Formalna seria mocy - Formal power series

W matematyce , a zwłaszcza w algebrze , szereg formalny jest sumą nieskończoną, która jest rozważana niezależnie od jakiegokolwiek pojęcia zbieżności i można nią manipulować za pomocą zwykłych operacji algebraicznych na szeregach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, sumy częściowe itp. ).

Szereg potęgowy formalny to specjalny rodzaj szeregu formalnego, którego wyrazy mają postać, w której jest potęgą zmiennej ( jest nieujemną liczbą całkowitą ) i nosi nazwę współczynnika. Stąd szereg potęgowy może być postrzegany jako uogólnienie wielomianów , gdzie liczba wyrazów może być nieskończona, bez wymogu zbieżności. Tak więc szereg nie może już reprezentować funkcji swojej zmiennej, a jedynie formalną sekwencję współczynników, w przeciwieństwie do szeregu potęgowego , który definiuje funkcję, przyjmując wartości liczbowe dla zmiennej w promieniu zbieżności. W formalnym szeregu potęgowym, są używane tylko jako posiadacze pozycji dla współczynników, tak że współczynnik jest piątym wyrazem w ciągu. W kombinatoryce metoda generowania funkcji wykorzystuje formalne szeregi potęgowe do reprezentowania ciągów liczbowych i multizbiorów , na przykład umożliwiając zwięzłe wyrażenia dla sekwencji zdefiniowanych rekurencyjnie niezależnie od tego, czy rekurencja może być jawnie rozwiązana. Bardziej ogólnie, formalne szeregi potęgowe mogą obejmować szeregi z dowolną skończoną (lub przeliczalną) liczbą zmiennych i współczynnikami w dowolnym pierścieniu . ${\ Displaystyle topór ^ {n}}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle x ^ {5}}$

Pierścienie formalnych szeregów potęgowych są kompletnymi pierścieniami lokalnymi , co pozwala na stosowanie metod podobnych do rachunku różniczkowego w czysto algebraicznych ramach geometrii algebraicznej i algebry przemiennej . Pod wieloma względami są one analogiczne do liczb całkowitych p- adycznych , które można zdefiniować jako formalne szeregi potęg p .

Wstęp

Formalny szereg potęgowy może być luźno traktowany jako obiekt, który jest jak wielomian , ale zawiera nieskończenie wiele wyrazów. Alternatywnie, dla osób zaznajomionych z szeregami potęgowymi (lub szeregami Taylora ), można pomyśleć o formalnym szeregu potęgowym jako o szeregach potęgowych, w których ignorujemy kwestie zbieżności , nie przyjmując, że zmienna X oznacza jakąkolwiek wartość liczbową (nawet nieznaną wartość ). Rozważmy na przykład serię

${\ Displaystyle A = 1-3X + 5X ^ {2}-7X ^ {3} + 9X ^ {4}-11X ^ {5} + \ cdots.}$

Gdybyśmy zbadali to jako szereg potęgowy, jego własności obejmowałyby na przykład, że jego promień zbieżności wynosi 1. Jednak jako formalny szereg potęgowy możemy to całkowicie zignorować; wszystko, co jest istotne, to sekwencja współczynników [1, -3, 5, -7, 9, -11, ...]. Innymi słowy, formalny szereg potęgowy to obiekt, który po prostu rejestruje sekwencję współczynników. Całkowicie dopuszczalne jest rozważenie formalnego szeregu potęgowego z silniami [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] jako współczynników, nawet jeśli odpowiadający mu szereg potęgowy jest rozbieżny dla dowolnej niezerowej wartości X .

Arytmetyka na formalnych szeregach potęgowych jest przeprowadzana przez proste udawanie, że szeregi są wielomianami. Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle B = 2 X + 4 X ^ {3} + 6 X ^ {5} + \ cdots,}$

następnie dodajemy termin A i B według terminu:

${\ Displaystyle A + B = 1-X + 5X ^ {2}-3X ^ {3} + 9X ^ {4}-5X ^ {5} + \ cdots.}$

Możemy pomnożyć formalne szeregi potęgowe, ponownie traktując je jako wielomiany (patrz w szczególności iloczyn Cauchy'ego ):

${\ Displaystyle AB = 2 X-6 X ^ {2} + 14 X ^ {3}-26 X ^ {4} + 44 X ^ {5} + \ cdots.}$

Zauważ, że każdy współczynnik w iloczynie AB zależy tylko od skończonej liczby współczynników A i B . Na przykład wyraz X ⁵ jest podany przez

${\ Displaystyle 44X ^ {5} = (1 \ razy 6 X ^ {5}) + (5 X ^ {2} \ razy 4 X ^ {3}) + (9 X ^ {4} \ razy 2 X).}$

Z tego powodu można mnożyć formalne szeregi potęgowe, nie martwiąc się o zwykłe pytania o absolutną , warunkową i jednorodną zbieżność, które pojawiają się przy zajmowaniu się szeregami potęgowymi w warunkach analizy .

Kiedy już zdefiniowaliśmy mnożenie dla formalnych szeregów potęgowych, możemy zdefiniować odwrotności multiplikatywne w następujący sposób. Multiplikatywna odwrotność formalnego szeregu potęgowego A jest formalnym szeregiem potęgowym C takim, że AC = 1, pod warunkiem, że taki formalny szereg potęgowy istnieje. Okazuje się, że jeśli A ma odwrotność multiplikatywną, jest ona unikalna i oznaczamy ją przez A ⁻¹ . Teraz możemy zdefiniować podział formalnych szeregów potęgowych, definiując B / A jako iloczyn BA ⁻¹ , pod warunkiem, że istnieje odwrotność A. Na przykład można użyć powyższej definicji mnożenia, aby zweryfikować znajomą formułę

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + X}} = 1-X + X ^ {2} - X ^ {3} + X ^ {4} - X ^ {5} + \ cdots.}$

Ważną operacją na formalnych szeregach potęgowych jest ekstrakcja współczynników. W swojej najbardziej podstawowej postaci operator wyodrębniania współczynników zastosowany do formalnego szeregu potęgowego w jednej zmiennej wyodrębnia współczynnik potęgi-tej zmiennej, tak że i . Inne przykłady obejmują ${\ Displaystyle [X ^ {n}]}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle [X ^ {2}] A = 5}$${\ Displaystyle [X ^ {5}] A = -11}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo [X ^ {3} \ po prawej] (B) i = 4 \ \ \ lewo [X ^ {2} \ po prawej] (X + 3 X ^ {2} Y ^ {3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\lewo[X^{2}Y^{3}\prawo](X+3X^{2}Y^{3}+ 10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n },\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Podobnie wiele innych operacji wykonywanych na wielomianach można rozszerzyć do formalnego ustawienia szeregu potęgowego, jak wyjaśniono poniżej.

