Pierścień Matrix - Matrix ring

W abstrakcyjnej Algebra , A pierścień matryca jest zestaw matryc z pozycji w pierścieniu B , które tworzą pierścień, pod Oprócz matrycy i mnożenia macierzy ( Lam 1999 ). Zbiór wszystkich n × n macierzy z pozycjami w R jest pierścieniem macierzy oznaczonym M n ( R ) (alternatywne oznaczenia: Mat n ( R ) i R n × n ). Niektóre zestawy nieskończonych macierzy tworzą nieskończone pierścienie macierzy . Każdy element podrzędny pierścienia matrycowego jest pierścieniem matrycowym. W ciągu rng można tworzyć macierze rng.

Gdy R jest pierścieniem przemiennym, pierścień macierzy Mn ( R ) jest algebrą asocjacyjną nad R i można go nazwać algebrą macierzy . W tym ustawieniu, jeśli M jest macierzą, a r jest w R , to macierz rM jest macierzą M z każdym jej wpisem pomnożonym przez r .

Przykłady

  • Zbiór wszystkich n × n macierzy nad R , oznaczony M n ( R ). Jest to niekiedy nazywane „pełen pierścień n -by- n macierzy”.
  • Zbiór wszystkich górnych trójkątnych matrycy ponad R .
  • Zbiór wszystkich dolnych trójkątnych matrycy ponad R .
  • Zbiór wszystkich diagonalnych macierzy ponad R . Ten podalgebrą M n ( R ) jest izomorficzny w bezpośrednim produktem z n kopii R .
  • Na każdy zbiór indeksów I , pierścień endomorfizm z prawej R -module jest izomorficzny z pierścieniem z kolumn macierzy skończonych , których prace są indeksowane I x I i którego kolumny każdy zawiera tylko skończoną liczbę pozycji niezerowe. Pierścień endomorfizm o M uważane za lewym R -module jest izomorficzny z pierścieniem w macierzy wierszy skończonych .
  • Jeśli R jest algebrą Banacha , to warunek skończoności wiersza lub kolumny w poprzednim punkcie można złagodzić. Po wprowadzeniu normy zamiast sum skończonych można zastosować szeregi absolutnie zbieżne . Na przykład macierze, których sumy kolumn są absolutnie zbieżnymi sekwencjami, tworzą pierścień. Analogicznie, oczywiście, macierze, których sumy wierszy są szeregami absolutnie zbieżnymi, również tworzą pierścień. Pomysł ten można wykorzystać na przykład do reprezentowania operatorów w przestrzeniach Hilberta .
  • Przecięcie rzędu pierścieni macierzy skończonej i kolumnowej macierzy skończonej tworzy pierścień .
  • Jeśli R jest przemienne , to M n ( R ) ma strukturę * -algebry nad R , gdzie inwolucja * na M n ( R ) jest transpozycją macierzy .
  • Jeśli A jest C * -algebrą , to M n ( A ) jest inną C * -algebrą. Jeśli A jest niejednostkowy, to M n ( A ) jest również niejednostkowy. Zgodnie z twierdzeniem Gelfanda-Naimarka istnieje przestrzeń Hilberta H i izometryczny * -izomorfizm od A do podalgebry zamkniętej na normę algebry B ( H ) operatorów ciągłych; identyfikuje to M n ( A ) z podalgebrą B ( H ). Dla uproszczenia, jeśli dodatkowo założymy, że H jest rozłączne, a A B ( H ) jest jednostkową C * -algebrą, możemy rozbić A na pierścień macierzowy nad mniejszą C * -algebrą. Można to zrobić przez ustalenie rzutu p, a tym samym jego rzutu ortogonalnego 1 -  p ; można utożsamić z A , gdzie mnożenie macierzy działa zgodnie z zamierzeniami ze względu na ortogonalność rzutów. Aby zidentyfikować A z pierścieniem macierzy nad C * -algebrą, wymagamy, aby p i 1 -  p miały ten sam ″ stopień ″; dokładniej, potrzebujemy, aby p i 1 -  p były odpowiednikami Murraya – von Neumanna, tj. istnieje izometria częściowa u taka, że p = uu * i 1 -  p = u * u . Można to łatwo uogólnić na macierze o większych rozmiarach.
  • Matryca złożona algebrami M n ( C ) są do izomorfizmie, jedynym skończonych wymiarowe proste asocjacyjne algebrami na pole C o liczbach zespolonych . Przed wynalezieniem algebr macierzowych, Hamilton w 1853 wprowadził pierścień, którego elementy nazwał biquaternionami, a współcześni autorzy nazywali tensorami w , który później okazał się izomorficzny z M 2 ( C ). Jedna podstawa M 2 ( C ) składa się z czterech jednostek macierzy (macierze z jedną 1 i wszystkimi innymi pozycjami 0); inną podstawę daje macierz tożsamości i trzy macierze Pauliego .
  • Pierścień macierzy nad ciałem to algebra Frobeniusa , z formą Frobeniusa określoną przez ślad iloczynu: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Struktura

