Idealny (teoria pierścienia) - Ideal (ring theory)

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazu • Ułamkowy ideał • Całkowity pierścień ilorazowy • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v t mi

W teorii pierścienia , gałęzią abstrakcyjnego Algebra An idealny z pierścieniem jest szczególną podgrupę jego elementów. Ideały uogólniają pewne podzbiory liczb całkowitych , takie jak liczby parzyste lub wielokrotności 3. Dodawanie i odejmowanie liczb parzystych zachowuje parzystość, a pomnożenie liczby parzystej przez dowolną inną liczbę całkowitą daje w wyniku kolejną liczbę parzystą; te właściwości zamykania i wchłaniania są definiującymi właściwościami ideału. Idealnym może być stosowany do konstruowania pierścienia ilorazu w podobny sposób, jak w teorii grup , A normalnego podgrupa mogą być wykorzystywane do konstruowania grupę iloraz .

Wśród liczb całkowitych ideały odpowiadają nieujemnym liczbom całkowitym jeden do jednego : w tym pierścieniu każdy ideał jest ideałem głównym składającym się z wielokrotności jednej nieujemnej liczby. Jednak w innych pierścieniach ideały mogą nie odpowiadać bezpośrednio elementom pierścienia, a pewne właściwości liczb całkowitych, gdy uogólni się je na pierścienie, bardziej naturalnie wiążą się z ideałami niż z elementami pierścienia. Na przykład ideały pierwsze pierścienia są analogiczne do liczb pierwszych , a chińskie twierdzenie o resztach można uogólnić na ideały. Istnieje wersja unikalnej faktoryzacji liczb pierwszych dla ideałów domeny Dedekind (rodzaj pierścienia ważny w teorii liczb ).

Pokrewna, lecz odrębna koncepcja ideału w porządku wywodzi się z pojęcia ideału w teorii pierścieni. Ułamkową idealny jest uogólnieniem ideału, a zwykłe ideały są czasami nazywane integralne ideały dla jasności.

Historia

Ernst Kummer wymyślił koncepcję liczb idealnych, aby służyć jako „brakujące” czynniki w pierścieniach liczbowych, w których unikalna faktoryzacja zawodzi; tutaj słowo „idealny” jest w sensie istnienia tylko w wyobraźni, w analogii do „idealnych” obiektów w geometrii, takich jak punkty w nieskończoności. W 1876 roku Richard Dedekind zastąpić niezdefiniowane pojęcie Kummer poprzez konkretnych zestawów liczb, zestawy, które nazwał ideały, w trzeciej edycji Dirichlet książki „s Vorlesungen über Zahlentheorie , do którego Dedekind dodał wiele suplementów. Później pojęcie to zostało rozszerzone poza pierścienie liczbowe do ustawienia pierścieni wielomianowych i innych pierścieni przemiennych przez Davida Hilberta, a zwłaszcza Emmy Noether .

Definicje i motywacja

Dla dowolnego pierścienia niech będzie jego grupa addytywna . Podzbiór nazywany jest po lewej idealnie od jeśli jest to dodatek podgrupa że „pochłania mnożenia z lewej strony przez elementy ”; że jest to lewa idealny , jeżeli spełnia następujące dwa warunki: ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$${\ Displaystyle (R +)}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$

1. ${\ Displaystyle (I +)}$jest podgrupa o${\displaystyle (R+)}$
2. Dla każdego i każdy produkt jest .${\displaystyle r\w r}$${\displaystyle x\w ja}$${\displaystyle rx}$${\ Displaystyle I}$

Prawo idealny jest zdefiniowany stan z „ RX ∈ I ” zastępuje się przez „ xr ∈ I ” . Dwustronny idealny jest idealny, że lewa jest również tuż idealne, i jest czasami nazywana po prostu idealne. W języku modułów definicje oznacza, że lewy (. Względnie prawy, dwustronny) Ideał R jest precyzyjnie lewy (względnie prawy, bi-.) R - modułem z R , gdy R jest postrzegana jako R -module . Gdy R jest pierścieniem przemiennym, definicje ideału lewego, prawego i dwustronnego pokrywają się, a termin ideał jest używany sam.

