Odmiana afiniczna - Affine variety

W algebraicznej geometrii , na rozmaitość liniowa lub afinicznej różnych algebraiczną , nad algebraicznie zamkniętego pola k jest zero-locus w afinicznej przestrzeni k ⁿ niektórych skończonej rodziny wielomianów z n zmiennych współczynnikach w k generujących ideałem . Jeśli usuniemy warunek generowania ideału pierwszej, to taki zbiór nazywamy zbiorem algebraicznym (afinicznym) . Zariski otwarty subvariety o rozmaitość liniowa nazywa się odmiana quasi-afiniczne .

Niektóre teksty nie wymagają ideału pierwszego, a nieredukowalną nazywają rozmaitością algebraiczną określoną przez ideał pierwszy. Ten artykuł odnosi się do zerowych loci niekoniecznie pierwszych ideałów jako afinicznych zbiorów algebraicznych .

W niektórych kontekstach przydatne jest odróżnienie ciała k, w którym uwzględniane są współczynniki, od ciała algebraicznie domkniętego K (zawierającego k ), nad którym rozważane jest miejsce zerowe (czyli punkty odmiany afinicznej znajdują się w K ⁿ ). W tym przypadku, różnorodność jest powiedziane, zdefiniowane przez k , a punkty, które należą do różnych k ⁿ mówi k -rational lub racjonalne nad k . W powszechnym przypadku, gdy k jest ciałem liczb rzeczywistych , k -punkt wymierny nazywamy punktem rzeczywistym . Gdy pole k nie jest określone, punktem wymiernym jest punkt, który jest wymierny względem liczb wymiernych . Na przykład ostatnie twierdzenie Fermata zapewnia, że ​​afiniczna rozmaitość algebraiczna (jest to krzywa) zdefiniowana przez x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0 nie ma żadnych punktów wymiernych dla dowolnej liczby całkowitej n większej niż dwa.

Wstęp

Afinicznej algebraiczna zbiór jest zbiorem rozwiązań w algebraicznie zamkniętego pola k z układu równań wielomianowych, ze współczynnikami w k . Dokładniej, jeśli są wielomianami o współczynnikach w k , definiują zbiór afiniczny algebraiczny ${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{m}}$

${\ Displaystyle V (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) = \ lewo \ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ w k ^ {n} \; | \; f_ {1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Afiniczne (algebraiczne) odmiana jest afiniczne algebraiczne zestaw, który nie jest sumą dwóch odpowiednich afinicznych algebraicznych podzbiorów. Często mówi się, że taki zbiór afiniczny jest nieredukowalny .

Jeśli X jest afinicznym zbiorem algebraicznym, a I jest ideałem wszystkich wielomianów, które są zerowe na X , to pierścień ilorazowy nazywa się${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / I}$ pierścień współrzędnych zX. JeśliXjest odmianą afiniczną, toIjest liczbą pierwszą, więc pierścień współrzędnych jest domeną integralną. Elementy pierścienia współrzędnychRsą również nazywanefunkcjami regularnymilubfunkcjami wielomianowymiodmiany. Tworząpierścień regularnych funkcji na odmianie lub po prostupierścień odmiany; innymi słowy (patrz#Snop struktury), jest to przestrzeń globalnych odcinków snopa strukturyX.

Wymiar różnych oznacza liczbę całkowitą związane z każdym wielu, a nawet do każdego algebraicznej zestawu, którego znaczenie polega na wielu jego odpowiednik definicji (patrz wymiar algebraicznej odmiany ).

