Hilberta Nullstellensatz - Hilbert's Nullstellensatz

Hilberta Nullstellensatz (po niemiecku „twierdzenie o zerach” lub bardziej dosłownie „twierdzenie o miejscu zerowym” – patrz Satz ) jest twierdzeniem, które ustanawia fundamentalny związek między geometrią a algebrą . Ta zależność jest podstawą geometrii algebraicznej , gałęzi matematyki . Wiąże zbiory algebraiczne z ideałami w pierścieniach wielomianowych nad ciałami algebraicznie domkniętymi . Związek ten został odkryty przez Davida Hilberta, który udowodnił Nullstellensatz i kilka innych ważnych powiązanych twierdzeń nazwanych jego imieniem (jak podstawowe twierdzenie Hilberta ).

Sformułowanie

Pozwolić k być równe (takie jak liczb wymiernych ) i K być algebraicznie zamkniętą rozszerzenie ciała (takie jak liczby zespolone ). Rozważmy pierścień wielomianów i pozwól mi być idealny w tym pierścieniu. Algebraiczna zestaw V ( I ) określonych w niniejszym idealny składa się ze wszystkich n -tuples x = ( x ₁ , ..., x _n ) w K ^N , tak że F ( x ) = 0 dla wszystkich f w I . Hilberta Nullstellensatz stwierdza, że ​​jeśli p jest jakimś wielomianem, który znika na zbiorze algebraicznym V( I ), tj. p ( x ) = 0 dla wszystkich x w V ( I ), to istnieje liczba naturalna r taka, że p ^r jest w ja . ${\ Displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ Displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

Bezpośrednim następstwem jest słaby Nullstellensatz : ideał zawiera 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany w I nie mają żadnych wspólnych zer w K ⁿ . Można go również sformułować w następujący sposób: jeśli I jest idealnym ideałem, to V( I ) nie może być puste , tzn. istnieje wspólne zero dla wszystkich wielomianów w ideale w każdym algebraicznie domkniętym rozszerzeniu k . To jest powód nazwy twierdzenia, którą można łatwo dowieść ze „słabej” formy za pomocą sztuczki Rabinowitscha . Założenie rozważania wspólnych zer w algebraicznie domkniętym ciele jest tutaj istotne; na przykład elementy ideału właściwego ( X ² + 1) in nie mają wspólnego zera in${\ Displaystyle I \ podzbiór k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ Displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}],}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Z notacją wspólną w geometrii algebraicznej, Nullstellensatz można również sformułować jako

${\ Displaystyle {\ hbox {I}} ({\ hbox {V}} (J)) = {\ sqrt {J}}}$

dla każdego idealnego J . Tutaj ma uprzednio rodnik o J i I ( U ) jest idealną wszystkich wielomianów, które znikają w zestawie U . ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

W ten sposób otrzymujemy zamówienia odwracania bijective zgodność pomiędzy algebraicznych zestawów w k ⁿ i rodników idei o W rzeczywistości, bardziej ogólnie, z nich ma połączenie Galois pomiędzy podzbiorów przestrzeni i podgrupach Algebra, gdzie " zamknięcia Zariski " i "radykal ideału wygenerowanego" to operatory zamknięcia . ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}].}$

Jako szczególny przykład rozważmy punkt . Następnie . Bardziej ogólnie, ${\ Displaystyle P = (a_ {1}, \ kropki, a_ {n}) \ w K ^ {n}}$${\ Displaystyle I (P) = (X_ {1}-a_ {1}, \ ldots, X_ {n}-a_ {n})}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {(a_ {1}, \ kropki, a_ {n}) \ w V (I)} (X_ {1}-a_ {1}, \ kropki, X_{n}-a_{n}).}$

I odwrotnie, każdy maksymalny ideał pierścienia wielomianowego (zauważ, że jest algebraicznie domknięty) ma dla niektórych postać . ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle (X_ {1}-a_ {1}, \ ldots, X_ {n}-a_ {n})}$${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ w K}$