Aby zrozumieć pojęcie ideału, zastanów się, jak ideały powstają w konstrukcji pierścieni „elementów modulo”. Dla konkretności spójrzmy na pierścień ℤ _n liczb całkowitych modulo dana liczba całkowita n ∈ ℤ (zauważmy, że ℤ jest pierścieniem przemiennym). Kluczową obserwacją jest tutaj to, że otrzymujemy ℤ _n , biorąc linię liczb całkowitych ping i owijając ją wokół siebie, aby zidentyfikować różne liczby całkowite. Robiąc to, musimy spełnić dwa wymagania: 1) n musi być utożsamiane z 0, ponieważ n jest przystające do 0 modulo n , oraz 2) wynikowa struktura musi być ponownie pierścieniem. Drugi wymóg zmusza nas do dokonania dodatkowych identyfikacji (tzn. określa dokładny sposób, w jaki musimy owinąć się wokół siebie). Pojęcie ideału powstaje, gdy zadajemy pytanie:

Jaki jest dokładny zbiór liczb całkowitych, który jesteśmy zmuszeni identyfikować z 0?

Odpowiedzią jest, jak można się spodziewać, zbiór n ℤ = { nm | m ∈ ℤ } wszystkich liczb całkowitych przystających do 0 modulo n . Oznacza to, że musimy owijać ℤ wokół siebie nieskończenie wiele razy, aby liczby całkowite ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. .. wszystkie wyrównają się z 0. Jeśli przyjrzymy się, jakie właściwości musi spełniać ten zbiór, aby zapewnić, że ℤ _n jest pierścieniem, to dochodzimy do definicji ideału. Rzeczywiście, można bezpośrednio zweryfikować, że n ℤ jest ideałem ℤ.

Uwaga. Należy również dokonać identyfikacji z elementami innymi niż 0. Na przykład, elementy 1 + n ℤ powinna być utożsamiane z 1, elementy w 2 + n ℤ powinna być utożsamiane z 2, i tak dalej. Te jednak są jednoznacznie określone przez n ℤ, ponieważ ℤ jest grupą addytywną.

Podobną konstrukcję możemy wykonać w dowolnym pierścieniu przemiennym R : zacznij od dowolnego x ∈ R , a następnie utożsamiaj się z 0 wszystkimi elementami ideału xR = { xr  : r ∈ R }. Okazuje się, że ideałem xR jest najmniejszy ideał zawierający x , zwany ideałem generowanym przez x . Mówiąc bardziej ogólnie, możemy zacząć od dowolnego podzbioru S ⊆ R , a następnie zidentyfikować z 0 wszystkie elementy ideału wygenerowanego przez S : najmniejszy ideał ( S ) taki, że S ⊆ ( S ) . Pierścionek, który otrzymamy po identyfikacji, zależy tylko od ideału ( S ), a nie od zestawu S , od którego zaczęliśmy. Oznacza to, że jeśli ( S ) = ( T ) , to powstałe pierścienie będą takie same.

Dlatego idealny I pierścienia przemiennego R przechwytuje kanonicznie informację potrzebną do uzyskania pierścienia elementów R modulo danego podzbioru S ⊆ R . Elementy I , z definicji, to te, które są przystające do zera, to znaczy identyfikowane z zerem w powstałym pierścieniu. Otrzymany pierścień nazywa się iloraz z R o I i oznaczono R / I . Intuicyjnie definicja ideału postuluje dwa warunki naturalne, niezbędne do tego, aby I zawierał wszystkie elementy oznaczone jako „zera” przez R / I :

1. I jest addytywną podgrupą R : zero 0 R jest „zerem” 0 ∈ I , a jeśli x ₁ ∈ I i x ₂ ∈ I są „zerami”, to x ₁ − x ₂ ∈ I jest „zerem” " także.
2. Dowolne r ∈ R pomnożone przez „zero” x ∈ I to „zero” rx ∈ I .

Okazuje się, że powyższe warunki są również wystarczające, aby I zawierał wszystkie niezbędne „zera”: żadne inne elementy nie muszą być oznaczone jako „zero”, aby utworzyć R / I . (W rzeczywistości żadne inne elementy nie powinny być oznaczone jako „zero”, jeśli chcemy dokonać jak najmniejszej identyfikacji.)

Uwaga. Powyższa konstrukcja nadal działa przy użyciu dwustronnych ideałów, nawet jeśli R niekoniecznie jest przemienne.

Przykłady i właściwości

(Ze względu na zwięzłość, niektóre wyniki podano tylko dla lewicowych ideałów, ale zwykle są one również prawdziwe dla prawych ideałów z odpowiednimi zmianami notacji.)

