mniejszych niż jeden, ułamka , często przypisuje się Simonowi Stevinowi w jego podręczniku De Thiende ; ale zarówno Stevin, jak i EJ Dijksterhuis wskazują, że Regiomontanus przyczynił się do przyjęcia w Europie ogólnych liczb dziesiętnych :

Europejscy matematycy, przejmując od Hindusów, za pośrednictwem Arabów, ideę wartości pozycyjnej liczb całkowitych, zaniedbali rozszerzenie tej idei na ułamki. Przez kilka stuleci ograniczyli się do używania ułamków zwykłych i sześćdziesiętnych ... Ten brak przekonania nigdy nie został całkowicie przezwyciężony, a ułamki sześćdziesiętne nadal stanowią podstawę naszej trygonometrii, astronomii i pomiaru czasu. ¶ ... Matematycy starali się uniknąć ułamków, biorąc promień R równy liczbie jednostek długości postaci 10 n, a następnie zakładając, że n jest tak dużą wartością całkowitą, że wszystkie występujące wielkości mogą być wyrażone z wystarczającą dokładnością przez liczby całkowite. Pierwszym, który zastosował tę metodę, był niemiecki astronom Regiomontanus. W zakresie, w jakim wyrażał goniometryczne odcinki linii w jednostce R /10 n , Regiomontanus można nazwać antycypatorem doktryny dziesiętnych ułamków pozycyjnych.

W ocenie Dijksterhuisa „po opublikowaniu De Thiende wystarczył niewielki postęp, aby ustanowić kompletny system dziesiętnych ułamków pozycyjnych, a ten krok został szybko podjęty przez wielu pisarzy ... obok Stevina najważniejsza postać w tym rozwoju był Regiomontanus”. Dijksterhuis zauważył, że [Stevin] „przypisuje pełne uznanie Regiomontanusowi za jego wcześniejszy wkład, mówiąc, że tablice trygonometryczne niemieckiego astronoma w rzeczywistości zawierają całą teorię »liczb dziesiątego postępu«”.

Zagadnienia

Kluczowym argumentem przemawiającym przeciwko systemowi pozycyjnemu była jego podatność na łatwe oszustwa, polegające po prostu na wstawieniu liczby na początku lub na końcu ilości, zmieniając w ten sposób (np.) 100 na 5100 lub 100 na 1000. Nowoczesne czeki wymagają pisowni w języku naturalnym. kwotę, a także samą kwotę dziesiętną, aby zapobiec takim oszustwom. Z tego samego powodu Chińczycy również używają cyfr języka naturalnego, na przykład 100 jest zapisywane jako 壹佰, którego nigdy nie można przerobić na 壹仟(1000) lub 伍仟壹佰(5100).

Wiele zalet deklarowanych w systemie metrycznym można zrealizować za pomocą dowolnej spójnej notacji pozycyjnej. Kilkunastu zwolenników twierdzi, że dwunastka ma kilka zalet w porównaniu z liczbą dziesiętną, chociaż koszt zmiany wydaje się wysoki.

Matematyka

Podstawa systemu liczbowego

W matematycznych systemach liczbowych podstawa r jest zwykle liczbą unikalnych cyfr , w tym zerem, które pozycyjny system liczbowy wykorzystuje do reprezentowania liczb. W interesujących przypadkach podstawa jest wartością bezwzględną podstawy b , która może być również ujemna. Na przykład, dla systemu dziesiętnego podstawa (i podstawa) to dziesięć, ponieważ używa dziesięciu cyfr od 0 do 9. Gdy liczba „trafi” 9, następna liczba nie będzie kolejnym innym symbolem, ale „1”. po którym następuje „0”. W systemie binarnym podstawa to dwa, ponieważ po trafieniu „1” zamiast „2” lub innego zapisanego symbolu przeskakuje od razu do „10”, a następnie „11” i „100”.

Najwyższy symbol pozycyjnego systemu liczbowego ma zwykle wartość o jeden mniejszą niż wartość podstawy tego systemu liczbowego. Standardowe pozycyjne systemy liczbowe różnią się od siebie jedynie podstawą, której używają.

Podstawa jest liczbą całkowitą większą niż 1, ponieważ podstawa zero nie miałaby żadnych cyfr, a podstawa 1 miałaby tylko cyfrę zero. Negatywne zasady są rzadko używane. W systemie z więcej niż unikalnymi cyframi liczby mogą mieć wiele różnych możliwych reprezentacji.

Ważne jest, aby podstawa była skończona, z czego wynika, że ​​liczba cyfr jest dość niska. W przeciwnym razie długość cyfry niekoniecznie byłaby logarytmiczna pod względem jej wielkości.