Przykłady

• Dopełnienie hiperpowierzchni w odmianie afinicznej X (czyli X - { f = 0 } dla pewnego wielomianu f ) jest afiniczne. Równania definiujące jego uzyskuje się przez nasycanie przez F określającej ideału X . Pierścień współrzędnych jest więc lokalizacją .${\ Displaystyle k [X][f ^ {-1}]}$
• W szczególności (linia afiniczna z usuniętym pochodzeniem) jest afiniczna.${\ Displaystyle \ mathbb {C} -0}$
• Z drugiej strony (płaszczyzna afiniczna z usuniętym pochodzeniem) nie jest odmianą afiniczną; por. Twierdzenie Hartogsa o ​​rozszerzeniu .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}-0}$
• Podrozmaitościami kowymiaru pierwszego w przestrzeni afinicznej są dokładnie hiperpowierzchnie, czyli odmiany określone przez pojedynczy wielomian.${\ Displaystyle k ^ {n}}$
• Normalizacji z nieredukowalnego różnych afinicznej jest afiniczne; pierścień współrzędnych normalizacji jest integralnym zamknięciem pierścienia współrzędnych odmiany. (Podobnie normalizacja odmiany projekcyjnej jest odmianą projekcyjną).

Punkty racjonalne

Dla rozmaitość liniowa nad algebraicznie zamkniętego pola K oraz podpola K z K , a k - racjonalnego punktu z V jest punktem Oznacza to, że punkt V , którego współrzędne są elementami k . Zbiór k -punktów wymiernych odmiany afinicznej V jest często oznaczany Często, jeśli polem bazowym są liczby zespolone C , punkty, które są R -wymierne (gdzie R to liczby rzeczywiste ) nazywamy punktami rzeczywistymi odmiany, a Q punktów -rational ( Q z liczb wymiernych ) są często nazywany po prostu racjonalne punktów . ${\ Displaystyle V \ podseteq K ^ {n}}$${\ Displaystyle p \ w V \ czapka k ^ {n}.}$${\displaystyle V(k).}$

Na przykład (1, 0) jest punktem Q- racjonalnym i R- racjonalnym dla odmiany, tak jak w V, a wszystkie jego współrzędne są liczbami całkowitymi. Punkt ( √ 2 /2, √ 2 /2) jest rzeczywistym punktem V, który nie jest Q -racjonalny i jest punktem V, który nie jest R -racjonalny. Ta odmiana nazywana jest kołem , ponieważ zbiór jej punktów wymiernych R jest jednostkowym kołem . Ma nieskończenie wiele Q -punktów racjonalnych, które są punktami ${\ Displaystyle V = V (x ^ {2} + Y ^ {2}-1) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle (ja {\ sqrt {2}})}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} {\ Frac {2 t} {1 + t ^ {2}}} \ prawej)}$

gdzie t jest liczbą wymierną.

Okrąg jest przykładem krzywej algebraicznej stopnia drugiego, która nie ma punktu wymiernego Q. Można to wywnioskować z faktu, że modulo 4 suma dwóch kwadratów nie może być równa 3 . ${\ Displaystyle V (x ^ {2} + Y ^ {2} -3) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}}$

Można udowodnić, że krzywa algebraiczna drugiego stopnia z punktem Q- racjonalnym ma nieskończenie wiele innych punktów Q- racjonalnych; każdy taki punkt jest drugim punktem przecięcia krzywej i linią o nachyleniu wymiernym przechodzącym przez punkt wymierny.

Odmiana złożona nie ma punktów R -racjonalnych, ale ma wiele punktów złożonych. ${\ Displaystyle V (x ^ {2} + Y ^ {2} + 1) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}}$

Jeśli V jest odmianą afiniczną w C ² zdefiniowaną przez liczby zespolone C , punkty wymierne R V mogą być narysowane na kartce papieru lub za pomocą oprogramowania graficznego. Rysunek po prawej pokazuje R -punkty wymierne${\ Displaystyle V (y ^ {2}-x ^ {3} + x ^ {2} + 16x) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}.}$

Punkty osobliwe i przestrzeń styczna

Niech V będzie odmianą afiniczną określoną przez wielomiany i będzie punktem V . ${\ Displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {r} \ w k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}],}$${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ kropki, a_ {n})}$

Jakobian matrycy J _V ( ) z V na jest macierzą pochodnych cząstkowych

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy f_ {j}}{\ częściowy {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ kropki, a_ {n}).}$

Punkt jest regularny , jeżeli rangę J _V ( ) równa codimension z V i pojedynczą inaczej.