• W pierścieniu R sam zbiór R tworzy dwustronny ideał R zwany ideałem jednostkowym . Często jest również oznaczany przez, ponieważ jest to właśnie dwustronny ideał generowany (patrz niżej) przez jedność . Również zbiór składający się tylko z identyczności addytywnej 0 _R tworzy dwustronny ideał zwany ideałem zerowym i jest oznaczony przez . Każdy ideał (lewy, prawy lub dwustronny) zawiera ideał zerowy i jest zawarty w ideale jednostkowym.${\ Displaystyle (1)}$${\displaystyle 1_{R}}$${\ Displaystyle \ {0_ {R} \}}$${\ Displaystyle (0)}$
• Ideał (lewy, prawy lub dwustronny), który nie jest ideałem jednostkowym, nazywamy ideałem właściwym (ponieważ jest to podzbiór właściwy ). Uwaga: ideał lewy jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera elementu jednostkowego, ponieważ if jest elementem jednostkowym, to dla każdego . Właściwych ideałów zazwyczaj jest mnóstwo. W rzeczywistości, jeśli R jest skośnym polem , to są jego jedynymi ideałami i odwrotnie: to znaczy, niezerowy pierścień R jest skośnym polem, jeśli są jedynymi lewymi (lub prawymi) ideałami. (Dowód: jeśli jest elementem niezerowym, to główny ideał lewy (patrz poniżej) jest niezerowy, a zatem ; tj. dla niektórych niezerowych . Podobnie dla niektórych niezerowych . Then .)${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle u\w {\mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle r = (ru ^ {-1}) u \ w {\ mathfrak {a}}}$${\displaystyle r\w r}$${\ Displaystyle (0), (1)}$${\ Displaystyle (0), (1)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle Rx}$${\ Displaystyle Rx = (1)}$${\ Displaystyle yx = 1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle zy=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Parzyste całkowite stanowią idealny w pierścieniu wszystkich liczb; jest zwykle oznaczany przez . Dzieje się tak, ponieważ suma parzystych liczb całkowitych jest parzysta, a iloczyn dowolnej liczby całkowitej z parzystą liczbą całkowitą jest również parzysty. Podobnie zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez ustaloną liczbę całkowitą n jest ideałem oznaczonym .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\displaystyle 2\mathbb {Z}}$${\displaystyle n\mathbb {Z}}$
• Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych podzielnych przez wielomian x ² + 1 jest ideałem w pierścieniu wszystkich wielomianów.
• Zbiór wszystkich n -by- n macierzy, których ostatni wiersz wynosi zero, tworzy prawy ideał w pierścieniu wszystkich n -by- n macierzy. To nie jest lewicowy ideał. Zbiór wszystkich macierzy n -by- n , których ostatnia kolumna ma wartość zero, tworzy ideał lewy, ale nie prawy.
• Pierścień wszystkich funkcji ciągłych f od do pod mnożenie punktowe zawiera ideał wszystkich funkcji ciągłych f takich, że f (1) = 0. Innym ideałem są te funkcje, które znikają dla wystarczająco dużych argumentów, tj. te funkcje ciągłe f dla gdzie istnieje liczba L > 0 taka, że f ( x ) = 0, gdy | x | > L .${\displaystyle C(\mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle C(\mathbb {R})}$
• Pierścień nazywany jest pierścieniem prostym, jeśli jest niezerowy i nie ma żadnych ideałów dwustronnych innych niż . Zatem ukośne pole jest proste, a prosty pierścień przemienny jest polem. Pierścień matrycy na skośnej-dziedzinie jest prosty pierścień.${\ Displaystyle (0), (1)}$
• Jeśli jest homomorfizmem pierścienia , to jądro jest dwustronnym ideałem . Z definicji , a więc jeśli nie jest pierścieniem zerowym (so ), to jest właściwym ideałem. Mówiąc ogólniej, dla każdego lewego idealnego I z S , wstępnie obraz jest lewy idealny. Jeśli I jest lewy ideał R , to jest z lewej ideał podpierścień z S : Jeśli f jest suriekcją, nie musi być idealna z S ; zobacz też # Przedłużenie i skurczenie ideału poniżej.${\displaystyle f:R\do S}$${\ Displaystyle \ ker (f) = f ^ {-1} (0_ {S})}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle 1_ {S} \ neq 0_ {S}}$${\ Displaystyle \ Ker (f)}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (I)}$${\ Displaystyle f (I)}$${\ Displaystyle f (R)}$${\ Displaystyle f (I)}$
• Idealna korespondencja : Przy danym surjektywnym homomorfizmie pierścieni istnieje bijektywna, zachowująca porządek korespondencja między lewymi (odpowiednio prawym, dwustronnymi) ideałami zawierania jądra a lewymi (odpowiednio prawym, dwustronnym) ideałami : korespondencja jest podana przez i przedobraz . Co więcej, w przypadku pierścieni przemiennych ta bijektywna korespondencja ogranicza się do ideałów pierwszych, ideałów maksymalnych i ideałów radykalnych (zob. definicje tych ideałów w sekcji Typy ideałów).${\displaystyle f:R\do S}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle I \ mapsto f (I)}$${\ Displaystyle J \ mapsto f ^ {-1} (J)}$
• (Dla tych, którzy znają moduły) Jeżeli M jest lewy R -module i podzbiorem, wówczas annihilator z S jest lewy idealny. Biorąc idee przemiennej pierścienia R The R -annihilator stanowi to ideałem R zwany idealne iloraz z o i jest oznaczona ; jest to przykład idealizatora w algebrze przemiennej.${\ Displaystyle S \ podzbiór M}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {Ann} _ {R} (S) = \ {r \ w R \ mid rs = 0, s \ w S \}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}}) / {\ mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {a}}: {\ mathfrak {b}})}$
• Niech będzie rosnącym łańcuchem lewych ideałów w pierścieniu R ; tj. jest kompletnie uporządkowanym zestawem i dla każdego . Wtedy unia jest lewicowym ideałem R . (Uwaga: ten fakt pozostaje prawdziwy, nawet jeśli R jest bez jedności 1.)${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}, ja \ w S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} \ podzbiór {\ mathfrak {a}} _ {j}}$${\displaystyle i<j}$${\ Displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i \ w S} {\ mathfrak {a}} _ {i}}$
• Powyższy fakt wraz z lematem Zorna dowodzi, że jeśli jest możliwie pustym podzbiorem i jest lewostronnym ideałem rozłącznym z E , to istnieje ideał, który jest maksymalny wśród ideałów zawierających i rozłącznych z E . (Ponownie jest nadal ważna, gdy pierścień R brak jednolitości 1) W przypadku , z i w szczególności istnieje lewy ideał, jest maksymalna pomiędzy odpowiednimi lewej idei (często nazywana po prostu ilość lewo idealnie); zobacz twierdzenie Krulla, aby uzyskać więcej informacji.${\ Displaystyle E \ podzbiór R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\podzbiór R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle R\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$${\ Displaystyle E = \ {1 \}}$
• Dowolny związek ideałów nie musi być ideałem, ale nadal prawdziwe jest następujące stwierdzenie: mając prawdopodobnie pusty podzbiór X z R , istnieje najmniejszy lewy ideał zawierający X , zwany lewym ideałem wygenerowanym przez X i oznaczony przez . Taki ideał istnieje, ponieważ jest przecięciem wszystkich lewych ideałów zawierających X . Równoważnie, jest zbiorem wszystkich (skończonych) lewostronnych R- liniowych kombinacji elementów X nad R : ${\ Displaystyle RX}$${\ Displaystyle RX}$

