Nieprzemienna geometria algebraiczna - Noncommutative algebraic geometry

Nieprzemienna geometria algebraiczna to dział matematyki , a dokładniej kierunek w geometrii nieprzemiennej , który bada właściwości geometryczne formalnych dualów nieprzemiennych obiektów algebraicznych , takich jak pierścienie , jak również obiektów geometrycznych z nich wyprowadzonych ( np. przez sklejanie lokalizacji lub przyjmowanie nieprzemiennych ilorazów stosu ).

Na przykład nieprzemienna geometria algebraiczna ma na celu rozszerzenie pojęcia schematu algebraicznego przez odpowiednie sklejenie widm nieprzemiennych pierścieni; w zależności od tego, jak dosłownie i jak ogólnie ten cel (i pojęcie widma) jest rozumiany w warunkach nieprzemiennych, udało się to osiągnąć na różnym poziomie sukcesu. Nieprzemienny pierścień uogólnia tutaj przemienny pierścień regularnych funkcji na przemiennym schemacie . Funkcje na zwykłych przestrzeniach w tradycyjnej (przemiennej) geometrii algebraicznej mają iloczyn określony przez mnożenie punktowe ; ponieważ wartości tych funkcji przechodzą , funkcje również przemieniają: a razy b równa się b razy a . Godne uwagi jest to, że postrzeganie nieprzemiennych algebr asocjacyjnych jako algebr funkcji na „nieprzemiennej” potencjalnej przestrzeni jest dalekosiężną geometryczną intuicją, choć formalnie wygląda to na błąd.

Wiele motywacji dla nieprzemiennej geometrii, aw szczególności nieprzemiennej geometrii algebraicznej, pochodzi z fizyki; zwłaszcza z fizyki kwantowej, gdzie algebry obserwabli są rzeczywiście postrzegane jako nieprzemienne analogi funkcji, stąd pożądana jest możliwość obserwowania ich aspektów geometrycznych.

Jedną z wartości tej dziedziny jest to, że dostarcza ona również nowych technik badania obiektów w przemiennej geometrii algebraicznej, takich jak grupy Brauera .

Metody nieprzemiennej geometrii algebraicznej są analogiami metod przemiennej geometrii algebraicznej, ale często ich podstawy są różne. Lokalne zachowanie w przemiennej geometrii algebraicznej jest uchwycone przez algebrę przemienną, a zwłaszcza przez badanie lokalnych pierścieni . Nie mają one analogu teorii pierścienia w środowisku nieprzemiennym; chociaż w układzie kategorycznym można mówić o stosach lokalnych kategorii snopów quasikoherentnych nad nieprzemiennymi widmami. Własności globalne, takie jak te wynikające z algebry homologicznej i K-teorii, częściej przenoszą się do środowiska nieprzemiennego.

Historia

Podejście klasyczne: kwestia nieprzemiennej lokalizacji

Przemienna geometria algebraiczna zaczyna się od skonstruowania widma pierścienia . Punkty rozmaitości algebraicznej (lub ogólniej schemat ) są ideałami pierwszymi pierścienia, a funkcje na rozmaitości algebraicznej są elementami pierścienia. Nieprzemienny pierścień może jednak nie mieć żadnych prawidłowych niezerowych dwustronnych ideałów pierwszych. Na przykład dotyczy to algebry Weyla wielomianowych operatorów różniczkowych w przestrzeni afinicznej: Algebra Weyla jest prostym pierścieniem . Można więc np. pokusić się o zastąpienie widma pierwszego widmem pierwotnym : istnieje też teoria lokalizacji nieprzemiennej oraz teoria pochodzenia . Działa to do pewnego stopnia: na przykład, Dixmier „s algebry kopertowania mogą być traktowane jako wypracowanie non-przemienności geometrii algebraicznej dla prymitywnego widma algebry otaczającej z algebry Liego. Inną pracą w podobnym duchu są notatki Michaela Artina zatytułowane „Nieprzemienne pierścienie”, które po części są próbą zbadania teorii reprezentacji z punktu widzenia geometrii nieprzemiennej. Kluczowym wglądem w oba podejścia jest to, że nieredukowalne reprezentacje , lub przynajmniej pierwotne ideały , mogą być traktowane jako „punkty nieprzemienne”.