Pierścień formalnych szeregów potęgowych

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Całkowity pierścień ilorazowy • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

Jeśli rozpatrzymy zbiór wszystkich formalnych szeregów potęgowych w X ze współczynnikami w przemiennym pierścieniu R , to elementy tego zbioru tworzą razem inny pierścień, który jest zapisany i nazwany pierścieniem formalnych szeregów potęgowych w zmiennej  X nad R . ${\displaystyle R[[X]],}$

Definicja formalnego pierścienia szeregu potęgowego

Można charakteryzować abstrakcyjny jako zakończeniu tego wielomianu pierścienia wyposażonego w szczególności metryki . Daje to automatycznie strukturę pierścienia topologicznego (a nawet całej przestrzeni metrycznej). Ale ogólna konstrukcja dopełnienia przestrzeni metrycznej jest bardziej skomplikowana niż to, co jest tutaj potrzebne, i sprawia, że ​​formalne szeregi potęgowe wydają się bardziej skomplikowane niż są. Możliwe jest dokładniejsze opisanie i oddzielne zdefiniowanie struktury pierścienia i struktury topologicznej, jak następuje. ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

Struktura pierścienia

Jako zbiór może być skonstruowany jako zbiór wszystkich nieskończonych ciągów elementów , indeksowanych liczbami naturalnymi (przyjętymi jako 0). Wyznaczenie sekwencji, których okres od indeksu jest przez , definiuje się dodawanie dwóch takich sekwencji poprzez ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$${\ Displaystyle (a_ {n})}$

${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}} + (b_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}} = \ lewo (a_ {n} + b_ {n }\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

i mnożenie przez

${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}} \ razy (b_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}} = \ lewo (\ suma _ {k = 0 }^{n}a_{k}b_{nk}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Ten typ iloczynu nazywa się iloczynem Cauchy'ego dwóch sekwencji współczynników i jest rodzajem splotu dyskretnego . Dzięki tym operacjom staje się przemiennym pierścieniem z elementem zerowym i multiplikatywną tożsamością . ${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$${\displaystyle (0,0,0,\ldots)}$${\displaystyle (1,0,0,\ldots)}$

Iloczyn jest w rzeczywistości tym samym, który służy do określenia iloczynu wielomianów w jeden nieokreślony, co sugeruje użycie podobnej notacji. Osadza się w przez wysłanie dowolnej (stałej) do sekwencji i wyznacza sekwencję przez ; następnie używając powyższych definicji każda sekwencja zawierająca tylko skończenie wiele niezerowych terminów może być wyrażona w kategoriach tych specjalnych elementów, jak ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a\w R}$${\displaystyle (a,0,0,\ldots)}$${\ Displaystyle (0,1,0,0, \ldots )}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},0,0,\ldots)=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{ n}X^{n}=\suma _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

to są właśnie wielomiany w . Biorąc to pod uwagę, całkiem naturalne i wygodne jest wyznaczenie ciągu ogólnego przez wyrażenie formalne , chociaż to ostatnie nie jest wyrażeniem utworzonym przez operacje dodawania i mnożenia zdefiniowane powyżej (z których można skonstruować tylko skończone sumy). Ta konwencja notacyjna pozwala na przeformułowanie powyższych definicji jako: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ po prawej) + \ po lewej (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} b_ { i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

oraz

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ po prawej) \ razy \ lewo (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} b_ {i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{nk}\right )X^{n}.}$

co jest całkiem wygodne, ale trzeba zdawać sobie sprawę z różnicy między formalnym sumowaniem (zwykła konwencja) a faktycznym dodawaniem.

Struktura topologiczna

Ustaliwszy umownie, że

${\ Displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} ,}$

( 1 )

chciałoby się interpretować prawą stronę jako dobrze zdefiniowane nieskończone sumowanie. W związku z tym pojęcie zbieżności jest określony i topologia na konstruowana. Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania żądanej topologii. ${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$

• Może dać w topologii produktów , gdzie każda kopia jest podana w dyskretnych topologii .${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$${\ Displaystyle R}$
• Mogą dać się topologia-adyczne , w którym jest wytwarzany przez idealny , który zawiera wszystkie sekwencje, których pierwszy składnik wynosi zero.${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N} }}$${\ Displaystyle I = (X)}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle a_{0}}$
• Pożądaną topologię można również wyprowadzić z następującej metryki . Odległość między różnymi sekwencjami określa się jako${\ Displaystyle (a_ {n}), (b_ {n}) \ w R ^ {\ mathbb {N}}}$
  $${\ Displaystyle d ((a_ {n}), (b_ {n})) = 2 ^ {-k},}$$

  
  gdzie jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że ; odległość między dwiema równymi sekwencjami jest oczywiście zerowa.${\displaystyle k}$${\ Displaystyle a_ {k} \ neq b_ {k}}$

Nieformalnie dwie sekwencje i stają się coraz bliższe wtedy i tylko wtedy, gdy coraz więcej ich terminów dokładnie się zgadza. Formalnie sekwencja sum cząstkowych jakiejś sumy nieskończonej jest zbieżna, jeśli dla każdej ustalonej potęgi współczynnika stabilizuje się: istnieje punkt, poza którym wszystkie dalsze sumy cząstkowe mają ten sam współczynnik. Jest tak oczywiście w przypadku prawej strony ( 1 ), niezależnie od wartości , ponieważ włączenie terminu dla daje ostatnią (i właściwie jedyną) zmianę współczynnika . Oczywiste jest również, że granica ciągu sum częściowych jest równa lewej stronie. ${\ Displaystyle (a_ {n})}$${\ Displaystyle (b_ {n})}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle i=n}$${\ Displaystyle X ^ {n}}$

Ta topologiczna struktura wraz z opisanymi powyżej operacjami na pierścieniu tworzy pierścień topologiczny. Nazywa się to pierścieniem formalnego szeregu potęgowego nad${\ Displaystyle R}$ i jest oznaczone przez . Topologia ma tę użyteczną właściwość, że nieskończone sumowanie jest zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja jej terminów jest zbieżna do 0, co oznacza po prostu, że dowolna stała potęga występuje tylko w skończonych wielu terminach. ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle X}$

Struktura topologiczna pozwala na znacznie bardziej elastyczne wykorzystanie nieskończonych sum. Na przykład reguła mnożenia może zostać przekształcona po prostu jako

