Algebra Boole'a (struktura) - Boolean algebra (structure)

W algebry abstrakcyjnej , A Boolean algebra lub Boolean kratownica jest to uzupełnione rozdzielcze kraty . Ten typ algebraiczne struktury rejestruje istotne właściwości obu zestawów operacji i logicznych operacji. Algebrę Boole'a można postrzegać jako uogólnienie algebry zbiorów potęgowych lub ciała zbiorów lub jej elementy jako uogólnione wartości prawdy . Jest to również szczególny przypadek algebry De Morgana i algebry Kleene'a (z inwolucją) .

Każdy Boole'a powoduje do logicznego pierścienia i vice versa, a pierścień mnożenie odpowiadającego związku lub spełniają ∧, i dodanie pierścienia do wyłącznego alternatywy lub różnicy symetrycznej (nie alternatywy ∨). Jednak teoria pierścieni Boole'a ma wrodzoną asymetrię między dwoma operatorami, podczas gdy aksjomaty i twierdzenia algebry Boole'a wyrażają symetrię teorii opisanej zasadą dualności .

Krata logiczna podzbiorów

Historia

Termin „algebra Boole'a” honoruje George'a Boole'a (1815-1864), samouka angielskiego matematyka. Wprowadził system algebraiczny początkowo w małej broszurze The Mathematical Analysis of Logic , opublikowanej w 1847 w odpowiedzi na trwające publiczne kontrowersje między Augustusem De Morganem i Williamem Hamiltonem , a później jako bardziej merytoryczną książkę The Laws of Thought , opublikowaną w 1854. Sformułowanie Boole'a różni się od opisanego powyżej pod pewnymi ważnymi względami. Na przykład, koniunkcja i alternatywa w Boole'a nie były podwójną parą operacji. Algebra Boole'a pojawiła się w latach 60. XIX wieku w pracach napisanych przez Williama Jevonsa i Charlesa Sandersa Peirce'a . Pierwsze systematyczne przedstawienie Boole'a i rozdzielczych krat jest należne do 1890 Vorlesungen z Ernst Schröder . Pierwszym obszernym opracowaniem algebry Boole'a w języku angielskim jest Universal Algebra z 1898 roku AN Whiteheada . Algebra Boole'a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna we współczesnym sensie aksjomatycznym zaczyna się od pracy Edwarda V. Huntingtona z 1904 roku . Algebra Boole'a osiągnęła pełnoletność jako poważna matematyka wraz z pracami Marshalla Stone'a w latach trzydziestych oraz z teorią kraty Garretta Birkhoffa z 1940 roku . W latach sześćdziesiątych Paul Cohen , Dana Scott i inni znaleźli głębokie nowe wyniki w logice matematycznej i aksjomatycznej teorii mnogości, wykorzystując odgałęzienia algebry Boole'a, a mianowicie modele wymuszania i modele o wartościach Boole'a .

Definicja

Boole'a jest sześcio- krotkę składającą się z zestaw A , wyposażony w dwa operacji binarnych ∧ (zwane „końcem” lub „i”) ∨ (zwane „join” lub „lub”), A jednoargumentowy działanie Ź (zwane " uzupełnienie” lub „nie”) oraz dwa elementy 0 i 1 w A (nazywane „dolnym” i „górnym” lub „najmniejszym” i „największym” elementem, również oznaczone odpowiednio symbolami ⊥ i ⊤), tak że dla wszystkie elementy a , b i c z A , obowiązują następujące aksjomaty :

a ( b ∨ c ) = ( a ∨ b ) ∨ c	a ( b ∧ c ) = ( a ∧ b ) ∧ c	stowarzyszenie
∨ b = b ∨	∧ b = b ∧	przemienność
a ( a ∧ b ) = a	a ( a ∨ b ) = a	wchłanianie
∨ 0 =	∧ 1 =	tożsamość
a ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c )	a ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c )	dystrybucyjność
a ∨ ¬ a = 1	a ∧ ¬ a = 0	komplementy

Zauważ jednak, że prawo absorpcji, a nawet prawo asocjacji można wykluczyć ze zbioru aksjomatów, ponieważ można je wyprowadzić z innych aksjomatów (patrz Sprawdzone własności ).