Jeśli jest regularne, przestrzeni stycznej do V przy jest afiniczne podprzestrzeń o określony przez równań liniowych${\ Displaystyle k ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy f_ {j}}} {\ częściowy {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ kropki, a_ {n} )(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Jeśli punkt jest osobliwy, afiniczna podprzestrzeń określona tymi równaniami jest również nazywana przez niektórych autorów przestrzenią styczną, podczas gdy inni autorzy twierdzą, że w punkcie osobliwym nie ma przestrzeni stycznej. Bardziej wewnętrzną definicję, która nie używa współrzędnych, podaje przestrzeń styczna Zariskiego .

Topologia Zariskiego

Afiniczne zbiory algebraiczne k ⁿ tworzą zamknięte zbiory topologii na k ⁿ , zwane topologią Zariskiego . Wynika to z faktu, że i (w rzeczywistości policzalne przecięcie zbiorów afinicznych jest zbiorem algebraicznym afinicznym). ${\ Displaystyle V (0) = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$ ${\displaystyle V(1)=\pusty zestaw,}$ ${\ Displaystyle V (S) \ filiżanka V (T) = V (ST)}$${\ Displaystyle V (S) \ czapka V (T) = V (S + T)}$

Topologię Zariskiego można również opisać za pomocą podstawowych zbiorów otwartych , gdzie zbiory Zariskiego-otwarte są przeliczalnymi sumami zbiorów postaci dla Te podstawowe zbiory otwarte są dopełnieniami w k ⁿ zbiorów domkniętych zerowych loci pojedynczego wielomianu. Jeśli k jest noetherianem (na przykład, jeśli k jest ciałem lub główną dziedziną idealną ), to każdy ideał k jest skończenie generowany, więc każdy zbiór otwarty jest skończoną sumą podstawowych zbiorów otwartych. ${\ Displaystyle U_ {f} = \ {p \ w k ^ {n}: f (p) \ neq 0 \}}$${\ Displaystyle f \ w k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$${\ Displaystyle V (f) = D_ {f} = \ {p \ w k ^ {n}: f (p) = 0 \}}$

Jeśli V jest afiniczną podrozmaitością k ^n, topologia Zariskiego na V jest po prostu topologią podprzestrzenną odziedziczoną z topologii Zariskiego na k ⁿ .

Korespondencja geometria–algebr

Struktura geometryczna odmiany afinicznej jest głęboko powiązana ze strukturą algebraiczną jej pierścienia współrzędnych. Niech I i J będą ideałami k[V] , pierścienia koordynacyjnego odmiany afinicznej V . Niech I(V) będzie zbiorem wszystkich wielomianów, w których znika na V , i niech oznacza rodnik idealnego I , zbiór wielomianów f dla których pewna potęga f jest w I . Powodem, że pole baza wymagane jest algebraicznie zamknięte jest, że odmiany afiniczne automatycznie zaspokoić nullstellensatz Hilberta : za idealną J w którym k jest ciało algebraicznie domknięte,${\displaystyle k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\ Displaystyle {\ sqrt {I}}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\ Displaystyle I (V (J)) = {\ sqrt {J}}.}$

