Iloczyn tensorowy algebr - Tensor product of algebras

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Całkowity iloraz pierścienia • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W matematyce The produkt napinacz dwóch algebrach nad pierścienia przemiennego R jest też R -algebra. Daje to iloczyn tensorowy algebr . Gdy pierścień jest ciałem , najczęstszym zastosowaniem takich iloczynów jest opisanie iloczynu reprezentacji algebry .

Definicja

Niech R będzie pierścieniem przemiennym i niech A i B będą R- algebrami . Ponieważ A i B można uznać za moduły R , ich iloczyn tensorowy

${\ Displaystyle A \ czasami _ {R} B}$

jest również modułem R. Produkt napinacz może zostać z uwagi na strukturę pierścienia definiując produkt w postaci elementów A  ⊗  B przez

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

a następnie rozciąganie przez liniowość do wszystkich A ⊗ _R B . Pierścień ten jest R -algebrą, asocjacyjną i unitarną z elementem tożsamości podanym przez 1 _A  ⊗ 1 _B . gdzie 1 _A i 1 _B to elementy tożsamościowe A i B . Jeśli A i B są przemienne, to iloczyn tensorowy jest również przemienny.

Produkt tensor włącza kategorię z R -algebras do symetrycznego kategorii monoidal .

Dalsze właściwości

Istnieją naturalne homomorfizmy od A i B do A  ⊗ _R  B podane przez

${\ Displaystyle a \ mapsto a \ czasami 1_ {B}}$

${\ Displaystyle b \ mapsto 1_ {A} \ czasami b}$

Mapy te czynią iloczyn tensorowy koproduktem w kategorii przemiennych R- algebr . Iloczyn tensorowy nie jest koproduktem w kategorii wszystkich R- algebr. Tam koprodukt jest podany przez bardziej ogólny iloczyn swobodny algebr . Niemniej jednak iloczyn tensorowy algebr nieprzemiennych można opisać uniwersalną właściwością podobną do koproduktu:

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} (A \ czasami B, X) \ cong \ lbrace (f, g) \ w {\ tekst {Hom}} (A, X) \ razy {\ tekst {Hom}} (B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rnawias ,}$

gdzie [-, -] oznacza komutator . Naturalny izomorfizm jest przez identyfikację morfizmem na lewej stronie z parą morfizmów po prawej stronie, gdzie podobnie . ${\ Displaystyle \ phi: A \ czasami B \ do X}$${\ Displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle f (a): = \ phi (a \ czasami 1)}$${\ Displaystyle g (b): = \ phi (1 \ czasami b)}$

Aplikacje

Iloczyn tensorowy algebr przemiennych jest często używany w geometrii algebraicznej . Dla schematów afinicznych X , Y , Z z morfizmami od X i Z do Y , więc X = Spec( A ), Y = Spec( B ) i Z = Spec( C ) dla niektórych pierścieni przemiennych A , B , C , schemat iloczynu włóknistego to schemat afiniczny odpowiadający iloczynowi tensorowemu algebr:

${\ Displaystyle X \ razy _ {Y} Z = \ Operatorname {Specyfikacja} (A \ czasami _ {B} C).}$

Bardziej ogólnie, produkt włóknisty schematów definiuje się przez sklejenie razem produktów z włókien afinicznych tej postaci.

Przykłady

• Iloczyn tensorowy może być użyty jako sposób na przecięcie dwóch podschematów w schemacie : rozważmy -algebry , , to ich iloczyn tensorowy to , który opisuje przecięcie krzywych algebraicznych f = 0 i g = 0 w płaszczyźnie afinicznej nad C .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/f}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / g}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (f) \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} \ mathbb {C} [x, y] / (g) \ cong \ mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• Bardziej ogólnie, jeśli jest pierścieniem przemiennym i są ideałami, to , z unikalnym izomorfizmem wysyłającym do .${\ Displaystyle A}$${\displaystyle I,J\subseteq A}$${\ Displaystyle {\ Frac {A} {I}} \ otimes _ {A} {\ Frac {A} {J}} \ cong {\ Frac {A} {I + J}}}$${\ Displaystyle (a + I) \ czasami (b + J)}$${\ Displaystyle (ab+I+J)}$
• Produkty Tensor mogą służyć do zmiany współczynników. Na przykład i .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x, y] / (x ^ {3} + 5 x ^ {2} + x-1) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} /5 \ cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x, y] / (f) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {C} [x, y] / (f)}$
• Produkty Tensor mogą być również używane do przenoszenia produktów o schematach afinicznych nad polem. Na przykład jest izomorficzny z algebrą, która odpowiada powierzchni afinicznej, jeśli f i g nie są równe zeru.${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}] / (f (x)) \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C} [y_ {1}, y_ {2 }]/(g(y))}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}] / (f (x), g (y))}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {4}}$

Zobacz też

• Rozszerzenie skalarów
• Iloczyn tensorowy modułów
• Iloczyn tensorowy pól
• liniowo rozłączny
• Wieloliniowe uczenie się podprzestrzeni

Uwagi

Bibliografia

• Kassel, Christian (1995), Grupy kwantowe , Teksty magisterskie z matematyki, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [opublikowane po raz pierwszy w 1993]. Algebra . Teksty magisterskie z matematyki. 21 . Skoczek. Numer ISBN 0-387-95385-X.