Wymiar Krulla - Krull dimension

W przemiennej algebry The wymiar Krull z pierścienia przemiennego R , nazwany Wolfgang Krull , jest Supremum od długości wszystkich łańcuchów ideał pierwszy . Wymiar Krulla nie musi być skończony nawet dla pierścienia Noetherian . Mówiąc bardziej ogólnie, wymiar Krulla można zdefiniować dla modułów nad prawdopodobnie nieprzemiennymi pierścieniami jako odchylenie pozycji podmodułów.

Wymiar Krull została wprowadzona w celu umożliwienia algebraiczny definicji wymiaru algebraicznej odmiany : wymiaru na rozmaitość liniowa określonym przez idealny I w wielomian pierścienia R jest wymiar Krull z R / I .

Polu k ma wymiar Krull 0; bardziej ogólnie, k [ x ₁ , ..., x _n ] ma wymiar Krulla n . Dziedzina ideałów głównych , że nie jest to pole ma wymiar Krull 1. pierścień lokalny ma wymiar Krull 0 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element swojej maksymalnej ideału jest nilpotent.

Istnieje kilka innych sposobów określenia rozmiaru pierścionka. Większość z nich pokrywa się z wymiarem Krulla dla pierścieni Noetherian, ale mogą się różnić dla pierścieni innych niż Noetherian.

Wyjaśnienie

Mówimy, że łańcuch pierwszych ideałów postaci ma długość n . Oznacza to, że długość to liczba ścisłych wtrąceń, a nie liczba liczb pierwszych; różnią się one o 1. Definiujemy wymiar Krull o być Supremum od długości wszystkich łańcuchów ideał pierwszy w . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ ldots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$

Biorąc pod uwagę liczbę pierwszą w R , definiujemy wysokość , zapisaną , jako supremum długości wszystkich łańcuchów pierwszych ideałów zawartych w , co oznacza, że . Innymi słowy, wysokość jest wymiar Krull o lokalizacji z R w . Ideał pierwszy ma wysokość zero wtedy i tylko wtedy, gdy jest minimalnym ideałem pierwszym . Wymiar Krulla pierścienia jest szczytem wszystkich ideałów maksymalnych lub wszystkich ideałów głównych. Wysokość jest również czasami nazywana k-wymiarem, rangą lub wysokością pierwszego ideału. ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ ldots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p }}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

W Noetherian ring każdy ideał główny ma skończoną wysokość. Niemniej Nagata podała przykład Noetherianowego pierścienia o nieskończonym wymiarze Krulla. Pierścień nazywany jest łańcuchem łańcuchowym, jeśli jakiekolwiek włączenie ideałów pierwszych można rozszerzyć do maksymalnego łańcucha ideałów pierwszych między i , a dowolne dwa maksymalne łańcuchy między i mają tę samą długość. Pierścień nazywany jest uniwersalnie łańcuchową, jeśli jakakolwiek skończenie generowana algebra nad nim jest łańcuchowa. Nagata podała przykład pierścienia Noetherian, który nie jest łańcuchowy. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ podzbiór {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$

W pierścieniu Noetherian, ideał pierwszy ma wysokość co najwyżej n wtedy i tylko wtedy, gdy jest minimalnym ideałem pierwszym względem ideału generowanego przez n elementów ( twierdzenie Krulla o wysokości i jego przeciwieństwo). Oznacza to, że warunek zstępującego łańcucha zachowuje się dla ideałów pierwszych w taki sposób, że długości łańcuchów zstępujących z ideału pierwszego są ograniczone przez liczbę generatorów liczby pierwszej.

Mówiąc bardziej ogólnie, wysokość ideału I jest dolnym punktem wysokości wszystkich ideałów pierwszych zawierających ja . W języku geometrii algebraicznej , to codimension z subvariety SPEC ( ) odpowiadające I . ${\ displaystyle R}$

Schematy

Z definicji widma pierścienia Spec ( R ), przestrzeni ideałów pierwszych R wyposażonej w topologię Zariskiego wynika łatwo , że wymiar Krulla R jest równy wymiarowi jego widma jako przestrzeni topologicznej, czyli supremum długości wszystkich łańcuchów nieredukowalnych podzbiorów zamkniętych. Wynika to bezpośrednio z połączenia Galois pomiędzy idei R i zamkniętych podzbiorów spec ( R ) oraz obserwacji, że w definicji spec ( R ), przy czym każdy ideałem z R odpowiada ogólnej punktu zamkniętym podzbioru powiązanego przez połączenie Galois. ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Przykłady