Algebra Boole'a z tylko jednym elementem nazywana jest trywialną algebrą Boole'a lub zdegenerowaną algebrą Boole'a . (W starszych pracach niektórzy autorzy wymagali, aby 0 i 1 były odrębnymi elementami, aby wykluczyć ten przypadek).

Z trzech ostatnich par aksjomatów powyżej (tożsamość, rozdzielność i komplementarność) lub z aksjomatu absorpcji wynika, że

a = b ∧ a     wtedy i tylko wtedy, gdy     a ∨ b = b .

Stosunek ≤ określa się ≤ b jeśli te równoważne warunki przechowywania, jest częściowo rozkaz z co najmniej elementem 0 i największego elementu 1. spotykają ∧ b i łączenia ∨ b dwa elementy pokrywają się z ich infimum i supremum , odpowiednio, w odniesieniu do ≤.

Pierwsze cztery pary aksjomatów stanowią definicję sieci ograniczonej .

Z pierwszych pięciu par aksjomatów wynika, że ​​każde uzupełnienie jest niepowtarzalne.

Zbiór aksjomatów jest samopodwójny w tym sensie, że jeśli zamienimy ∨ na ∧ i 0 na 1 w aksjomatach, wynik jest znowu aksjomatem. Dlatego stosując tę ​​operację do algebry Boole'a (lub kraty Boole'a), otrzymuje się inną algebrę Boole'a z tymi samymi elementami; nazywa się to jego dualem .

Przykłady

• Najprostsza nietrywialna algebra Boole'a, dwuelementowa algebra Boole'a , ma tylko dwa elementy, 0 i 1, i jest zdefiniowana przez reguły:

• Ma zastosowania w logice , interpretując 0 jako fałsz , 1 jako prawdę , jako i , ∨ jako lub i ¬ jako nie . Wyrażenia obejmujące zmienne i operacje logiczne reprezentują formy instrukcji, a dwa takie wyrażenia mogą być pokazane jako równe przy użyciu powyższych aksjomatów wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im formy instrukcji są logicznie równoważne .

• Dwuelementowa algebra Boole'a jest również używana do projektowania obwodów w elektrotechnice ; tutaj 0 i 1 reprezentują dwa różne stany jednego bitu w obwodzie cyfrowym , zazwyczaj wysokiego i niskiego napięcia . Obwody są opisane przez wyrażenia zawierające zmienne, a dwa takie wyrażenia są równe dla wszystkich wartości zmiennych wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie obwody mają takie samo zachowanie wejścia-wyjścia. Co więcej, każde możliwe zachowanie wejścia-wyjścia może być modelowane za pomocą odpowiedniego wyrażenia logicznego.

• Dwuelementowa algebra Boole'a jest również ważna w ogólnej teorii algebr Boole'a, ponieważ równanie obejmujące kilka zmiennych jest generalnie prawdziwe we wszystkich algebrach Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe w dwuelementowej algebrze Boole'a (co można sprawdzić za pomocą trywialny algorytm brute force dla małej liczby zmiennych). Można to na przykład wykorzystać do wykazania, że ​​następujące prawa ( twierdzenia konsensusu ) są ogólnie ważne we wszystkich algebrach Boole'a:
  • ( a ∨ b ) ∧ ( ¬ a ∨ c ) ∧ ( b ∨ c ) ≡ ( a ∨ b ) ∧ (¬ a ∨ c )
  • ( a ∧ b ) ∨ ( ¬ a ∧ c ) ∨ ( b ∧ c ) ≡ ( a ∧ b ) ∨ (¬ a ∧ c )

• Zespół zasilania (zestaw wszystkich podklas) z dowolnym zestawem niepusty S , tworzy logiczną Algebra o rachunku zbiorów , przy czym dwie operacje Ú: = ∪ (związek) i ∧: = ∩ (przecięcia). Najmniejszy element 0 oznacza zbiór pusty i największym elementem 1 jest zbiór S się.