Jako inny przykład, podzbiór algebraiczny W w K ⁿ jest nieredukowalny (w topologii Zariskiego) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem pierwszym. ${\ Displaystyle I (W)}$

Dowód i uogólnienie

Istnieje wiele znanych dowodów twierdzenia. Jeden dowód wykorzystuje lemat Zariskiego , który twierdzi, że jeśli ciało jest skończenie generowane jako algebra asocjacyjna nad ciałem k , to jest skończonym rozszerzeniem ciała k (to znaczy jest również skończenie generowane jako przestrzeń wektorowa ). Oto szkic tego dowodu.

Niech ( k algebraicznie domknięte ciało ), I ideał A , a V wspólne zera I w . Oczywiście . Niech . Następnie dla jakiegoś ideału pierwszego w A . Niech i maksymalny ideał w . Według lematu Zariskiego, jest skończonym rozszerzeniem k ; zatem jest k ponieważ k jest algebraicznie domknięte. Niech będą obrazy pod naturalną mapą . Wynika z tego, że i . ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots,t_{n}]}$${\ Displaystyle k ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} \ podseteq I (V)}$${\ Displaystyle f \ nie \ w {\ sqrt {I}}}$${\ Displaystyle f \ nie \ w {\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$${\ Displaystyle R = (A / {\ mathfrak {p}}) [f ^ {-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R/{\ mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle A\do k}$${\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ w V}$${\ Displaystyle f (x) \ neq 0}$

Nullstellensatz również wynika w trywialny sposób z systematycznego rozwoju pierścieni Jacobsona , w których radykalny ideał jest skrzyżowaniem ideałów maksymalnych. Niech będzie pierścieniem Jacobsona. Jeśli jest skończoną generowane R -algebra , to jest pierścień Jacobsona. Ponadto, jeśli jest maksymalnym ideałem, to jest maksymalnym ideałem R i jest skończonym rozszerzeniem ciała . ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}\podzbiór S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}: = {\ mathfrak {n}} \ czapka R}$${\ Displaystyle S/{\ mathfrak {n}}}$${\ Displaystyle R/{\ mathfrak {m}}}$

Inne uogólnienie mówi, że wiernie płaski morfizm schematów lokalnie typu skończonego z X quasi-zwartym ma quasi-przekrój , tzn. istnieje afiniczna i wiernie płaska i quasi-skończona nad X wraz z X- morfizmem${\displaystyle f:Y\do X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'\do Y}$

Skuteczne Nullstellensatz

We wszystkich swoich wariantach, Nullstellensatz Hilberta twierdzi, że pewien wielomian g należy lub nie do ideału generowanego, powiedzmy, przez f ₁ , ..., f _k ; mamy g = F ^R w silnym wersji, g = 1 w słabej formy. Oznacza to istnienie lub nieistnienie wielomianów g ₁ , ..., g _k takich , że g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Zwykłe dowody Nullstellensatz nie są konstruktywne, nieskuteczne w tym sensie, że nie dają żadnej możliwości obliczenia g _i .

Jest zatem dość naturalnym pytaniem, czy istnieje skuteczny sposób na obliczenie g _i (i wykładnika r w formie silnej) lub udowodnienie, że one nie istnieją. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy podać górną granicę całkowitego stopnia g _i : ograniczenie takie redukuje problem do skończonego układu równań liniowych, który można rozwiązać zwykłymi technikami algebry liniowej . Każda taka górna granica nazywana jest efektywnym Nullstellensatz .

Pokrewnym problemem jest problem przynależności idealnej , który polega na sprawdzaniu, czy wielomian należy do ideału. Również dla tego problemu rozwiązanie zapewnia górna granica stopnia g _i . Ogólne rozwiązanie idealnego problemu przynależności zapewnia skuteczny Nullstellensatz, przynajmniej dla formy słabej.