  ${\ Displaystyle RX = \ {r_ {1} x_ {1} + \ kropki + r_ {n} x_ {n} \ średni n \ w \ mathbb {N}, r_ {i} \ w R, x_ {i} \w X\}.}$

(ponieważ taki rozpiętość jest najmniejszym lewym ideałem zawierającym X .) Prawy (odpowiedni dwustronny) ideał generowany przez X jest definiowany w podobny sposób. W przypadku „dwustronnego” należy stosować kombinacje liniowe z obu stron; to znaczy,

${\ Displaystyle RXR = \ {r_ {1} x_ {1} s_ {1} + \ kropki + r_ {n} x_ {n} s_ {n} \ mid n \ w \ mathbb {N}, r_ {i} \w R,s_{i}\w R,x_{i}\w X\}.\,}$

• Ideał lewy (odp. prawy, dwustronny) generowany przez pojedynczy element x nazywany jest ideałem głównym lewym (odp. prawy, dwustronnym) generowanym przez x i oznaczany przez (odp. ). Główny ideał dwustronny jest często również oznaczany przez . Jeśli jest zbiorem skończonym, to jest również zapisywane jako .${\ Displaystyle Rx}$${\displaystyle xR,RxR}$${\ Displaystyle RxR}$${\ Displaystyle (x)}$${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, \ kropki, x_ {n} \}}$${\ Displaystyle RXR}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}$
• W kręgu liczb całkowitych każdy ideał może zostać wygenerowany przez jedną liczbę (a więc jest to główna dziedzina idealna ), w wyniku dzielenia euklidesowego (lub w inny sposób).${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Istnieje bijektywna zgodność pomiędzy ideałami a relacjami kongruencji ( relacjami równoważności, które respektują strukturę pierścienia) na pierścieniu: Mając idealny I pierścienia R , niech x ~ y jeśli x − y ∈ I . Wtedy ~ jest relacją kongruencji na R . I odwrotnie, mając relację kongruencji ~ na R , niech I = { x | x ~ 0 } . Wtedy jestem ideałem R .