• Po dwuelementowej algebrze Boole'a najprostszą algebrą Boole'a jest ta zdefiniowana przez zbiór potęgowy dwóch atomów:

• Zbiór wszystkich podzbiorów S, które są albo skończone, albo koskończone, jest algebrą Boole'a, algebrą zbiorów .
• Zaczynając od rachunku zdań z κ symboli zdaniowych, utwórz algebrę Lindenbauma (czyli zbiór zdań w rachunku zdań modulo równoważności logicznej ). Ta konstrukcja daje algebrę Boole'a. W rzeczywistości jest to wolna algebra Boole'a na generatorach κ. Przypisanie prawdziwości w rachunku zdań jest zatem homomorfizmem algebry Boole'a z tej algebry do dwuelementowej algebry Boole'a.
• Biorąc pod uwagę dowolny liniowo uporządkowany zbiór L z najmniejszym elementem, algebra przedziałów jest najmniejszą algebrą podzbiorów L zawierających wszystkie półotwarte przedziały [ a , b ) takie, że a jest w L i b jest w L lub równe . Algebry interwałowe są przydatne w badaniu algebr Lindenbauma–Tarskiego ; każda policzalna algebra Boole'a jest izomorficzna z algebrą interwałową.

Diagram Hassego algebry Boole'a dzielników liczby 30.

• Dla każdej liczby naturalne n , przy czym zestaw dodatnich dzielników z N , określającej w ≤ b jeśli jest dzieli B tworzy rozdzielczą sieć krystaliczną . Ta krata jest algebrą Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy n jest bezkwadratowe . Dolnym i górnym elementem tej algebry Boole'a jest odpowiednio liczba naturalna 1 i n . Uzupełnienie a jest podane przez n / a . Spotykają się i łączenia z i b jest przez największy wspólny dzielnik (GCD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) w i B , odpowiednio. Dodanie pierścienia a + b jest wyrażone przez lcm( a , b )/gcd( a , b ). Rysunek pokazuje przykład dla n = 30. Jako kontrprzykład, biorąc pod uwagę niekwadratowe n =60, największym wspólnym dzielnikiem liczby 30 i jej dopełnienia 2 będzie 2, podczas gdy powinien to być element dolny 1.
• Inne przykłady algebr Boole'a wynikają z przestrzeni topologicznych : jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór wszystkich podzbiorów X, które są zarówno otwarte, jak i zamknięte, tworzy algebrę Boole'a z operacjami ∨ := ∪ (union) i ∧ := ∩ (skrzyżowanie).
• Jeśli R jest dowolnym pierścieniem i zdefiniujemy zbiór centralnych idempotentów przez
  A = { e ∈ R  : e ² = e , ex = xe , ∀ x ∈ R }
  to zbiór A staje się algebrą Boole'a z operacjami e ∨ f  := e + f - ef i e ∧ f  := ef .

Homomorfizmy i izomorfizmy

Homomorfizm między dwoma logiczną algebr A i B, to funkcja f  : → B tak, że dla każdego a , b w A :

f ( a ∨ b ) = f ( a ) ∨ f ( b ),

f ( a ∧ b ) = f ( a ) ∧ f ( b ),

f (0) = 0,

f (1) = 1.

Wynika z tego, że f (¬ a ) = ¬ f ( a ) dla wszystkich a w A . Klasa wszystkich algebr Boole'a, razem z tym pojęciem morfizmu, tworzy pełną podkategorii z kategorii z krat.

Izomorfizm pomiędzy dwoma logiczną algebrami A i B jest homomorfizmem F  : → B z homomorfizmu odwrotnym, to znaczy homomorfizmem g  : B → A tak, że kompozycja g ∘ F : → jest funkcja tożsamości na A , i kompozycja f ∘ g : B → B jest funkcja tożsamości od B . Homomorfizm algebr Boole'a jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywny .

Pierścienie logiczne

Każda algebra Boole'a ( A , ∧, ∨) daje początek pierścieniowi ( A , +, ·) definiując a + b  := ( a ∧ ¬ b ) ∨ ( b ∧ ¬ a ) = ( a ∨ b ) ∧ ¬ ( a ∧ b ) (operacja ta nazywana jest różnicą symetryczną w przypadku zbiorów i XOR w przypadku logiki) oraz a · b  := a ∧ b . Element zerowy tego pierścienia pokrywa się z 0 algebry Boole'a; multiplikatywnym elementem tożsamości pierścienia jest 1 algebry Boole'a. Ten pierścień ma tę właściwość, że a · a = a dla wszystkich a w A ; pierścienie z tą właściwością nazywane są pierścieniami Boolean .

I odwrotnie, jeśli dany jest pierścień Boole'a A , możemy przekształcić go w algebrę Boole'a definiując x ∨ y  := x + y + ( x · y ) i x ∧ y  := x · y . Ponieważ te dwie konstrukcje są odwrotnością siebie, możemy powiedzieć, że każdy pierścień Boole'a wynika z algebry Boole'a i vice versa. Ponadto odwzorowanie f  : A → B jest homomorfizmem algebr Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy jest homomorfizmem pierścieni Boole'a. Te kategorie z logicznych pierścieni i algebr Boole'a są równoważne.

Hsiang (1985) podał algorytm oparty na regułach, aby sprawdzić, czy dwa dowolne wyrażenia oznaczają tę samą wartość w każdym pierścieniu boolowskim. Bardziej ogólnie, Boudet, Jouannaud i Schmidt-Schauß (1989) podali algorytm do rozwiązywania równań między dowolnymi wyrażeniami z pierścieniami boolowskimi. Wykorzystując podobieństwo pierścieni Boole'a i algebr Boole'a, oba algorytmy mają zastosowanie w automatycznym dowodzeniu twierdzeń .

Ideały i filtry

Idealny z Boole'a A jest podzbiorem I tak, że dla wszystkich x , y w I mamy x ∨ y w I i dla wszystkich A w A mamy ∧ x w I . To pojęcie ideału pokrywa się z pojęciem ideału pierścienia w pierścieniu Boole'a A . Idealnym I od A nazywa prime jeśli I ≠ A i jeśli ∧ b w I zawsze implikuje w I lub B w I . Ponadto, dla każdego a ∈ A mamy że ∧ -a = 0 ∈ I i ∈ I lub -a ∈ że dla każdego ∈ Jeśli mi jest liczbą pierwszą. Ideał I z A nazywamy maksymalnym, jeśli I ≠ A i jeśli jedynym ideałem poprawnie zawierającym I jest samo A. Idealnego I , jeśli ∉ I i -a ∉ I , a następnie , że ∪ { } lub I ∪ { -a } jest prawidłowo umieszczone wewnątrz ideału J . Stąd, że I nie jest maksymalne i dlatego pojęcia ideału pierwszego i ideału maksymalnego są równoważne w algebrach Boole'a. Co więcej, pojęcia te pokrywają się z pojęciami teorii pierścieni o ideale pierwszym i maksymalnym w pierścieniu Boole'a A .

Podwójnym ideałem jest filtr . Filtr z Boole'a A jest podzbiorem P tak, że dla wszystkich x , y w s mamy x ∧ y w s i dla wszystkich A w A mamy ∨ x w p . Podwójną wartością maksymalną (lub pierwszą ) ideału w algebrze Boole'a jest ultrafiltr . Ultrafiltry można alternatywnie opisać jako dwuwartościowe morfizmy od A do dwuelementowej algebry Boole'a. Stwierdzenie, że każdy filtr w algebrze Boole'a może być rozszerzony do ultrafiltra nazywa się Twierdzeniem Ultrafilter i nie może być udowodnione w ZF , jeśli ZF jest spójne . W ZF jest on ściśle słabszy niż aksjomat wyboru . Twierdzenie Ultrafilter ma wiele równoważnych sformułowań: każda algebra Boole'a ma ultrafiltr , każdy ideał w algebrze Boole'a może być rozszerzony do ideału pierwszego itd.

Reprezentacje

Można wykazać, że każda skończona algebra Boole'a jest izomorficzna z algebrą Boole'a wszystkich podzbiorów zbioru skończonego. Dlatego liczba elementów każdej skończonej algebry Boole'a jest potęgą dwójki .

