Algebra kompozycji - Composition algebra

W matematyce , A Kompozycja Algebra na polu $K$ jest niekoniecznie asocjacyjny Algebra nad $K$ wraz z niezdegenerowanych kwadratowego postaci $N$ , która spełnia wyrażenie

{\ Displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}

dla wszystkich $x$ i $y$ w $A$ .

Algebra złożona zawiera inwolucję zwaną koniugacją : forma kwadratowa nazywana jest normą algebry. ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {*}.}$ ${\ Displaystyle N (x) = xx ^ {*}}$

Algebra złożeń ( A , ∗ , N ) jest albo algebrą dzielenia albo algebrą dzielenia , w zależności od istnienia niezerowego v w A , takiego , że N ( v ) = 0 , nazywanego wektorem zerowym . Gdy x jest nie zerowy wektor The Liczba odwrotna od x jest . Gdy istnieje niezerowy wektor zerowy, N jest izotropową formą kwadratową i „algebrą dzieli się”. ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Twierdzenie o strukturze

Każdy unital kompozycja Algebra nad polem $K$ można otrzymać przez powtarzalne stosowanie konstrukcji Cayley-Dickson , począwszy od $K$ (jeśli cecha z $k$ jest różne od $2$ ) lub 2-wymiarowe kompozycja podalgebrą (jeśli $znak (K) = 2$ ) . Możliwe wymiary algebry kompozycji to $1$ , $2$ , $4$ i $8$ .

Algebry jednowymiarowe istnieją tylko wtedy, gdy $char(K) \neq 2$ .
Algebry kompozycyjne wymiaru 1 i 2 są przemienne i asocjacyjne.
Algebry kompozycja o wymiarze 2 są albo kwadratowe rozszerzenie ciała z $K$ lub izomorficzna $K \oplus K$ .
Algebry składu o wymiarze 4 nazywane są algebrami kwaternionów . Są asocjacyjne, ale nie przemienne.
Algebry składu wymiaru 8 nazywane są algebrami oktononu . Nie są ani asocjacyjne, ani przemienne.

Dla spójnej terminologii algebry o wymiarze 1 nazwano unarion , a o wymiarze 2 binarion .

Instancje i użycie

Gdy za ciało $K$ przyjmuje się liczby zespolone $C$ i formę kwadratową $z 2$ , to cztery algebry złożeń nad $C$ to $samo$ $C$ , liczby bikompleksowe , bikwaterniony (izomorficzne z pierścieniem zespolonej macierzy 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ) i bioktonionami $C$ $\otimes$ $O$ , które są również nazywane złożonymi oktonionami.

Pierścień macierzy $M(2, C)$ od dawna jest obiektem zainteresowania, najpierw jako bikwaterniony autorstwa Hamiltona (1853), później w postaci macierzy izomorficznej, a zwłaszcza jako algebra Pauliego .

Funkcja podnosząca do kwadratu $N (x) = x 2$ na polu liczb rzeczywistych tworzy algebrę składu pierwotnego. Gdy przyjmiemy, że ciało $K$ jest liczbami rzeczywistymi $R$ , to istnieje tylko sześć innych algebr składu rzeczywistego. W dwóch, czterech i ośmiu wymiarach istnieje zarówno algebra dzielenia, jak i „algebra podziału”:

binariony: liczby zespolone o postaci kwadratowej

x 2 + y 2

oraz liczby dzielone zespolone o postaci kwadratowej

x 2 - y 2

,

kwaterniony i kwaterniony podzielone ,

oktonony i podzielone oktony .

Każda algebra złożona ma skojarzoną postać dwuliniową B( x,y ) skonstruowaną z normą N i tożsamością polaryzacji :

{\ Displaystyle B (x, y) \ = \ [N (x + y) - N (x) - N (y)] / 2.}

Historia

Skład sum kwadratów został odnotowany przez kilku wczesnych autorów. Diophantus był świadomy tożsamości obejmującej sumę dwóch kwadratów, obecnie nazywanej tożsamością Brahmagupta-Fibonacciego , która jest również wyrażana jako właściwość euklidesowych norm liczb zespolonych po pomnożeniu. Leonhard Euler omówił tożsamość czterokwadratową w 1748 roku, co doprowadziło WR Hamiltona do skonstruowania swojej czterowymiarowej algebry kwaternionów . W 1848 r. opisano tesaryny dające pierwsze światło liczbom dwuzłożonym.

Około 1818 roku duński uczony Ferdinand Degen wykazywał ośmiokwadratową tożsamość Degena , co później powiązano z normami elementów algebry oktononu :

Historycznie, pierwsza nieskojarzona algebra, liczby Cayleya … pojawiła się w kontekście teoretycznego problemu form kwadratowych pozwalających na składanie… to zagadnienie teorii liczb może zostać przekształcone w pytanie dotyczące pewnych systemów algebraicznych, algebry składania. ...

W 1919 Leonard Dickson rozszerzył badanie problemu Hurwitza z przeglądem dotychczasowych wysiłków i poprzez przedstawienie metody podwojenia kwaternionów w celu uzyskania liczb Cayleya . Wprowadził nową jednostkę urojoną $e$ , a dla kwaternionów $q$ i $Q$ zapisuje liczbę Cayleya $q + Q e$ . Oznaczając sprzężony kwaternion przez $q'$ , iloczyn dwóch liczb Cayleya to

{\ Displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R'Q) + (Rq + Qr') e.}

Sprzężeniem liczby Cayleya jest $q' - Q e$ , a formą kwadratową jest $qq' + QQ'$ , otrzymaną przez pomnożenie liczby przez jej sprzężenie. Metoda podwojenia została nazwana konstrukcją Cayleya-Dicksona .

W 1923 przypadek algebr rzeczywistych o dodatnich formach określonych został ograniczony przez twierdzenie Hurwitza (algebry złożeń) .

W 1931 Max Zorn wprowadził gamma (γ) do zasady mnożenia w konstrukcji Dicksona, aby wygenerować podział-oktonion . Adrian Albert użył również gamma w 1942 roku, kiedy wykazał, że podwojenie Dicksona można zastosować do dowolnego pola z funkcją kwadratu, aby skonstruować algebry binarionowe, kwaternionowe i oktonionowe z ich formami kwadratowymi. Nathan Jacobson opisał automorfizmy algebr kompozycji w 1958 roku.

Klasyczne algebry składowe nad $R$ i $C$ są algebrami z jedynkami . Algebry skład bez a multiplikatywnego tożsamości zostały uznane przez HP Petersson ( Petersson Algebry ) i Susumu Okubo ( Okubo Algebry ) i inni.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analiza na stożkach symetrycznych . Oksfordzkie Monografie Matematyczne. Clarendon Press, Oxford University Press, Nowy Jork. s. 81-86. Numer ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia magisterskie z matematyki . 67 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
Harvey, F. Reese (1990). Spinory i kalibracje . Perspektywy w matematyce. 9 . San Diego: Prasa akademicka . Numer ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .

Languages

In other projects