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ po prawej) \ razy \ lewo (\ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} b_ {i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

ponieważ tylko skończenie wiele terminów po prawej stronie wpływa na jakiekolwiek ustalone . Nieskończone produkty są również definiowane przez strukturę topologiczną; widać, że iloczyn nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy sekwencja jego czynników zbiega się do 1. ${\ Displaystyle X ^ {n}}$

Alternatywne topologie

Powyższa topologia jest najlepszą topologią, dla której

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}}$

zawsze zbiega się jako suma do formalnych szeregów potęgowych oznaczonych tym samym wyrażeniem i często wystarczy nadać znaczenie nieskończonym sumom i produktom lub innym rodzajom ograniczeń, których chciałoby się użyć do wyznaczenia poszczególnych formalnych szeregów potęgowych. Czasami jednak może się zdarzyć, że ktoś życzy sobie użyć grubszej topologii, aby pewne wyrażenia stały się zbieżne, które w przeciwnym razie byłyby rozbieżne. Dotyczy to w szczególności sytuacji, gdy pierścień podstawowy ma już inną topologię niż dyskretna, na przykład jeśli jest to również pierścień o formalnym szeregu potęgowym. ${\ Displaystyle R}$

W pierścieniu formalnych szeregów potęgowych , topologia powyższej konstrukcji odnosi się tylko do nieokreślonego , ponieważ nałożona topologia została zastąpiona topologią dyskretną podczas definiowania topologii całego pierścienia. Więc ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} XY ^ {i}}$

jest zbieżny (a jego sumę można zapisać jako ); Jednakże ${\ Displaystyle {\ tfrac {X}{1-Y}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} X ^ {i} Y}$

będzie uważany za rozbieżny, ponieważ każdy wyraz wpływa na współczynnik . Ta asymetria znika, jeśli pierścień szeregów potęgowych ma przypisaną topologię iloczynu, w której każda kopia otrzymuje swoją topologię jako pierścień formalnego szeregu potęgowego, a nie topologię dyskretną. W tej topologii sekwencja elementów zbiega się, jeśli współczynnik każdej potęgi jest zbieżny do formalnego szeregu potęgowego w , słabszy warunek niż całkowita stabilizacja. Na przykład w tej topologii, w drugim przykładzie podanym powyżej, współczynnik jest zbieżny do , więc cała suma jest zbieżna do . ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {Y}{1-X}}}$

Ten sposób definiowania topologii jest w rzeczywistości standardowy dla powtarzających się konstrukcji pierścieni formalnych szeregów potęgowych i daje taką samą topologię, jaką można by uzyskać, biorąc formalne szeregi potęgowe na raz we wszystkich nieokreślonych. W powyższym przykładzie oznaczałoby to konstruowanie, a tutaj sekwencja zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik każdego jednomianu się ustabilizuje. Ta topologia, która jest również topologią -adyczną, gdzie ideał jest generowany przez i , nadal cieszy się właściwością zbieżności sumowania wtedy i tylko wtedy, gdy jej terminy dążą do 0. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [[X, Y]]}$${\ Displaystyle X ^ {i} Y ^ {j}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I = (X, Y)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Tę samą zasadę można zastosować do zbieżności innych rozbieżnych limitów. Na przykład w limicie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[X]]}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {X} {n}} \ po prawej) ^ {\! n}}$

nie istnieje, więc w szczególności nie zbiega się do

${\ Displaystyle \ exp (X) = \ suma _ {n \ w \ mathbb {N}} {\ Frac {X ^ {n}} {n!}}.}$

Wynika to z faktu współczynnik z nie stabilizuje się . To jednak nie zbiegają się w zwykły topologii , w rzeczywistości do współczynnika o . W związku z tym, gdyby podać topologię produktu, w której topologia jest zwykłą topologią, a nie dyskretną, wówczas powyższa granica zbiega się do . To bardziej liberalne podejście nie jest jednak standardem przy rozpatrywaniu formalnych szeregów potęgowych, ponieważ prowadziłoby do rozważań o zbieżności, które są równie subtelne, jak w analizie , podczas gdy filozofia formalnych szeregów potęgowych jest przeciwna, czyniąc kwestie zbieżności tak trywialnymi, jak mogą ewentualnie być. Z tej topologii byłoby nie być przypadek, że podsumowanie jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jej warunki mają tendencję do 0. ${\displaystyle i\geq 2}$${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {i}} / n ^ {i}}$${\ Displaystyle X ^ {i}}$${\displaystyle n\do \infty}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$${\displaystyle \exp(X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[X]]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle \exp(X)}$

Własność uniwersalna

Pierścień może charakteryzować się następującą uniwersalną właściwością . Jeżeli jest przemienną algebrą asocjacyjną nad , jeżeli jest ideałem takim, że topologia -adyczna on jest zupełna, a jeżeli jest elementem , to istnieje unikat o następujących własnościach: ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ Phi: R [[X]] \ do S}$

• ${\ Displaystyle \ Phi}$jest homomorfizmem -algebry${\ Displaystyle R}$

• ${\ Displaystyle \ Phi}$ jest ciągły

• ${\ Displaystyle \ Phi (X) = x}$.

Operacje na formalnych szeregach potęgowych

Można wykonać operacje algebraiczne na szeregach potęgowych, aby wygenerować nowy szereg potęgowy. Oprócz operacji struktury pierścienia zdefiniowanych powyżej, mamy następujące.

Seria mocy podniesiona do potęgi

Dla dowolnej liczby naturalnej n mamy

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} X ^ {k} \ prawej) ^ {\! n} = \ \ suma _ {m = 0} ^ { \infty }c_{m}X^{m},}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} c_ {0} i = a_ {0} ^ {n} \ \ c_ {m} i = {\ Frac {1} {ma_ {0}}} \ suma _ {k =1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{mk},\ \ \ m\geq 1.\end{wyrównany}}}$

(Tego wzoru można użyć tylko wtedy, gdy m i a ₀ są odwracalne w pierścieniu współczynników.)