W 1925 Grete Hermann podała górną granicę idealnego problemu przynależności, która jest podwójnie wykładnicza w liczbie zmiennych. W 1982 Mayr i Meyer podali przykład, w którym g _i ma stopień, który jest co najmniej podwójnie wykładniczy, pokazując, że każda ogólna górna granica idealnego problemu przynależności jest podwójnie wykładnicza pod względem liczby zmiennych.

Ponieważ większość matematyków w tamtym czasie zakładała, że ​​efektywne Nullstellensatz jest co najmniej tak trudne, jak idealne członkostwo, niewielu matematyków szukało granicy lepszej niż podwójnie wykładnicza. Jednak w 1987 roku W. Dale Brownawell podał górną granicę efektywnej wartości Nullstellensatz, która jest po prostu wykładnicza w liczbie zmiennych. Dowód Brownawella opierał się na technikach analitycznych ważnych tylko dla cechy 0, ale rok później János Kollár dał dowód czysto algebraiczny, ważny dla każdej cechy, o nieco lepszym ograniczeniu.

W przypadku słabego Nullstellensatz, granica Kollára jest następująca:

Niech f ₁ , ..., f _s będą wielomianami w n ≥ 2 zmiennych, o całkowitym stopniu d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Jeśli istnieją wielomiany g _i takie, że f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , to można je dobrać tak, że

${\ Displaystyle \ stopnie (f_ {i} g_ {i}) \ leq \ max (d_ {s}, 3) \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} \ max ( d_{j},3).}$

To ograniczenie jest optymalne, jeśli wszystkie stopnie są większe niż 2.

Jeśli d wynosi maksimum stopniach f _ı ta granica może być uproszczone

${\ Displaystyle \ max (3, d) ^ {\ min (n, s)}.}$

Kilku autorów poprawiło wynik Kollara. Na dzień 14 października 2012 r. najlepsza poprawa, za sprawą M. Sombry, to

${\ Displaystyle \ deg (f_ {i} g_ {i}) \ leq 2d_ {s} \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} d_ {j}.}$

Jego granica poprawia Kollára, gdy co najmniej dwa z zaangażowanych stopni są niższe niż 3.

Projekcja Nullstellensatz

Możemy sformułować pewną korespondencję między jednorodnymi ideałami wielomianów i podzbiorów algebraicznych przestrzeni rzutowej, zwaną rzutową Nullstellensatz , czyli analogiczną do afinicznej. W tym celu wprowadzamy kilka notacji. Niech Jednorodny ideał, ${\ Displaystyle R = k [t_ {0}, \ ldots, t_ {n}].}$

${\ Displaystyle R_ {+} = \ bigoplus _ {d \ geqslant 1} R_ {d}}$

nazywa się maksymalnym jednorodnym ideałem (patrz też ideał nieistotny ). Podobnie jak w przypadku afinicznym, przyjmujemy: dla podzbioru i jednorodnego ideału I z R , ${\ Displaystyle S \ podseteq \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {ja} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S) i = \ {f \ w R_ {+} \ mid f = 0 {\ tekst {na }}S\},\\\nazwa operatora {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x) =0{\text{ dla wszystkich }}f\w I\}.\end{wyrównany}}}$

Przez to znaczy: za każde współrzędnych jednorodnych z punktu S mamy . Oznacza to, że jednorodne składniki f są również zerowe na S, a zatem jest to jednorodny ideał. Równoważnie jest jednorodnym ideałem generowanym przez jednorodne wielomiany f, które znikają na S . Teraz, dla dowolnego jednorodnego ideału , według zwykłego Nullstellensatza, mamy: ${\displaystyle f=0{\tekst{na}}S}$${\ Displaystyle (a_ {0}: \ cdots: a_ {n})}$${\ Displaystyle f (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) = 0}$${\ Displaystyle \ Operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$${\ Displaystyle I \ subseteq R_ {+}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (\ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I)) ,}$

i tak jak w przypadku afinicznym mamy:

Istnieje rozkaz odwracania jeden-do-jednego zgodność pomiędzy odpowiednimi jednorodnych rodników idei R i podzbiorów w postaci Zbieżność jest przez i${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I).}$${\ Displaystyle \ Operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}.}$

Analityka Nullstellensatz

Nullstellensatz posiada także zarazki funkcji holomorficznymi w miejscu złożonych n -kosmiczna właśnie dla każdego otwarte podzestawu puszczeniu oznacza pierścień holomorficznymi funkcjami U ; następnie jest snop na Łodydze przy, powiedzmy, pochodzeniu można wykazać, że jest noetheryjskim lokalnym pierścieniem, który jest unikalną domeną faktoryzacji . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ Displaystyle U \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}} (U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$

Jeśli jest zarodkiem reprezentowanym przez funkcję holomorficzną , to niech będzie klasą równoważności zbioru ${\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\do \mathbb {C}}$${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ w U | {\ widetilde {f}} (z) = 0 \ prawej \}}$

gdzie dwa podzbiory są uważane za równoważne, jeśli dla pewnego otoczenia U od 0. Uwaga jest niezależny od wyboru przedstawiciela Dla każdego idealnego let oznaczać dla niektórych wytwórców z I . Jest dobrze zdefiniowany; tj. jest niezależny od wyboru generatorów. ${\ Displaystyle X, Y \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle X \ czapka U = Y \ czapka U}$${\displaystyle V_{0}(f)}$${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$${\ Displaystyle I \ podzbiór {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0},}$${\displaystyle V_{0}(I)}$${\ Displaystyle V_ {0} (f_ {1}) \ czapka \ kropki \ czapka V_ {0} (f_ {r})}$${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{r}}$

Dla każdego podzbioru niech ${\ Displaystyle X \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ Displaystyle I_ {0} (X) = \ lewo \ {f \ w {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n} 0} | V_ {0} (f) \ zakłócenie X \dobrze\}.}$

Łatwo jest zauważyć, że jest to ideał , a jeśli w sensie omówione powyżej. ${\displaystyle I_{0}(X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$${\ Displaystyle I_ {0} (X) = I_ {0} (Y)}$${\ Displaystyle X \ Sim Y}$

Analityczna Nullstellensatz następnie stwierdza: dla każdego ideału , ${\ Displaystyle I \ podzbiór {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

gdzie z lewej strony jest rodnikiem o I .

Zobacz też

• Positivstellensatz Stengle'a
• Mechanizm różnicowy Nullstellensatz
• Kombinatoryczne Nullstellensatz
• Lemat Artin-Tate
• Prawdziwy radykalny
• Ograniczone serie potęgowe#Algebra Tate , analog algebry Tate'a dla nullstellensatza Hilberta.

Uwagi

Bibliografia

• JM Almira , Nullstellensatz ponownie , Rend. Sem. Mata. Uniw. Pol. Turyn – tom. 65 (3) (2007) 365-369
• M. Atiyah , IG Macdonald , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Shigeru Mukai (2003). Wprowadzenie do niezmienników i modułów . Studia Cambridge z zaawansowanej matematyki. 81 . William Oxbury (tłum.). P. 82. Numer ISBN 0-521-80906-1.
• David Eisenbud , Algebra przemienna z widokiem na geometrię algebraiczną , Nowy Jork: Springer-Verlag, 1999.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Teksty podyplomowe z matematyki , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, numer MR  0463157
• Huybrechts Daniel (2005). Złożona geometria: wprowadzenie . Skoczek. Numer ISBN 3-540-21290-6.
• Zariski, Oskar ; Samuel, Pierre (1960). Algebra przemienności. Tom II . Berlin. Numer ISBN 978-3-662-27753-9.