Rodzaje ideałów

Dla uproszczenia opisu zakłada się, że wszystkie pierścienie są przemienne. Przypadek nieprzemienny został szczegółowo omówiony w odpowiednich artykułach.

Ideały są ważne, ponieważ pojawiają się jako jądra homomorfizmów pierścieni i pozwalają zdefiniować pierścienie czynnikowe . Badane są różne typy ideałów, ponieważ można je wykorzystać do budowy różnych typów pierścieni czynnikowych.

• Ideał maksymalny : Ideał właściwy I nazywamy ideałem maksymalnym , jeśli nie istnieje żaden inny ideał właściwy J z I właściwym podzbiorem J . Czynnik pierścienia maksymalnego ideału jestw ogólności pierścieniem prostym i jest polem dla pierścieni przemiennych.
• Minimalny ideał : Niezerowy ideał nazywa się minimalnym, jeśli nie zawiera żadnego innego niezerowego ideału.
• Ideałem : Odpowiedni idealnym I nazywa się ideałem , jeżeli dla każdej A i B w R , jeśli AB jest I , wówczas co najmniej jeden zi b w I . Czynnik pierścienia ideału pierwszego jestw ogóle pierścieniem pierwszym i jest integralną domeną dla pierścieni przemiennych.
• Rodnik idealny lub Liczba Półpierwsza idealnym : Odpowiedni idealnym I nazywa rodnik lub Liczba Półpierwsza jeżeli dla każdej A z B jeśli ⁿ jest I od pewnego n , a następniew I . Pierścień czynnikowy radykalnego ideału jest pierścieniem półpierwszym dla pierścieni ogólnych i jest pierścieniem zredukowanym dla pierścieni przemiennych.
• Podstawowym idealnym : idealne I nazywa się podstawowy idealny , jeżeli dla wszystkich A i B w R , jeśli AB jest I , wówczas co najmniej jeden zi B ⁿ jest I jakiegoś liczby naturalne n . Każdy ideał pierwotny jest pierwotny, ale nie odwrotnie. Pierwotny ideał półpierwszy jest pierwszym.
• Główny ideał : ideał generowany przez jeden element.
• Skończenie wygenerowany ideał : Ten typ ideału jest skończony generowany jako moduł.
• Prymitywny idealny : W lewej prymitywny ideał jest Annihilator z prostego lewego modułu .
• Ideał nieredukowalny : mówi się, że ideał jest nieredukowalny, jeśli nie można go zapisać jako skrzyżowanie ideałów, które właściwie go zawierają.
• Ideały przecinkowe : Dwa ideały są uważane za przecinkowe, jeśli dla niektórych i .${\ Displaystyle {\ mathfrak {i}}, {\ mathfrak {j}}}$${\displaystyle x+y=1}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {i}}}$${\ Displaystyle y \ w {\ mathfrak {j}}}$
• Regularny ideał : termin ten ma wiele zastosowań. Zobacz artykuł na listę.
• Zerowy ideał : ideał jest zerowym ideałem, jeśli każdy z jego elementów jest zerowy.
• Nilpotentny ideał : Pewna jego moc wynosi zero.
• Idealny parametr : ideał generowany przez system parametrów .

Dwa inne ważne terminy używające „ideał” nie zawsze są ideałami ich kręgu. Zobacz odpowiednie artykuły, aby uzyskać szczegółowe informacje:

• Ideał ułamkowy : Jest zwykle definiowany , gdy R jest dziedziną przemienną z polem ilorazu K . Pomimo swoich nazw, ideały ułamkowe sąpodmodułami R K ze specjalną właściwością. Jeżeli ideał ułamkowy zawiera się całkowicie w R , to jest to naprawdę ideał R .
• Nieodwracalny ideał : Zwykle odwracalny ideał A jest definiowany jako ideał ułamkowy, dla którego istnieje inny ideał ułamkowy B taki, że AB = BA = R . Niektórzy autorzy mogą również stosować „ideał odwracalny” do zwykłych ideałów pierścieni A i B, gdzie AB = BA = R w pierścieniach innych niż domeny.