(W niektórych niestandardowych pozycyjnych systemach liczbowych , w tym numeracji bijektywnej , definicja podstawy lub dozwolonych cyfr odbiega od powyższego.)

W standardowej notacji pozycyjnej o podstawie dziesięciu (dziesiętnej) występuje dziesięć cyfr dziesiętnych i liczba

.

W standardowym systemie szesnastym ( szesnastkowym ) znajduje się szesnaście cyfr szesnastkowych (0-9 i A-F) oraz liczba

gdzie B reprezentuje liczbę jedenaście jako pojedynczy symbol.

Ogólnie w bazie b jest b cyfr i liczba

ma Note, który reprezentuje sekwencję cyfr, a nie mnożenie .

Notacja

Opisując bazę w notacji matematycznej , jako symbol tego pojęcia używa się ogólnie litery b , więc w systemie dwójkowym b równa się 2. Innym powszechnym sposobem wyrażania bazy jest zapisanie jej jako indeksu dziesiętnego po liczbie, która jest są reprezentowane (ta notacja jest używana w tym artykule). 1111011 2 oznacza, że liczba 1111011 jest liczba zasadowa-2, co odpowiada 123 10 (A dziesiętnego reprezentacji), 173 8 ( ósemkowa ) i 7B 16 ( szesnastkowo ). W książkach i artykułach, używając początkowo pisanych skrótów podstaw liczbowych, podstawa nie jest następnie drukowana: przyjmuje się, że binarny 1111011 jest tym samym, co 1111011 2 .

Zasada b może być również wskazana przez wyrażenie „ baza- b ”. Tak więc liczby binarne to „podstawa-2”; liczby ósemkowe to „podstawa 8”; liczby dziesiętne to „podstawa 10”; i tak dalej.

Do danej podstawy b zestaw cyfr {0, 1, ..., b- 2, b- 1} nazywamy standardowym zestawem cyfr. Zatem liczby binarne mają cyfry {0, 1}; liczby dziesiętne mają cyfry {0, 1, 2, ..., 8, 9}; i tak dalej. Błędy w zapisie są więc następujące: 52 2 , 2 2 , 1A 9 . (We wszystkich przypadkach jedna lub więcej cyfr nie znajduje się w zestawie dozwolonych cyfr dla danej bazy.)

Potęgowanie

Pozycyjne systemy liczbowe działają z wykorzystaniem potęgowania podstawy. Wartość cyfry to cyfra pomnożona przez wartość jej miejsca. Wartości miejsca to numer podstawy podniesiony do n- tej potęgi, gdzie n to liczba innych cyfr między podaną cyfrą a punktem podstawy . Jeśli dana cyfra znajduje się po lewej stronie punktu podstawy (tj. jej wartość jest liczbą całkowitą ), to n jest dodatnie lub równe zeru; jeśli cyfra znajduje się po prawej stronie punktu podstawy (tj. jej wartość jest ułamkowa), to n jest ujemne.

Jako przykład użycia, liczba 465 w odpowiedniej podstawie b (która musi mieć co najmniej podstawę 7, ponieważ najwyższa cyfra w niej to 6) jest równa:

Gdyby liczba 465 była w bazie 10, to byłaby równa:

(465 10 = 465 10 )

Gdyby jednak liczba była w systemie o podstawie 7, to byłaby równa:

(465 7 = 243 10 )

10 b = b dla dowolnej podstawy b , ponieważ 10 b = 1× b 1 + 0× b 0 . Na przykład 10 2 = 2; 10 3 = 3; 10 16 = 16 10 . Zauważ, że ostatnia „16” jest oznaczona jako podstawa 10. W przypadku liczb jednocyfrowych podstawa nie ma znaczenia.

Koncepcję tę można zademonstrować za pomocą diagramu. Jeden obiekt reprezentuje jedną jednostkę. Gdy liczba obiektów jest równa lub większa od podstawy b , tworzona jest grupa obiektów z b obiektów. Gdy ilość przekracza tych grup B , to grupa tych grup przedmiotów jest tworzony b grup b przedmiotów; i tak dalej. Tak więc ta sama liczba w różnych podstawach będzie miała różne wartości:

241 in base 5:
   2 groups of 52 (25)           4 groups of 5          1 group of 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo
241 in base 8:
   2 groups of 82 (64)          4 groups of 8          1 group of 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo

Notację można dodatkowo rozszerzyć, dopuszczając wiodący znak minus. Pozwala to na reprezentację liczb ujemnych. Dla danej bazy każda reprezentacja odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej, a każda liczba rzeczywista ma co najmniej jedną reprezentację. Reprezentacje liczb wymiernych to te reprezentacje, które są skończone, używają notacji słupkowej lub kończą się nieskończenie powtarzającym się cyklem cyfr.