  • Pierścień Macierz M N ( R ) mogą być identyfikowane z pierścieniem endomorfizm z wolnym prawego R -module rangi n ; to znaczy M n ( R ) ≅ Koniec R ( R n ) . Mnożenie macierzy odpowiada kompozycji endomorfizmów.
  • Pierścień M n ( D ) nad pierścieniem dzielącym D jest prostym pierścieniem artyńskim , specjalnym typem półprostego pierścienia . Pierścienie i nie są proste i nie są Artinian, jeśli zbiór I jest nieskończony, ale nadal są to pełne pierścienie liniowe .
  • Twierdzenie Artina – Wedderburna stwierdza, że ​​każdy półprosty pierścień jest izomorficzny do skończonego iloczynu bezpośredniego dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej r , dodatnich liczb całkowitych n i i pierścieni dzielenia D i .
  • Kiedy postrzegamy M n ( C ) jako pierścień liniowych endomorfizmów C n , te macierze, które znikają w danej podprzestrzeni V, tworzą lewy ideał . Odwrotnie, dla danego lewego ideału I z M n ( C ) przecięcie zerowych przestrzeni wszystkich macierzy w I daje podprzestrzeń C n . Zgodnie z tą konstrukcją lewe ideały M n ( C ) są w sprzeczności z podprzestrzeniami C n .
  • Jest bijection pomiędzy dwustronnym idei z M n ( R ), i dwustronnej idei R . Mianowicie, dla każdego ideału I z R , zbiór wszystkich n × n macierzy z wpisami w I jest ideałem M n ( R ), a każdy ideał M n ( R ) powstaje w ten sposób. Oznacza to, że M n ( R ) jest proste wtedy i tylko wtedy, gdy R jest proste. Dla n ≥ 2 nie każdy z lewej lub prawej idealnym idealnym M N ( R ) pojawia się w poprzedniej konstrukcji z lewej lub prawej idealny ideału R . Na przykład zbiór macierzy, których kolumny o indeksach od 2 do n są zerami, tworzy lewy ideał w M n ( R ).
  • Poprzednia idealna zgodność faktycznie wynika z faktu, że pierścienie R i Mn ( R ) są odpowiednikami Mority . Z grubsza rzecz biorąc, oznacza to, że kategoria lewych R -modułów i kategoria lewych Mn ( R ) -modułów są bardzo podobne. Z tego powodu istnieje naturalna bijektywna zgodność między klasami izomorfizmu lewych R -modułów i lewych Mn ( R ) -modułów oraz między klasami izomorfizmu lewych ideałów R i lewicowych ideałów M n ( R ). Identyczne stwierdzenia dotyczą właściwych modułów i właściwych ideałów. Poprzez równoważność Mority, M n ( R ) dziedziczy wszelkie niezmienne właściwości R , takie jak bycie prostym , artyńskim , noeterianem , liczbą pierwszą .

Nieruchomości

  • Jeżeli S jest podpierścień z R , a M N ( S ) jest podpierścień M n ( R ). Na przykład M n ( Z ) jest podpierścieniem części M n ( Q ).
  • Pierścień macierzy M n ( R ) jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy n = 0 , R = 0 lub R jest przemienny i n = 1 . W rzeczywistości dotyczy to również podparcia górnych trójkątnych matryc. Oto przykład pokazujący dwie górne trójkątne macierze 2 × 2 , które nie dojeżdżają, zakładając 1 ≠ 0 :
    i
  • Dla n ≥ 2, pierścień macierzy Mn ( R ) nad niezerowym pierścieniem ma zerowe dzielniki i zerowe elementy ; to samo dotyczy pierścienia górnych trójkątnych matryc. Przykładem macierzy 2 × 2 byłoby
  • Centrum M n ( R ) składa się z skalarnych wielokrotności macierzy tożsamości , w którym należy się skalarną centrum badań .
  • Grupa jednostek M n ( R ), składająca się z mnożonych macierzy odwracalnych, jest oznaczona GL n ( R ).
  • Jeśli F jest ciałem, to dla dowolnych dwóch macierzy A i B w M n ( F ) równość AB = 1 implikuje BA = 1 . To nie jest prawdziwe dla każdego pierścienia R chociaż. Pierścień R, którego wszystkie pierścienie macierzy mają wspomnianą właściwość, jest znany jako stabilnie skończony pierścień ( Lam 1999 , s. 5).

Semirowanie macierzy

W rzeczywistości R musi być tylko semirowaniem dla Mn ( R ), aby zostało zdefiniowane. W tym przypadku M n ( R ) jest semirowaniem, zwanym semirowaniem macierzowym . Podobnie, jeśli R jest semiracją przemienną, to M n ( R ) jest semialgebrą macierzy .

Na przykład, jeśli R jest semirowaniem Boole'a ( dwuelementowa algebra Boole'a R  = {0,1} z 1 + 1 = 1), to M n ( R ) jest semiowaniem relacji binarnych na n- elemencie z związek jako dodawanie, skład relacji jako mnożenie, relacja pusta ( macierz zerowa ) jako zero, a relacja tożsamości ( macierz tożsamości ) jako jednostka.

Zobacz też

Bibliografia

  • Lam, TY (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-98428-5