Idealne operacje

Suma i iloczyn ideałów są zdefiniowane w następujący sposób. Dla i , lewych (odpowiednio prawych) ideałów pierścienia R , ich suma wynosi ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\w {\mathfrak {a}}{\mbox{i}}b\w {\mathfrak {b}}\}}$,

który jest ideałem lewicowym (lub prawym), a jeśli są dwustronne, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}}: = \ {a_ {1} b_ {1} + \ kropki + a_ {n} b_ {n} \ mid a_ {i} \ w { \mathfrak {a}}{\mbox{ i }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ dla }}n=1,2 ,\kropki \},}$

tzn. iloczyn jest ideałem generowanym przez wszystkie iloczyny postaci ab z a in i b in . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Uwaga to najmniejszy lewy (lub prawy) ideał zawierający oba i (lub sumę ), podczas gdy iloczyn znajduje się w przecięciu i . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\kubek {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Prawo podziału obowiązuje dla ideałów dwustronnych , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {c}}}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ({\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {c}}) = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} + {\ mathfrak {a}} {\mathfrak {c}}}$,
• ${\ Displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}} {\mathfrak {c}}}$.

Jeśli produkt zostanie zastąpiony skrzyżowaniem, częściowe prawo dystrybucyjne obowiązuje:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\czapka ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\niespokojny {\mathfrak {a}}\czapka {\mathfrak {b}}+{\ mathfrak {a}}\czapka {\mathfrak {c}}}$

gdzie równość zachodzi, jeśli zawiera lub . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Uwaga : suma i przecięcie ideałów to znowu ideał; dzięki tym dwóm operacjom jako połącz i spotkaj, zbiór wszystkich ideałów danego pierścienia tworzy kompletną sieć modułową . W ogólności krata nie jest kratą rozdzielczą . Trzy operacje przecięcia, sumy (lub złączenia) i iloczynu tworzą ze zbioru ideałów przemiennego pierścienia kwantal .

Jeśli są ideałami pierścienia przemiennego R , to w następujących dwóch przypadkach (przynajmniej) ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\czapka {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}} = (1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$jest generowany przez elementy, które tworzą regularną sekwencję modulo .${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

(Ogólnie rzecz biorąc, różnicę między produktem a przecięciem ideałów mierzy się funktorem Tora : ) ${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (R / {\ mathfrak {a}}, R / {\ mathfrak {b}}) = ({\ mathfrak {a}} \ czapka {\ mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.}$

Domena integralna nazywana jest domeną Dedekinda, jeśli dla każdej pary ideałów istnieje ideał taki, że . Można wtedy wykazać, że każdy niezerowy ideał dziedziny Dedekinda może być jednoznacznie zapisany jako iloczyn maksymalnych ideałów, uogólnienie podstawowego twierdzenia arytmetyki . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\podzbiór {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Przykłady idealnych operacji

W mamy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle (n) \ czapka (m) = \ nazwa operatora {lcm} (n, m) \ mathbb {Z}}$

ponieważ jest zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez oba i . ${\ Displaystyle (n) \ czapka (m)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$

Niech i niech . Następnie, ${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = (z, w), {\ mathfrak {b}} = (x + z, y + w), {\ mathfrak {c}} = (x + z, w) }$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {b}} = (z, w, x + z, y + w) = (x, y, z, w)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} + {\ mathfrak {c}} = (z, w, x + z)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z ^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}} = (xz + z ^ {2}, zw, xw + zw, w ^ {2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\czapka {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ podczas ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ czapka {\ mathfrak {c}} = (w, xz + z ^ {2}) \ neq {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {c}}}$

W pierwszym obliczeniu widzimy ogólny wzór dla sumy dwóch skończenie wygenerowanych ideałów, jest to ideał wygenerowany przez połączenie ich generatorów. W ostatnich trzech obserwujemy, że iloczyny i przecięcia zgadzają się, gdy te dwa ideały przecinają się z ideałem zerowym. Te obliczenia można sprawdzić za pomocą Macaulay2 .

Radykał pierścienia

Ideały pojawiają się naturalnie w badaniu modułów, zwłaszcza w postaci radykalnej.

Dla uproszczenia pracujemy z pierścieniami przemiennymi, ale z pewnymi zmianami wyniki są również prawdziwe dla pierścieni nieprzemiennych.

