Numer hiperkompleksowy - Hypercomplex number

W matematyce , liczby hiperzespolone to tradycyjny termin dla elementu skończonego-wymiarowej unital algebry nad pola z liczbami rzeczywistymi . Badanie liczb hiperkompleksowych pod koniec XIX wieku stanowi podstawę współczesnej teorii reprezentacji grup.

Historia

W XIX w systemach liczbowych zwanych kwaterniony , tessarines , coquaternions , biquaternions i octonions został ustanowiony pojęć w literaturze matematycznej, dodawane do rzeczywistych i liczb zespolonych . Pojęcie liczby hiperzłożonej obejmowało je wszystkie i wymagało dyscypliny, aby je wyjaśnić i sklasyfikować.

Projekt katalogowania rozpoczął się w 1872 roku, kiedy Benjamin Peirce po raz pierwszy opublikował swoją algebrę Linear Associative Algebra , a kontynuował ją jego syn Charles Sanders Peirce . Co najważniejsze, zidentyfikowali elementy nilpotentne i idempotentne jako użyteczne liczby hiperkompleksowe do klasyfikacji. Konstrukcja Cayley-Dickson wykorzystała inwolucje do generowania liczb zespolonych, kwaternionów i oktonionów z systemu liczb rzeczywistych. Hurwitz i Frobenius udowodnili twierdzenia, które nakładają ograniczenia na hiperzłożoność: twierdzenie Hurwitza mówi, że skończenie wymiarowe algebry złożeń rzeczywistych to liczby rzeczywiste , kompleksy , kwaterniony i oktoniony , a twierdzenie Frobeniusa mówi, że jedynymi rzeczywistymi algebrami dzielenia skojarzeniowego są , , i . W 1958 J. Frank Adams opublikował dalsze uogólnienie w kategoriach niezmienników Hopfa na przestrzeniach H, które wciąż ogranicza wymiar do 1, 2, 4 lub 8. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

To algebra macierzowa wykorzystała systemy hiperzłożone. Po pierwsze, macierze wniosły nowe liczby hiperkompleksowe, takie jak macierze 2 × 2 rzeczywiste (patrz Split-quaternion ). Wkrótce paradygmat macierzowy zaczął wyjaśniać inne, ponieważ stały się reprezentowane przez macierze i ich operacje. W 1907 roku Joseph Wedderburn wykazał, że asocjacyjne układy hiperkompleksowe mogą być reprezentowane przez macierze kwadratowe , czyli bezpośredni produkt algebr macierzy kwadratowych. Od tego czasu preferowanym terminem dla systemu hiperzłożonego stała się algebra asocjacyjna, jak widać w tytule pracy Wedderburna na Uniwersytecie w Edynburgu . Należy jednak zauważyć, że systemy nieasocjacyjne, takie jak oktoniony i kwaterniony hiperboliczne, reprezentują inny typ liczby hiperkompleksowej.

Jak wyjaśnia Hawkins, liczby hiperkompleksowe są podstawą do poznania grup Liego i teorii reprezentacji grup. Na przykład w 1929 roku Emmy Noether pisała o „wielkościach hiperzłożonych i teorii reprezentacji”. W 1973 roku Kantor i Solodovnikov opublikowali podręcznik o liczbach hiperkompleksowych, który został przetłumaczony w 1989 roku.

Karen Parshall napisała szczegółowy opis rozkwitu liczb hiperzłożonych, w tym roli matematyków, w tym Theodora Moliena i Eduarda Study . Aby przejść do współczesnej algebry , Bartel van der Waerden poświęca trzydzieści stron liczbom hiperzłożonym w swojej Historii algebry .

Definicja

Kantor i Solodovnikov (1989) podają definicję liczby hiperkompleksowej jako element algebry skończenie wymiarowej nad liczbami rzeczywistymi, który jest jednostkowy, ale niekoniecznie asocjacyjny lub przemienny . Elementy są generowane na podstawie współczynników liczb rzeczywistych . Tam, gdzie to możliwe, konwencjonalnie wybiera się podstawę tak, aby . Techniczne podejście do liczb hiperzłożonych kieruje uwagę najpierw na liczby z drugiego wymiaru . ${\ Displaystyle (a_ {0}, \ kropki, a_ {n})}$${\ Displaystyle \ {1, i_ {1}, \ kropki, i_ {n} \}}$${\ Displaystyle i_ {k} ^ {2} \ w \ {-1,0, +1 \}}$

Algebry rzeczywiste dwuwymiarowe

Twierdzenie: Do izomorfizmu, istnieją dokładnie trzy 2-wymiarowe unital algebry ciągu liczb rzeczywistych: zwykłe liczby zespolone , że numery Split-kompleks , i podwójne numery . W szczególności, każda dwuwymiarowa algebra unitarna nad liczbami rzeczywistymi jest asocjacyjna i przemienna.

Dowód: Ponieważ algebra jest dwuwymiarowa, możemy wybrać bazę {1, u }. Ponieważ algebra jest domknięta pod kwadratem, nierzeczywisty element bazy u kwadratów do kombinacji liniowej 1 i u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

dla pewnych liczb rzeczywistych ₀ i ₁ . Korzystanie wspólnej metody ukończenie plac odejmując do ₁ u i dodanie kwadratowej dopełniacza A²
₁ / 4 na obie strony daje

${\ Displaystyle u ^ {2}-a_ {1} u + {\ Frac {a_ {1} ^ {2}} {4}} = a_ {0} + {\ Frac {a_ {1} ^ {2}} {4}}.}$

Tak więc, gdzie Trzy przypadki zależą od tej rzeczywistej wartości: ${\ Displaystyle \ lewo (u-{\ Frac {a_ {1}} {2}} \ po prawej) ^ {2} = {\ tylda {u}} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tylda {u}} ^ {2} ~ = a_ {0}+ {\ Frac {a_ {1} ^ {2}} {4}}.}$

• Jeśli 4 a ₀ = − a ₁ ² , powyższy wzór daje ũ ² = 0 . Stąd ũ można bezpośrednio utożsamić z nilpotentnym elementem bazy liczb podwójnych.${\displaystyle \epsilon}$${\ Displaystyle \ {1, ~ \ epsilon \}}$
• Jeśli 4 a ₀ > − a ₁ ² , powyższy wzór daje ũ ² > 0 . Prowadzi to do liczb split-complex, które mają znormalizowaną podstawę z . Aby otrzymać j z ũ , należy je podzielić przez dodatnią liczbę rzeczywistą, która ma taki sam kwadrat jak ũ .${\ Displaystyle \ {1, ~ j \}}$${\ Displaystyle j ^ {2} = +1}$${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$
• Jeśli 4 a ₀ < − a ₁ ² , powyższy wzór daje ũ ² < 0 . Prowadzi to do liczb zespolonych, które mają znormalizowaną bazę z . Aby otrzymać i z ũ , to drugie musi zostać podzielone przez dodatnią liczbę rzeczywistą, która podniesie się do ujemnej liczby ũ ² .${\ Displaystyle \ {1, ~ i \}}$${\ Displaystyle i ^ {2} = -1}$${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$

Liczby zespolone są tylko 2-wymiarowe hypercomplex Algebra jest to pole . Algebry, takie jak liczby split-complex, które zawierają nierzeczywiste pierwiastki 1, również zawierają idempotenty i dzielniki zera , więc takie algebry nie mogą być algebrami dzielenia . Jednak te właściwości mogą okazać się bardzo znaczące, na przykład w opisie transformacje Lorentza o szczególnej teorii względności . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\ Displaystyle (1 + j) (1-j) = 0}$

W wydaniu Mathematics Magazine z 2004 roku dwuwymiarowe algebry rzeczywiste nazwano „uogólnionymi liczbami zespolonymi”. Ideę ilorazu krzyżowego czterech liczb zespolonych można rozszerzyć na dwuwymiarowe algebry rzeczywiste.

Przykłady z wyższych wymiarów (więcej niż jedna oś nierzeczywista)

Algebry Clifforda

Clifford algebra jest unital asocjacyjne algebra generowana przez bazowego przestrzeni wektorowej wyposażonej formy kwadratowej . Po liczbach rzeczywistych jest to równoznaczne z możliwością zdefiniowania symetrycznego iloczynu skalarnego, u ⋅ v = 1/2( uv + vu ), które można wykorzystać do ortogonalizacji postaci kwadratowej, aby dać bazę { e ₁ , ..., e _k } taką, że:

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (e_ {i} e_ {j} + e_ {j} e_ {i}) = \ lewo \ {{\ zacznij {macierz} -1, 0, +1 & i =j,\\0&i\not =j.\end{macierz}}\prawo.}$

Nałożenie domknięcia przy mnożeniu generuje wielowektorową przestrzeń rozpiętą przez bazę 2 ^k elementów, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , . ..}. Można je interpretować jako podstawę hiperkompleksowego systemu liczbowego. W przeciwieństwie do bazy { e ₁ , ..., e _k }, pozostałe elementy bazy nie muszą być przeciwstawne, w zależności od tego, ile prostych wymian trzeba przeprowadzić, aby zamienić dwa czynniki. Czyli e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ , ale e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Odkładając na bok bazy zawierające element e _i takie, że e _i ² = 0 (tj. kierunki w pierwotnej przestrzeni, w której forma kwadratowa uległa degeneracji ), pozostałe algebry Clifforda można zidentyfikować za pomocą etykiety Cl _{p , q} ( R ) , co wskazuje, że algebra jest zbudowana z p prostych elementów bazowych z e _i ² = +1 , q z e _i ² = −1 , i gdzie R wskazuje, że ma to być algebra Clifforda na rzeczywistych, tj. współczynniki elementów algebra ma być liczbami rzeczywistymi.

Te algebry, zwane algebrami geometrycznymi , tworzą zbiór systematyczny, który okazują się bardzo przydatny w problemach fizyki obejmujących obroty , fazy lub spiny , zwłaszcza w mechanice klasycznej i kwantowej , teorii elektromagnetycznej i teorii względności .

Przykłady obejmują: liczby zespolone Cl _0,1 ( R ), rozszczepione liczby zespolone Cl _1,0 ( R ), kwaterniony Cl _0,2 ( R ), rozszczepione-bikwaterniony Cl _0,3 ( R ), rozszczepione kwaterniony Cl _1,1 ( R ) ≈ Cl _2,0 ( R ) (naturalna algebra przestrzeni dwuwymiarowej); Cl _3,0 ( R ) (naturalna algebra przestrzeni trójwymiarowej i algebra macierzy Pauliego ); oraz algebra czasoprzestrzenna Cl _1,3 ( R ).

Elementy algebry Cl _{p , q} ( R ) tworzą parzystą podalgebrę Cl^[0]
_{q +1, p}( R ) algebry Cl _{q +1, p} ( R ), która może być użyta do parametryzacji obrotów w większej algebrze. Istnieje zatem ścisły związek między liczbami zespolonymi a rotacjami w przestrzeni dwuwymiarowej; między kwaternionymi i rotacjami w przestrzeni trójwymiarowej; między liczbami rozdzielonymi zespolonymi a (hiperbolicznymi) rotacjami ( przekształceniami Lorentza ) w przestrzeni 1+1-wymiarowej i tak dalej.

Podczas gdy konstrukcje Cayley-Dickson i split-complex z ośmioma lub więcej wymiarami nie są asocjacyjne w odniesieniu do mnożenia, algebry Clifforda zachowują asocjatywność w dowolnej liczbie wymiarów.

W 1995 roku Ian R. Porteous napisał o „Rozpoznawaniu podalgebr” w swojej książce o algebrach Clifforda. Jego propozycja 11.4 podsumowuje przypadki hiperzłożone:

Niech A będzie rzeczywistą algebrą asocjacyjną z elementem 1. Wtedy

• 1 generuje R ( algebra liczb rzeczywistych ),
• dowolna dwuwymiarowa podalgebra wygenerowana przez element e ₀ z A taka, że e ₀ ² = −1 jest izomorficzna z C ( algebra liczb zespolonych ),
• dowolna dwuwymiarowa podalgebra wygenerowana przez element e ₀ z A taka, że e ₀ ² = 1 jest izomorficzna z R ² (pary liczb rzeczywistych z iloczynem składowym, izomorficzne z algebrą liczb rozszczepionych ),
• dowolna czterowymiarowa podalgebra generowana przez zbiór { e ₀ , e ₁ } wzajemnie przeciwstawnych elementów A takich, które są izomorficzne z H ( algebrą kwaternionów ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$
• dowolna czterowymiarowa podalgebra generowana przez zbiór { e ₀ , e ₁ } wzajemnie przeciwstawnych elementów A taki, który jest izomorficzny z M ₂ ( R ) (2 × 2 macierze rzeczywiste , kokwaterniony ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$
• dowolna ośmiowymiarowa podalgebra generowana przez zbiór { e ₀ , e ₁ , e ₂ } wzajemnie przeciwstawnych elementów A taki, który jest izomorficzny z ² H ( podział-bikwaterniony ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$
• dowolna ośmiowymiarowa podalgebra generowana przez zbiór { e ₀ , e ₁ , e ₂ } wzajemnie przeciwstawnych elementów A taki, który jest izomorficzny z M ₂ ( C ) ( macierze zespolone 2 × 2 , bikwaterniony , algebra Pauliego ).${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$

Aby uzyskać rozszerzenie poza klasyczne algebry, zobacz Klasyfikacja algebr Clifforda .

Konstrukcja Cayley-Dickson

Cayley Q8 wykres mnożenia kwaternionów pokazujący cykle mnożenia i (czerwony), j (zielony) i k (niebieski). W pliku SVG najedź kursorem lub kliknij ścieżkę, aby ją podświetlić.

Wszystkie algebry Clifforda Cl _{p , q} ( R ) oprócz liczb rzeczywistych, liczb zespolonych i kwaternionów zawierają elementy nierzeczywiste, które są kwadratowe do +1; więc nie mogą być algebrami dzielenia. Inne podejście do rozszerzania liczb zespolonych przyjmuje konstrukcja Cayleya-Dicksona . Generuje to systemy liczbowe o wymiarze 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., z bazami , w których wszystkie nierzeczywiste elementy bazowe są przeciwne i spełniają . W 8 lub więcej wymiarach ( n ≥ 3 ) te algebry nie są asocjacyjne. W 16 lub więcej wymiarach ( n ≥ 4 ) te algebry również mają dzielniki zera . ${\ Displaystyle \ {1, i_ {1}, \ kropki, i_ {2 ^ {n} -1} \}}$${\ Displaystyle i_ {m} ^ {2} = -1}$

Pierwsze algebry w tym ciągu to czterowymiarowe kwaterniony , ośmiowymiarowe oktoniony i 16-wymiarowe sedenony . Algebraicznym symetria traci z każdym wzrostem wymiarowości: quaternion mnożenie nie jest przemienne , oktawy cayleya mnożenie jest nie- asocjacyjne , a norma od sedenions nie jest mnożnikowy.

Konstrukcję Cayley-Dickson można modyfikować, wstawiając na niektórych etapach dodatkowy znak. Następnie generuje „algebry podziału” w zbiorze algebr składu zamiast algebr dzielenia:

liczby dzielone zespolone o podstawie spełniającej ,${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

split-quaternions z podstawą spełniającą , oraz${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$${\ Displaystyle \ ja_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

split-octonions z satysfakcjonującą podstawą ,${\ Displaystyle \ {1, i_ {1}, \ kropki, i_ {7} \}}$${\ Displaystyle \ ja {1} ^ {2} = ja {2} ^ {2} = ja {3} ^ {2} = -1}$${\ Displaystyle \ i_ {4} ^ {2} = i_ {5} ^ {2} = i_ {6} ^ {2} = i_ {7} ^ {2} = + 1.}$

W przeciwieństwie do liczb zespolonych, liczby split-complex nie są algebraicznie domknięte , a ponadto zawierają nietrywialne dzielniki zera i nietrywialne idempotenty . Podobnie jak w przypadku kwaternionów, podzielone kwaterniony nie są przemienne, ale dodatkowo zawierają nilpotenty ; są izomorficzne z macierzami kwadratowymi drugiego wymiaru. Split-oktoniony są nieasocjacyjne i zawierają nilpotenty.

Produkty Tensor

Produkt napinacz z dwoma algebrach inny Algebra, które można stosować do wytwarzania wielu przykładów więcej z hypercomplex systemów numerycznych.

W szczególności produkty biorąc tensor z liczb złożonych (uważany za algebrach ciągu liczb rzeczywistych) prowadzi do czterowymiarowych tessarines , ośmiowymiarowej biquaternions i 16-wymiarowym złożonych octonions . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {O}}$

Dalsze przykłady

• liczby bikompleksowe : 4-wymiarowa przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi, 2-wymiarowa nad liczbami zespolonymi
• liczby wielozespołowe : 2 ^{n −1} -wymiarowe przestrzenie wektorowe nad liczbami zespolonymi
• algebra składu : algebra z formą kwadratową, która składa się z iloczynu

Zobacz też

• Sedenony
• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Analiza hiperkompleksowa

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

• „Liczba hiperkompleksowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Liczba hiperkompleksowa” . MatematykaŚwiat .
• Studium E., O układach liczb zespolonych i ich zastosowaniu w teorii grup przekształceń (PDF) (Angielskie tłumaczenie)
• Frobenius, G., Teoria wielkości hiperkompleksowych (PDF) (Angielskie tłumaczenie)