W przypadku formalnych szeregów potęgowych o zespolonych współczynnikach potęgi zespolone są dobrze zdefiniowane przynajmniej dla szeregów f ze stałym wyrazem równym 1. W tym przypadku można je zdefiniować albo przez złożenie z szeregiem dwumianowym (1+ x ) ^α , lub przez złożenie z szeregiem wykładniczym i logarytmicznym, lub jako rozwiązanie równania różniczkowego z wyrazem stałym 1, przy czym trzy definicje są równoważne. Zasady rachunku różniczkowego i łatwe do naśladowania. ${\ Displaystyle f ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle f ^ {\ alfa} = \ exp (\ alfa \ log (f)),}$${\ Displaystyle f (f ^ {\ alfa}) '= \ alfa f ^ {\ alfa} f'}$${\ Displaystyle (f ^ {\ alfa}) ^ {\ beta} = f ^ {\ alfa \ beta}}$${\ Displaystyle f ^ {\ alfa} g ^ {\ alfa} = (fg) ^ {\ alfa}}$

Odwrotność mnożenia

Serie

${\ Displaystyle A = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} \ w R [[X]]}$

jest odwracalny w wtedy i tylko wtedy, gdy jego stały współczynnik jest odwracalny w . Warunek ten jest konieczny, z następującego powodu: jeśli założymy, że ma odwrotność wtedy stały termin od jest stały termin z serii tożsamość, czyli to 1. Warunek ten jest również wystarczająca; możemy obliczyć współczynniki szeregu odwrotnego za pomocą jawnego wzoru rekurencyjnego ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle a_{0}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots}$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$${\ Displaystyle A \ cdot B}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} b_ {0}& = {\ Frac {1} {a_ {0}}} \ \ b_ {n} i = - {\ Frac {1} {a_ {0}} }\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{ni},\ \ \ n\geq 1.\end{wyrównany}}}$

Ważnym szczególnym przypadkiem jest to, że wzór na szereg geometryczny jest ważny w : ${\displaystyle R[[X]]}$

${\ Displaystyle (1-X) ^ {-1} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} X ^ {n}.}$

Jeżeli jest polem, to szereg jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz stały jest niezerowy, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy szereg nie jest podzielny przez . Oznacza to, że jest to dyskretny pierścień wyceniający z parametrem ujednolicającym . ${\ Displaystyle R = K}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle K[[X]]}$${\ Displaystyle X}$

Podział

Obliczenie ilorazu ${\displaystyle f/g=h}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n}} {\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

zakładając, że mianownik jest odwracalny (czyli jest odwracalny w pierścieniu skalarów), można to wykonać jako iloczyn i odwrotność , lub bezpośrednio zrównać współczynniki w : ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=gh}$

${\ Displaystyle c_ {n} = {\ Frac {1} {a_ {0}}} \ lewo (b_ {n} - \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} c_ {nk} \ Prawidłowy).}$

Wyodrębnianie współczynników

Operator ekstrakcji współczynników zastosowany do formalnego szeregu potęgowego

${\ Displaystyle f (X) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}$

w X jest napisane

${\ Displaystyle \ lewo [X ^ {m} \ prawo] f (X)}$

i wyodrębnia współczynnik X ^m , tak że

${\ Displaystyle \ lewo [X ^ {m} \ prawo] f (X) = \ lewo [X ^ {m} \ prawo] \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ { n}=a_{m}.}$

Kompozycja

Biorąc pod uwagę formalne szeregi potęgowe

${\ Displaystyle f (X) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} = a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots}$

${\ Displaystyle g (X) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n} = b_ {0}+ b_ {1} X + b_ {2} X ^ {2} }+\cdots ,}$

można tworzyć kompozycję

${\ Displaystyle g (f (X)) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (f (X)) ^ {n} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ wiele }c_{n}X^{n},}$

gdzie współczynniki c _n są określane przez „rozwinięcie” potęg f ( X ):

${\ Displaystyle c_ {n}: = \ suma _ {k \ w \ mathbb {N}, | j | = n} b_ {k} a_ {j_ {1}} a_ {j_ {2}} \ cdots a_ { j_{k}}.}$

Tutaj suma jest rozszerzona na wszystkie ( k , j ) z i z${\ Displaystyle k \ w \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle j \ w \ mathbb {N} _ {+} ^ {k}}$${\ Displaystyle | j |: = j_ {1} + \ cdots + j_ {k} = n.}$

Dokładniejszego opisu tych współczynników dostarcza wzór Faà di Bruno , przynajmniej w przypadku, gdy pierścień współczynników jest polem o charakterystyce 0 .

Skład jest ważny tylko wtedy, gdy nie ma stałego członu , tak że każdy z nich zależy tylko od skończonej liczby współczynników i . Innymi słowy, seria dla zbiega się w topologii z . ${\ Displaystyle f (X)}$${\displaystyle c_{n}}$${\ Displaystyle f (X)}$${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle g(f(X))}$${\displaystyle R[[X]]}$

Przykład

Załóżmy, że pierścień ma charakterystykę 0, a niezerowe liczby całkowite są odwracalne w . Jeśli oznaczamy przez formalny szereg potęgowy ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle \exp(X)}$

${\ Displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ Frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {X ^ {3} {3!}} + {\ Frac {X ^ {4}}{4!}}+\cdots ,}$

następnie wyrażenie

${\ Displaystyle \ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ Frac {5X ^ {3} {6}} + {\ Frac {5 X ^ {4}} {8}}+\cdots }$

ma sens jako formalna seria mocy. Jednak oświadczenie

${\displaystyle \exp(\exp(X))\ {\stackrel {?}{=}}\e\exp(\exp(X)-1)\=\e+eX+eX^{2}+{ \frac {5eX^{3}}{6}}+\cdots }$

nie jest poprawnym zastosowaniem operacji składania dla formalnych szeregów potęgowych. Raczej myli pojęcia zbieżności w i zbieżności w ; w rzeczywistości pierścień może nawet nie zawierać żadnej liczby o odpowiednich właściwościach. ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle e}$

Kompozycja odwrotna

Ilekroć formalna seria

${\ Displaystyle f (X) = \ suma _ {k} f_ {k} X ^ {k} \ w R [[X]]}$

ma f ₀ = 0 i f ₁ jest elementem odwracalnym R , istnieje szereg

${\ Displaystyle g (X) = \ suma _ {k} g_ {k} X ^ {k}}$

to jest kompozycja odwrotna do , co oznacza, że ​​komponowanie z daje szereg reprezentujący funkcję tożsamości . Współczynniki można znaleźć rekurencyjnie, stosując powyższy wzór dla współczynników kompozycji, przyrównując je do współczynników identyczności kompozycji X (to znaczy 1 na stopniu 1 i 0 na każdym stopniu większym niż 1). W przypadku, gdy współczynnik pierścienia jest polem o charakterystyce 0, formuła inwersji Lagrange'a (omawiana poniżej) stanowi potężne narzędzie do obliczania współczynników g , a także współczynników (multiplikatywnych) potęg g . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\ Displaystyle x = 0 + 1 x + 0 x ^ {2} + 0 x ^ {3} + \ cdots }$${\displaystyle g}$

Zróżnicowanie formalne

Biorąc pod uwagę formalną serię potęgową

${\ Displaystyle f = \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ w R [[X]],}$

definiujemy jego pochodną formalną , oznaczaną Df lub f ′, by

${\ Displaystyle Df = f' = \ suma _ {n \ geq 1} a_ {n} nX ^ {n-1}.}$

Symbol D nazywany jest formalnym operatorem różniczkowania . Ta definicja po prostu naśladuje różnicowanie wielomianu termin po terminie.

