Moduł (matematyka) - Module (mathematics)

W matematyce , wykorzystując moduł jest jednym z podstawowych algebraicznych struktur stosowanych w algebry abstrakcyjnej . Moduł nad pierścieniem jest uogólnieniem pojęciem przestrzeni wektorowej nad zakresie , w którym skalarne są elementy danego pierścienia , a operacja zwana skalarne mnożenie jest zawarty pomiędzy elementami pierścienia i elementów modułu. Moduł pobierający swoje skalary z pierścienia R nazywany jest modułem R.

Podobnie jak przestrzeń wektorowa, moduł jest addytywną grupą abelową , a mnożenie skalarne jest rozdzielcze względem operacji dodawania między elementami pierścienia lub modułu i jest zgodne z mnożeniem pierścienia.

Moduły są bardzo ściśle związane z teorii reprezentacji z grupy . Są one również jednym z głównych pojęć algebry przemiennej i algebry homologicznej i są szeroko stosowane w geometrii algebraicznej i topologii algebraicznej .

Wprowadzenie i definicja

Motywacja

W przestrzeni wektorowej zbiór skalarów jest polem i działa na wektory przez mnożenie przez skalar, z zastrzeżeniem pewnych aksjomatów, takich jak prawo rozdzielności . W module skalary muszą być tylko pierścieniem , więc koncepcja modułu reprezentuje znaczące uogólnienie. W algebrze przemiennej zarówno ideały , jak i pierścienie ilorazowe są modułami, tak więc wiele argumentów dotyczących ideałów lub pierścieni ilorazowych można połączyć w jeden argument dotyczący modułów. W nieprzemiennej algebrze rozróżnienie między lewicowymi ideałami, ideałami i modułami staje się bardziej wyraźne, chociaż niektóre warunki teorii pierścieni można wyrazić albo o lewicowych ideałach, albo o lewych modułach.

Duża część teorii modułów polega na rozszerzeniu jak największej liczby pożądanych właściwości przestrzeni wektorowych na sferę modułów nad „ dobrze zachowującym się ” pierścieniem, takim jak główna domena idealna . Jednak moduły mogą być nieco bardziej skomplikowane niż przestrzenie wektorowe; na przykład nie wszystkie moduły mają bazę , a nawet te, które ją posiadają, moduły swobodne nie muszą mieć unikalnej rangi, jeśli znajdujący się pod spodem pierścień nie spełnia warunku niezmiennej liczby bazowej , w przeciwieństwie do przestrzeni wektorowych, które zawsze mają (prawdopodobnie nieskończoną) podstawa, której kardynalność jest wtedy wyjątkowa. (Te ostatnie dwa twierdzenia wymagają ogólnie aksjomatu wyboru , ale nie w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych lub pewnych dobrze zachowujących się przestrzeni nieskończenie wymiarowych, takich jak przestrzenie L ^p .)

Formalna definicja

Załóżmy, że R jest pierścieniem , a 1 jest jego tożsamością multiplikatywną. Lewej R -module M składa się grupa przemienna ( M +), i operację ⋅: R x M → M tak, że wszystkie R , s w R i X , Y, w M mamy

${\ Displaystyle r \ cdot (x + r) = r \ cdot x + r \ cdot r}$
${\ Displaystyle (r + s) \ cdot x = r \ cdot x + s \ cdot x}$
${\ Displaystyle (RS) \ cdot x = r \ cdot (s \ cdot x)}$
${\ Displaystyle 1 \ cdot x = x.}$

Operacja ⋅ nazywana jest mnożeniem przez skalar . Często symbol ⋅ jest pomijany, ale w tym artykule używamy go i rezerwujemy zestawienie do mnożenia w R . Można napisać _R M, aby podkreślić, że M jest lewym modułem R. Prawo R -module M _R jest określony w podobny sposób w odniesieniu do operacji ⋅: M x R → M .

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie były jednością, pomijają warunek 4 w powyższej definicji; nazwaliby struktury zdefiniowane powyżej "jednostkowe lewe moduły R ". W tym artykule, zgodnie ze słownikiem teorii pierścieni , zakłada się, że wszystkie pierścienie i moduły są jednolite.

An (R,S) - bimoduł jest grupą abelową wraz z lewym mnożeniem skalarnym ⋅ przez elementy R i prawym mnożeniem skalarnym * przez elementy S , co czyni go jednocześnie lewym modułem R i prawym S- modułem, spełnienie dodatkowego warunku dla wszystkich r w R , x w M i s w S . ${\ Displaystyle (r \ cdot x) \ ast s = r \ cdot (x \ ast s)}$

Jeśli R jest przemienne , to lewe moduły R są takie same jak prawe moduły R i są po prostu nazywane modułami R.

Przykłady

Jeżeli K to pole , a K - przestrzenie wektor (wektor przestrzeni nad K ) i K -modules są identyczne.
Jeśli K jest polem, a K [ x ] jednowymiarowym pierścieniem wielomianowym , to K [ x ]-moduł M jest K- modułem z dodatkową akcją x na M, która komutuje z akcją K na M . Innymi słowy, K [ x ] -module jest K -wektor przestrzeń M połączeniu z liniowej mapy od M do M . Zastosowanie twierdzenia Structure dla skończenie generowanych modułów nad główną dziedziną idealną do tego przykładu pokazuje istnienie racjonalnych i Jordanowskich form kanonicznych .
Pojęcie modułu Z zgadza się z pojęciem grupy abelowej. Oznacza to, że każda grupa abelowa jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych Z w unikalny sposób. Dla n > 0 , niech n ⋅ x = x + x + ... + x ( n summands) 0 ⋅ x = 0 , a (- n ) ⋅ x = - ( N ⋅ x ) . Taki moduł nie musi mieć podstawy — grupy zawierające elementy skrętne nie mają. (Przykładowo w grupie liczb całkowitych modulo 3 nie można znaleźć ani jednego elementu, który spełniałby definicję zbioru liniowo niezależnego, ponieważ gdy liczba całkowita taka jak 3 lub 6 mnoży element, to wynik wynosi 0. Jeśli jednak skończony pole jest traktowane jako moduł nad tym samym polem skończonym przyjętym jako pierścień, jest przestrzenią wektorową i ma bazę.)
Te frakcje po przecinku (włącznie z negatywnymi) tworzą moduł nad całkowitymi. Tylko singletony są zbiorami liniowo niezależnymi, ale nie ma singletona, który mógłby służyć jako baza, więc moduł nie ma bazy ani rangi.
Jeśli R jest dowolnym pierścieniem i n liczbą naturalną , to iloczyn R ⁿ jest zarówno po lewej i prawej R -module przez R , jeśli stosujemy operacji składnikach,. Stąd, gdy n = 1 , R jest modułem R , gdzie mnożenie przez skalar jest po prostu mnożeniem pierścienia. Przypadek n = 0 daje trywialny moduł R {0} składający się tylko z jego elementu tożsamości. Moduły tego typu nazywane są wolnymi i jeśli R ma niezmienną bazę (np. dowolny przemienny pierścień lub pole) to liczba n jest wtedy rządem wolnego modułu.
Jeśli M _n ( R ) jest pierścieniem n × n macierzy nad pierścieniem R , M jest modułem M _n ( R ), a e _i jest macierzą n × n z 1 we wpisie ( i , i ) (i zer gdzie indziej), wtedy e _i M jest modułem R , ponieważ re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Zatem M rozpada się jako prosta suma modułów R , M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Odwrotnie, biorąc pod uwagę to R -module M ₀ , wtedy K ₀^{⊕ n} ma wartość M _N ( R ) -module. W rzeczywistości, kategoria R -modules i kategoria M _n ( R ) -modules są równoważne . Szczególnym przypadkiem jest to, że moduł M tylko R jako moduł na siebie, wówczas R ⁿ ma wartość M _N ( R ) -module.
Jeśli S jest zbiorem niepustym , M jest lewym modułem R , a M ^S jest zbiorem wszystkich funkcji f : S → M , to z dodawaniem i mnożeniem przez skalar w M ^S określonym punktowo przez ( f + g )( s ) = f ( a ) + g ( e ) i ( RF ) ( s ) = rf ( s ) , M ^s jest to z lewej R -module. Prawo R przypadek -module jest analogiczna. W szczególności, gdy R jest przemienne, a następnie gromadzenie Homomorfizmy R moduł h : M → N (patrz poniżej), to R -module (a w rzeczywistości jest modułem z N ^M ).
Jeśli X jest gładką rozmaitością , to gładkie funkcje od X do liczb rzeczywistych tworzą pierścień C ^∞ ( X ). Zbiór wszystkich gładkich pól wektorowych zdefiniowanych na X tworzy moduł nad C ^∞ ( X ), podobnie jak pola tensorowe i formy różniczkowe na X . Bardziej ogólnie, sekcje dowolnej wiązki wektorowej tworzą moduł rzutowy nad C ^∞ ( X ), a według twierdzenia Swana każdy moduł rzutowy jest izomorficzny z modułem sekcji pewnej wiązki; kategorii z C ^∞ ( X ) -modules oraz kategoria wiązek wektora przez X, są równoważne .
Jeśli R jest dowolnym pierścieniem, a I jest dowolnym lewym ideałem w R , to I jest lewym R- modułem i analogicznie prawe ideały w R są prawymi R- modułami.
Jeśli R jest pierścieniem, możemy zdefiniować przeciwny pierścień R ^op, który ma ten sam zbiór bazowy i tę samą operację dodawania, ale przeciwne mnożenie: jeśli ab = c w R , to ba = c w R ^op . Każdy lewy moduł R M może być wtedy postrzegany jako prawy moduł nad R ^op , a każdy prawy moduł nad R może być uważany za lewy moduł nad R ^op .
Moduły nad algebrą Liego są (algebrą asocjacyjną) modułami nad jej uniwersalną algebrą obwieszczenia .
Jeśli R i S są pierścieniami o homomorfizmie pierścienia φ : R → S , to każdy moduł S M jest modułem R przez zdefiniowanie rm = φ ( r ) m . W szczególności sam S jest takim modułem R.

Submoduły i homomorfizmy

Załóżmy, że M jest lewy R -module i N jest podgrupa o M . Wtedy N jest submodułem (lub wyraźniej submodułem R ), jeśli dla dowolnego n w N i dowolnego r w R , iloczyn r ⋅ n (lub n ⋅ r dla prawego modułu R ) jest w N .

Jeżeli X jest dowolnym podzbiorem o R -module, a następnie łączone przez submoduł X jest zdefiniowana jako gdzie N biegnie po submodułów z M zawierające X , albo bezpośrednio , co jest ważne w definicji produktów tensor. ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

Zbiór submodułów danego modułu M wraz z dwiema operacjami binarnymi + i ∩ tworzy siatkę spełniającą prawo modularności : Dane submoduły U , N ₁ , N ₂ z M takie, że N ₁ ⊂ N ₂ , to następujące dwa podmoduły są sobie równe: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Jeśli M i N są lewymi modułami R , to odwzorowanie f : M → N jest homomorfizmem modułów R jeśli dla dowolnych m , n w M i r , s w R ,

{\ Displaystyle f (r \ cdot m + s \ cdot n) = r \ cdot f (m) + s \ cdot f (n)}

.

To, jak każdy homomorfizm obiektów matematycznych, jest tylko odwzorowaniem, które zachowuje strukturę obiektów. Inną nazwą homomorfizmu modułów R jest odwzorowanie R - liniowe .

Bijective moduł homomorfizm f : M → N nazywa moduł Izomorfizm i dwa moduły M i N są nazywane izomorficzne . Dwa moduły izomorficzne są identyczne pod każdym względem praktycznym, różniąc się jedynie zapisem ich elementów.

Jądra modułu Homomorfizm f : M → N jest modułem z M obejmujący wszystkie elementy, które są wysyłane do zera, f , a obraz z F jest modułem z N składa się z wartości F ( m ) dla wszystkich elementów m o M . W twierdzenia Izomorfizm znane z grup i przestrzeni wektorów są również ważne dla R -modules.

Biorąc pod uwagę pierścień R , zbiór wszystkich lewych modułów R wraz z ich homomorfizmami modułów tworzy kategorię abelową , oznaczaną przez R - Mod (patrz kategoria modułów ).

Rodzaje modułów

Skończenie wygenerowane: R -module M jest skończenie generowany , jeżeli istnieje skończona wiele elementów x ₁ , ..., x _n w M, tak, że każdy element M jest liniową kombinacją tych elementów ze współczynnikami z pierścienia R .
Cykliczny: Moduł nazywany jest modułem cyklicznym, jeśli jest generowany przez jeden element.
Wolny: Wolne R -module jest moduł, który ma podstawę lub równoważnie, który jest izomorficzny w bezpośrednim sumy kopii pierścienia R . Są to moduły, które zachowują się bardzo podobnie do przestrzeni wektorowych.
Rzutowy: Moduły projekcyjne są bezpośrednimi sumami darmowych modułów i mają wiele wspólnych pożądanych właściwości.
Iniekcja: Moduły iniekcyjne są definiowane podwójnie do modułów projekcyjnych.
Płaski: Moduł jest nazywane płaskim jeśli biorąc produkt tensorowy go z każdej takiej kolejności, z R -modules Zachowuje dokładność.
Bezskrętny: Moduł jest nazywany beztorsyjnym, jeśli wbudowuje się w swój dual algebraiczny.
Prosty: Moduł proste S jest modułem, który jest {0} i której jedynie podmoduły są {0} i S . Proste moduły są czasami nazywane nieredukowalnymi .
Półproste: Moduł półprosty jest bezpośrednim suma (skończony lub nie) od prostych modułów. Historycznie te moduły są również nazywane całkowicie redukowalnymi .
Nierozkładalny: Moduł nierozkładalny jest niezerowe moduł, który nie może być zapisany jako bezpośredniego sumy dwóch niezerowych submodułów. Każdy prosty moduł jest nierozkładalny, ale istnieją moduły nierozkładalne, które nie są proste (np. moduły uniformów ).
Wierny: Wierny moduł M jest taki, w którym działanie każdego R ≠ 0 w R na M jest wcale trywialne (tzn R ⋅ x ≠ 0 jakiegoś X w M ). Równoważnie Annihilator z M jest zerowy idealny .
Bez skręcania: Moduł skręcanie jest modułem przez pierścień tak, że 0 jest jedynym elementem unicestwione przez zwykłego elementu (nie zerową dzielnik ) pierścienia równoważnie oznacza lub . ${\ Displaystyle rm = 0}$ $r=0$ ${\ Displaystyle m = 0}$
Noetherian: Moduł Noetherian jest modułem, który spełnia warunek łańcuch rosnące na submodułów, czyli każde zwiększenie łańcuch podmodułów staje stacjonarny po skończenie wielu krokach. Równoważnie każdy submoduł jest generowany skończenie.
Artyński: Moduł Artinian jest modułem, który spełnia warunek łańcuch malejąco na submodułów, czyli każdy maleje łańcuch podmodułów staje stacjonarny po skończenie wielu krokach.
Stopniowane: Moduł Graded jest modułem z rozkładem w bezpośrednim suma M = ⨁ _x M _x nad Graded pierścień R = ⨁ _x R _x takie, że R _x K _y ⊂ M _{x + y} dla wszystkich x i y .
Mundur: Jednolity modułów jest modułem, w którym wszystkie pary niezerowych podmodułów mieć niezerową skrzyżowanie.

Dalsze pojęcia

Związek z teorią reprezentacji

Reprezentacja grupy G nad polem k jest modułem nad pierścieniem grupy k [ G ].

Jeśli M jest lewym modułem R , to działanie elementu r w R jest zdefiniowane jako odwzorowanie M → M, które wysyła każdy x do rx (lub xr w przypadku prawego modułu) i jest z konieczności grupą endomorfizm grupy abelowej ( M , + ) . Zbiór wszystkich endomorfizmów grupowych M jest oznaczony jako End _Z ( M ) i tworzy pierścień w wyniku addycji i składu , a wysłanie elementu pierścienia r z R do jego działania faktycznie definiuje homomorfizm pierścienia od R do End _Z ( M ).

Taki pierścień homomorfizmem R → End _Z ( M ) jest nazywana przedstawienie z badań nad grupa przemienna M ; alternatywnym i równoważnym sposobem zdefiniowania lewych modułów R jest powiedzenie, że lewy moduł R jest grupą abelową M wraz z reprezentacją R nad nią. Taka reprezentacja $R \to Koniec Z (M)$ może być również nazywany działania dzwonka z $R$ o $M$ .

Reprezentację nazywamy wierną wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie R → Koniec _Z ( M ) jest iniektywne . W kategoriach modułów oznacza to, że jeśli r jest elementem R takim, że rx = 0 dla wszystkich x w M , to r = 0 . Każda grupa abelowa jest wiernym modułem na liczbach całkowitych lub na jakiejś modularnej arytmetyce Z / n Z .

Uogólnienia

Pierścień R odpowiada przedaddytywnej kategorii R z pojedynczym obiektem . Przy takim zrozumieniu, lewy R- moduł jest tylko kowariantnym funktorem addytywnym od R do kategorii Ab grup abelowych , a prawe R- moduły są kontrawariantnymi funktorami addytywnymi. Sugeruje to, że jeśli C jest dowolną kategorią przedaddytywną, kowariantny funktor addytywny od C do Ab powinien być uważany za uogólniony lewy moduł nad C . Funktory te tworzą kategorię funktorów C - Mod, która jest naturalnym uogólnieniem modułu kategorii R - Mod .

Moduły nad pierścieniami przemiennymi można uogólnić w innym kierunku: weź przestrzeń pierścieniową ( X , O _X ) i rozważ snopy modułów O _X (patrz snop modułów ). Tworzą one kategorię O _X - Mod i odgrywają ważną rolę we współczesnej geometrii algebraicznej . Jeśli X ma tylko jeden punkt, to jest to kategoria modułu w starym sensie nad pierścieniem przemiennym O _X ( X ).

Można również rozważyć moduły nad semiringiem . Moduły nad pierścieniami to grupy abelowe, ale moduły nad półpierścieniami to tylko monoidy przemienne . Większość zastosowań modułów jest nadal możliwa. W szczególności, dla dowolnego półpierścienia S , macierze nad S tworzą półpierścień, nad którym krotki elementów z S są modułem (tylko w tym uogólnionym sensie). Pozwala to na dalsze uogólnienie pojęcia przestrzeni wektorowej z włączeniem półpierścieni z informatyki teoretycznej.

Nad near-ringami można rozważyć moduły near-ring, nieabelowe uogólnienie modułów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

FW Anderson i KR Fuller: Pierścienie i kategorie modułów , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 13, wyd. 2, Springer-Verlag, Nowy Jork, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Nathana Jacobsona . Budowa pierścieni . Publikacje z kolokwium, t. 37, wyd. 2, AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

Linki zewnętrzne

„Moduł” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Dlaczego warto studiować moduły pierścienia? na MathOverflow
moduł w nLab

Languages

In other projects