Cyfry i cyfry

Cyfra jest symbolem, który jest używany przez systemy pozycyjne, a cyfra składa się z jednego lub więcej cyfr stosowanych do reprezentujący liczbę z notacji pozycyjnej. Dzisiejsze najczęstsze cyfry to cyfry dziesiętne „0”, „1”, „2”, „3”, „4”, „5”, „6”, „7”, „8” i „9”. Rozróżnienie między cyfrą a cyfrą jest najbardziej widoczne w kontekście podstawy liczbowej.

Niezerowa cyfra z więcej niż jednej pozycji, cyfra oznacza inny numer w innym systemie liczbowym, ale ogólnie, cyfry oznacza takie same. Na przykład, podstawa-8 odnośnikiem 23 8 składa się z dwóch cyfr, wartość „2” i „3”, z wieloma podstawy (indeksowane) „8”. W przeliczeniu na bazie-10 23 8 jest równoważny do 19 : 10 , to znaczy 23 8 = 19 : 10 . W naszym zapisie tutaj indeks dolny „ 8 ” liczebnika 23 8 jest częścią liczebnika, ale nie zawsze tak jest.

Wyobraź sobie, że liczebnik „23” ma niejednoznaczną liczbę podstawową . Wtedy „23” może być dowolną bazą, od bazy 4 w górę. W bazie 4 „23” oznacza 11 10 , tj. 23 4 = 11 10 . W bazie 60 „23” oznacza liczbę 123 10 , czyli 23 60 = 123 10 . Cyfra "23" odpowiada więc w tym przypadku zbiorowi liczb o podstawie 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123} natomiast jej cyfry "2" i „3” zawsze zachowuje swoje pierwotne znaczenie: „2” oznacza „dwa z”, a „3” trzy.

W niektórych zastosowaniach, gdy liczba o ustalonej liczbie pozycji musi reprezentować większą liczbę, można zastosować wyższą podstawę liczbową z większą liczbą cyfr na pozycję. Trzycyfrowa liczba dziesiętna może reprezentować maksymalnie 999 . Ale jeśli podstawa liczbowa zostanie zwiększona do 11, powiedzmy, przez dodanie cyfry "A", wtedy te same trzy pozycje, zmaksymalizowane do "AAA", mogą reprezentować liczbę aż 1330 . Moglibyśmy ponownie zwiększyć podstawę liczby i przypisać „B” do 11 i tak dalej (ale istnieje również możliwe szyfrowanie między liczbą a cyfrą w hierarchii liczba-cyfra-liczba). Trzycyfrowa cyfra „ZZZ” w podstawie-60 może oznaczać215 999 . Jeśli użyjemy całego zbioru naszychznaków alfanumerycznych , moglibyśmy ostatecznie obsłużyćsystem liczbowy o podstawie 62 , ale usuwamy dwie cyfry, wielkie „I” i wielkie „O”, aby zmniejszyć pomylenie z cyframi „1” i „0”. Pozostaje nam system liczbowy o podstawie 60, czyli sześćdziesiętny system liczbowy wykorzystujący 60 z 62 standardowych znaków alfanumerycznych. (Ale zobacz system sześćdziesiętny poniżej.) Ogólnie liczba możliwych wartości, które mogą być reprezentowane przezliczbę cyfr w podstawie,to.

Powszechnymi systemami liczbowymi w informatyce są binarne (podstawa 2), ósemkowe (podstawa 8) i szesnastkowe (podstawa 16). W systemie binarnym w cyfrach występują tylko cyfry „0” i „1”. W cyfrach ósemkowych są osiem cyfr 0–7. Hex 0-9 A-F, gdzie dziesięć Liczby zachowują swoje zwykłe znaczenie, a alphabetics odpowiadają wartościom 10-15, w sumie szesnaście cyfr. Cyfra „10” to cyfra binarna „2”, cyfra ósemkowa „8” lub cyfra szesnastkowa „16”.

Punkt Radix

Notację można rozszerzyć na ujemne wykładniki podstawy b . Tym samym tak zwany punkt podstawy, najczęściej ».«, jest używany jako separator pozycji z nieujemnymi od pozycji z ujemnym wykładnikiem.