Ta operacja jest R - liniowa :

${\ Displaystyle D (af + bg) = a \ cdot Df + b \ cdot Dg}$

dla dowolnego a , b w R i dowolnego f , g w Dodatkowo pochodna formalna ma wiele właściwości zwykłej pochodnej rachunku różniczkowego. Na przykład obowiązuje reguła produktu : ${\displaystyle R[[X]].}$

${\ Displaystyle D (fg) \ =\ f \ cdot (dg) + (df) \ cdot g}$

a zasada łańcuch działa tak samo:

${\ Displaystyle D (f \ circ g) = (Df \ circ g) \ cdot Dg,}$

ilekroć zostaną określone odpowiednie składy serii (patrz wyżej w sekcji skład serii ).

Zatem pod tym względem formalne szeregi potęgowe zachowują się jak szeregi Taylora . Rzeczywiście, dla f zdefiniowanego powyżej stwierdzamy, że

${\ Displaystyle (D ^ {k} f) (0) = k! a_ {k}}$

gdzie D ^k oznacza k- tą pochodną formalną (czyli wynik formalnego różniczkowania k razy).

Formalna antydyferencjacja

Jeśli jest pierścieniem o charakterystyce zero, a niezerowe liczby całkowite są odwracalne w , to dany formalny szereg potęgowy ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle f = \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ w R [[X]],}$

definiujemy jego formalną pierwotną lub formalną całkę nieoznaczoną przez:

${\ Displaystyle D ^ {-1} f = \ int f \ dX = C + \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} {\ Frac {X ^ {n + 1}} {n + 1}}. }$

dla dowolnej stałej . ${\ Displaystyle C \ w R}$

Ta operacja jest R - liniowa :

${\ Displaystyle D ^ {-1} (af + bg) = a \ cdot D ^ {-1} f + b \ cdot D ^ {-1} g}$

dla dowolnego a , b w R i dowolnego f , g w Ponadto formalna funkcja pierwotna ma wiele właściwości zwykłej pochodnej rachunku różniczkowego. Na przykład forma pierwotna jest prawą odwrotnością formalnej pochodnej: ${\displaystyle R[[X]].}$

${\ Displaystyle D (D ^ {-1} (f)) = f}$

dla każdego . ${\displaystyle f\w R[[X]]}$

Nieruchomości

Własności algebraiczne formalnego pierścienia szeregu potęgowego

${\displaystyle R[[X]]}$jest algebrą asocjacyjną nad zawierającą pierścień wielomianów nad ; wielomiany odpowiadają ciągom, które kończą się zerami. ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$${\ Displaystyle R}$

Jacobson rodnik o jest idealny generowana przez i Jacobson rodnikiem ; wynika to z omówionego powyżej kryterium odwracalności elementu. ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R}$

Te ideały maksymalne z wszystkich pojawić się od tych w następujący sposób: ideał z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest to maksymalny ideał i generowany jest jako ideał i . ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle M \ czapka R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M \ czapka R}$

Kilka własności algebraicznych jest dziedziczonych przez : ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$

• jeśli jest pierścieniem lokalnym , to tak jest (ze zbiorem niejednostek unikalnym maksymalnym ideałem),${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• jeśli jest noetherian , to tak jest (wersja bazowego twierdzenia Hilberta ),${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• jeśli jest dziedziną integralną , to tak jest , i${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R[[X]]}$
• jeśli jest polem , to jest dyskretnym pierścieniem wyceny .${\ Displaystyle K}$${\displaystyle K[[X]]}$

Własności topologiczne formalnego pierścienia szeregu potęgowego

Przestrzeń metryczna jest kompletna . ${\displaystyle (R[[X]],d)}$

Pierścień jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy R jest skończone . Wynika to z twierdzenia Tychonowa i charakterystyki topologii jako topologii produktu. ${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

Przygotowanie Weierstrassa

Pierścień formalnych szeregów potęgowych ze współczynnikami w pełnym pierścieniu lokalnym spełnia twierdzenie Weierstrassa o preparatyce .

Aplikacje

Formalne szeregi potęgowe można wykorzystać do rozwiązywania rekurencji występujących w teorii liczb i kombinatoryce. Przykład dotyczący znajdowania wyrażenia w formie zamkniętej dla liczb Fibonacciego można znaleźć w artykule Przykłady funkcji generowania .

Można użyć formalnych szeregów potęgowych, aby udowodnić kilka relacji znanych z analizy w układzie czysto algebraicznym. Rozważ na przykład następujące elementy : ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [[X]]}$

${\ Displaystyle \ sin (X): = \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {2n + 1}}$

${\ Displaystyle \ cos (X): = \ suma _ {n \ geq 0} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}}$

Wtedy można to pokazać

${\ Displaystyle \ sin ^ {2} (X) + \ cos ^ {2} (X) = 1,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy X}} \ grzech (X) = \ cos (X)}$

${\ Displaystyle \ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y).}$

Ostatni ważny w ringu ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [[X, Y]].}$

W przypadku pola K a pierścień jest często używany jako „standardowy, najbardziej ogólny” pełny lokalny pierścień nad K w algebrze. ${\ Displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]]}$

Interpretowanie formalnych szeregów potęgowych jako funkcji

Analiza matematyczna → Analiza złożona
Kompleksowa analiza
Liczby zespolone
Prawdziwy numer Liczba urojona Złożona płaszczyzna Złożony koniugat Liczba zespolona jednostki
Złożone funkcje
Funkcja o wartościach zespolonych Funkcja analityczna Funkcja holomorficzna równania Cauchy'ego-Riemanna Formalne serie mocy
Teoria podstawowa
Zera i bieguny Twierdzenie całkowe Cauchy'ego Lokalny prymityw Całka Cauchy'ego Numer uzwojenia Seria Laurenta Izolowana osobliwość Twierdzenie o pozostałościach Mapa konformalna Lemat Schwarza Funkcja harmoniczna równanie Laplace'a
Teoria funkcji geometrycznych
Ludzie
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernharda Riemanna Karl Weierstrass
Portal matematyczny
v T mi

W analizie matematycznej każdy zbieżny szereg potęgowy definiuje funkcję o wartościach w liczbach rzeczywistych lub zespolonych . Formalna seria władza nad pewnymi specjalnymi pierścieniami może być również interpretowane jako funkcje, ale trzeba być ostrożnym z domeny i codomain . Pozwolić

${\ Displaystyle f = \ suma a_ {n} X ^ {n} \ w R [[X]],}$

i załóżmy, że S jest przemienną algebrą asocjacyjną nad R , I jest ideałem w S takim, że topologia I-adycka na S jest zupełna, a x jest elementem I . Definiować:

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ {n}.}$

Ten szereg gwarantuje zbieżność w S, biorąc pod uwagę powyższe założenia dotyczące x . Ponadto mamy

${\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$

oraz

${\ Displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x).}$

W przeciwieństwie do funkcji działających w dobrej wierze, te wzory nie są definicjami, ale muszą zostać udowodnione.