Współczesny punkt widzenia wykorzystujący kategorie snopów

Jak się okazało, wychodząc z, powiedzmy, prymitywnych widm, nie było łatwo opracować wykonalną teorię snopków . Można sobie wyobrazić, że ta trudność wynika z pewnego rodzaju zjawiska kwantowego: punkty w przestrzeni mogą wpływać na punkty odległe (i tak naprawdę nie jest właściwe traktowanie punktów indywidualnie i postrzeganie przestrzeni jako zwykłego zbioru punktów).

W związku z powyższym przyjmuje się paradygmat zawarty w tezie Pierre'a Gabriela i częściowo uzasadniony przez twierdzenie o rekonstrukcji Gabriela-Rosenberga (za Pierre'em Gabrielem i Alexandrem L. Rosenbergiem ), że schemat przemienny może być rekonstruowany, aż do izomorfizmu schematów, wyłącznie od Kategoria abelowa z snopy quasicoherent na schemacie. Alexander Grothendieck nauczał, że do tworzenia geometrii nie jest potrzebna przestrzeń, wystarczy mieć na sobie kategorię snopów, która byłaby przestrzenią; pomysł ten został przeniesiony do nieprzemiennej algebry przez Yuri Manina . Istnieją nieco słabsze twierdzenia o rekonstrukcji z wyprowadzonych kategorii (quasi)koherentnych snopów motywujących wyprowadzoną nieprzemienną geometrię algebraiczną (patrz poniżej).

Wyprowadzona geometria algebraiczna

Główny artykuł: Pochodna geometria algebraiczna

Być może najnowszym podejściem jest teoria deformacji , umieszczająca nieprzemienną geometrię algebraiczną w sferze pochodnej geometrii algebraicznej .

Jako motywujący przykład rozważ jednowymiarową algebrę Weyla nad liczbami zespolonymi C . Jest to iloraz swobodnego pierścienia C < x , y > przez relację

xy - yx = 1.

Ten pierścień reprezentuje wielomianowe operatory różniczkowe w pojedynczej zmiennej x ; y oznacza operator różniczkowy ∂ x . Pierścień ten mieści się w jednoparametrowej rodzinie określonej przez relacje xy - yx = α . Gdy α nie jest zerem, to relacja ta określa pierścień izomorficzny z algebrą Weyla. Jednak gdy α wynosi zero, relacja jest relacją przemienności dla x i y , a otrzymany pierścień ilorazowy jest pierścieniem wielomianowym w dwóch zmiennych, C [ x , y ]. Geometrycznie pierścień wielomianowy w dwóch zmiennych reprezentuje dwuwymiarową przestrzeń afiniczną A 2 , więc istnienie tej jednoparametrowej rodziny mówi, że przestrzeń afiniczna dopuszcza nieprzemienne deformacje do przestrzeni wyznaczonej przez algebrę Weyla. To odkształcenie jest związane z symbolem operator różnicowy i 2 jest wiązka cotangent z afinicznej linii. (Badanie algebry Weyla może prowadzić do uzyskania informacji o przestrzeni afinicznej: przypuszczenie Dixmiera o algebrze Weyla jest równoważne przypuszczeniu Jakobianowi o przestrzeni afinicznej.)

W tej linii podejścia na pierwszy plan wysuwa się pojęcie operad , czyli zbiór lub przestrzeń operacji: we wstępie do ( Francis 2008 ) Franciszek pisze:

Rozpoczynamy badanie pewnych mniej przemiennych geometrii algebraicznych. … geometrię algebraiczną nad -pierścieniami można traktować jako interpolację między niektórymi wyprowadzonymi teoriami nieprzemiennych i przemiennych geometrii algebraicznych. Wraz ze wzrostem n , te -algebry zbiegają się do pochodnej geometrii algebraicznej Toëna-Vezzosiego i Lurie .