Liczby, które nie są liczbami całkowitymi, używają miejsc poza punktem podstawy . Dla każdej pozycji za tym punktem (a więc za cyfrą jednostek), wykładnik n potęgi b n zmniejsza się o 1, a potęga zbliża się do 0. Na przykład liczba 2,35 jest równa:

Znak

Jeśli podstawa i wszystkie cyfry w zestawie cyfr są nieujemne, nie można wyrazić liczb ujemnych. Aby to przezwyciężyć, do systemu liczbowego dodaje się znak minus , tutaj »-«. W zwykłym zapisie jest poprzedzony ciągiem cyfr reprezentujących liczbę nieujemną.

Konwersja podstawowa

Konwersja do podstawy liczby całkowitej n reprezentowanej w podstawie może być dokonana przez następstwo dzieleń euklidesowych przez najbardziej na prawo cyfrę w podstawie jest reszta z dzielenia n przez drugą skrajnie prawą cyfrę jest reszta z dzielenia ilorazu przez i tak dalej. Ostatnia cyfra po lewej stronie to ostatni iloraz. Ogólnie rzecz biorąc, K cyfrowy th z prawej strony jest reszta z dzielenia przez części ( K -1) XX iloraz.

Na przykład: konwersja A10B Hex na dziesiętny (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (ones place)
0x101A/10 = 0x19C  R: 2 (tens place)
 0x19C/10 = 0x29   R: 2 (hundreds place)
  0x29/10 = 0x4    R: 1  ...
                      4

Podczas konwersji na większą podstawę (np. z binarnej na dziesiętną) reszta jest przedstawiana jako pojedyncza cyfra przy użyciu cyfr z . Na przykład: konwersja 0b11111001 (binarny) na 249 (dziesiętny):

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" for ones place)
   0b11000/10 = 0b10    R: 0b100  (0b100 =  "4" for tens)
      0b10/10 = 0b0     R: 0b10   (0b10 =   "2" for hundreds)

W przypadku części ułamkowej konwersję można wykonać, pobierając cyfry po punkcie podstawy (licznik) i dzieląc go przez domniemany mianownik w podstawie docelowej. Aproksymacja może być potrzebna ze względu na możliwość niekończących cyfr, jeśli mianownik zredukowanego ułamka ma czynnik pierwszy inny niż którykolwiek z czynników pierwszych bazy do przekształcenia. Na przykład 0,1 w systemie dziesiętnym (1/10) to 0b1/0b1010 w systemie binarnym, dzieląc to w tej podstawie daje wynik 0b0,0 0011 (ponieważ jeden z czynników pierwszych 10 wynosi 5). Aby uzyskać bardziej ogólne ułamki i zasady, zobacz algorytm dla zasad dodatnich .

W praktyce metoda Hornera jest bardziej wydajna niż wielokrotne dzielenie wymagane powyżej. Liczbę w notacji pozycyjnej można traktować jako wielomian, w którym każda cyfra jest współczynnikiem. Współczynniki mogą być większe niż jedna cyfra, więc skutecznym sposobem konwersji zasad jest przekształcenie każdej cyfry, a następnie obliczenie wielomianu metodą Hornera w ramach docelowej podstawy. Konwersja każdej cyfry jest prostą tabelą przeglądową , eliminującą potrzebę kosztownych operacji dzielenia lub modulacji; a mnożenie przez x staje się przesunięciem w prawo. Jednak inne wielomianowe algorytmy oceny będą również działać, takie jak powtarzane podnoszenie do kwadratu dla pojedynczych lub rzadkich cyfr. Przykład:

Convert 0xA10B to 41227
 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

 Lookup table:
  0x0 = 0
  0x1 = 1
  ...
  0x9 = 9
  0xA = 10
  0xB = 11
  0xC = 12
  0xD = 13
  0xE = 14
  0xF = 15
 Therefore 0xA10B's decimal digits are 10, 1, 0, and 11.
 
 Lay out the digits out like this. The most significant digit (10) is "dropped":
  10 1   0    11 <- Digits of 0xA10B

  ---------------
  10
 Then we multiply the bottom number from the source base (16), the product is placed under the next digit of the source value, and then add:
  10 1   0    11
     160
  ---------------
  10 161

 Repeat until the final addition is performed:
  10 1   0    11
     160 2576 41216
  ---------------
  10 161 2576 41227
  
 and that is 41227 in decimal.
Convert 0b11111001 to 249
 Lookup table:
  0b0 = 0
  0b1 = 1

Result:
 1  1  1  1  1  0  0   1 <- Digits of 0b11111001
    2  6  14 30 62 124 248
 -------------------------
 1  3  7  15 31 62 124 249

Ułamki końcowe

Liczby, które mają skończoną reprezentację, tworzą półpierścień

Bardziej wyraźny, jeśli jest na czynniki od do liczb pierwszych z wykładników , następnie z niepustego zbioru mianowników mamy

w którym to grupa generowana przez i jest to tak zwana lokalizacja w stosunku do .