Ponieważ topologia na jest topologią ( X )-adyczną i jest kompletna, możemy w szczególności zastosować szeregi potęgowe do innych szeregów potęgowych, pod warunkiem, że argumenty nie mają stałych współczynników (aby należały do ​​ideału ( X )) : f (0), f ( X ² − X ) i f ((1− X ) ⁻¹  − 1) są dobrze zdefiniowane dla dowolnego formalnego szeregu potęgowego${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$${\displaystyle f\w R[[X]].}$

Dzięki temu formalizmowi możemy podać wyraźny wzór na odwrotność multiplikatywną szeregu potęgowego f, którego stały współczynnik a = f (0) jest odwracalny w R :

${\ Displaystyle f ^ {-1} = \ suma _ {n \ geq 0} a ^ {-n-1} (af) ^ {n}.}$

Jeśli formalny szereg potęgowy g z g (0) = 0 jest podany niejawnie przez równanie

${\ Displaystyle f (g) = X}$

gdzie f jest znanym szeregiem potęgowym z f (0) = 0, to współczynniki g można wyraźnie obliczyć za pomocą wzoru inwersji Lagrange'a .

Uogólnienia

Formalna seria Laurenta

Formalny serii Laurent na ringu są zdefiniowane w sposób podobny do formalnego szeregu potęgowego, oprócz tego, że my również pozwalają skończenie wiele warunków negatywnym stopniu. Oznacza to, że są to serie, które można zapisać jako ${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle f = \ suma _ {n = N} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}$

dla pewnej liczby całkowitej N , tak że jest tylko skończenie wiele ujemnych n z . (To różni się od klasycznych serii Laurent o skomplikowanej analizy ). Na niezerowej formalnym serii Laurent minimalną liczbą całkowitą tak, że jest nazywany kolejności od jest oznaczona (kolejność serii jest zero ). ${\ Displaystyle a_ {n} \ neq 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a_ {n} \ neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$${\displaystyle +\infty}$

Można zdefiniować mnożenie takich szeregów. Rzeczywiście, w sposób podobny do określenia formalnej cyklu zasilania, przy czym współczynnik X ^k dwóch serii z odpowiednich sekwencji współczynników i jest ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ Displaystyle \ {b_ {n} \}}$

Suma ta ma tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów z powodu założonego zanikania współczynników przy wystarczająco ujemnych indeksach.

Formalne serii Laurent tworzą pierścień posiadanie szeregu Laurent powyżej , oznaczonych . Jest równa lokalizacji w odniesieniu do zestawu pozytywnych uprawnień . Jeśli to pole , a w rzeczywistości w polu, które może być alternatywnie uzyskane za dziedzinie frakcji z integralną dziedzinie . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((X))}$${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle R = K}$${\ Displaystyle K ((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Podobnie jak w przypadku pierścienia formalnych szeregów potęgowych, pierścień formalnych szeregów Laurenta może być wyposażony w strukturę pierścienia topologicznego poprzez wprowadzenie metryki ${\displaystyle R[[X]]}$${\ Displaystyle R ((X))}$

Zróżnicowanie formalne dla formalnych szeregów Laurenta można zdefiniować w sposób naturalny (wyraz po wyrazie). Dokładniej, formalna pochodna formalnego szeregu Laurenta powyżej to ${\displaystyle f}$

która ponownie jest formalną serią Laurenta. Jeżeli jest niestałym szeregiem formalnym Laurenta i ze współczynnikami w polu o charakterystyce 0, to mamy ${\displaystyle f}$ Jednak generalnie tak nie jest, ponieważ współczynnik n dla członu najniższego rzędu może być równy 0 w R .

Formalna pozostałość

Załóżmy, że jest to pole o charakterystyce 0. Wtedy mapa ${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle D \ dwukropek K ((X))\ do K ((X))}$

jest - pochodną, która spełnia ${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ ker D = K}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {im} D = \ lewo \ {f \ w K ((X)): [X ^ {-1}] f = 0 \ prawo \}.}$

To ostatnie pokazuje, że współczynnik in jest szczególnie interesujący; nazywa się to formalną pozostałością i oznacza . Mapa ${\ Displaystyle X ^ {-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Res} (f)}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {Res}: K ((X)) \ do K}$

jest -liniowa, a z powyższej obserwacji wynika dokładna sekwencja${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle 0\ do K \ do K ((X)) {\ overset {D} {\ longrightarrow}} K ((X)) \; {\ overset {\ operatorname {Res}} {\ longrightarrow}} \ ;K\do 0.}$

Niektóre zasady rachunku różniczkowego . Dość bezpośrednią konsekwencją powyższej definicji i reguł formalnego wyprowadzania jest dla każdego${\ Displaystyle f, g \ w K ((X))}$

1. ${\ Displaystyle \ Operatorname {Res} (f') = 0;}$
2. ${\ Displaystyle \ Operatorname {Res} (fg') = - \ Operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\ Displaystyle \ operatorname {Res} (f '/f) = \ operatorname {ord} (f), \ qquad \ forall f \ neq 0;}$
4. ${\ Displaystyle \ operatorname {Res} \ lewo ((g \ circ f) f '\ right) = \ operatorname {ord} (f) \ operatorname {Res} (g)}$ Jeśli ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\ Displaystyle [X ^ {n}] f (X) = \ nazwa operatora {Res} \ lewo (X ^ {-n-1} f (X) \ prawej).}$

Właściwość (i) jest częścią dokładnej sekwencji powyżej. Własność (ii) wynika z (i) w odniesieniu do . Budynek (iii): każdy może być napisany w formie , z i tedy implikuje jest odwracalna w skąd nieruchomość (iv): Ponieważ możemy napisać z . W konsekwencji i (iv) wynika z (i) i (iii). Właściwość (v) wynika z definicji. ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f = X ^ {m} g}$${\ Displaystyle m = \ nazwa operatora {ord} (f)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {ord} (g) = 0}$${\ Displaystyle f '/f = mX ^ {-1} + g '/g}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {ord} (g) = 0}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle K [[X]] \ podzbiór \ nazwa operatora {im} (D) = \ ker (\ nazwa operatora {Res}),}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Res} (f'/f) = m.}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} (D) = \ ker (\ operatorname {Res}),}$${\ Displaystyle f = f_ {-1} X ^ {-1} + F ',}$${\ Displaystyle F \ w K ((X))}$${\ Displaystyle (f \ circ g) g '= f_ {-1} g ^ {-1} g '+ (F '\ circ g) g '= f_ {-1} g '/g + (F \ circ g )'}$

Formuła inwersji Lagrange'a

Jak wspomniano powyżej, wszystkie formalne serii o f ₀ = 0, a F ₁ ≠ 0 ma skład odwrotną następującą zależność między współczynnikami g ⁿ a f ^{- k} posiada (”${\displaystyle f\w K[[X]]}$${\ Displaystyle g \ w K [[X]].}$Formuła inwersji Lagrange'a "):

${\ Displaystyle k [X ^ {k}] g ^ {n} = n [X ^ {-n}] f ^ {-k}.}$

W szczególności dla n  = 1 i wszystkich k  ≥ 1,

${\ Displaystyle [X ^ {k}] g = {\ Frac {1} {k}} \ Operatorname {Res} \ lewo (f ^ {-k} \ prawej).}$

Ponieważ dowód na wzór inwersji Lagrange'a jest bardzo krótkim obliczeniem, warto go tutaj zgłosić. Zauważając , możemy zastosować powyższe zasady rachunku różniczkowego, zasadniczo zastępując Regułę (iv) , aby uzyskać: ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (f) = 1}$${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} k [X ^ {k}] g ^ {n} i \ {\ stackrel {\ operatorname {(v)}} {=}} \ k \ nazwa operatora {Res} \ lewo ( g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^ {-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {łańcuch} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})' \right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k} \right)\ {\stackrel {\mathrm {łańcuch} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\ mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{wyrównany}}}$

Uogólnienia. Można zauważyć, że powyższe obliczenie można wyraźnie powtórzyć w bardziej ogólnych ustawieniach niż K (( X )): uogólnienie wzoru inwersji Lagrange'a jest już dostępne w modułach, w których α jest wykładnikiem zespolonym. W konsekwencji, jeśli f i g są jak powyżej, z , możemy powiązać zespolone potęgi f / X i g / X : dokładnie, jeśli α i β są niezerowymi liczbami zespolonymi o ujemnej sumie całkowitej, wtedy ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((X))}$${\ Displaystyle X ^ {\ alfa} \ mathbb {C} ((X)),}$${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$${\ Displaystyle m = - \ alfa - \ beta \ w \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ alfa}} [X ^ {m}] \ lewo ({\ Frac {f} {X}} \ prawej) ^ {\ alfa} = - {\ Frac {1} {\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

Na przykład w ten sposób można znaleźć szereg potęgowy dla potęg złożonych funkcji Lamberta .

Szeregi potęgowe w kilku zmiennych

Można zdefiniować formalne szeregi potęgowe w dowolnej liczbie nieokreślonych (nawet nieskończenie wielu). Jeśli I jest zbiorem indeksów, a X _I jest zbiorem nieokreślonych X _i dla i ∈ I , to jednomian X ^α jest dowolnym skończonym iloczynem elementów X _I (dopuszczalne powtórzenia); Formalny szereg potęgowy w X _I ze współczynnikami w pierścieniu R jest określany przez dowolne odwzorowanie ze zbioru jednomianów X ^α na odpowiedni współczynnik c _α i jest oznaczony . Zbiór wszystkich takich formalnych szeregów potęgowych jest oznaczony i otrzymuje strukturę pierścieniową przez zdefiniowanie ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$${\ Displaystyle R [[X_ {I}]],}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {\ alfa} c_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) + \ lewo (\ suma _ {\ alfa} d_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ po prawej)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

oraz

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {\ alfa} c_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ razy \ lewo (\ suma _ {\ beta} d_ {\ beta} X ^ {\ beta} \right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

Topologia

Topologia jest taka, że ​​sekwencja jej elementów jest zbieżna tylko wtedy, gdy dla każdego jednomianu X ^α odpowiedni współczynnik stabilizuje się. Jeśli I jest skończony, to tego J -adic topologii, gdzie J jest ideał generowane przez wszystkie wielomianami w X _I . To nie obowiązuje, jeśli jestem nieskończony. Na przykład, jeśli wtedy sekwencja z nie jest zbieżna względem żadnej topologii j- adycznej na R , ale wyraźnie dla każdego jednomianu odpowiedni współczynnik stabilizuje się. ${\ Displaystyle R [[X_ {I}]]}$${\ Displaystyle R [[X_ {I}]]}$${\ Displaystyle I = \ mathbb {N} ,}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle f_ {n} = X_ {n} + X_ {n + 1} + X_ {n + 2} + \ cdots}$

Jak wspomniano powyżej, topologia powtarzającego się formalnego pierścienia szeregu potęgowego jest zwykle wybierana w taki sposób, że staje się izomorficzny jako pierścień topologiczny do${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$${\displaystyle R[[X,Y]].}$

Operacje

Wszystkie operacje zdefiniowane dla serii na jednej zmiennej można rozszerzyć na kilka zmiennych przypadku.

• Szereg jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego człon stały jest odwracalny w R .
• Złożenie f ( g ( X )) dwóch szeregów f i g jest określone, jeśli f jest szeregiem w pojedynczym nieokreślonym, a stały wyraz g wynosi zero. Dla szeregu f w kilku nieoznaczonych forma „złożenia” może być podobnie zdefiniowana, z tyloma oddzielnymi szeregami w miejscu g, ile jest nieokreślonych.

W przypadku pochodnej formalnej istnieją teraz odrębne operatory pochodnej cząstkowej , które różnicują względem każdego z nieoznaczonych. Wszyscy dojeżdżają do siebie.

Własność uniwersalna

W przypadku kilku zmiennych, uniwersalna właściwość charakteryzująca staje się następująca. Jeśli S jest przemienną algebrą asocjacyjną nad R , jeśli I jest ideałem S takim, że topologia I- adycka na S jest kompletna, i jeśli x ₁ , …, x _r są elementami I , to istnieje jednoznaczne odwzorowanie z następujące właściwości: ${\ Displaystyle R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]]}$${\ Displaystyle \ Phi: R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]] \ do S}$

• Φ jest homomorfizmem R- algebry
• Φ jest ciągły
• Φ( X _i ) = x _i dla i = 1, …, r .

Zmienne nieprzemienne

Przypadek kilku zmiennych można dalej uogólnić, biorąc zmienne nieprzemienne X _i dla i ∈ I , gdzie I jest zbiorem indeksów , a jednomian X ^α jest dowolnym słowem w X _I ; Formalny szereg potęgowy w X _I ze współczynnikami w pierścieniu R jest określany przez dowolne odwzorowanie ze zbioru jednomianów X ^α na odpowiedni współczynnik c _α i jest oznaczony . Zbiór wszystkich takich formalnych szeregów potęgowych jest oznaczony jako R « X _I » i otrzymuje on strukturę pierścieniową definiując dodawanie punktowo ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {\ alfa} c_ {\ alfa} X ^ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {\ alfa} c_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) + \ lewo (\ suma _ {\ alfa} d_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ po prawej)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

i mnożenie przez

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {\ alfa} c_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ razy \ lewo (\ suma _ {\ alfa} d_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

gdzie · oznacza konkatenację słów. Te formalne serie potęgowe nad R tworzą pierścień Magnusa nad R .

Na półpierścieniu

Biorąc pod uwagę alfabet i półpierścień . Formalna seria mocy nad obsługiwana w języku jest oznaczona przez . Składa się ze wszystkich odwzorowań , gdzie jest wolnym monoidem generowanym przez niepusty zbiór . ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle r: \ Sigma ^ {*} \ do S}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

Elementy z można zapisać jako sumy formalne ${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$

${\ Displaystyle r = \ suma _ {w \ w \ Sigma ^ {*}} (r, w) w.}$

gdzie oznacza wartość w słowie . Elementy te nazywane są współczynnikami . ${\displaystyle (r,w)}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle w \ w \ Sigma ^ {*}}$${\ Displaystyle (r, w) \ w S}$${\ Displaystyle r}$

Na wsparcie jest zestaw ${\ Displaystyle r \ w S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (r) = \ {w \ w \ Sigma ^ {*} | \ (r, w) \ neq 0 \}}$

Szereg, w którym każdy współczynnik jest albo lub jest nazywany szeregiem charakterystycznym jego wsparcia. ${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$

Podzbiór składający się ze wszystkich szeregów ze skończoną podporą jest oznaczony i nazywany wielomianami. ${\ Displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle}$

Dla i , suma jest określona przez ${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2} \ w S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle s \ w S}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

Iloczyn (Cauchy'ego) jest zdefiniowany przez ${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\suma _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2}, w_{2})}$

Produkt Hadamarda jest zdefiniowany przez ${\displaystyle r_{1}\dot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

A produkty według skalarów i według ${\displaystyle sr_{1}}$${\displaystyle r_{1}s}$

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$i odpowiednio.${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$

Z tych operacji i są semirings, gdzie jest puste słowo w . ${\ Displaystyle (S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle, + \ cdot, 0 \ varepsilon)}$${\ Displaystyle (S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle, +, \ cdot, 0, \ varepsilon)}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$

Te formalne szeregi potęgowe są używane do modelowania zachowania automatów ważonych , w informatyce teoretycznej , gdy współczynniki szeregu są traktowane jako waga ścieżki z etykietą w automatach. ${\displaystyle (r,w)}$${\ Displaystyle w}$

Zastąpienie indeksu ustawionego przez uporządkowaną grupę abelową

Załóżmy, że jest to uporządkowana grupa abelowa, co oznacza grupę abelową z całkowitym uporządkowaniem uwzględniającym dodawanie grupy, tak że wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich . Pozwól mi być dobrze uporządkowany podzbiór , co oznacza, że nie zawiera nieskończony łańcuch malejącym. Rozważ zestaw składający się z ${\ Displaystyle G}$${\styl wyświetlania <}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a+c<b+c}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} a_ {i} X ^ {i}}$

dla wszystkich takich I , z w pierścieniu przemiennym , gdzie zakładamy, że dla dowolnego zestawu indeksów, jeśli wszystkie są zerowe, to suma wynosi zero. Wtedy jest pierścień formalnych szeregów potęgowych na ; ze względu na warunek, że zbiór indeksowania jest uporządkowany, iloczyn jest dobrze zdefiniowany i oczywiście zakładamy, że dwa elementy różniące się o zero są takie same. Czasami notacja jest używana do oznaczenia . ${\displaystyle a_{i}}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle a_{i}}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle [[R ^ {G}]]}$${\ Displaystyle R ((G))}$

Różne właściwości przeniesienia do . Jeśli jest polem, to i . Jeśli jest polem uporządkowanym, możemy uporządkować , ustawiając dowolny element tak, aby miał ten sam znak, co jego wiodący współczynnik, zdefiniowany jako najmniejszy element zbioru indeksów I skojarzony z niezerowym współczynnikiem. Wreszcie jeśli jest grupą podzielną i jest ciałem domkniętym rzeczywistym , to jest ciałem domkniętym rzeczywistym, a jeśli jest ciałem domkniętym algebraicznie , to tak jest . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ((G))}$

Tę teorię zawdzięcza Hansowi Hahnowi , który również wykazał, że podciała otrzymuje się, gdy liczba (niezerowych) wyrazów jest ograniczona przez pewną ustaloną nieskończoną kardynalność.

Przykłady i tematy pokrewne

• Seria Bell służy do badania właściwości multiplikatywnych funkcji arytmetycznych
• Grupy formalne służą do definiowania abstrakcyjnego prawa grupowego za pomocą formalnych szeregów potęgowych
• Seria Puiseux jest rozszerzeniem formalnej serii Laurenta, umożliwiając stosowanie wykładników ułamkowych
• Szeregi racjonalne

Zobacz też

• Pierścień o ograniczonej mocy serii

Uwagi

Bibliografia

• Berstel, Jean ; Reutenauer, Christophe (2011). Nieprzemienne szeregi wymierne z zastosowaniami . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 137 . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007 .
• Nicolas Bourbaki : Algebra , IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Dalsza lektura

• W. Kuicha. Semiringi i formalne szeregi potęgowe: ich znaczenie dla języków formalnych i teorii automatów. W G. Rozenberg i A. Salomaa, red., Handbook of Formal Languages, tom 1, rozdział 9, s. 609–677. Springer, Berlin, 1997, ISBN  3-540-60420-0
• Droste, M. i Kuich, W. (2009). Semiringi i formalne serie mocy. Podręcznik automatów ważonych , 3-28. doi : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Arto Salomaa (1990). „Języki formalne i Power Series”. W Jan van Leeuwen (red.). Modele formalne i semantyka . Podręcznik informatyki teoretycznej. B . Elsevier. s. 103–132. Numer ISBN 0-444-88074-7.