Kamieniem obchodzony Twierdzenie o reprezentacji algebr Boole'a państw, które każdy Boole'a jest izomorficzna z algebrą Boole'a wszystkich clopen zestawów w niektórych ( kompaktowej całkowicie odłączony Hausdorffa ) przestrzeni topologicznej.

Aksjomatyka

Pierwszą aksjomatyzację krat/algebr Boole'a w ogóle przedstawił angielski filozof i matematyk Alfred North Whitehead w 1898 roku. Zawierała ona powyższe aksjomaty i dodatkowo x ∨1=1 i x ∧0=0. W 1904 r. amerykański matematyk Edward V. Huntington (1874–1952) przedstawił prawdopodobnie najbardziej oszczędną aksjomatyzację opartą na ∧, ∨, ¬, udowadniając nawet prawa asocjacyjności (patrz tab.). Udowodnił również, że te aksjomaty są od siebie niezależne . W 1933 Huntington przedstawił następującą elegancką aksjomatyzację algebry Boole'a. Wymaga tylko jednej operacji binarnej + i jednoargumentowego symbolu funkcjonalnego n , który należy odczytywać jako „uzupełnienie”, które spełniają następujące prawa:

1. Przemienność : x + y = y + x .
2. Łączność : ( x + y ) + z = x + ( y + z ).
3. Równanie Huntingtona : n ( n ( x )+ y )+ n ( n ( x )+ n ( y ))= x .

Herbert Robbins natychmiast zapytał: Jeśli równanie Huntingtona zostanie zastąpione jego liczbą dualną, to znaczy:

4. Równanie Robbinsa : n ( n ( x + y ) + n ( x + n ( y ))) = x ,

czy (1), (2) i (4) stanowią podstawę algebry Boole'a? Nazywając (1), (2) i (4) algebrę Robbinsa, pojawia się pytanie: Czy każda algebra Robbinsa jest algebrą Boole'a? To pytanie (które stało się znane jako przypuszczenie Robbinsa ) pozostawało otwarte przez dziesięciolecia i stało się ulubionym pytaniem Alfreda Tarskiego i jego uczniów. W 1996 roku William McCune z Argonne National Laboratory , opierając się na wcześniejszych pracach Larry'ego Wosa, Steve'a Winkera i Boba Veroffa, odpowiedział twierdząco na pytanie Robbinsa: Każda algebra Robbinsa jest algebrą Boole'a. Kluczowe znaczenie dla dowodu McCune'a miał program komputerowy EQP, który zaprojektował. Dla uproszczenia dowodu McCune'a patrz Dahn (1998).

Wykonano dalsze prace nad zmniejszeniem liczby aksjomatów; zobacz Minimalne aksjomaty dla algebry Boole'a .

Uogólnienia

Usunięcie wymogu istnienia jednostki z aksjomatów algebry Boole'a daje „uogólnione algebry Boole'a”. Formalnie sieć dystrybucyjna B jest uogólnioną siecią Boole'a, jeśli ma najmniejszy element 0 i dla dowolnych elementów a i b w B takich, że a ≤ b , istnieje element x taki, że a x = 0 i a ∨ x = b. Definiując a ∖ b jako unikalny x taki, że (a ∧ b) ∨ x = a i (a ∧ b) ∧ x = 0, mówimy, że struktura (B,∧,∨,∖,0) jest uogólnioną wartością logiczną algebra , natomiast (B,∨,0) jest uogólnioną półsiecią Boole'a . Uogólnione kraty Boole'a są dokładnie ideałami krat Boole'a.

Struktura, która spełnia wszystkie aksjomaty algebr Boole'a, z wyjątkiem dwóch aksjomatów rozdzielności, nazywa się kratą ortokomplementowaną . Kraty ortodopełnione powstają naturalnie w logice kwantowej jako kraty zamkniętych podprzestrzeni dla separowalnych przestrzeni Hilberta .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Prace cytowane

