Półgrupa - Semigroup

W matematyce półgrupa jest strukturą algebraiczną składającą się ze zbioru wraz z asocjacyjną operacją binarną .

Operacja binarna półgrupy jest najczęściej oznaczana multiplikatywnie : x · y , lub po prostu xy , oznacza wynik zastosowania operacji półgrupy do uporządkowanej pary ( x , y ) . Zespolenie jest formalnie wyrażone jako że ( x · y ) · z = x · ( y · z ) dla wszystkich x , Y i Z w półgrupa.

Półgrupy można uznać za szczególny przypadek magm , gdzie operacja jest asocjacyjna lub jako uogólnienie grup , bez konieczności istnienia elementu tożsamości lub odwrotności. Podobnie jak w przypadku grup lub magm, operacja półgrupy nie musi być przemienna , więc x · y niekoniecznie jest równe y · x ; dobrze znanym przykładem operacji asocjacyjnej, ale nieprzemiennej jest mnożenie macierzy . Jeżeli działanie półgrupy jest przemienne, to półgrupę nazywamy półgrupą przemienną lub (rzadziej niż w analogicznym przypadku grup ) można ją nazywać półgrupą abelową .

Monoid jest algebraiczna struktury pośrednim między grupami i półgrup i jest półgrupa mające element neutralny , zatem do wypełniania wszystkich oprócz jednej z axioms z grupy: Istnienie odwrotności nie jest wymagana z monoid. Naturalnym przykładem są ciągi z konkatenacją jako operacją binarną i pustym ciągiem jako elementem tożsamości. Ograniczenie do niepustych ciągów daje przykład półgrupy, która nie jest monoidem. Liczby całkowite dodatnie z dodatkiem tworzą przemienną półgrupę, która nie jest monoidem, podczas gdy liczby całkowite nieujemne tworzą monoid. Półgrupę bez elementu tożsamości można łatwo przekształcić w monoid, po prostu dodając element tożsamości. W konsekwencji monoidy są badane raczej w teorii półgrup niż w teorii grup. Półgrup nie należy mylić z quasigrupami , które są uogólnieniem grup w innym kierunku; działanie w quasigrupie nie musi być asocjacyjne, ale quasigrupy zachowują przed grupami pojęcie podziału . Podział na półgrupy (lub na monoidy) na ogół nie jest możliwy.

Formalne badanie półgrup rozpoczęło się na początku XX wieku. Wczesne wyniki obejmują twierdzenie Cayleya dla półgrup realizujących dowolną półgrupę jako półgrupę transformacyjną , w której funkcje arbitralne zastępują rolę bijekcji z teorii grup. Głębokim wynikiem w klasyfikacji półgrup skończonych jest teoria Krohna-Rhodesa , analogiczna do rozkładu Jordana-Höldera dla grup skończonych. Niektóre inne techniki badania półgrup, takie jak relacje Greena , nie przypominają niczego w teorii grup.

Teoria półgrup skończonych ma szczególne znaczenie w informatyce teoretycznej od lat pięćdziesiątych ze względu na naturalny związek między półgrupami skończonymi a automatami skończonymi poprzez monoid syntaktyczny . W teorii prawdopodobieństwa półgrupy są powiązane z procesami Markowa . W innych obszarach matematyki stosowanej półgrupy są podstawowymi modelami liniowych systemów niezmienniczych w czasie . W równaniach różniczkowych cząstkowych półgrupa jest powiązana z dowolnym równaniem, którego ewolucja przestrzenna jest niezależna od czasu.

Istnieje wiele specjalnych klas półgrup , półgrup o dodatkowych właściwościach, które występują w konkretnych zastosowaniach. Niektóre z tych klas są jeszcze bliższe grupom, ponieważ wykazują pewne dodatkowe, ale nie wszystkie właściwości grupy. Spośród nich wymienić: regularność , ortodoksyjnych półgrup , półgrup z inwolucji , odwrotnych półgrup i cancellative półgrup . Istnieją również interesujące klasy półgrup, które nie zawierają żadnych grup poza grupą trywialną ; przykładem tego drugiego rodzaju są wstęgi i ich przemienna podklasa — semisieci , które są również uporządkowanymi strukturami algebraicznymi .