Ideały radykalne (ideały będące ich własnymi rodnikami) k[V] odpowiadają podzbiorom algebraicznym V . Rzeczywiście, dla radykalnych ideałów I i J , wtedy i tylko wtedy, gdy Stąd V(I)=V(J) wtedy i tylko wtedy , gdy I=J . Co więcej, funkcja pobierająca afiniczny zbiór algebraiczny W i zwracająca I(W) , zbiór wszystkich funkcji, które również znikają we wszystkich punktach W , jest odwrotnością funkcji przypisującej zbiór algebraiczny do radykalnego ideału przez nullstellensatz. Stąd korespondencja między afinicznymi zbiorami algebraicznymi a radykalnymi ideałami jest bijekcją. Pierścień współrzędnych afinicznego zbioru algebraicznego jest redukowany (wolny od nilpotentu), ponieważ idealne I w pierścieniu R jest rodnikowe wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz pierścienia R/I jest zmniejszony. ${\displaystyle I\subseteq J}$${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I).}$

Pierwotne ideały pierścienia współrzędnych odpowiadają pododmianom afinicznym. Afiniczny zbiór algebraiczny V(I) można zapisać jako sumę dwóch innych zbiorów algebraicznych wtedy i tylko wtedy , gdy I=JK dla odpowiednich ideałów J i K nierównych I (w takim przypadku ). Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy nie jestem pierwsza. Pododmiany afiniczne to właśnie te, których pierścień współrzędnych jest domeną integralną. Dzieje się tak dlatego, że ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz pierścienia przez ideał jest dziedziną integralną. ${\ Displaystyle V (I) = V (J) \ filiżanka V (K)}$

Ideały maksymalne k[V] odpowiadają punktom V . Jeśli I i J są ideałami radykalnymi, to wtedy i tylko wtedy, gdy Jako ideały maksymalne są radykalne, ideały maksymalne odpowiadają minimalnym zbiorom algebraicznym (tym, które nie zawierają odpowiednich podzbiorów algebraicznych), które są punktami w V . Jeśli V jest rozmaitością afiniczną z pierścieniem współrzędnych, ta zgodność staje się wyraźna poprzez mapę, gdzie oznacza obraz w algebrze ilorazu R wielomianu Podzbiór algebraiczny jest punktem wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień współrzędnych podzbioru jest ciałem, ponieważ iloraz pierścienia przez maksymalny ideał jest polem. ${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I)}$${\ Displaystyle I \ subseteq J.}$${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / \ langle f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ rangle,}$${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto \ langle {\ overline {x_ {1}-a_ {1}}}, \ ldots, {\ overline {x_ {n} -a_ {n}}}\rangle ,}$${\ Displaystyle {\ overline {x_ {i}-a_ {i}}}}$${\ Displaystyle x_ {i}-a_ {i}.}$

Poniższa tabela podsumowuje tę zależność dla podzbiorów algebraicznych odmiany afinicznej i ideałów odpowiedniego pierścienia współrzędnych:

Typ zbioru algebraicznego	Rodzaj ideału	Rodzaj pierścienia współrzędnych
afiniczny podzbiór algebraiczny	radykalny ideał	zredukowany pierścień
pododmiana pokrewna	idealny ideał	domena integralna
punkt	maksymalny ideał	pole

Produkty odmian afinicznych

Iloczyn odmian afinicznych można zdefiniować za pomocą izomorfizmu A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , a następnie osadzając produkt w tej nowej przestrzeni afinicznej. Niech A ⁿ i A ^m mają odpowiednio pierścienie współrzędnych k [ x ₁ ,...,  x _n ] i k [ y ₁ ,...,  y _m ] , tak aby ich iloczyn A ^{n + m} miał pierścień współrzędnych k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] . Niech V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ) będzie podzbiorem algebraicznym A ⁿ , a W  =  V (  g ₁ ,...,  g _M ) podzbiorem algebraicznym A ^m . Następnie każdy F _I jest wielomianem k [ x ₁ , ...,  x _n ] , a każdy g _j w k [ Y ₁ , ...,  Y _m ] . Produkt z V i W są zdefiniowane jak algebraiczny zestawu V  x  W  =  V (  f ₁ , ...,  K _N ,  g ₁ , ...,  g _M ) w A ^{n + m} . Produkt jest nieredukowalny, jeśli każde V , W jest nieredukowalne.