Niech R będzie pierścieniem przemiennym. Z definicji, prymitywny idealny z R jest annihilator grupy (zera), prosty R -module . Jacobson rodnik o R jest przecięcia wszystkich pierwotnych idei. Równoważnie, ${\ Displaystyle J = \ nazwa operatora {Jac} (R)}$

${\ Displaystyle J = \ bigcap _ {{\ mathfrak {m}}} {\ tekst {maksymalne ideały}}} {\ mathfrak {m}}.}$

Rzeczywiście, jeśli jest prostym modułem, a x jest niezerowym elementem w M , to i , znaczenie jest maksymalnym ideałem. I odwrotnie, jeśli jest maksymalnym ideałem, to jest anihilatorem prostego modułu R . Jest też inna charakterystyka (dowód nie jest trudny): ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle Rx = M}$${\ Displaystyle R / \ Operator {Ann} (M) = R / \ Operator {Ann} (x) \ Simeq M}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Ann} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle R/{\ mathfrak {m}}}$

${\ Displaystyle J = \ {x \ w R \ mid 1-yx \, {\ tekst { to element jednostkowy dla każdego }} y \ w R \}.}$

W przypadku niekoniecznie przemiennego pierścienia, jest faktem ogólnym, że jest elementem jednostkowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest (patrz link), a więc ta ostatnia charakterystyka pokazuje, że radykał można zdefiniować zarówno w kategoriach lewicowych, jak i prawicowych ideałów pierwotnych . ${\ Displaystyle 1-yx}$${\ Displaystyle 1-xy}$

Poniższy prosty, ale ważny fakt ( lemat Nakayamy ) jest wbudowany w definicję rodnika Jacobsona: jeśli M jest modułem takim, że , to M nie dopuszcza maksymalnego podmodułu , ponieważ jeśli istnieje maksymalny podmoduł , i tak , sprzeczność. Ponieważ niezerowy moduł skończenie wygenerowany dopuszcza maksymalny podmoduł, w szczególności mamy: ${\ Displaystyle JM = M}$${\displaystyle L\subsetneq M}$${\ Displaystyle J \ cdot (M/L) = 0}$${\ Displaystyle M = JM \ podzbiór L \ podzbiór M}$

Jeśli i M jest skończenie generowane, wtedy${\ Displaystyle JM = M}$${\ Displaystyle M = 0.}$

Ideał maksymalny jest ideałem pierwszym, więc trzeba

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{pierwsze ideały}}}{\mathfrak {p}}\podzbiór \operator {Jac} (R)}$

gdzie przecięcie po lewej stronie nazywa się nilradical z R . Jak się okazuje, jest także zestaw nilpotent elementów z R . ${\ Displaystyle \ operatorname {zero} (R)}$

Jeśli R jest pierścieniem Artinian , to jest nilpotentny i . (Dowód: najpierw zauważ, że DCC implikuje dla niektórych n . Jeśli (DCC) jest ideałem odpowiednio minimalnym w stosunku do tego ostatniego, to . To jest , sprzeczność.) ${\ Displaystyle \ Operatorname {Jac} (R)}$${\ Displaystyle \ operatorname {zero} (R) = \ operatorname {Jac} (R)}$${\ Displaystyle J ^ {n} = J ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supsetneq \ operatorname {Ann} (J ^ {n})}$${\ Displaystyle J \ cdot ({\ mathfrak {a}} / \ operatorname {Ann} (J ^ {n})) = 0}$${\ Displaystyle J ^ {n} {\ mathfrak {a}} = J ^ {n + 1} {\ mathfrak {a}} = 0}$

Przedłużanie i skracanie ideału

Niech A i B będą dwoma pierścieniami przemiennymi i niech f  : A → B będzie homomorfizmem pierścienia . Jeśli jest ideałem w A , to nie musi być ideałem w B (np. weź f za włączenie pierścienia liczb całkowitych Z do ciała wymiernych Q ). Przedłużenie o w B określa się w idealnym B generowane przez . Jawnie, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e} = {\ duży \ {} \ suma y_ {i} f (x_ {i}): x_ {i} \ w {\ mathfrak {a}}, y_ {i}\w B{\duży \}}}$

Jeśli jest to ideał B , wtedy zawsze jest ideałem A , zwany skurcz od do A . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle f ^ {-1} ({\ mathfrak {b}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Zakładając, że f  : A → B jest homomorfizmem pierścienia, jest ideałem w A , jest ideałem w B , wtedy: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$jest liczbą pierwszą w B jest liczbą pierwszą w A .${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {c}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {we} \ supseteq {\ mathfrak {a}}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} \ subseteq {\ mathfrak {b}}}$