• Davey, licencjat; Priestley, HA (1990). Wprowadzenie do Krat i Porządku . Podręczniki matematyczne Cambridge. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Cohn, Paul M. (2003), Basic Algebra: Grupy, pierścienie i pola , Springer, s. 51, 70-81, ISBN 9781852335878
• Givant, Steven; Halmos, Paul (2009), Wprowadzenie do algebr Boole'a , Teksty licencjackie z matematyki , Springer , ISBN 978-0-387-40293-2.
• Goodstein, RL (2012), „Rozdział 2: Samodwójny system aksjomatów” , Boolean Algebra , Courier Dover Publications, s. 21ff, ISBN 9780486154978
• Huntington, Edward V. (1904). „Zestawy niezależnych postulatów algebry logiki” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 5 (3): 288–309. doi : 10.1090/s0002-9947-1904-1500675-4 . JSTOR  1986459 .
• Padmanabhan, Ranganathan; Rudeanu, Sergiu (2008), Aksjomaty dla krat i algebr logicznych , World Scientific, ISBN 978-981-283-454-6.
• Kamień, Marshall H. (1936). „Teoria reprezentacji dla algebry Boole'a” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 40 : 37–111. doi : 10.1090/s0002-9947-1936-1501865-8 .
• Whitehead, AN (1898). Traktat o algebrze uniwersalnej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-1-4297-0032-0.

Ogólne odniesienia

• Brown, Stephen; Vranesic, Zvonko (2002), Podstawy logiki cyfrowej z VHDL Design (2nd ed.), McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-249938-4. Patrz rozdział 2.5.
• Boudet, A.; Jouannaud, JP; Schmidt-Schauß, M. (1989). „Zjednoczenie w pierścieniach logicznych i grupach abelowych” . Dziennik Obliczeń Symbolicznych . 8 (5): 449–477. doi : 10.1016/s0747-7171(89)80054-9 .
• Cori, René; Lascar, Daniel (2000), Logika matematyczna: kurs z ćwiczeniami , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850048-3. Zobacz rozdział 2.
• Dahn, BI (1998), „Robbins Algebras są Boolean: Revision of McCune's Computer-Generated Solution of the Robbins Problem”, Journal of Algebra , 208 (2): 526-532, doi : 10.1006/jabr.1998.7467.

• Halmos, Paul (1963), Wykłady z algebr Boole'a , Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90094-0.
• Halmos, Paweł ; Givant, Steven (1998), Logika jako algebra , Dolciani Mathematical Expositions, 21 , Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-327-6.
• Huntington, EV (1933a), „Nowe zbiory niezależnych postulatów dla algebry logiki” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 35 (1): 274-304, doi : 10.2307/1989325 , JSTOR  1989325.
• Huntington, EV (1933b), "Algebra Boole'a: korekta", Transactions of the American Mathematical Society , 35 (2): 557-558, doi : 10.2307/1989783 , JSTOR  1989783
• Hsiang, Jieh (2007). „Dowodzenie twierdzenia obalającego za pomocą systemów przepisywania terminów” . Sztuczna Inteligencja . 25 (3): 255–300. arXiv : cond-mat/0606434 . doi : 10.1016/0004-3702(85)90074-8 .
• Mendelson, Elliott (1970), Algebra Boole'a i układy przełączające , Schauma Outline Series w matematyce , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-041460-0
• Monk, J. Donald; Bonnet, R., wyd. (1989), Podręcznik algebr Boole'a , Holandia Północna , ISBN 978-0-444-87291-3. W 3 tomach. (Tom 1: ISBN  978-0-444-70261-6 , Vol.2: ISBN  978-0-444-87152-7 , Vol.3: ISBN  978-0-444-87153-4 )
• Sikorski, Roman (1966), Algebry Boole'a , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer Verlag.
• Stoll, RR (1963), Teoria mnogości i logika , WH Freeman, ISBN 978-0-486-63829-4. Przedrukowane przez Dover Publications , 1979.

Zewnętrzne linki

• "Algebra Boole'a" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ The Mathematics of Boolean Algebra ”, J. Donald Monk.
• McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263-276
• "Boole'a" przez Eric W. Weisstein , demonstracji Wolfram Projektu 2007.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP, 1981. Kurs algebry uniwersalnej. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2 .
• Weisstein, Eric W. "Algebra Boole'a" . MatematykaŚwiat .