Semiprimitive pierścień - Semiprimitive ring

W Algebra, A semiprimitive pierścień lub pierścień Jacobsona półprosty lub J półprosty pierścień stanowi pierścień, którego Jacobson rodnik zero. Jest to rodzaj pierścienia bardziej ogólnym niż półprosty ringu , ale gdzie proste moduły nadal zapewnić wystarczająco dużo informacji o sygnale. Pierścienie takie jak pierścień liczb całkowitych są semiprimitive, i artinian semiprimitive pierścień jest tylko półprosty pierścień . Semiprimitive pierścienie mogą być rozumiane jako produkty subdirect z pierwotnych pierścieni , które są opisane przez twierdzenia gęstości Jacobsona .

Definicja

Pierścień jest nazywany semiprimitive lub Jacobson półprosty jeśli jego Jacobson rodnik jest zerowy idealny .

Pierścień jest semiprimitive wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona wierną półprosty moduł lewy . Nieruchomość semiprimitive lewo-prawo jest symetryczny, a więc pierścień jest semiprimitive wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona wierną półprosty modułu rację.

Pierścień jest semiprimitive wtedy i tylko wtedy, gdy jest to produkt subdirect lewych pierścieni pierwotnych .

Przemienne pierścień jest semiprimitive tylko wtedy, gdy jest to produkt subdirect z pól ( Lam 1995 , str. 137).

W lewej pierścień artinian jest semiprimitive wtedy i tylko wtedy, gdy jest półprosty ( Lam 2001 , str. 54). Takie pierścienie są czasami nazywane półprosty Artinian ( Kelarev 2002 , str. 13).

Przykłady

  • Pierścień liczb całkowitych jest semiprimitive, ale nie półprosty.
  • Każdy pierścień jest prymitywny semiprimitive.
  • Produkt z dwóch pól jest semiprimitive ale nie prymitywne.
  • Każdy von Neumann regularny pierścień jest semiprimitive.

Jacobson sam zdefiniował pierścień być „półprosty” tylko wtedy, gdy jest to produkt subdirect od prostych pierścieni ( Jacobson 1989 , str. 203). Jednakże, jest to pojęcie bardziej rygorystyczne, gdyż pierścień endomorfizmów od przeliczalnie nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej jest semiprimitive, ale nie produkt subdirect prostych pierścieni, ( Lam 1995 , str. 42).

Referencje

  • Jacobson, Nathan (1989), Podstawowe Algebra II (wyd. 2), WH Freeman ISBN  978-0-7167-1933-5
  • Lam Tsit-Yuen (1995), Ćwiczenia w klasycznej teorii pierścienia problemów matematycznych, Books, New York Berlin: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94317-6 , MR  1323431
  • Lam, Tsit-Yuen (2001), kurs pierwszej w Nieprzemienna pierścieni , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95325-0
  • Kelarev Andrei V. (2002), pierścieniowe konstrukcje i Aplikacje , World Scientific, ISBN  978-981-02-4745-4