Mianownik elementu zawiera jeśli zredukowane do najniższych kategoriach tylko czynniki pierwsze z . Ten pierścień wszystkich ułamków końcowych do podstawy jest gęsty w dziedzinie liczb wymiernych . Jego wypełnienie dla zwykłej (archimedesowej) metryki jest takie samo jak dla , czyli liczb rzeczywistych . Tak więc, jeśli wtedy nie należy mylić z , dyskretny pierścień wyceny dla liczby pierwszej , który jest równy z .

Jeśli dzieli , mamy

Nieskończone reprezentacje

Liczby wymierne

Reprezentację liczb niecałkowitych można rozszerzyć, aby umożliwić nieskończony ciąg cyfr poza punktem. Na przykład 1.12112111211112 ... baza-3 reprezentuje sumę nieskończonego szeregu :

Ponieważ nie można jawnie zapisać pełnego nieskończonego ciągu cyfr, końcowy wielokropek (...) oznacza pominięte cyfry, które mogą, ale nie muszą, podążać za jakimś wzorem. Jednym z powszechnych wzorców jest powtarzanie się skończonej sekwencji cyfr w nieskończoność. Jest to wyznaczane przez narysowanie vinculum w powtarzającym się bloku:

Jest to powtarzająca się notacja dziesiętna (dla której nie istnieje ani jedna powszechnie akceptowana notacja lub fraza). Dla podstawy 10 nazywa się to powtarzającym się dziesiętnym lub powtarzającym się dziesiętnym.

Liczba niewymierna ma nieskończoną, niepowtarzalną reprezentację we wszystkich podstawach liczb całkowitych. To, czy liczba wymierna ma skończoną reprezentację, czy wymaga nieskończenie powtarzającej się reprezentacji, zależy od podstawy. Na przykład jedna trzecia może być reprezentowana przez:

lub z dorozumianą podstawą:
(patrz też 0.999... )

Liczby całkowite p i q z GCD ( p , q ) = 1, frakcja P / Q ma skończoną reprezentacji w bazie B , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z głównym czynnikiem o Q jest głównym czynnikiem b .

Dla danej podstawy każda liczba, która może być reprezentowana przez skończoną liczbę cyfr (bez użycia notacji słupkowej) będzie miała wiele reprezentacji, w tym jedną lub dwie nieskończone reprezentacje:

1. Można dodać skończoną lub nieskończoną liczbę zer:
2. Ostatnia niezerowa cyfra może zostać zmniejszona o jeden i dołączany jest nieskończony ciąg cyfr, z których każda odpowiada o jeden mniej niż podstawa (lub zastępuje kolejne cyfry zerowe):
(patrz też 0.999... )

Liczby niewymierne

Liczba (rzeczywista) niewymierna ma nieskończoną, niepowtarzalną reprezentację we wszystkich podstawach liczb całkowitych.

Przykładami są nierozwiązywalne n- te pierwiastki

with i yQ , liczby zwane algebraicznymi lub takie jak

które są transcendentalne . Liczba transcendentaliów jest niepoliczalna, a jedynym sposobem zapisania ich skończoną liczbą symboli jest nadanie im symbolu lub skończonego ciągu symboli.

Aplikacje

System dziesiętny

W dziesiętnym (o podstawie 10) hindusko-arabskim systemie liczbowym każda pozycja, zaczynając od prawej strony, jest wyższą potęgą 10. Pierwsza pozycja reprezentuje 10 0 (1), druga pozycja 10 1 (10), trzecia pozycja 10 2 ( 10 × 10 lub 100), czwarta pozycja 10 3 ( 10 × 10 × 10 lub 1000) i tak dalej.

Wartości ułamkowe są oznaczone separatorem , który może się różnić w różnych lokalizacjach. Zwykle separatorem jest kropka , kropka lub przecinek . Cyfry na prawo od niego są mnożone przez 10 podniesione do ujemnej potęgi lub wykładnika. Pierwsze położenie na prawo od separatora wskazuje 10 -1 (0,1), przy czym drugie położenie 10 -2 (0,01), i tak dalej, dla każdej kolejnej pozycji.

Na przykład liczba 2674 w systemie dziesiętnym to:

(2 × 10 3 ) + (6 × 10 2 ) + (7 × 10 1 ) + (4 × 10 0 )

lub

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

System sześćdziesiętny

System sześćdziesiętny lub system o podstawie 60 był używany dla integralnych i ułamkowych części cyfr babilońskich i innych systemów mezopotamskich, przez hellenistycznych astronomów używających tylko greckie cyfry dla części ułamkowej i jest nadal używany dla współczesnego czasu i kątów, ale tylko przez minuty i sekundy. Jednak nie wszystkie z tych zastosowań były pozycyjne.