Należy zauważyć, że topologia Zariskiego na A ⁿ  ×  A ^m  nie jest iloczynem topologicznym topologii Zariskiego na tych dwóch przestrzeniach. Rzeczywiście, topologia iloczynowa jest generowana przez iloczyny podstawowych zbiorów otwartych U _f  =  A ⁿ  -  V (  f  ) i T _g  =  A ^m  -  V (  g  ). Stąd wielomiany, które są w k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] ale nie w k [ x ₁ ,...,  x _n ] lub k [ y ₁ ,. ..,  y _m ] zdefiniują zbiory algebraiczne, które są w topologii Zariskiego na A ⁿ  ×  A ^m  , ale nie w topologii produktu.

Morfizmy odmian afinicznych

Morfizmem lub regularne linki, odmian afinicznych jest funkcją między odmianami afinicznych który jest wielomianem względem każdej współrzędnej: dokładniej, na afinicznej odmiany V ⊆ k, ⁿ i W ⊆ k, ^m , A morfizmem od V do W jest mapą φ  : V → W postaci φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), gdzie f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] dla każdego i = 1, ..., m . Są to morfizmy w kategorii odmian afinicznych.

Jest korespondencja jeden do jednego między morfizmów odmian afinicznych nad algebraicznie zamkniętym polu k , i Homomorfizmy koordynować pierścienie odmian afinicznych ponad k zmierza w kierunku przeciwnym. Z tego powodu, wraz z faktem, że istnieje zależność jeden do jednego między odmianami afinicznymi powyżej k i ich pierścieniami współrzędnymi, kategoria odmian afinicznych powyżej k jest podwójna do kategorii pierścieni koordynacyjnych odmian afinicznych powyżej k . Kategoria pierścieni współrzędnych odmian afinicznych nad k jest dokładnie kategorią skończenie generowanych, bezpotencjalnych algebr nad k .

Dokładniej, dla każdego morfizmu φ  : V → W odmian afinicznych istnieje homomorfizm φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] między pierścieniami współrzędnych (idzie w przeciwnym kierunku), a dla każdego takiego homomorfizmu istnieje jest morfizmem odmian związanych z pierścieniami współrzędnych. Można to wyraźnie pokazać: niech V ⊆ k ⁿ i W ⊆ k ^m będą odmianami afinicznymi z pierścieniami współrzędnych k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I oraz k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J odpowiednio. Niech φ  : V → W będzie morfizmem. Rzeczywiście, homomorfizm między pierścieniami wielomianowymi θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I rozkłada się jednoznacznie przez pierścień k [ X ₁ , .. ., X _n ], a homomorfizm ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] jest jednoznacznie określony przez obrazy Y ₁ , .. ., Y _m . Stąd każdy homomorfizm φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] jednoznacznie odpowiada wyborowi obrazu dla każdego Y _i . Następnie mając dowolny morfizm φ = ( f ₁ , ..., f _m ) od V do W , można skonstruować homomorfizm φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] który wysyła Y _i do gdzie jest klasa równoważności f _i w k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

Podobnie, dla każdego homomorfizmu pierścieni współrzędnych można skonstruować morfizm odmian afinicznych w przeciwnym kierunku. Odzwierciedlając powyższy akapit, homomorfizm φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] wysyła Y _i do wielomianu w k [ V ] . Odpowiada to morfizmowi odmian φ  : V → W zdefiniowanemu przez φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., _n )). ${\ Displaystyle f_ {i} (X_ {1}, \ kropki, X_ {n})}$

Snop struktury

Wyposażona w opisany poniżej snop struktury odmiana afiniczna jest lokalnie obrączkowaną przestrzenią .

