Wewnętrzny automorfizm - Inner automorphism

W abstrakcyjnej Algebra wewnętrzna automorfizmem jest automorfizmem z grupy , pierścień lub Algebra podanej przez działanie sprzęgania się z części stałej, nazywany elementem sprzęgania . Można je realizować za pomocą prostych operacji z samej grupy, stąd przymiotnik „wewnętrzny”. Te wewnętrzne automorfizmy tworzą podgrupę grupy automorfizmów, a iloraz grupy automorfizmów przez tę podgrupę daje początek koncepcji grupy automorfizmów zewnętrznych .

Definicja

Jeśli G jest grupą, a g jest elementem G (alternatywnie, jeśli G jest pierścieniem, a g jest jednostką ), to funkcja

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ varphi _ {g} \ dwukropek G i \ do G \ \ \ varphi _ {g} (x) i: = g ^ {-1} xg \ koniec {wyrównane}}}$

nazywa się (prawo) koniugacją przez g (patrz także klasa koniugacji ). Ta funkcja jest endomorfizm z G : Do wszystkich${\displaystyle x_{1},x_{2}\w g}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {g} (x_ {1} x_ {2}) = g ^ {-1} x_ {1} x_ {2} g = (g ^ {-1} x_ {1} g) ( g^{-1}x_{2}g)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

gdzie druga równość jest dana przez wstawienie tożsamości między i Ponadto ma odwrotność lewą i prawą , a mianowicie Tak, jest bijektywna , a więc izomorfizm G z samym sobą, tj. automorfizm. Wewnętrzna automorfizmem jakakolwiek automorfizmem który powstaje z odmiany. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}.}$${\ Displaystyle \ varphi _ {g ^ {-1}}.}$${\ Displaystyle \ varphi _ {g}}$

Omawiając prawo koniugacji, wyrażenie jest często oznaczany wykładniczo przez ten zapis jest używany ponieważ skład koniugacje spełnia Tożsamość: dla wszystkich To pokazuje, że koniugacja daje prawo działania z G na siebie. ${\ Displaystyle g ^ {-1} xg}$${\ Displaystyle x ^ {g}.}$${\ Displaystyle (x ^ {g_ {1}}) ^ {g_ {2}} = x ^ {g_ {1} g_ {2}}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\w g.}$

Wewnętrzne i zewnętrzne grupy automorfizmu

Skład się z dwóch wewnętrznych automorfizmy ponownie wewnętrzną automorfizmem i przy tej operacji zbierania wszystkich wewnętrznych automorfizmów G jest grupa wewnętrzna grupa automorfizmem G oznaczany Inn ( G ) .

Inn( G ) jest normalną podgrupą pełnej grupy automorfizmu Aut( G ) z G . Zewnętrzna grupa automorfizmem , Z ( G ) jest grupa iloraz

${\ Displaystyle \ Operatorname {Out} (G) = \ Operatorname {Aut} (G) / \ Operator {Inn} (G).}$

Zewnętrzna grupa automorfizmów mierzy w pewnym sensie, ile automorfizmów G nie jest wewnętrznych. Każdy niewewnętrzny automorfizm daje nietrywialny element Out( G ) , ale różne niewewnętrzne automorfizmy mogą dać ten sam element Out( G ) .

Powiedzenie, że sprzężenie x przez a pozostawia x niezmienione, jest równoznaczne z powiedzeniem, że a i x dojeżdżają:

${\ Displaystyle a ^ {-1} xa = x \ iff ax = xa.}$

Zatem istnienie i liczba wewnętrznych automorfizmów, które nie są odwzorowaniem tożsamości, jest rodzajem miary niepowodzenia prawa przemienności w grupie (lub pierścieniu).

Automorfizm grupy G jest wewnętrzny wtedy i tylko wtedy, gdy rozciąga się na każdą grupę zawierającą G .

Kojarząc element ∈ G z wewnętrzną automorfizmem f ( x ) = x w Inn ( G ), jak opisano powyżej, jeden uzyskuje Izomorfizm pomiędzy grupą iloraz G / Z ( G ) (gdzie Z ( G ) jest środek o G ) i wewnętrzna grupa automorfizmu:

${\ Displaystyle G / Z (G) \ cong \ operatorname {Inn} (G).}$

Jest to konsekwencja pierwszego twierdzenia o izomorfizmie , ponieważ Z ( G ) jest dokładnie zbiorem tych elementów G, które dają odwzorowaniu tożsamości jako odpowiadający automorfizm wewnętrzny (koniugacja niczego nie zmienia).

Niewewnętrzne automorfizmy skończonych grup p

Wynikiem Wolfgang Gaschütz mówi, że jeśli G jest ograniczony nie abelowa P -group , wówczas G ma automorfizmem p celu poboru energii, która nie jest wewnętrzna.

Pytaniem otwartym jest, czy każda nieabelowa grupa p G ma automorfizm rzędu p . To ostatnie pytanie ma pozytywną odpowiedź, gdy G ma jeden z następujących warunków:

1. G jest nilpotentny klasy 2
2. G jest regularny p -group
3. G / Z ( G ) jest wydajne P -group
4. Centrujące w G , C, _G , w centrum, Z , z podgrupy Frattini , cp , o G , C, _G ∘ Z ∘ Φ ( G ) nie jest równa cp ( G )

Rodzaje grup

Wewnętrzna grupa automorfizmu grupy G , Inn( G ) , jest trywialna (tj. składa się tylko z elementu tożsamości ) wtedy i tylko wtedy, gdy G jest abelowe .

Grupa Inn( G ) jest cykliczna tylko wtedy, gdy jest trywialna.

Na przeciwległym krańcu spektrum automorfizmy wewnętrzne mogą wyczerpać całą grupę automorfizmów; grupę, której automorfizmy są wszystkie wewnętrzne, a centrum trywialne, nazywamy kompletną . Tak jest w przypadku wszystkich grup symetrycznych na n elementach, gdy n nie jest równe 2 lub 6. Gdy n = 6 , grupa symetryczna ma unikalną nietrywialną klasę zewnętrznych automorfizmów, a gdy n = 2 , grupa symetryczna, pomimo braku zewnętrznych automorfizmów, jest abelowa, dając nietrywialne centrum, dyskwalifikując je z pełni.

Jeśli wewnętrzna grupa automorfizmu doskonałej grupy G jest prosta, to G nazywamy quasimple .

Przypadek algebry kłamstw

Automorfizm algebry Liego 𝔊 nazywamy automorfizmem wewnętrznym, jeśli ma postać Ad _g , gdzie Ad jest odwzorowaniem sprzężonym, a g jest elementem grupy Liego, której algebrą Liego jest 𝔊 . Pojęcie wewnętrznego automorfizmu dla algebr Liego jest zgodne z pojęciem grup w tym sensie, że wewnętrzny automorfizm grupy Liego indukuje unikalny wewnętrzny automorfizm odpowiedniej algebry Liego.

Rozbudowa

Jeśli G jest grupa jednostek o pierścieniu , , a następnie na wewnętrzną automorfizmem G może być przedłużony do odwzorowania na rzutowej na linii A przez grupy jednostek pierścieniem matrycy , M ₂ ( A ) . W szczególności można w ten sposób rozszerzyć wewnętrzne automorfizmy grup klasycznych .

Bibliografia

Dalsza lektura

• Abdollahi, A. (2010), „Potężne grupy p mają niewewnętrzne automorfizmy porządku p i pewną kohomologię”, J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2009.10.013 , MR  2574864
• Abdollahi, A. (2007), „Skończone p -grupy klasy 2 mają niewewnętrzne automorfizmy porządku p ”, J. Algebra , 312 (2): 876-879, arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2006.08.036 , MR  2333188
• Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "nienaruszalne automorfizmy rzędu p skończonych grup p ", J. Algebra , 250 : 283-287 , doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
• Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorfizm", J. Algebra , 4 : 1-2, doi : 10.1016/0021-8693 (66) 90045-7 , MR  0193144
• Liebeck, H. (1965), „Zewnętrzne automorfizmy w nilpotentnych grupach p klasy 2 ”, J. London Math. Soc. , 40 : 268–275, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.268 , MR  0173708
• Remeslennikov, VN (2001) [1994], "wewnętrzny automorfizm" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Wewnętrzny automorfizm” . MatematykaŚwiat .