Czas współczesny oddziela każdą pozycję dwukropkiem lub symbolem liczby pierwszej . Na przykład czas może wynosić 10:25:59 (10 godzin 25 minut 59 sekund). Kąty używają podobnej notacji. Na przykład kąt może wynosić 10°25′59″ (10 stopni 25 minut 59 sekund ). W obu przypadkach tylko minuty i sekundy używają notacji sześćdziesiętnej — stopnie kątowe mogą być większe niż 59 (jeden obrót wokół okręgu to 360°, dwa obroty to 720° itd.), a zarówno czas, jak i kąty używają ułamków dziesiętnych sekundy . Kontrastuje to z liczbami używanymi przez hellenistycznych i renesansowych astronomów, którzy używali tercji , kwarty itd. dla drobniejszych przyrostów. Gdzie możemy napisać 10°25′59.392″ , napisaliby 10°25 59 23 31 12 lub 10°25 i 59 ii 23 iii 31 iv 12 v .

Użycie zestawu cyfr z dużymi i małymi literami pozwala na krótką notację liczb sześćdziesiętnych, np. 10:25:59 staje się 'ARz' (pomijając I i O, ale nie i i o), co jest przydatne w przypadku użycia w adresach URL, itd., ale nie jest to bardzo zrozumiałe dla ludzi.

W latach trzydziestych Otto Neugebauer wprowadził nowoczesny system notacji liczb babilońskich i hellenistycznych, który zastępuje współczesny zapis dziesiętny od 0 do 59 w każdej pozycji, używając średnika (;) do oddzielenia części całkowitej i ułamkowej liczby i używając przecinka (,), aby oddzielić pozycje w każdej części. Na przykład średni miesiąc synodyczny używany przez astronomów babilońskich i hellenistycznych i nadal używany w kalendarzu hebrajskim to 29;31,50,8,20 dni, a kąt użyty w powyższym przykładzie byłby zapisem 10;25,59, 23,31,12 stopni.

Przetwarzanie danych

W obliczeniowej , z binarnego (podstawa-2), ósemkową (podstawa-8) i szesnastkowe (baza-16) podstawy są najczęściej stosowane. Komputery na najbardziej podstawowym poziomie radzą sobie tylko z ciągami konwencjonalnych zer i jedynek, więc w tym sensie łatwiej jest radzić sobie z potęgami dwójki. System szesnastkowy jest używany jako „skrót” dla binarnego — każde 4 cyfry binarne (bity) odnoszą się do jednej i tylko jednej cyfry szesnastkowej. W systemie szesnastkowym sześć cyfr po 9 jest oznaczonych przez A, B, C, D, E i F (a czasami a, b, c, d, e i f).

System liczb ósemkowych jest również używany jako inny sposób przedstawiania liczb binarnych. W tym przypadku podstawą jest 8 i dlatego używane są tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Podczas konwersji z binarnego na ósemkowe co 3 bity odnoszą się do jednej i tylko jednej cyfry ósemkowej.

Szesnastkowe, dziesiętne, ósemkowe i wiele innych podstaw zostały użyte do kodowania binarnego na tekst , implementacji arytmetyki o dowolnej precyzji i innych aplikacji.

Aby zapoznać się z listą zasad i ich zastosowaniami, zobacz listę systemów liczbowych .

Inne bazy w ludzkim języku

Systemy o podstawie 12 ( dwunastkowe lub tuzinowe) są popularne, ponieważ mnożenie i dzielenie jest łatwiejsze niż w systemie o podstawie 10, a dodawanie i odejmowanie są równie łatwe. Dwanaście jest użyteczną bazą, ponieważ ma wiele czynników . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność jednego, dwóch, trzech, czterech i sześciu. W języku angielskim wciąż istnieje specjalne słowo na „tuzin” i przez analogię ze słowem na 10 2 , sto , commerce rozwinęło słowo na 12 2 , brutto . Standardowy zegar 12-godzinny i powszechne użycie 12 w jednostkach angielskich podkreśla użyteczność podstawy. Ponadto, przed przeliczeniem na dziesiętny, stara brytyjska waluta funt szterling (GBP) częściowo używała podstawy 12; było 12 pensów (d) w szylingu (s), 20 szylingów w funcie (£), a zatem 240 pensów w funcie. Stąd określenie LSD, a właściwie £sd .