Mając rozmaitość afiniczną X z pierścieniem współrzędnych A , snop k- algebr jest definiowany przez przyzwolenie na bycie pierścieniem funkcji regularnych na U . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Niech D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 } dla każdego f w A . Tworzą one bazę dla topologii X, a więc są określane przez jej wartości na zbiorach otwartych D ( f ). (Zobacz też: snop modułów#Snop skojarzony z modułem .) ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {X}}$

Kluczowy fakt, który w zasadniczy sposób opiera się na Hilbercie nullstellensatz , jest następujący:

Dowód: Włączenie ⊃ jest jasne. Z drugiej strony niech g będzie po lewej stronie i , co jest ideałem. Jeśli x jest w D ( f ), to ponieważ g jest regularne w pobliżu x , istnieje pewne otwarte sąsiedztwo afiniczne D ( h ) z x takie, że ; czyli H ^m g w A , a zatem x jest w V ( J ). Innymi słowy, a zatem Hilbert nullstellensatz implikuje f jest w rodniku J ; czyli .${\ Displaystyle J = \ {h \ w A | hg \ w A \}}$${\ Displaystyle g \ w k [D (h)] = A [h ^ {-1}]}$ ${\ Displaystyle V (J) \ podzbiór \ {x | f (x) = 0 \}}$${\ Displaystyle f ^ {n} g \ w A}$${\displaystyle \kwadrat}$

Twierdzenie to przede wszystkim sugeruje, że X jest przestrzenią „lokalnie otoczoną”, ponieważ

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x} = \ varinjlim _ {f (x) \ neq 0} A [f ^ {-1}] = A_ {{\ mathfrak {m}} _ { x}}}$

gdzie . Po drugie, twierdzenie sugeruje, że jest to snop; rzeczywiście mówi, że jeśli funkcja jest regularna (punktowa) na D ( f ), to musi znajdować się w pierścieniu współrzędnych D ( f ); to znaczy „regularność” można łatać razem. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {f \ w A | f (x) = 0 \}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {X}}$

Stąd jest lokalnie obrączkowana przestrzeń. ${\ Displaystyle (X {\ Mathcal {O}} _ {X})}$

Twierdzenie Serre'a o powinowactwie

Twierdzenie Serre daje cohomological Charakteryzacja rozmaitość liniowa; mówi, że rozmaitość algebraiczna jest afiniczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego quasi-koherentnego snopa F na X . (por . twierdzenie Cartana B .) To sprawia, że ​​badanie kohomologiczne odmiany afinicznej nie istnieje, w ostrym kontraście do przypadku projekcyjnego, w którym grupy kohomologiczne wiązek liniowych są w centrum zainteresowania. ${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F) = 0}$${\displaystyle i>0}$

Afiniczne grupy algebraiczne

Rozmaitość afiniczna G nad ciałem algebraicznie domkniętym k nazywana jest afiniczną grupą algebraiczną, jeśli ma:

• Mnożenie μ :  G  x  G  →  G , która jest regularnie morfizmem który następuje Zespolenie aksjomatykę, to znaczy tak, że μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  | j ( g ,  h )) dla wszystkie punkty f , g i h w G ;
• Element tożsamości e taki, że μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g dla każdego g w G ;
• Morfizmem odwrotny , regularny bijection ι :  G  →  G w taki sposób, μ ( ι ( g )  g ) =  μ ( ι ( g )  g ) =  E dla każdego g z G .

Razem definiują one strukturę grupy na odmianie. Powyższe morfizmy są często zapisywane przy użyciu zwykłego zapisu grupowego: μ ( f ,  g ) można zapisać jako f  +  g , f ⋅ g , lub fg ; odwrotność ι ( g ) można zapisać jako − g lub g ⁻¹ . Używając notacji multiplikatywnej, asocjatywność, tożsamość i prawa odwrotne można przepisać jako: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  np.  =  g i gg ^-1  =  g ^-1 g  =  e .