Na ogół nieprawdą jest, że bycie liczbą pierwszą (lub maksymalną) w A implikuje, że jest ona pierwsza (lub maksymalna) w B . Wiele klasycznych przykładów tego wywodzi się z algebraicznej teorii liczb. Na przykład osadzanie . W , element 2 rozkłada się jak gdzie (można pokazać) żadna z jednostek nie jest w B . Więc nie jest liczbą pierwszą w B (a zatem również nie maksymalną). Rzeczywiście pokazuje, że , , a zatem . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} \ lewo \ lbrack ja \ prawo \ rbrack}$${\ Displaystyle B = \ mathbb {Z} \ lewo \ lbrack ja \ prawo \ rbrack}$${\ Displaystyle 2 = (1 + i) (1-i)}$${\displaystyle 1+i,1-i}$${\ Displaystyle (2) ^ {e}}$${\ Displaystyle (1\ pm i) ^ {2} = \ pm 2i}$${\ Displaystyle (1 + i) = ((1-i) - (1-i) ^ {2})}$${\ Displaystyle (1-i) = ((1 + i) - (1 + i) ^ {2})}$${\ Displaystyle (2) ^ {e} = (1 + i) ^ {2}}$

Z drugiej strony, jeśli f jest surjekcją, a następnie: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {we} = {\ mathfrak {a}}}$i .${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} ^ {ce} = {\ mathfrak {b}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$jest ideałem pierwszym w A jest ideałem pierwszym w B .${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$jest maksymalnym ideałem w A jest maksymalnym ideałem w B .${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} ^ {e}}$

Uwaga : Niech K będzie rozszerzenie ciała z L , i niech B i być pierścień liczb całkowitych z K i L , odpowiednio. Wtedy B jest integralnym przedłużeniem z A , i niech f będzie mapa włączenie od A do B . Zachowanie się ideału pierwszego A pod rozszerzeniem jest jednym z głównych problemów algebraicznej teorii liczb . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {p}}}$

Czasami przydaje się następująca zasada: ideał pierwszy jest skróceniem ideału pierwszego wtedy i tylko wtedy, gdy . (Dowód: Zakładając, że te ostatnie, uwaga intersects . Sprzeczność Obecnie, głównymi idee odpowiadają numerom B , które są rozłączne z . W związku z tym, istnieje ideałem od B , rozłączne z tak, że jest maksymalny idealnym zawierających . Następnie sprawdzamy, czy to leży . Odwrotność jest oczywista.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} ^ {ec}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B_ {\ mathfrak {p}} = B_ {\ mathfrak {p}} \ strzałka w prawo {\ mathfrak {p}} ^ {e}}$${\ Displaystyle A-{\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle A-{\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle A-{\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {e} B_ {\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Uogólnienia

Ideały można uogólnić na dowolny obiekt monoidalny , gdzie jest obiektem, w którym zapomniano o strukturze monoidalnej . Lewej idealnie od jest podobiekt że „pochłania mnożenia z lewej strony przez elementy ”; że jest to lewa idealny , jeżeli spełnia następujące dwa warunki: ${\displaystyle (R,\czasy)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$

1. ${\ Displaystyle I}$jest podobiekt od${\ Displaystyle R}$
2. Dla każdego i każdy produkt jest .${\displaystyle r\in (R,\czasy)}$${\displaystyle x\in (ja,\czasy)}$${\displaystyle r\times x}$${\ Displaystyle (I, \ czasami )}$

Prawo idealny jest zdefiniowany z warunkiem „ ” zastąpiono „” ”. Dwustronny idealny jest idealny, że lewa jest również tuż idealne, i jest czasami nazywana po prostu idealne. Gdy jest odpowiednio przemiennym obiektem monoidalnym, definicje ideału lewego, prawego i dwustronnego pokrywają się, a termin ideał jest używany sam. ${\ Displaystyle r \ czasy x \ w (I \ czasy)}$${\ Displaystyle x \ czasy r \ w (I \ czasy)}$${\ Displaystyle R}$

Ideał może być również traktowany jako specyficzny typ modułu R . Jeśli weźmiemy pod uwagę jako lewe -module (mnożenie przez lewej), a następnie w lewo idealna jest naprawdę tylko lewa Podmoduł od . Innymi słowy, jest lewym (prawym) ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest to lewy (prawy) moduł, który jest podzbiorem . jest dwustronnym ideałem, jeśli jest sub- bimodułem . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Przykład: Jeśli pozwolimy , ideałem jest grupa abelowa będąca podzbiorem , czyli dla niektórych . Tak więc dają one wszystkie ideały . ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle m \ mathbb {Z} }$${\ Displaystyle m \ w \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Zobacz też

• Arytmetyka modułowa
• Twierdzenie o izomorfizmie Noether
• Twierdzenie Boole'a pierwszego idealnego
• Idealna teoria
• Idealny (teoria porządku)
• Idealna norma
• Dzielenie ideałów pierwotnych w rozszerzeniach Galois
• Idealny snop

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Levinson, Jake (14 lipca 2014). „Geometryczna interpretacja rozszerzania ideałów?” . Wymiana stosu .