Cywilizacja Majów i innych cywilizacji prekolumbijskiej Mezoameryki wykorzystywane bazowy-20 ( dwudziestkowy system liczbowy ), podobnie jak kilka plemion Ameryki Północnej (dwie są w południowej Kalifornii). Dowody na system liczenia o podstawie 20 znajdują się również w językach środkowej i zachodniej Afryki .

Pozostałości galijskiego systemu bazy 20 istnieją również w języku francuskim, co widać dzisiaj w nazwach liczb od 60 do 99. Na przykład sześćdziesiąt pięć to soixante-cinq (dosłownie „sześćdziesiąt [i] pięć”), podczas gdy siedemdziesiąt pięć to soixante-quinze (dosłownie „sześćdziesiąt [i] piętnaście”). Ponadto dla dowolnej liczby z zakresu od 80 do 99 liczba w kolumnie dziesiątek jest wyrażona jako wielokrotność dwudziestu. Na przykład osiemdziesiąt dwa to quatre-vingt-deux (dosłownie cztery dwadzieścia[i] dwa), a dziewięćdziesiąt dwa to quatre-vingt-douze (dosłownie cztery dwadzieścia[i] dwanaście). W starofrancuskim czterdzieści oznaczało dwie dwudziestki, sześćdziesiąt trzy dwudziestki, więc pięćdziesiąt trzy wyrażono jako dwie dwudziestki [i] trzynaście i tak dalej.

W języku angielskim to samo liczenie przy podstawie 20 pojawia się przy użyciu „ scores ”. Choć w większości historyczny, bywa używany potocznie. Werset 10 z Pslamu 90 w Biblii Króla Jakuba zaczyna się: „Dni naszych lat to sześćdziesiąt lat i dziesięć; a jeśli z powodu siły są to sześćdziesiąt lat, to jednak ich siła jest pracą i smutkiem”. Adres Gettysburga zaczyna się: „Cztery partytury i siedem lat temu”.

Język irlandzki również używał base-20 w przeszłości, dwadzieścia to fichid , czterdzieści dhá fhichid , sześćdziesiąt trí fhichid i osiemdziesiąt ceithre fhichid . Pozostałość tego systemu można dostrzec we współczesnym słowie oznaczającym 40, daoichead .

W języku walijskim nadal używa się systemu liczenia o podstawie 20 , szczególnie w odniesieniu do wieku osób, dat i popularnych zwrotów. 15 jest również ważne, przy czym 16-19 to „jeden na 15”, „dwa na 15” itd. 18 to zwykle „dwie dziewiątki”. Powszechnie używany jest system dziesiętny.

W językach Eskimosów użyć base-20 system liczenia. Studenci z Kaktovik na Alasce wymyślili system liczbowy o podstawie 20 w 1994 r.

Cyfry duńskie mają podobną strukturę o podstawie 20 .

Język Maorysów w Nowej Zelandii ma również dowody na istnienie systemu bazowego 20, jak widać w terminach Te Hokowhitu a Tu, odnoszącym się do partii wojennej (dosłownie „siedem 20s Tu”) i Tama-hokotahi , odnoszącym się do wielkiego wojownika („jeden człowiek równy 20”).

System binarny był używany w egipskim Starym Królestwie, 3000 pne do 2050 pne. Był on przekrzywiony przez zaokrąglenie liczb wymiernych mniejszych niż 1 do 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , z odrzuconą wartością 1/64 (system nazwano Oko Horusa ).

Wiele języków australijskich Aborygenów wykorzystuje binarne lub podobne do binarnych systemy liczenia. Na przykład w Kala Lagaw Ya liczby od jeden do sześć to urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar .

Rdzenni mieszkańcy Ameryki Północnej i Środkowej używali bazy 4 ( czwartorzędowej ) do reprezentowania czterech kierunków kardynalnych. Mezoamerykanie mieli tendencję do dodawania drugiego systemu o podstawie 5, aby stworzyć zmodyfikowany system o podstawie 20.

W wielu kulturach do liczenia stosowano system o podstawie 5 ( quinary ). Po prostu opiera się na liczbie cyfr na ludzkiej dłoni. Może być również uważany za podbazę innych zasad, takich jak podstawa 10, podstawa 20 i podstawa-60.

System ósemkowy ( ósemkowy ) został opracowany przez plemię Yuki z Północnej Kalifornii, które używało spacji między palcami do liczenia, odpowiadających cyfrom od jednego do ósmego. Istnieją również dowody językowe, które sugerują, że proto-indoeuropejczycy epoki brązu (z których pochodzi większość języków europejskich i indyjskich) mogli zastąpić system o podstawie 8 (lub system, który mógł liczyć tylko do 8) systemem o podstawie 10 system. Dowodem jest to, że słowo 9, newm , jest przez niektórych sugerowane jako wywodzące się od słowa oznaczającego „nowy”, newo- , co sugeruje, że liczba 9 została niedawno wynaleziona i nazwana „nową liczbą”.