Najbardziej znanym przykładem afinicznej grupy algebraicznej jest GL _n ( k ) ogólnie grupę liniową stopnia n . Jest to grupa przekształceń liniowych przestrzeni wektorowej k ⁿ ; gdy podstawa o k ⁿ , jest stały, jest to równoznaczne z grupy n x n odwracalnych matryc z wpisami k . Można wykazać, że każda afiniczna grupa algebraiczna jest izomorficzna z podgrupą GL _n ( k ) . Z tego powodu afiniczne grupy algebraiczne są często nazywane liniowymi grupami algebraicznymi .

Afiniczne grupy algebraiczne odgrywają ważną rolę w klasyfikacji skończonych grup prostych , ponieważ grupy typu Lie są wszystkimi zbiorami F _{q -} punktów wymiernych afinicznej grupy algebraicznej, gdzie F _q jest ciałem skończonym.

Uogólnienia

• Jeśli autor wymaga, aby ciało bazowe rozmaitości afinicznej było algebraicznie domknięte (jak to czyni ten artykuł), to nieredukowalne afiniczne zbiory algebraiczne nad ciałami niealgebraicznie domkniętymi są uogólnieniem rozmaitości afinicznych. To uogólnienie obejmuje w szczególności odmiany afiniczne w stosunku do liczb rzeczywistych .

• Rozmaitość afiniczna pełni rolę wykresu lokalnego dla rozmaitości algebraicznych ; to znaczy, ogólne rozmaitości algebraiczne, takie jak rozmaitości rzutowe, uzyskuje się przez sklejanie rozmaitości afinicznych. Struktury liniowe, które są dołączone do odmian, są również (trywialnie) odmianami afinicznymi; np. przestrzenie styczne, włókna algebraicznych wiązek wektorowych .

• Odmiana afiniczna jest szczególnym przypadkiem schematu afinicznego , lokalnie obrączkowanej przestrzeni, która jest izomorficzna z widmem pierścienia przemiennego (do równoważności kategorii ). Każda odmiana afiniczna ma powiązany z nią schemat afiniczny: jeśli V(I) jest odmianą afiniczną w k ⁿ z pierścieniem współrzędnych R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , to schemat odpowiadający V( I) to Spec( R ), zbiór ideałów pierwszych R . Schemat afiniczny ma „punkty klasyczne”, które odpowiadają punktom odmiany (a więc maksymalnym ideałom pierścienia współrzędnych odmiany), a także punkt dla każdej zamkniętej pododmiany odmiany (punkty te odpowiadają pierwszym, niemaksymalnym ideały pierścienia współrzędnych). Stwarza to lepiej zdefiniowane pojęcie „punktu ogólnego” odmiany afinicznej, przypisując każdej zamkniętej podrozmaitości punkt otwarty, który jest gęsty w podrozmaitości. Bardziej ogólnie, schemat afiniczny jest odmianą afiniczną, jeśli jest zredukowany , nieredukowalny i typu skończonego nad ciałem algebraicznie domkniętym k .

Uwagi

Zobacz też

• rozmaitość algebraiczna
• schemat afiniczny
• Reprezentacje na pierścieniach współrzędnych

Bibliografia

Oryginalny artykuł został napisany jako częściowe ludzkie tłumaczenie odpowiadającego artykułu francuskiego.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Teksty podyplomowe z matematyki , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, numer MR  0463157
• Fulton, William (1969). Krzywe algebraiczne (PDF) . Addisona-Wesleya. Numer ISBN 0-201-510103.
• Milne, JS (2017). "Geometria algebraiczna" (PDF) . www.jmilne.org . Pobrano 16 lipca 2021 .
• Milne, Wykłady z kohomologii Étale
• Mumford, David (1999). Czerwona Księga Odmian i Schematów: Obejmuje Wykłady Michigan (1974) na temat Krzywych i Ich Jakobianów . Notatki z wykładu z matematyki. 1358 (wyd. 2). Springer-Verlag . doi : 10.1007/b62130 . Numer ISBN 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Studia licencjackie z geometrii algebraicznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-35662-8.