Proj nieprzemiennego pierścienia

Główny artykuł: nieprzemienna geometria rzutowa

Jednym z podstawowych konstrukcji w geometrii algebraicznej przemiennej jest budowa Proj o stopniowanym pierścienia przemiennego . Ta konstrukcja tworzy rzutową rozmaitość algebraiczną wraz z bardzo obszerną wiązką linii, której jednorodny pierścień współrzędnych jest pierścieniem oryginalnym. Budowa podstawowej przestrzeni topologicznej odmiany wymaga zlokalizowania pierścienia, ale budowanie snopów na tej przestrzeni nie. Według twierdzenia Jean-Pierre'a Serre'a quasi-koherentne snopy na Proj stopniowanego pierścienia są takie same, jak stopniowane moduły na pierścieniu do skończonych współczynników wymiarowych. Filozofia teorii toposu głoszona przez Alexandra Grothendiecka mówi, że kategoria snopów na przestrzeni może pełnić rolę samej przestrzeni. W konsekwencji, w nieprzemiennej geometrii algebraicznej często definiuje się Proj w następujący sposób: Niech R będzie stopniowaną C- algebrą i niech Mod- R oznacza kategorię stopniowanych prawych modułów R. Niech F oznacza podkategorię Mod- R składającą się ze wszystkich modułów o skończonej długości. Proj R definiuje się jako iloraz abelowej kategorii Mod- R przez F . Równoważnie jest to lokalizacja Mod- R, w której dwa moduły stają się izomorficzne, jeśli po zsumowaniu ich bezpośrednich sum z odpowiednio dobranymi obiektami F , są one izomorficzne w Mod- R .

Takie podejście prowadzi do teorii nieprzemiennej geometrii rzutowej . Nieprzemienna gładka krzywa rzutowa okazuje się być gładką przemienną krzywą, ale w przypadku krzywych osobliwych lub gładkich przestrzeni o wyższych wymiarach, ustawienie nieprzemienne pozwala na tworzenie nowych obiektów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • M. Artin , JJ Zhang, Nieprzemienne schematy rzutowe, Postępy w matematyce 109 (1994), no. 2, 228–287, doi .
  • Yuri I. Manin, Grupy kwantowe i nieprzemienna geometria, CRM, Montreal 1988.
  • Yuri I Manin, Tematy w nieprzemiennej geometrii, 176 s. Princeton 1991.
  • A. Bondal, M. van den Bergh, Generatory i reprezentowalność funktorów w geometrii przemiennej i nieprzemiennej, Moscow Mathematical Journal 3 (2003), no. 1, 1-36.
  • A. Bondal, D. Orłow, Rekonstrukcja odmiany z kategorii pochodnej i grup autorównoważności, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi
  • John Francis, Wyprowadzona geometria algebraiczna nad -pierścieniami
  • OA Laudal, Nieprzemienna geometria algebraiczna, ks. Mat. Iberoamericana 19, przyp. 2 (2003), 509-580; Euklides .
  • Fred Van Oystaeyen , Alain Verschoren, Nieprzemienna geometria algebraiczna, Springer Lect. Notatki w matematyce. 887, 1981.
  • Fred van Oystaeyen, Geometria algebraiczna dla algebr asocjacyjnych, Marcel Dekker 2000. vi+287 s.
  • AL Rosenberg, Nieprzemienna geometria algebraiczna i reprezentacje skwantowanych algebr, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. XII + 315 s. ISBN  0-7923-3575-9
  • M. Kontsevich, A. Rosenberg, Nieprzemienne gładkie przestrzenie, The Gelfand Mathematical Seminars, 1996--1999, 85--108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; arXiv:matematyka/9812158
  • AL Rosenberg, Schematy nieprzemienne, Compositio Mathematica 112 (1998) 93-125, doi ; Podkładowe przestrzenie nieprzemiennych schematów, preprint MPIM2003-111, dvi , ps ; Wykład MSRI Nieprzemienne schematy i przestrzenie (luty 2000): wideo
  • Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), s. 323-448, numdam
  • Zoran Škoda, Niektóre konstrukcje ekwiwariantne w nieprzemiennej geometrii algebraicznej, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), nr 1, 183-202, arXiv:0811.4770 .
  • Dmitri Orlov, Quasi-koherentne snopy w geometrii przemiennej i nieprzemiennej, Izv. BIEGŁ. Ser. Mat., 2003, t. 67, wydanie 3, 119–138 (MPI preprint wersja dvi , ps )
  • M. Kapranov, Nieprzemienna geometria oparta na rozwinięciach komutatorów, Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041 .

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki