Słowniczek teorii pierścieni - Glossary of ring theory

Teoria pierścieni to dziedzina matematyki, w której badane są pierścienie : to znaczy struktury obsługujące zarówno operacje dodawania, jak i mnożenia . To jest słownik niektórych terminów z tego przedmiotu.

Elementy algebry przemiennej (teoria pierścieni przemiennych) znajdują się w słowniku algebry przemiennej . Aby zapoznać się z koncepcjami teorii pierścieni w języku modułów, zobacz także Glosariusz teorii modułów .

Aby zapoznać się z określonymi typami algebr, zobacz także: Słownik teorii pola i Słownik grup Liego i algebr Liego . Ponieważ obecnie nie ma ogólnie słownika na temat struktur algebry niekoniecznie asocjacyjnych, niniejszy słownik zawiera pewne pojęcia, które nie wymagają asocjatywności; np. wyprowadzenie.

ZA

Kompleks Amitsur

Amitsur złożony z homomorfizmu pierścieniowym kompleksować cochain że środki w zakresie, w którym homomorfizm pierścień nie być dokładnie płaska .

Artinian

Lewy pierścień artyński to pierścień spełniający warunek zstępującego łańcucha dla lewych ideałów; właściwy pierścień artyński to taki, który spełnia warunek zstępującego łańcucha dla właściwych ideałów. Jeśli pierścień jest zarówno lewy, jak i prawy artyniński, nazywa się go artyńskim . Pierścienie artyńskie to pierścienie Noether.

Twierdzenie Artina-Wedderbuna

Twierdzenie Artina – Wedderburna stwierdza, że ​​półprosty pierścień jest produktem skończonym (pełnych) pierścieni macierzowych nad pierścieniami dzielącymi.

współpracownik

W pierścieniu przemiennym element a nazywany jest asocjatem elementu b, jeśli a dzieli b i b dzieli a .

automorfizm

Automorfizmem pierścień jest Izomorfizm pierścień między tym samym pierścieniu; innymi słowy, jest elementem jednostkowym pierścienia endomorfizmu pierścienia, który jest multiplikatywny i zachowuje multiplikatywną tożsamość.

Algebra automorfizmem na pierścienia przemiennego R jest Izomorfizm Algebra między tym samym Algebra; jest to automorfizm pierścieniowy, który jest również R -liniowy.

Azumaya

Azumaya Algebra uogólnieniem środkowej prostego Algebra z pierścieniem podstawy dla pola.

b

dwuwymiarowy

Bidimension asocjacyjnego Algebra A na pierścienia przemiennego R jest rzutowa wymiar jako -module. Na przykład algebra ma dwuwymiarowy zero wtedy i tylko wtedy, gdy można ją rozdzielić. ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {op} \ otimes _ {R} A}$

boolean

Logiczna pierścień oznacza pierścień, w którym każdy element jest multiplikatywnie idempotent .

Brauer

Grupa Brauera pola jest grupą abelową składającą się ze wszystkich klas równoważności centralnych prostych algebr nad ciałem.

do

Kategoria

Kategoria pierścieni jest kategorię, do której obiekty są (wszystkie) pierścienie i gdzie morfizmami są (wszystkich) homomorfizmy pierścieniu.

środek

1. Element R pierścienia R jest centralny jeśli XR = RX dla wszystkich x w R . Zbiór wszystkich elementów centralnych tworzy podpierścień z R , znany jako środka do badania .

2. Algebra centralna to algebra asocjacyjna nad środkiem.

3. Centralna algebra prosta jest algebrą centralną, która jest również prostym pierścieniem.

centralizator

1. centrujące podzbioru S w pierścieniu jest podpierścień pierścienia składającego się z elementów, dojazd do elementów S . Na przykład centralizator samego pierścienia jest środkiem pierścienia.

2. Podwójny centralizator zestawu jest centralizatorem centralizatora zestawu. Por. twierdzenie o podwójnym centralizatorze .

Charakterystyka

1. Cechą charakterystyczną pierścienia jest najmniejsza dodatnia liczba całkowita n spełniająca nx = 0 dla wszystkich elementów x pierścienia, jeśli takie n istnieje. W przeciwnym razie charakterystyka wynosi 0.

2. charakterystyczną podpierścień z R jest najmniejsza podpierścień (to znaczy unikalny minimalne podpierścień). Konieczne jest obraz unikalnego homomorfizmu pierścienia , a tym samym jest izomorficzny w którym n jest charakterystyczna dla R . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ do R}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

zmiana

Zmiana pierścieni jest funktorem (pomiędzy odpowiednimi kategoriach) indukowaną przez homomorfizmu pierścienia.

Algebra Clifforda

Clifford algebra jest pewna asocjacyjne algebra, że jest użyteczna w geometrii i fizyce.

zgodny

Lewy spójny pierścień to taki pierścień, że każdy jego skończony lewy ideał jest skończonym modułem; innymi słowy, jest spójny jako lewy moduł nad sobą.

przemienny

1. pierścień A R jest przemienne , gdy zwielokrotnienie jest przemienne, tj rs = sr wszystkie R , s ∈ R .

2. Pierścień R jest skośno-przemienny, jeśli gdzie oznacza parzystość elementu x . ${\ Displaystyle xy = (- 1) ^ {\ epsilon (x) \ epsilon (y)} yx}$${\ Displaystyle \ epsilon (x)}$

3. Algebra przemienna to algebra asocjacyjna będąca pierścieniem przemiennym.

4.   Algebra przemienna to teoria pierścieni przemiennych.

re

pochodzenie

1. Wyprowadzenie prawdopodobnie asocjacyjnej algebry A na pierścieniu przemiennym R jest R- liniowym endomorfizmem, który spełnia regułę Leibniza .

2. Algebra wyprowadzenie o Algebra A jest podalgebrą Algebra endomorfizm z A , który składa się z wyprowadzeń.

mechanizm różnicowy

Różnica Algebra jest razem Algebra ze stężeń.

bezpośredni

Iloczynem bezpośrednim rodziny pierścieni jest pierścień dany przez wzięcie iloczynu kartezjańskiego danych pierścieni i zdefiniowanie składowych operacji algebraicznych.

dzielnik

1. W dziedzinie całkowej R element a nazywany jest dzielnikiem elementu b (a mówimy, że a dzieli b ), jeśli istnieje element x w R z ax = b .

2. Element r z R jest lewym dzielnikiem zerowym, jeśli istnieje niezerowy element x w R taki, że rx = 0 i prawy dzielnik zerowy lub jeśli istnieje niezerowy element y w R taki, że yr = 0 . Element r z R jest nazywany dwustronnym dzielnikiem zerowym, jeśli jest zarówno lewym dzielnikiem zerowym, jak i prawym dzielnikiem zerowym.

podział

Pierścień podział lub obszar skośny pierścień, w którym każdy element niezerowy jest urządzenie i 1 ≠ 0 .

domena

Domena jest niezerowy pierścień bez dzielnik zera wyjątkiem 0. Dla historycznego powodu, przemienne domena nazywa się dziedzina całkowitości .

mi

endomorfizm

Pierścień endomorfizmu to pierścień utworzony przez endomorfizmy obiektu o strukturze addytywnej; mnożenie jest traktowane jako kompozycja funkcji , podczas gdy jego dodawanie jest punktowym dodawaniem obrazów.

otaczająca algebra

(Uniwersalna) algebra otaczająca E niekoniecznie asocjacyjnej algebry A jest algebrą asocjacyjną określoną przez A w jakiś uniwersalny sposób. Najbardziej znanym przykładem jest uniwersalna algebra obejmująca algebry Liego.

rozbudowa

Przedłużenie pierścień z pierścieniem B przez Abelowych grupy I to para składająca się z pierścienia E i homomorfizmu pierścienia , którego jądra I . ${\ displaystyle (E, \ varphi)}$${\ Displaystyle \ varphi: E \ do R}$

algebra zewnętrzna

Zewnątrz Algebra z miejscem wektora lub moduł V jest ilorazem Algebra tensora V ideał generowanych przez elementy formy . ${\ displaystyle x \ otimes x}$

fa

pole

Pole jest przemienne pierścień przegród; tj. niezerowy pierścień, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny.

filtrowany pierścień

Przesączono pierścień jest pierścieniem z filtracji.

nieskończenie generowane

1. Lewy ideał I jest nieskończenie generowany, jeśli istnieje skończenie wiele elementów a ₁ , ..., a _n takich, że I = Ra ₁ + ... + Ra _n . Prawo idealnym że jest skończoną generowany , jeżeli istnieje skończona wiele elementów ₁ , ..., _n takie, że I = o ₁ R + ... + _n R . Dwustronny idealnie że jest skończoną generowany , jeżeli istnieje skończona wiele elementów ₁ , ..., _n takie, że I = Ra ₁ R + ... + Ra _n R .

2. Skończenie wygenerowany pierścień to pierścień, który jest generowany w sposób skończony jako Z- algebra.

skończenie przedstawione

Skończenie Algebra przedstawiony na pierścienia przemiennego R oznacza (przemienne) asocjacyjny Algebra czyli iloraz z wielomianu pierścienia nad R w skończenie wielu czynników przez skończoną wytworzonej ideału .

wolny

1. Wolny idealny pierścień lub jodła to pierścień, w którym każdy właściwy ideał jest wolnym modułem o ustalonej randze.

2. Semifir to pierścień, w którym każdy skończenie wygenerowany prawidłowy ideał jest wolnym modułem o ustalonej randze.

3. Iloczyn swobodny rodziny asocjacyjnej jest algebrą asocjacyjną uzyskaną, z grubsza, przez generatory i relacje algebr w rodzinie. Pojęcie zależy od rozważanej kategorii algebry asocjacyjnej; na przykład w kategorii pierścieni przemiennych produktem wolnym jest produkt tensorowy.

4. Swobodny pierścień to pierścień, który jest dowolną algebrą na liczbach całkowitych.

sol

ocenione

Graded pierścień stanowi pierścień razem z klasyfikacji lub podziałką; tj. jest to bezpośrednia suma dodatkowych podgrup z pomnożeniem uwzględniającym klasyfikację. Na przykład pierścień wielomianowy jest pierścieniem stopniowanym według stopni wielomianów.

Generować

Asocjacyjna Algebra na pierścienia przemiennego R mówi się, że generowane przez podzbiór S z A , gdy najmniejsza podalgebrą zawierającego S jest sobie i S mówi się układ generujący A . Jeśli istnieje skończony zbiór generujący, mówi się, że A jest algebrą skończoną .

H.

dziedziczny

Pierścień jest dziedziczny, jeśli jego lewe ideały są modułami projekcyjnymi. Prawidłowe pierścienie dziedziczne są zdefiniowane analogicznie.

ja

ideał

Lewej idealnym I z R jest dodatek podgrupę B w taki sposób, aI ⊆ że dla wszystkich A ∈ R . Prawo idealnym , jest podgrupą R tak, że la ⊆ że dla wszystkich A ∈ R . Idealny (czasami nazywany jest dwustronny idealny dla podkreślenia) jest podgrupa, która jest zarówno lewy i prawy idealny idealny.

idempotentny

Element r pierścienia jest idempotentny, jeśli r ² = r .

domena integralna

„ domena integralna ” lub „ cały pierścień ” to inna nazwa domeny przemiennej ; tj. niezerowy przemienny pierścień bez zerowych dzielników z wyjątkiem 0.

niezmienny

Pierścień R ma niezmienną liczbę bazową, jeśli R ^{m jest} izomorficzny do R ^n, ponieważ R -moduły implikują m = n .

nieskracalny

Element x domeny całkowej jest nieredukowalny, jeśli nie jest jednostką i dla dowolnych elementów a i b takich, że x = ab , a albo b jest jednostką. Zauważ, że każdy element pierwszy jest nieredukowalny, ale niekoniecznie odwrotnie.

jot

Jacobson

1. Rodnik Jacobsona pierścienia jest przecięciem wszystkich maksymalnych ideałów lewicy.

2. Pierścień Jacobsona to pierścień, w którym każdy ideał pierwszy jest skrzyżowaniem ideałów pierwotnych.

K.

jądro

Jądro z homomorfizmu pierścieniowego pierścienia Homomorfizm f  : R → S jest zbiorem wszystkich elementów x od B , tak że F ( x ) = 0 . Każdy ideał jest jądrem homomorfizmu pierścieniowego i vice versa.

Köthe

Przypuszczenie Köthe'a mówi, że jeśli pierścień ma niezerowy ideał zerowy, to ma niezerowy ideał zerowy.

L

lokalny

1. Pierścień z unikalnym maksymalnym ideałem lewostronnym jest pierścieniem lokalnym . Pierścienie te mają również unikalny maksymalny prawy ideał, a lewy i prawy unikalny maksymalny ideał pokrywają się. Pewne pierścienie przemienne mogą być osadzone w pierścieniach lokalnych poprzez lokalizację w idealnym idealnym miejscu .

2. Lokalizacja pierścienia  : W przypadku pierścieni przemiennych: technika zamiany danego zestawu elementów pierścienia na jednostki. Nazywa się Localization, ponieważ można go użyć do przekształcenia dowolnego pierścienia w pierścień lokalny . Aby zlokalizować pierścienia R , ma zamkniętą multiplikatywnie podzbiór S nie zawierających zerowego dzielników i formalnie określenia ich multiplikatywnej odwrotności, które powinny być dodawane do R . Lokalizacja w pierścieniach nieprzemiennych jest bardziej skomplikowana i została zdefiniowana na kilka różnych sposobów.

M

minimalne i maksymalne

1. Lewy ideał M pierścienia R to maksymalny lewy ideał (odpowiednio minimalny lewy ideał), jeśli jest maksymalny (odp. Minimalny) wśród właściwych (względnie niezerowych) lewych ideałów. Maksymalne (względnie minimalne) poprawne ideały są definiowane podobnie.

2. Podpierścień maksymalny to taki podrzędny, który jest maksymalny wśród właściwych podelementów. Analogicznie można zdefiniować „minimalny podrzędny”; jest wyjątkowy i nazywany jest charakterystycznym podbiciem .

matryca

1. Pierścień matrycy ponad pierścień B oznacza pierścień, którego elementy są kwadratowych macierzy stały rozmiar z zapisami w R . Pierścień matrycy lub pełny pierścień matryca matrycy ponad R jest pierścień matryca składa się z wszystkich matryc kwadratowych stały rozmiar z zapisami w R . Kiedy konstrukcja gramatyczna nie jest możliwa do zastosowania, termin „pierścień matrycowy” często odnosi się do „pełnego” pierścienia matrycowego, gdy kontekst nie stwarza prawdopodobieństwa pomyłki; na przykład, gdy ktoś mówi, że półprosty pierścień jest iloczynem macierzy pierścieni dzielących, zakłada się implicite, że „pierścienie macierzy” odnoszą się do „pełnych pierścieni macierzowych”. Każdy pierścień jest (izomorficzny) pełnym pierścieniem matrycowym nad sobą.

2. Pierścień macierzy rodzajowych to pierścień składający się z macierzy kwadratowych z wpisami w zmiennych formalnych.

monoid

Pierścień monoid .

Morita

Mówi się, że dwa pierścienie są odpowiednikami Mority, jeśli kategoria modułów nad jednym jest równoważna kategorii modułów nad drugim.

N

bliski

Nearring jest strukturą, która jest grupą pod Ponadto półgrupa pod mnożenie i ich namnażania prowadzi dystrybucję na prawo na dodatek.

zero

1. Zerowy ideał to ideał składający się z zerowych elementów.

2. (Baera) górny rodnik zerowy jest sumą wszystkich zerowych ideałów.

3. Niższy rodnik (Baera) zero jest przecięciem wszystkich głównych ideałów. W przypadku pierścienia przemiennego górny rodnik zerowy i dolny rodnik zerowy pokrywają się.

nilpotent

1. Element r z R jest zerowy, jeśli istnieje dodatnia liczba całkowita n taka, że r ⁿ = 0 .

2. Zerowy ideał to ideał, którego elementy są zerowymi elementami.

3. Ideał zerowy to ideał, którego potęga I ^k wynosi {0} dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k . Każdy nilpotentny ideał jest zerowy, ale sytuacja odwrotna na ogół nie jest prawdą.

4. Nilradical pierścienia przemiennego jest ideałem, który składa się ze wszystkich zerowych elementów pierścienia. Jest równa przecięciu wszystkich głównych ideałów pierścienia i jest zawarta w rodniku Jacobsona pierścienia, ale na ogół nie jest z nim równa.

Noetherian

Lewy pierścień Noetherian to pierścień spełniający warunek wstępującego łańcucha dla lewych ideałów. Prawo Noetherian jest określony w podobny sposób, a pierścień, który jest zarówno po lewej i prawej Noetherian jest Noetherian . Pierścień pozostaje Noetherian wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego lewe ideały są ostatecznie wygenerowane; analogicznie dla prawych pierścieni Noetherian.

zero

pierścień zerowy : patrz rng kwadratu zerowego .

O

naprzeciwko

Biorąc pierścień R jej przeciwległego pierścienia R ^op ten sam zestaw podstawowych jak R , operacja dodawania jest określona jak w B , ale produkt S i R w R ^op jest RS , gdy produkt jest SR w R .

zamówienie

Zamówienie z algebry jest (w przybliżeniu) podalgebrą że jest również pełna krata.

Ruda

Lewa domena Ore to (nieprzemienna) domena, dla której zestaw niezerowych elementów spełnia lewy warunek Rudy. Właściwa domena Rudy jest zdefiniowana podobnie.

P.

idealny

Lewo doskonały pierścień jest jedną spełniającą warunek łańcucha malejąco na prawej ideał główny. Charakteryzują się również pierścieniami, których płaskie lewe moduły są modułami rzutowymi. Odpowiednie pierścienie doskonałe są definiowane analogicznie. Pierścienie artyńskie są idealne.

wielomian

1. Wielomian pierścień na pierścienia przemiennego R jest przemienne pierścień składający się z wszystkich wielomianów określonych zmiennych współczynnikach w R .

2. Skośny pierścień wielomianowy

Biorąc pod uwagę, R pierścień oraz endomorfizm z R . Pierścień wielomianu skośnego jest zdefiniowany jako zbiór , z dodawaniem zdefiniowanym jak zwykle i mnożeniem określonym przez relację . ${\ displaystyle \ sigma \ in {\ textrm {koniec}} (R)}$${\ Displaystyle R [x; \ sigma]}$${\ Displaystyle \ {a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_ {1} x + a_ {0} \ mid n \ in \ mathbb { N}, \, a_ {n}, a_ {n-1}, \ ldots, a_ {1}, a_ {0} \ in R \}}$${\ displaystyle xa = \ sigma (a) x \; \ forall a \ in R}$

główny

1. Element x dziedziny całkowej jest elementem pierwszym, jeśli nie jest zerem i nie jest jednostką, i ilekroć x dzieli iloczyn ab , x dzieli a lub x dzieli b .

2. idealnym P w przemiennej pierścienia R jest pierwsza jeżeli P ≠ R , a jeśli dla wszystkich A i B w B z AB w P mamy w P lub b w P . Każdy maksymalny ideał w pierścieniu przemiennym jest liczbą pierwszą.

3. idealnym P w (nie koniecznie przemiennego) pierścień B jest liczbą jeżeli P ≠ R i dla idei A i B, z R , oznacza, lub . To rozszerza definicję pierścieni przemiennych. ${\ displaystyle AB \ subseteq P}$${\ Displaystyle A \ subseteq P}$${\ Displaystyle B \ subseteq P}$

4.   pierścień główny  : niezerowy pierścień R nazywany jest pierścieniem pierwszym, jeśli dla dowolnych dwóch elementów a i b z R z aRb = 0 mamy albo a = 0, albo b = 0 . Jest to równoznaczne z powiedzeniem, że ideał zerowy jest ideałem pierwszym (w sensie nieprzemiennym). Każdy prosty pierścień i każda domena jest pierścieniem pierwszym.

prymitywny

1. lewo prymitywny pierścień jest pierścieniem, który ma wierne prosty lewej R -module . Każdy prosty pierścionek jest prymitywny. Pierścienie pierwotne są liczbą pierwszą .

2. Idealne I pierścienia R jest prymitywne, jeśli jest pierwotne. ${\ displaystyle R / I}$

dyrektor

Ideał główny  : a główny lewej idealnie w pierścieniu B jest lewy ideał postaci Ra jakiegoś elementu A z B . Główny prawy idealny jest słuszną ideał formy aR jakiegoś elementu A z R . Ideał główny jest dwustronny ideał postaci RaR jakiegoś elementu A z B .

dyrektor

1. Domena ideału główna jest domeną integralną, w której każdy ideał jest domeną główną.

2. Główny pierścień ideału to pierścień, w którym każdy ideał jest zasadniczy.

Q

quasi-Frobenius

pierścień quasi-Frobenius  : specjalny rodzaj pierścienia artyńskiego, który jest również pierścieniem samowtryskiwanym po obu stronach. Każdy półprosty pierścień jest quasi-Frobenius.

Iloraz pierścień lub czynnik pierścień  Wnioskując pierścieniowy R i ideał I z R The pierścień iloraz jest pierścień utworzony przez zestaw R / I z cosets { + I  : ∈ R } łącznie z operacjami ( + I ) + ( b + i ) = ( + b ) + i i ( + i ), ( b + i ) = AB + i . Związek między ideałami, homomorfizmami i pierścieniami czynnikowymi podsumowuje podstawowe twierdzenie o homomorfizmach .

R

rodnik

Rodnik idealnego I w przemiennej pierścień składa się ze wszystkich tych elementów pierścieniowych moc, która leży w I . Jest równa przecięciu wszystkich głównych ideałów zawierających ja .

pierścień

1. Zbiór R z dwiema operacjami binarnymi , zwykle nazywanymi dodawaniem (+) i mnożeniem (×), tak że R jest dodawaną grupą abelową , R jest monoidem w trakcie mnożenia, a mnożenie jest dystrybuowane zarówno po lewej, jak i po prawej stronie po dodawaniu. Zakłada się, że pierścienie mają multiplikatywne tożsamości, chyba że zaznaczono inaczej. Tożsamość addytywna jest oznaczona przez 0, a tożsamość multiplikatywna przez 1. ( Uwaga : w niektórych książkach, zwłaszcza starszych, używa się terminu „pierścień” na oznaczenie tego, co tutaj będzie nazywane rng ; tj. Nie wymagają pierścienia tożsamość multiplikatywna).

2. Homomorfizm pierścienia  : Funkcja f  : R → S między pierścieniami ( R , +, ∗) i ( S , ⊕, ×) jest homomorfizmem pierścienia, jeśli spełnia

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

f (1) = 1

dla wszystkich elementów i B z R .

3.   Izomorfizm pierścienia  : Homomorfizm pierścienia, który jest bijektywny, jest izomorfizmem pierścienia . Odwrotnością izomorfizmu pierścienia jest również izomorfizm pierścienia. Dwa pierścienie są izomorficzne, jeśli istnieje między nimi izomorfizm pierścienia. Pierścienie izomorficzne można uważać za zasadniczo takie same, tylko z różnymi etykietami na poszczególnych elementach.

rng

RNG kwadratowy zera : a RNG w którym XY = 0 dla wszystkich x i y . Są one czasami nazywane także zerowe pierścienie , choć zwykle nie mają 1. Określenie „RNG” ma sugerować, że jest to „r I ng” bez „ í dentity”.

S

samowstrzyknięcie

Pierścień R jest lewy siebie za pomocą wstrzyknięć czy moduł _R R jest modułem pomocą wstrzyknięć . Chociaż pierścienie z jednością są zawsze rzutowane jako moduły, nie zawsze są iniekcyjne jako moduły.

semiperfect

Semiperfect pierścień jest pierścieniem R tak, że dla Jacobson rodnikowej z R (1) jest półprosty oraz (2) idempotents podnieść modulo . ${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle R / J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$

półpodstawowy

Semiprimary pierścień jest pierścieniem R tak, że dla Jacobson rodnikowej z R (1) jest półprosty oraz (2) jest nilpotent idealny . ${\ Displaystyle J (R)}$${\ Displaystyle R / J (R)}$${\ Displaystyle J (R)}$

półprime

1. Pierścionek półpierwszy to pierścień, w którym jedynym zerowym ideałem jest trywialny ideał . Pierścień przemienny jest półpierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest zmniejszony. ${\ displaystyle \ {0 \}}$

2. idealnym I pierścienia R jest Liczba Półpierwsza jeżeli dla każdej idealnej A z R , oznacza . Równoważnie, I jest półpierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierścieniem półpierwszym. ${\ Displaystyle A ^ {n} \ subseteq I}$${\ Displaystyle A \ subseteq I}$${\ displaystyle R / I}$

półprymitywne

Semiprimitive pierścień lub Jacobson półprosty pierścieniem jest pierścień, którego Jacobson rodnik zero. Pierścienie regularne i pierścienie prymitywne von Neumanna są półprymitywne, jednak pierścienie quasi-Frobeniusa i pierścienie lokalne zwykle nie są półprymitywne.

semestr

Semiring  : algebraiczne strukturę spełniającą te same właściwości jak w pierścieniu, z wyjątkiem, że dodatek muszą być tylko abelowa monoid operacji, raczej niż abelowa działanie grupy. Oznacza to, że elementy w semirowaniu nie muszą mieć addytywnych odwrotności.

półproste

Półprosty pierścień jest Artinian pierścienia R , który jest skończony produkt o prostych pierścieni Artinian; innymi słowy, jest to półprosty lewy moduł R.

rozdzielny

Oddzielić Algebra jest asocjacyjny Algebra którego napinacz kwadratowych przyznaje się idempotentnych wyodrębnienia .

seryjny

Prawy pierścień szeregowy to pierścień, który jest prawym modułem szeregowym nad sobą.

Severi – Brauer

Odmiany Severi-Brauer jest algebraiczna odmiany związane z danym centrum prosty Algebra.

prosty

1. Prosty pierścień to niezerowy pierścień, który ma tylko trywialne dwustronne ideały (ideał zerowy, sam pierścień i nic więcej) jest prostym pierścieniem .

2. Prosta algebra to algebra asocjacyjna, która jest prostym pierścieniem.

subring

Podpierścień jest podzbiór S z pierścienia ( R , + x), który pozostaje przy pierścień + i x są ograniczone do S i zawiera zwielokrotniony tożsamości 1 z R .

algebra symetryczna

1. Algebra symetryczna przestrzeni wektorowej lub modułu V jest ilorazem algebry tensorowej V przez ideał generowany przez elementy postaci . ${\ Displaystyle x \ otimes yy \ otimes x}$

2. Algebra stopniowo-symetryczna przestrzeni wektorowej lub modułu V jest wariantem algebry symetrycznej, która jest konstruowana z uwzględnieniem stopniowania.

Domena Sylvester

Sylvester domena jest pierścień, w którym prawo Sylvester nieważności trzyma.

T

napinacz

Algebra produkt napinacz asocjacyjnego algebrach jest produktem napinacz z algebrach jako modułów z mnożenia składnik

Algebra tensor z przestrzeni wektorowej lub moduł V jest bezpośrednim suma wszystkich uprawnień tensorowych z mnożenia podanych przez tensor produktu. ${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$

trywialny

1. Trywialnym ideałem jest albo zero, albo ideał jednostki.

2. Pierścień trywialny lub pierścień zerowy to pierścień składający się z pojedynczego elementu 0 = 1 .

U

jednostka

jednostka lub element odwracalny  : element r pierścienia R jest jednostką, jeśli istnieje element r ⁻¹ taki, że rr ⁻¹ = r ⁻¹ r = 1 . Element ten R ^-1 jest jednoznacznie określony przez r i nazywany jest zwielokrotniony odwrócony o r . Zbiór jednostek tworzy grupę podlegającą mnożeniu.

jedność

Termin „jedność” to inna nazwa multiplikatywnej tożsamości.

wyjątkowy

Unikatowe domeny faktoryzacji lub silnia pierścień jest integralną domeny R , w którym każdy niezerowy non jednostka element może być zapisane jako produkt pierwszych elementów z R .

jednostajny

Prawy jedseryjny pierścień to pierścień, który jest prawym jednostkowym modułem nad sobą samym. Przemienny pierścień uniserial jest również nazywany pierścieniem wyceny .

V

element regularny von Neumanna

1.   Element regularny von Neumanna  : Element r pierścienia R jest regularny von Neumanna, jeśli istnieje element x z R taki, że r = rxr .

2. Regularny pierścień von Neumanna : Pierścień, dla którego każdy element a można wyrazić jako a = axa dla innego elementu x w pierścieniu. Półproste pierścienie są regularne von Neumanna.

Z

zero

Zera pierścień : pierścień składający się tylko z jednego elementu, 0 = 1 , zwany również trywialne pierścień . Czasami „pierścień zerowy” jest alternatywnie używany do oznaczenia rng zera kwadratowego .

Zobacz też

• Słowniczek teorii modułów

Uwagi

Bibliografia

• Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Rings and category of modules , Graduate Texts in Mathematics , 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN   0-387-97845-3 , MR   1245487
• Artin, Michael (1999). „Pierścienie nieprzemienne” (PDF) .
• Grothendieck Alexandre ; Dieudonné Jean (1964). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . MR   0173675 .
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (wyd. 2), Dover
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 2 (wyd. 2), Dover
• Nathan Jacobson, Struktura pierścieni