Wiele starożytnych systemów liczenia używa pięciu jako podstawowej podstawy, prawie na pewno wynikającej z liczby palców na dłoni osoby. Często systemy te są uzupełniane o bazę wtórną, czasem dziesięć, czasem dwadzieścia. W niektórych językach afrykańskich słowo oznaczające pięć jest takie samo jak „ręka” lub „pięść” ( język Dyola z Gwinei Bissau , język Banda w Afryce Środkowej ). Liczenie jest kontynuowane przez dodanie 1, 2, 3 lub 4 do kombinacji 5, aż do osiągnięcia podstawy drugorzędnej. W przypadku dwudziestu słowo to często oznacza „człowiek kompletny”. System ten określany jest jako quinquavigesimal . Występuje w wielu językach regionu Sudanu .

Język Telefol , używany w Papui Nowej Gwinei , wyróżnia się systemem liczbowym o podstawie 27.

Niestandardowe pozycyjne systemy liczbowe

Interesujące właściwości istnieją, gdy podstawa nie jest stała lub dodatnia, a zestawy symboli cyfr oznaczają wartości ujemne. Istnieje wiele innych odmian. Systemy te mają dla informatyków wartość praktyczną i teoretyczną.

Zrównoważona trójka używa podstawy 3, ale zestaw cyfr to { 1 ,0,1} zamiast {0,1,2}. „ 1 ” ma równoważną wartość -1. Negację liczby można łatwo utworzyć, przełączając   jedynki. System ten może być wykorzystany do rozwiązania problemu równowagi , który wymaga znalezienia minimalnego zestawu znanych przeciwwag w celu wyznaczenia nieznanego ciężaru. Wagi 1, 3, 9, ... 3 n znanych jednostek mogą być użyte do określenia dowolnej nieznanej wagi do 1 + 3 + ... + 3 n jednostek. Obciążnik może być używany po obu stronach wagi lub wcale. Masy używane na szalce wagi o nieznanym ciężarze są oznaczone 1 , 1 , jeśli jest używany na pustej szalce i 0 , jeśli nie jest używany. Jeśli nieznana waga W jest zrównoważona z 3 (3 1 ) na szalce i 1 i 27 (3 0 i 3 3 ) na drugiej, to jej waga dziesiętna wynosi 25 lub 10 1 1 w zbilansowanej podstawie-3.

10 1 1 3 = 1 × 3 3 + 0 × 3 2 − 1 × 3 1 + 1 × 3 0 = 25.

System silni używa zmiennej podstawy, podając silnie jako wartości miejsc; są one związane z chińskim twierdzeniem o resztach i wyliczeniami systemu liczb reszt . Ten system skutecznie wylicza permutacje. Pochodna tego wykorzystuje konfigurację łamigłówki Wieże Hanoi jako system liczenia. Konfigurację wież można umieścić w korespondencji 1 do 1 z dziesiętną liczbą kroków, w których występuje konfiguracja i odwrotnie.

ekwiwalenty dziesiętne -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Zrównoważona podstawa 3 1 0 1 1 1 0 1 1 1 10 11 1 1 1 1 1 0 1 1 1 10 1
Baza -2 1101 10 11 0 1 110 111 100 101 11010 11011 11000
Factoroid 0 10 100 110 200 210 1000 1010 1100

Pozycje niepozycyjne

Każda pozycja sama w sobie nie musi być pozycyjna. Babilońskie liczebniki sześćdziesiętne były pozycyjne, ale w każdej pozycji znajdowały się grupy dwóch rodzajów klinów reprezentujących jedynki i dziesiątki (wąski pionowy klin ( | ) i otwarty lewy klin wskazujący (<)) — do 14 symboli na pozycję (5 dziesiątek ( <<<<<) i 9 ( ||||||||| ) zgrupowanych w jeden lub dwa sąsiadujące kwadraty zawierające do trzech rzędów symboli lub miejsce (\\) w przypadku braku pozycji) . Astronomowie hellenistyczni używali jednej lub dwóch alfabetycznych cyfr greckich dla każdej pozycji (jedna wybrana z 5 liter reprezentujących 10–50 i/lub jedna wybrana z 9 liter reprezentujących 1–9 lub symbol zera ).

Zobacz też

Przykłady:

Powiązane tematy:

Inne:

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki