Blisko pierścienia - Near-ring
W matematyce , A nearring (także w pobliżu pierścienia lub nearring ) jest algebraiczna strukturę podobną do pierścienia , ale spełniająca mniej axioms . Bliskie pierścienie powstają naturalnie z funkcji na grupach .
Struktury algebraiczne |
---|
Definicja
Zestaw N oraz dwa binarne operacji + (zwany addycyjnych ) i ⋅ (zwany mnożenia ) nazywa się (z prawej strony) w pobliżu pierścienia , jeżeli:
- N oznacza grupę (niekoniecznie abelową ) dodawaną ;
- mnożenie jest łączne (więc N jest półgrupą w mnożeniu); oraz
- mnożenie po prawej rozkłada się na dodawanie: dla dowolnych x , y , z w N , przyjmuje się, że ( x + y ) ⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ).
Podobnie, możliwe jest zdefiniowanie lewego bliskiego pierścienia poprzez zastąpienie prawego prawa dystrybucji przez odpowiadające mu lewe prawo dystrybucji. W literaturze występują zarówno prawy, jak i lewy bliski pierścieni; na przykład w księdze Pilza używane są prawe bliższe pierścienie, podczas gdy księga Claya lewe bliższe pierścienie.
Bezpośrednią konsekwencją tego jednostronnego prawa dystrybucji jest to, że prawdą jest, że 0⋅ x = 0, ale niekoniecznie jest prawdą, że x ⋅0 = 0 dla dowolnego x w N . Inną bezpośrednią konsekwencją jest to, że (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) dla dowolnego x , y w N , ale nie jest konieczne, aby x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Bliski pierścień jest pierścieniem (niekoniecznie z jednością) wtedy i tylko wtedy, gdy dodawanie jest przemienne, a mnożenie jest również rozdzielne względem dodawania po lewej stronie . Jeśli bliski pierścień ma tożsamość multiplikatywną, wówczas rozdzielność po obu stronach jest wystarczająca, a przemienność dodawania następuje automatycznie.
Mapowania z grupy do siebie
Niech G będzie grupą zapisaną addytywnie , ale niekoniecznie abelową , i niech M ( G ) będzie zbiorem { f | f : G → G } wszystkich funkcji od G do G . Operacja dodawania może być zdefiniowana na M ( G ): dane f , g w M ( G ), wtedy mapowanie f + g z G na G jest dane przez ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) dla wszystkich x w G . Wtedy ( M ( G ), +) jest również grupą, która jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy G jest abelowa. Przyjmując kompozycję odwzorowań jako iloczyn ⋅, M ( G ) staje się bliski pierścienia.
Element 0 bliskiego pierścienia M ( G ) jest mapą zerową , tj. mapowaniem, które przenosi każdy element G do elementu tożsamości G . Dodatek odwrotną - f o f w M ( G ) zbiega się z naturalnym punktowej rozdzielczości, który jest (- f ), ( x ) = - ( f ( x )) dla wszystkich x w G .
Jeśli G ma co najmniej 2 elementy, M ( G ) nie jest pierścieniem, nawet jeśli G jest abelowe. (Rozważmy stały odwzorowania g z G do stałego elementu g ≠ 0 G , po czym g ⋅0 = g ≠ 0) Jednakże istnieje podzbiór E ( G ) z M ( G ), składające się ze wszystkich grup endomorfizm z G , czyli wszystkie odwzorowania f : G → G takie, że f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) dla wszystkich x , y w G . Jeśli ( G , +) jest abelowe, obie operacje bliskie pierścienia na M ( G ) są zamknięte na E ( G ), a ( E ( G ), +, ⋅) jest pierścieniem. Jeśli ( G , +) jest nieabelowe, E ( G ) generalnie nie jest zamknięte w operacjach bliski pierścienia; ale zamknięcie E ( G ) w ramach operacji bliskiego pierścienia jest bliskie pierścieniowi.
Wiele podzbiorów M ( G ) tworzy interesujące i użyteczne bliskie pierścienie. Na przykład:
- Mapowania, dla których f (0) = 0.
- Mapowania stałe, czyli takie, które mapują każdy element grupy na jeden stały element.
- Zbiór map generowanych przez dodawanie i negację z endomorfizmów grupy („domknięcie addytywne” zbioru endomorfizmów). Jeśli G jest abelowe, to zbiór endomorfizmów jest już addytywnie domknięty, tak że domknięcie addytywne jest tylko zbiorem endomorfizmów G i tworzy nie tylko bliski pierścień, ale pierścień.
Dalsze przykłady pojawiają się, gdy grupa ma dalszą strukturę, na przykład:
- Ciągłe odwzorowania w grupie topologicznej .
- Funkcje wielomianowe na pierścieniu z identycznością pod wpływem addycji i złożeniem wielomianowym.
- Mapy afiniczne w przestrzeni wektorowej .
Każdy bliski pierścień jest izomorficzny z podrzędnym pierścieniem M ( G ) dla pewnego G .
Aplikacje
Wiele zastosowań obejmuje podklasę bliskich pierścieni zwanych polami bliskimi ; dla nich zobacz artykuł o polach bliskich.
Istnieją różne zastosowania właściwych bliży, tj. takich, które nie są ani pierścieniami, ani bliskimi polami.
Najbardziej znanym jest równoważenie niekompletnych projektów blokowych za pomocą płaskich pierścieni bliskich. Są to sposób na uzyskanie rodzin różnic przy użyciu orbit stałej grupy automorfizmu bez punktu stałego grupy. Clay i inni rozszerzyli te idee na bardziej ogólne konstrukcje geometryczne.
Zobacz też
Bibliografia
- Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: niektóre wydarzenia związane z półgrupami i grupami . Wydawnictwa Akademickie Kluwer. Numer ISBN 978-1-4613-0267-4.