Struktury algebraiczne
Grupa -like Grupa Półgrupa  / Monoid Stojak i kwantowa Quasigrupa i pętla Grupa abelowa Magma Grupa kłamstw Teoria grup
pierścień -like Dzwonić Rng Semiring Blisko pierścienia Pierścień przemienny Domena integralna Pole Pierścień dywizji Teoria pierścieni
Krata -like Krata Semisiatka Uzupełniona krata Całkowite zamówienie Algebra Heyting Algebra Boole'a Mapa krat Teoria sieci
Moduł podobny Moduł Grupuj z operatorami Przestrzeń wektorowa Algebra liniowa
Algebra -like Algebra Asocjacyjny Nieskojarzone Algebra kompozycji Algebra kłamstwa Ocenione Bialgebra
v T mi

Definicja

Półgrupa jest zbiorem wraz z operacją binarną " " (czyli funkcją ) spełniającą właściwość asocjacji : ${\displaystyle S}$${\displaystyle \cdot}$ ${\ Displaystyle \ cdot: S \ razy S \ rightarrow S}$

Dla wszystkich równanie jest prawdziwe.${\displaystyle a,b,c\w S}$${\ Displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Mówiąc prościej, półgrupa jest magmą asocjacyjną .

Przykłady półgrup

• Pusta półgrupa : pusty zbiór tworzy półgrupę z pustą funkcją jako operacją binarną.
• Półgrupa z jednym elementem : jest zasadniczo tylko jeden (konkretnie tylko jeden aż do izomorfizmu ), singleton { a } z operacją a · a = a .
• Półgrupa z dwoma elementami : jest pięć, które są zasadniczo różne.
• Monoid „flip-flop”: półgrupa z trzema elementami reprezentująca trzy operacje na przełączniku - ustaw, zresetuj i nic nie rób.
• Zbiór liczb całkowitych dodatnich z dodawaniem. (Po uwzględnieniu 0 staje się monoidem .)
• Zbiór liczb całkowitych z minimum lub maksimum. (Z uwzględnieniem nieskończoności dodatniej/ujemnej, staje się to monoidem).
• Nieujemne macierze kwadratowe o zadanym rozmiarze z mnożeniem macierzy.
• Każdy idealny z pierścieniem z mnożenia pierścienia.
• Zbiór wszystkich skończonych ciągów nad ustalonym alfabetem Σ z konkatenacją ciągów jako operacją na półgrupach — tak zwana „ półgrupa wolna nad Σ”. Uwzględniając pusty ciąg, ta półgrupa staje się wolnym monoidem nad Σ.
• Rozkład prawdopodobieństwa K razem wszystkie moce splotu F, ze splotu, jak operacji. Nazywa się to półgrupą splotową.
• Półgrupa transformacji i monoids .
• Zbiór funkcji ciągłych od przestrzeni topologicznej do samej siebie wraz z kompozycją funkcji tworzy monoid z funkcją tożsamościową pełniącą funkcję tożsamości. Bardziej ogólnie, endomorfizmy dowolnego obiektu kategorii tworzą monoid w składzie.
• Iloczyn ścian układu hiperpłaszczyzn .

Podstawowe koncepcje

Tożsamość i zero

Lewej identyczność z półgrupa (lub, bardziej ogólnie, magmy ) jest elementem tak, że dla wszystkich w , . Podobnie właściwa tożsamość jest elementem takim, że dla wszystkich w , . Tożsamości lewe i prawe nazywane są tożsamościami jednostronnymi . Półgrupa może mieć jedną lub więcej tożsamości lewicowych, ale nie może mieć tożsamości prawicowej i vice versa. ${\displaystyle S}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle ex=x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle xf=x}$

Dwustronny tożsamości (lub po prostu tożsamości ) jest elementem, który jest zarówno lewy i prawy tożsamość. Półgrupy o tożsamości dwustronnej nazywane są monoidami . Półgrupa może mieć co najwyżej jedną tożsamość dwustronną. Jeśli półgrupa ma tożsamość dwustronną, to tożsamość dwustronna jest jedyną tożsamością jednostronną w półgrupie. Jeśli półgrupa ma zarówno tożsamość lewą, jak i prawą, to ma tożsamość dwustronną (która jest zatem tożsamością unikalną jednostronną).

Półgrupa bez tożsamości może być osadzona w monoidzie utworzonym przez przyłączenie elementu do i zdefiniowanie dla wszystkich . Notacja oznacza monoid uzyskany przez przyłączenie tożsamości, jeśli to konieczne ( dla monoidu). ${\displaystyle S}$${\displaystyle e\notin S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle e \ cdot s = s \ cdot e = s}$${\ Displaystyle s \ w S \ filiżanka \ {e \}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1} = S}$

Podobnie, każda magma ma co najwyżej jeden element absorbujący , który w teorii półgrup nazywa się zerem . Analogicznie do powyższej konstrukcji, dla każdej półgrupy można zdefiniować półgrupę z 0, która zawiera . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {0}}$${\displaystyle S}$

Podsemigrupy i ideały

Operacja półgrupy indukuje operację na zbiorze jej podzbiorów: dane podzbiory A i B półgrupy S , ich iloczyn A · B , pisany powszechnie jako AB , jest zbiorem { ab | a w A i b w B }. (Pojęcie to jest zdefiniowane identycznie jak dla grup .) W warunkach tej operacji podzbiór A jest nazywany

• subsemigroup czy AA jest podzbiorem A ,
• prawo idealny jeśli AS jest podzbiorem A , i
• lewej idealny jeśli SA jest podzbiorem A .

Jeśli A jest zarówno ideałem lewicowym, jak i prawym, to nazywamy go ideałem (lub ideałem dwustronnym ).

Jeśli S jest półgrupą, to przecięcie dowolnego zbioru podpółgrupy S jest również podpółgrupą S . Tak więc podpółgrupy S tworzą kompletną sieć .

Przykładem półgrupy bez ideału minimalnego jest zbiór dodatnich liczb całkowitych przy dodawaniu. Minimalnym ideałem przemiennej półgrupy, jeśli istnieje, jest grupa.

Relacje Greena , zbiór pięciu relacji równoważności, które charakteryzują elementy pod względem generowanych przez nie głównych ideałów , są ważnymi narzędziami do analizy ideałów półgrupy i powiązanych pojęć struktury.

Podzbiór posiadający właściwość, że każdy element komutuje z dowolnym innym elementem półgrupy, nazywany jest środkiem półgrupy. Środek półgrupy jest w rzeczywistości podpółgrupą.

Homomorfizmy i kongruencje

A półgrupa homomorfizm jest funkcją konstrukcji Zachowuje półgrupa. Funkcja f : S → T między dwiema półgrupami jest homomorfizmem, jeśli równanie

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

obowiązuje dla wszystkich elementów a , b w S , tj. wynik jest taki sam w przypadku wykonania operacji semigroup po lub przed zastosowaniem odwzorowania f .

Półgrupowy homomorfizm między monoidami zachowuje identyczność, jeśli jest homomorfizmem monoidu . Ale istnieją homomorfizmy półgrupowe, które nie są homomorfizmami monoidalnymi, np. kanoniczne osadzenie półgrupy bez identyczności w . W dalszej części omówiono warunki charakteryzujące homomorfizmy monoidów. Niech będzie homomorfizmem półgrupowym. Wizerunek jest również półgrupą. Jeśli jest monoidem z elementem tożsamości , to jest elementem tożsamości w obrazie . Jeżeli jest również monoidem z elementem tożsamościowym i należy do obrazu , to , czyli jest homomorfizmem monoidu. W szczególności, jeśli jest surjektywna , to jest homomorfizmem monoidalnym. ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\displaystyle f:S_{0}\do S_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle f(e_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Dwa półgrupy S i T są określane jako izomorficzna jeśli istnieje bijective półgrupa Homomorfizm f  : S → T . Półgrupy izomorficzne mają taką samą strukturę.

A półgrupa kongruencja jest relacją równoważności , która jest zgodna z funkcjonowaniem półgrupa. To znaczy podzbiór, który jest relacją równoważności i implikuje dla każdego w S . Jak każda relacja równoważności, zgodność półgrupowa indukuje klasy zgodności${\displaystyle \sim}$${\ Displaystyle \ sim \; \ podseteq S \ razy S}$${\displaystyle x\sim y\,}$${\displaystyle u\sim v\,}$${\displaystyle xu\sim yv\,}$${\displaystyle x,y,u,v}$${\displaystyle \sim}$

${\ Displaystyle [a] _ {\ sim} = \ {x \ w S \ mid x \ sim a \}}$

a operacja półgrupowa indukuje operację binarną na klasach kongruencji: ${\displaystyle \circ}$

${\ Displaystyle [u] _ {\ sim} \ circ [v] _ {\ sim} = [uv]_ {\ sim}}$

Ponieważ jest kongruencją, zbiór wszystkich klas kongruencji tworzy półgrupę z , zwaną półgrupą ilorazową lub półgrupą czynnikową i oznaczoną . Odwzorowanie jest homomorfizmem półgrupowym, zwanym mapą ilorazową , kanoniczną surjekcją lub projekcją ; jeśli S jest monoidem to półgrupa ilorazowa jest monoidem o identyczności . I odwrotnie, jądro dowolnego homomorfizmu półgrupowego jest kongruencją półgrupową. Wyniki te są niczym innym jak uszczegółowieniem pierwszego twierdzenia o izomorfizmie w algebrze uniwersalnej . Klasy kongruencji i monoidy czynnikowe są przedmiotem badań w systemach przepisywania ciągów . ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle S/\!\!\sim}$${\ Displaystyle x \ mapsto [x] _ {\ sim}}$${\displaystyle [1]_{\sim}}$

Zbieżność jądrowej na S jest taka, która jest jądro o endomorfizm z S .

Półgrupa S spełnia warunek maksymalny na kongruencjach, jeśli jakakolwiek rodzina kongruencji na S , uporządkowana według inkluzji, ma element maksymalny. Zgodnie z lematem Zorna , jest to równoznaczne z stwierdzeniem, że warunek rosnącego łańcucha jest spełniony : nie ma nieskończonego ściśle rosnącego łańcucha kongruencji na S .

Każdy ideał I półgrupy indukuje półgrupę czynnika, półgrupę czynnika Reesa , poprzez kongruencję ρ zdefiniowaną przez x ρ y , jeśli albo x = y , albo oba x i y są w I .

Iloraz i podziały

Poniższe pojęcia wprowadzają ideę, że półgrupa jest zawarta w innej.

Półgrupa T jest ilorazem półgrupy S, jeśli istnieje suriektywny morfizm półgrupy od S do T . Na przykład jest ilorazem , używając morfizmu polegającego na wzięciu reszty modulo 2 liczby całkowitej. ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z} +)}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} +)}$

Półgrupa T dzieli półgrupę S , zaznaczoną jeśli T jest ilorazem podpółgrupy S . W szczególności podpółgrupy S dzielą T , podczas gdy niekoniecznie istnieje iloraz S . ${\displaystyle T\preceq S}$

Obie te relacje są przechodnie.

Struktura półgrup

Dla każdego podzbioru A z S istnieje najmniejsza podpółgrupa T z S, która zawiera A i mówimy, że A generuje T . Pojedynczy element x z S generuje podpółgrupę { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }. Jeśli to jest skończone, to mówi się, że x jest porządku skończonego , w przeciwnym razie jest porządku nieskończonego . Mówi się, że półgrupa jest okresowa, jeśli wszystkie jej elementy mają skończony porządek. Mówi się, że półgrupa generowana przez pojedynczy element jest monogeniczna (lub cykliczna ). Jeśli jednogenowa półgrupa jest nieskończona, to jest izomorficzna z półgrupą dodatnich liczb całkowitych z operacją dodawania. Jeśli jest skończony i niepusty, musi zawierać co najmniej jeden idempotent . Wynika z tego, że każda niepusta okresowa półgrupa ma przynajmniej jedną idempotentną.

Podpółgrupa, która jest również grupą, nazywana jest podgrupą . Istnieje ścisły związek między podgrupami półgrupy a jej idempotentami. Każda podgrupa zawiera dokładnie jeden idempotent, a mianowicie element tożsamości podgrupy. Dla każdego idempotentnego e półgrupy istnieje unikalna maksymalna podgrupa zawierająca e . Każda maksymalna podgrupa powstaje w ten sposób, więc istnieje zależność jeden do jednego między idempotentami a maksymalnymi podgrupami. Tutaj termin maksymalna podgrupa różni się od jego standardowego użycia w teorii grup.

Często można powiedzieć więcej, gdy kolejność jest skończona. Na przykład każda niepusta półgrupa skończona jest okresowa i ma minimalny ideał i co najmniej jedną idempotentną. Liczba półgrup skończonych o danej wielkości (większej niż 1) jest (oczywiście) większa niż liczba grup tej samej wielkości. Na przykład z szesnastu możliwych „tabli mnożenia” dla zbioru dwóch elementów {a, b} osiem półgrup form, podczas gdy tylko cztery z nich są monoidami i tylko dwie grupy form. Więcej informacji na temat struktury półgrup skończonych można znaleźć w teorii Krohna-Rhodesa .

Specjalne klasy półgrup

• Monoid jest półgrupa z elementem tożsamości .
• Grupa jest półgrupa z elementu osobistego oraz element odwrotny .
• Podsemigrupa to podzbiór półgrupy, który jest zamknięty w ramach operacji półgrupy.
• Cancellative półgrupa jest polimer o właściwości usuwania : · b = · C oznacza b = c podobnie do b · = C · .
• Zespół jest półgrupa którego działanie jest idempotent .
• Semilattice jest półgrupa którego działanie jest idempotent i przemienne .
• 0-proste półgrupy.
• Półgrupy przekształceń : każda skończona półgrupa S może być reprezentowana przez przekształcenia zbioru (stanu-) Q o co najwyżej | S | + 1 stany. Każdy element x z S następnie odwzorowuje Q na siebie x : Q → Q , a sekwencja xy jest określona przez q ( xy ) = ( qx ) y dla każdego q w Q . Sekwencjonowanie jest oczywiście operacją skojarzeniową, równoważną tutaj z kompozycją funkcji . Ta reprezentacja jest podstawowa dla każdego automatu lub maszyny skończonej (FSM).
• Bicykliczny półgrupa jest w rzeczywistości monoid, które mogą być opisane jako wolnej półgrupa w dwa generatory P i Q , zgodnie z relacją pq = 1 .
• C ₀ -półgrupy .
• Regularne półgrupy . Każdy element x ma co najmniej jedną odwrotność y spełniającą xyx = x i yxy = y ; elementy x i y są czasami nazywane „wzajemnie odwrotnymi”.
• Półgrupy odwrotne to półgrupy regularne, w których każdy element ma dokładnie jedną odwrotność. Alternatywnie, regularna półgrupa jest odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa idempotenty dojeżdżają.
• Półgrupa afiniczna: półgrupa, która jest izomorficzna do skończenie generowanej podpółgrupy Z ^d . Te półgrupy mają zastosowanie do algebry przemiennej .

Twierdzenie o strukturze dla półgrup przemiennych

Istnieje twierdzenie o strukturze dla półgrup przemiennych w kategoriach półsieci . Semi-sieć (a ściślej półsiatka) to częściowo uporządkowany zbiór, w którym każda para elementów ma największe ograniczenie dolne , oznaczone jako . Operacja tworzy półgrupę spełniającą dodatkowe prawo idempotencji . ${\displaystyle (L,\leq)}$${\displaystyle a,b\wl}$${\displaystyle a\klin b}$${\ Displaystyle \ klin}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle a \ klin a = a}$

Biorąc pod uwagę homomorfizm od arbitralnej półgrupy do półsieci, każdy odwrócony obraz jest (prawdopodobnie pustą) półgrupą. Ponadto jest oceniany przez , w tym sensie, że ${\ Displaystyle f: S \ do L}$${\ Displaystyle S_ {a} = f ^ {-1} \ {a \}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle S_ {a} S_ {b} \ podseteq S_ {a \ klin b}.}$

Jeżeli jest na The semilattice jest izomorficzny z ilorazu z relacją równoważności , tak że tylko wtedy, gdy . Ta relacja równoważności jest kongruencją półgrupową, jak zdefiniowano powyżej. ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle x\sim y}$${\ Displaystyle f (x) = f (y)}$

Ilekroć bierzemy iloraz przemiennej półgrupy przez przystawność, otrzymujemy kolejną przemienną półgrupę. Twierdzenie o strukturze mówi, że dla każdej przemiennej półgrupy , istnieje najdelikatniejsza zgodność taka, że ​​iloraz tej relacji równoważności jest półsiecią. Oznaczając przez tę semilattice , otrzymujemy homomorfizm z na . Jak wspomniano, jest stopniowane według tej półsieci. ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle S}$

Ponadto wszystkie komponenty są półgrupami Archimedesa . Półgrupa Archimedesa to taka, w której przy danej parze pierwiastków istnieje pierwiastek i to takie . ${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$${\ Displaystyle x ^ {n} = yz}$

Własność Archimedesa wynika bezpośrednio z uporządkowania w półsieci , ponieważ z tym uporządkowaniem mamy wtedy i tylko wtedy, gdy dla niektórych i . ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$${\ Displaystyle x ^ {n} = yz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n>0}$

Grupa ułamków

Grupa frakcji i zakończenia grupy o półgrupa S jest grupa G = G ( S ) generowane przez elementy S jak generatory i wszystkich równań XY = Ż , które są prawdziwe w S w stosunkach . Istnieje oczywisty homomorfizm półgrupowy j  : S → G ( S ), który wysyła każdy element S do odpowiedniego generatora. Ma to uniwersalną własność dla morfizmów od S do grupy: przy dowolnej grupie H i dowolnym homomorfizmie półgrupy k  : S → H , istnieje unikalny homomorfizm grup f  : G → H z k = fj . Możemy myśleć o G jako o „najogólniejszej” grupie zawierającej homomorficzny obraz S .

Ważnym pytaniem jest scharakteryzowanie tych półgrup, dla których ta mapa jest osadzeniem. Nie zawsze musi tak być: na przykład weźmy S jako półgrupę podzbiorów pewnego zbioru X z przecięciem teoretycznym jako operacją binarną (jest to przykład półsieci). Od A . A = A obowiązuje dla wszystkich elementów S , musi to być również prawdą dla wszystkich generatorów G ( S ) : jest to zatem grupa trywialna . Dla możliwości osadzania jest wyraźnie konieczne, aby S miał właściwość anulowania . Gdy S jest przemienne, warunek ten jest również wystarczający i grupa Grothendiecka półgrupy zapewnia konstrukcję grupy ułamków. Problem dla nieprzemiennych półgrup można prześledzić do pierwszego merytorycznego artykułu o półgrupach. Anatolij Malcew dał konieczne i wystarczające warunki do osadzenia w 1937 roku.

Metody półgrupowe w równaniach różniczkowych cząstkowych

Teoria półgrup może być wykorzystana do badania niektórych problemów z zakresu równań różniczkowych cząstkowych . Z grubsza mówiąc, podejście półgrupowe polega na traktowaniu zależnego od czasu cząstkowego równania różniczkowego jako zwykłego równania różniczkowego w przestrzeni funkcji. Rozważmy na przykład następujący problem z wartością początkową/graniczną dla równania ciepła w przedziale przestrzennym (0, 1) ⊂ R i czasach t ≥ 0 :

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ częściowy _ {t} u (t, x) = \ częściowy _ {x} ^ {2} u (t, x), & x \ w (0,1), t> 0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0 ,1),t=0.\koniec{przypadków}}}$

Niech X = L ² ((0, 1), R ) BE L ^p przestrzeń czworokątnej zabudowy wartościach rzeczywistych funkcji w domenie przedział (0, 1) i pozwolić za drugą pochodną operator z domeny

${\ Displaystyle D (A) = {\ duży \ {} u \ w H ^ {2} ((0, 1); \ mathbf {R} ) {\ duży |} u (0) = u (1) = 0{\duży \}},}$

gdzie H ² jest przestrzenią Sobolewa . Wtedy powyższy problem z wartością początkową/graniczną można zinterpretować jako problem z wartością początkową dla równania różniczkowego zwyczajnego na przestrzeni X :

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} {\ kropka {u}} (t) = Au (t); \ \ u (0) = u_ {0}. \ koniec {przypadki}}}$

Na poziomie heurystycznym rozwiązaniem tego problemu „powinno” być u ( t ) = exp( tA ) u ₀ . Jednak dla rygorystycznego traktowania sens musi być podane do wykładniczą z tA . Jako funkcja t , exp( tA ) jest półgrupą operatorów od X do samego siebie, przyjmując stan początkowy u ₀ w czasie t = 0 do stanu u ( t ) = exp( tA ) u ₀ w czasie t . Mówi się, że operator A jest nieskończenie małym generatorem półgrupy.

Historia

Badanie półgrup pozostało w tyle za innymi strukturami algebraicznymi z bardziej złożonymi aksjomatami, takimi jak grupy czy pierścienie . Wiele źródeł przypisuje pierwsze użycie tego terminu (w języku francuskim) J.-A. de Séguier w Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementy teorii grup abstrakcyjnych) w 1904. Termin ten jest używany w języku angielskim w 1908 w Teorii grup skończonego porządku Harolda Hintona .

Anton Sushkevich uzyskał pierwsze nietrywialne wyniki dotyczące półgrup. Jego praca z 1928 r. „Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit” („O grupach skończonych bez reguły unikalnej odwracalności”) określiła strukturę skończonych prostych półgrup i pokazała, że ​​minimalny ideał (lub relacje klasy J Greena ) skończona półgrupa jest prosta. Od tego momentu fundamenty teorii półgrup położyli David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford i Gordon Preston . Dwaj ostatni opublikowali dwutomową monografię teorii półgrup odpowiednio w 1961 i 1967 roku. W 1970 roku nowe pismo o nazwie Semigroup Forum (obecnie redagowane przez Springer Verlag ) stało się jednym z nielicznych pism matematycznych poświęconych wyłącznie teorii półgrup.

Reprezentacja teoria półgrup został opracowany w 1963 roku przez Borysa Schein użyciu relacji binarnych na zbiorze A i złożenie relacji do produktu półgrupa. Na konferencji w 1972 algebraicznych Schein badanych literaturę na temat B _A , w półgrupa stosunków na A . W 1997 Schein i Ralph McKenzie udowodnili, że każda półgrupa jest izomorficzna z przechodnią półgrupą relacji binarnych.

W ostatnich latach badacze w tej dziedzinie stali się bardziej wyspecjalizowani w dedykowanych monografiach pojawiających się na temat ważnych klas półgrup, takich jak półgrupy odwrotne , a także monografiach skupiających się na zastosowaniach w teorii automatów algebraicznych , szczególnie dla automatów skończonych, a także w analizie funkcjonalnej .

Uogólnienia

Struktury grupowe
	Całość	Łączność	Tożsamość	Odwracalność	Przemienność
Semigroupoid	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Mała kategoria	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Groupoid	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Magma	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Quasigrupa	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne
Jednolita Magma	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Pętla	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Półgrupa	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Odwrotna półgrupa	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany	Niepotrzebne
Monoid	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Niepotrzebne
Monoid przemienny	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne	Wymagany
Grupa	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Niepotrzebne
Grupa abelowa	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany	Wymagany
^α Zamknięcie, które jest używane w wielu źródłach, jest równoważnym aksjomatem dla całości, choć różnie definiowanym.

Jeśli aksjomat asocjatywności półgrupy zostanie odrzucony, wynikiem jest magma , która jest niczym innym jak zbiorem M wyposażonym w operację binarną, która jest domknięta M × M → M .

Uogólniając w innym kierunku, n- arna półgrupa (również n- półgrupa , półgrupa poliadyczna lub wieloargumentowa półgrupa ) jest uogólnieniem półgrupy do zbioru G z n- argumentową operacją zamiast operacji binarnej. Prawo asocjacji jest uogólnione w następujący sposób: trójskładnikowa asocjatywność to ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , tj. łańcuch abcde z dowolnymi trzema sąsiadującymi elementami w nawiasach. Łączność N- argumentowa to łańcuch o długości n + ( n − 1 ) z dowolnymi n sąsiednimi elementami w nawiasach. Dwuargumentowa półgrupa jest po prostu półgrupą. Dalsze aksjomaty prowadzą do n- arnej grupy .

Trzecie uogólnienie to semigroupoid , w którym zniesiony jest wymóg, aby relacja binarna była całkowita. Ponieważ kategorie uogólniają monoidy w ten sam sposób, semigroupoid zachowuje się podobnie do kategorii, ale brakuje mu tożsamości.

Nieskończone uogólnienia półgrup przemiennych były czasami rozważane przez różnych autorów.

Zobacz też

• Element absorbujący
• Zestaw dwukierunkowy
• Pusta półgrupa
• Uogólnione odwrotność
• Element tożsamości
• Test asocjacji światła
• Kwantowa półgrupa dynamiczna
• Pierścień półgrupy
• Słaby odwrotny

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Ogólne odniesienia

• Howie, John M. (1995). Podstawy teorii półgrup . Clarendon Prasa . Numer ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl  0835.20077 .
• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961). Algebraiczna teoria półgrup . 1 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-0271-7. Zbl  0111.03403 .
• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. Algebraiczna teoria półgrup . 2 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Kratka, Pierre Antoine (1995). Półgrupy: Wprowadzenie do teorii struktury . Marcela Dekkera. Numer ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl  0830.20079 .
• Grillet, Pierre Antoine (2001). Półgrupy przemienne . Springer Verlag. Numer ISBN 978-0-7923-7067-3. Zbl  1040.20048 .
• Hollings, Krzysztof (2009). „Wczesny rozwój teorii algebraicznej półgrup”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 63 : 497-536. doi : 10.1007/s00407-009-0044-3 .
• Hollings, Krzysztof (2014). Matematyka przez żelazną kurtynę: historia algebraicznej teorii półgrup . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-1-4704-1493-1. Zbl  1317.20001 .
• Petrich, Mario (1973). Wprowadzenie do półgrup . Charlesa E. Merrilla. Numer ISBN 978-0-675-09062-9. Zbl  0321.20037 .

Konkretne referencje

• Feller, William (1971). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań . II (wyd. 2). Wileya. MR  0270403 .
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974). Analiza funkcjonalna i półgrupy . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0821874646. MR  0423094 .
• Suschkewitsch, Anton (1928). Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit . Matematyka Annalen . 99 . s. 30–50. doi : 10.1007/BF01459084 . hdl : 10338.dmlcz/100078 . ISSN  0025-5831 . MR  1512437 .
• Kantorowic, Szmul (2009). Tematy w półgrupach operatorów . Skoczek. Numer ISBN 978-0-8176-4932-6. Zbl  1187.47003 .
• Jacobson, Nathan (2009). Algebra podstawowa . 1 (wyd. 2). Dover. Numer ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lawson, Mark V. (1998). Półgrupy odwrotne: teoria symetrii cząstkowych . Światowy Naukowy. Numer ISBN 978-981-02-3316-7. Zbl  1079.20505 .
• Lothaire, M. (2011) [2002]. Kombinatoryka algebraiczna na słowach . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 90 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl  1221,68183 .