Wymiar wielomianu pierścienia nad ciałem k [ x ₁ , ..., x _n ] to liczba zmiennych n . W języku geometrii algebraicznej mówi się, że afiniczna przestrzeń wymiaru n nad ciałem ma wymiar n , zgodnie z oczekiwaniami. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli R jest pierścieniem Noether o wymiarze n , to wymiar R [ x ] wynosi n + 1. Jeśli hipoteza Noetherian zostanie odrzucona, wówczas R [ x ] może mieć wymiar w dowolnym miejscu między n + 1 a 2 n + 1.
Na przykład ideał ma wysokość 2, ponieważ możemy utworzyć maksymalny rosnący łańcuch pierwszych ideałów . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = (y ^ {2} -x, y) \ podzbiór \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ Displaystyle (0) = {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq (y ^ {2} -x) = {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq (y ^ {2} - x, y) = {\ mathfrak {p}} _ {2} = {\ mathfrak {p}}}$
Biorąc pod uwagę nieredukowalny wielomian , ideał nie jest liczbą pierwszą (ponieważ , ale żaden z czynników nie jest), ale możemy łatwo obliczyć wysokość, ponieważ najmniejszy zawierający ideał pierwszy jest równy . ${\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x, y, z]}$ ${\ Displaystyle I = (f ^ {3})}$ ${\ displaystyle f \ cdot f ^ {2} \ in I}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle (f)}$
Pierścień liczb całkowitych Z ma wymiar 1. Mówiąc bardziej ogólnie, każda główna domena idealna, która nie jest polem, ma wymiar 1.
Integralną domena jest to pole tylko wtedy, gdy jego wymiar Krull wynosi zero. Domeny Dedekind, które nie są polami (na przykład dyskretne pierścienie wyceny ), mają wymiar pierwszy.
Wymiar Krulla pierścienia zerowego jest zwykle definiowany jako albo albo . Pierścień zerowy jest jedynym pierścieniem o wymiarze ujemnym. ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle -1}$
Pierścień jest artyński wtedy i tylko wtedy, gdy jest Noetherian, a jego wymiar Krull wynosi ≤0.
Integralną rozszerzenie pierścienia ma takie same wymiary jak pierścień robi.
Niech R będzie algebrą nad ciałem k, które jest dziedziną całkową. Wtedy wymiar Krulla R jest mniejszy lub równy stopniowi transcendencji pola ułamków R nad k . Równość zachodzi, jeśli R jest ostatecznie generowana jako algebra (na przykład przez lemat normalizacji noether ).
Niech R być pierścień noetherowski, że jest idealnym i BE związanego stopniowanie pierścień (geometrzy nazywają to pierścień normalnego stożka o I ). Następnie jest Supremum od wysokości maksymalnej idei R zawierających I . ${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {ja} (R) = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} ja ^ {k} / ja ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} \ operatorname {gr} _ {I} (R)}$
Przemienny pierścień Noetherian o zerowym wymiarze Krulla jest bezpośrednim iloczynem skończonej liczby (prawdopodobnie jednej) lokalnych pierścieni o zerowym wymiarze Krulla.
Noetherian lokalny pierścień nazywany jest pierścieniem Cohena-Macaulaya, jeśli jego wymiar jest równy głębokości . Regularny pierścień lokalny jest przykładem takiego pierścienia.
Noetherian domeny integralną jest pierścień z jednoznacznością rozkładu , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wysokość 1 ideałem jest główny.
Dla przemiennego pierścienia Noetherian trzy następujące warunki są równoważne: bycie zredukowanym pierścieniem o zerowym wymiarze Krulla, bycie polem lub bezpośrednim iloczynem pól, bycie regularnym von Neumanna .

Modułu

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, a M jest modułem R , definiujemy wymiar Krulla dla M jako wymiar Krulla z ilorazu R, dzięki czemu M jest wiernym modułem . Oznacza to, że definiujemy to wzorem:

{\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {R} M: = \ operatorname {dim} (R / \ operatorname {Ann} _ {R} (M))}

gdzie Ann _R ( M ), przy czym Annihilator , jest jądrem naturalnego mapy R → End _R (M) R w pierścieniu R endomorfizm -linear z M .

W języku schematów skończone generowane moduły są interpretowane jako spójne snopy lub uogólnione skończone wiązki wektorów rangowych .

Do pierścieni nieprzemiennych

Wymiar Krulla modułu nad prawdopodobnie nieprzemiennym pierścieniem jest definiowany jako odchylenie pozycji podmodułów uporządkowanych przez włączenie. Dla przemiennych pierścieni Noeterii jest to to samo, co definicja wykorzystująca łańcuchy pierwszych ideałów. Te dwie definicje mogą być różne dla pierścieni przemiennych, które nie są Noetherian.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Irving Kaplansky , Commutative rings (red. Poprawiona) , University of Chicago Press , 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Strona 32.
LA Bokhut ”; IV L'vov; VK Kharchenko (1991). „I. Niekommuatywne pierścienie”. W Kostrikin, AI ; Shafarevich, IR (red.). Algebra II . Encyklopedia nauk matematycznych. 18 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6 . Sekcja 4.7.
Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna z widokiem na geometrię algebraiczną , Graduate Texts in Mathematics , 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
P. Serre, Algebra lokalna , Springer Monographs in Mathematics

Languages

In other projects