Endomorfizm - Endomorphism

Rzut prostopadły na prostą, m , jest operatorem liniowym na płaszczyźnie. To jest przykład endomorfizmu, który nie jest automorfizmem .

W matematyce , endomorfizm jest morfizmem z matematycznego obiektu do siebie. Endomorfizm, który jest również izomorfizmem, jest automorfizmem . Na przykład, endomorfizm z przestrzeni wektor V jest liniową mapą f : V → V , i endomorfizm z grupy G stanowi grupę homomorfizm F : G → G . Ogólnie możemy mówić o endomorfizmach w dowolnej kategorii . W kategorii zbiorów endomorfizmy to funkcje ze zbioru S do siebie samego.

W każdej kategorii część kompozycji z dwoma endomorfizm z X ponownie jest endomorfizm od X . Wynika z tego, że zbiór wszystkich endomorfizmów X tworzy monoid , pełny monoid transformacji i oznaczony jako Koniec ( X ) (lub Koniec _C ( X ), aby podkreślić kategorię C ).

Automorfizmy

Odwracalna endomorfizm z X nazywamy automorfizmem . Zbiór wszystkich automorfizmy jest podzbiorem od zakończenia ( X ) z grupy konstrukcji, zwanej grupą automorfizmem z X i oznaczono Aut ( X ) . Na poniższym diagramie strzałki oznaczają implikację:

Pierścienie endomorfizmu

Dowolne dwa endomorfizmy grupy abelowej , A , można dodać do siebie za pomocą reguły ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) . W ramach tego dodania i przy określaniu mnożenia jako kompozycji funkcji, endomorfizmy grupy abelowej tworzą pierścień ( pierścień endomorfizmu ). Na przykład zbiór endomorfizmów ℤ ⁿ jest pierścieniem wszystkich n × n macierzy z wpisami całkowitymi . Endomorfizmy przestrzeni wektorowej lub modułu również tworzą pierścień, podobnie jak endomorfizmy dowolnego obiektu w kategorii preaddytywnej . Endomorfizmy grupy nieabelowej generują strukturę algebraiczną znaną jako bliski pierścień . Każdy pierścień z jednym jest pierścieniem endomorfizmu jego regularnego modułu , tak samo jest podrzędnym pierścieniem endomorfizmu grupy abelowej; jednak istnieją pierścienie, które nie są pierścieniem endomorfizmu żadnej grupy abelowej.

Teoria operatora

W każdej konkretnej kategorii , szczególnie w przypadku przestrzeni wektorowych , endomorfizmy są odwzorowaniami ze zbioru do samego siebie i mogą być interpretowane jako operatory jednoargumentowe na tym zbiorze, działające na elementach i pozwalające na zdefiniowanie pojęcia orbit elementów itp.

W zależności od dodatkowej struktury zdefiniowanej dla danej kategorii ( topologia , metryka , ...), takie operatory mogą mieć właściwości, takie jak ciągłość , ograniczenie i tak dalej. Więcej szczegółów można znaleźć w artykule o teorii operatorów .

Funkcje endofunkcyjne

Endofunction jest funkcją, której domeną jest równa jej codomain . Homomorphic endofunction jest endomorfizm.

Niech S będzie zbiorem arbitralnym. Wśród endofunctions na S znajdujemy permutacji z S i stałych funkcji skupiających każdej X w S. ten sam element c w S . Każda permutacja S ma kodomenę równą swojej domenie i jest bijektywna i odwracalna. Jeśli S ma więcej niż jeden element, stała funkcja na S ma obraz, który jest właściwym podzbiorem jej kodomeny, a zatem nie jest bijektywny (a zatem nie jest odwracalny). Funkcja przypisująca każdej liczbie naturalnej n piętro n / 2 ma swój obraz równy jej kodomenie i nie jest odwracalna.

Skończone funkcje endofunkcyjne są równoważne ukierunkowanym pseudolesom . Dla zbiorów o rozmiarze n na zbiorze jest n ^{n funkcji} końcowych.

Szczególnymi przykładami dwuobiektywnych funkcji endofunkcyjnych są inwolucje ; tj. funkcje pokrywające się z ich odwrotnością.

Zobacz też

• Endomorfizm sprzężony
• Epimorfizm (morfizm suriektywny)
• Endomorfizm Frobeniusa
• Monomorfizm (morfizm iniekcyjny)

Uwagi

Bibliografia

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , 1 (2nd ed.), Dover, ISBN   978-0-486-47189-1

Linki zewnętrzne

• „Endomorfizm” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]