Homomorfizm pierścienia - Ring homomorphism

Struktura algebraiczna → Teoria pierścieni Teoria pierścieni
Podstawowe koncepcje Pierścionki • Podringi • Idealny • Pierścień ilorazowy • Ułamkowy ideał • Całkowity iloraz pierścienia • Pierścień produktu • Dowolny iloczyn algebr asocjacyjnych • Iloczyn tensorowy pierścieni Homomorfizmy pierścieni • Jądro • Wewnętrzny automorfizm • Endomorfizm Frobeniusa Struktury algebraiczne • Moduł • Algebra asocjacyjna • Pierścień stopniowany • Pierścień indukcyjny • Kategoria pierścieni • Pierwotny dzwonek ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Pierścień zaciskowy ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Powiązane struktury • Pole • Pole skończone • Pierścień nieskojarzony • Pierścień do kłamstw • Pierścień Jordana • Semiring • Półpola
Algebra przemienności Pierścienie przemienne • Domena integralna • Integralnie zamknięta domena • Domena GCD • Unikalna domena faktoryzacji • Główna idealna domena • Domena euklidesowa • Pole • Pole skończone • Pierścień kompozycji • Pierścień wielomianowy • Formalny pierścień serii mocy Teoria liczb algebraicznych • Pole liczb algebraicznych • Pierścień liczb całkowitych • Niezależność algebraiczna • Transcendentalna teoria liczb • Stopień transcendencji p – teoria liczb adic i ułamki dziesiętne • Granica bezpośrednia / Granica odwrotna • Pierścień zerowy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Liczby całkowite modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Podstawa - p koło pierścień ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Podstawa - p liczb całkowitych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adyczne wymierniki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Podstawa - p liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adyczne liczby całkowite ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • liczby p- adyczne ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • elektromagnes p- adyczny ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometria algebraiczna • Odmiana afiniczna
Algebra nieprzemienna Nieprzemienne pierścienie • Pierścień podziałowy • Półprymitywny pierścień • Prosty pierścień • Komutator Nieprzemienna geometria algebraiczna Dowolna algebra Algebra Clifforda • Algebra geometryczna Algebra operatorów
v T mi

W teorii pierścieni , gałęzi algebry abstrakcyjnej , homomorfizm pierścienia jest funkcją zachowującą strukturę między dwoma pierścieniami . Mówiąc dokładniej, jeśli R i S są pierścieniami, to homomorfizm pierścieni jest funkcją f  : R → S taką, że f jest:

dodatek zachowujący:

${\ Displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)}$dla wszystkich a i b w R ,

mnożenie z zachowaniem:

${\ Displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}$dla wszystkich a i b w R ,

oraz jednostka (tożsamość multiplikatywna) zachowująca:

${\ Displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}$.

Odwrotność dodatku i identyczność dodatku są również częścią struktury, ale nie jest konieczne wyraźne wymaganie, aby one również były przestrzegane, ponieważ te warunki są konsekwencjami trzech powyższych warunków.

Jeśli dodatkowo f jest bijekcją , to jego odwrotność f- ¹ jest również homomorfizmem pierścienia. W tym przypadku f jest nazywane izomorfizmem pierścienia , a pierścienie R i S nazywane są izomorficznymi . Z punktu widzenia teorii pierścieni nie można rozróżnić pierścieni izomorficznych.

Jeśli R i S są rng , to odpowiadającym mu pojęciem jest homomorfizm rng , zdefiniowany jak powyżej z wyjątkiem trzeciego warunku f (1 _R ) = 1 _S . Homomorfizm rng pomiędzy (jednostkowych) pierścieniami nie musi być homomorfizmem pierścienia.

Skład się z dwóch pierścieni jest jednopostaciowości homomorfizmem pierścienia. Wynika z tego, że klasa wszystkich pierścieni tworzy kategorię, której morfizmami są homomorfizmy pierścieni (por. kategoria pierścieni ). W szczególności uzyskuje się pojęcia endomorfizmu pierścienia, izomorfizmu pierścienia i automorfizmu pierścienia.

Nieruchomości

Niech będzie homomorfizm pierścienia. Następnie bezpośrednio z tych definicji można wywnioskować: ${\ Displaystyle f \ dwukropek R \ rightarrow S}$

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (− a ) = − f ( a ) dla wszystkich a w R .
• Dla dowolnego elementu jednostkowego a w R , f ( a ) jest elementem jednostkowym takim , że f ( a ^-1 ) = f ( a ) ^-1 . W szczególności f indukuje homomorfizm grupy z (multiplikatywnej) grupy jednostek R do (multiplikatywnej) grupy jednostek S (lub im( f )).
• Obraz z f , oznaczoną IM ( f ) jest podpierścień z S .
• Jądro z F , zdefiniowana jako ker ( f ) = { w B  : F ( ) = 0, _S } , jest idealny do badań . Każdy ideał w pierścieniu R powstaje w ten sposób z pewnego homomorfizmu pierścienia.
• Homomorfizm f jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy ker( f ) = {0 _R } .
• Jeżeli istnieje pierścień Homomorfizm F  : R → S wtedy charakterystyczna z S dzieli charakterystykę R . Może to być czasami użyte do wykazania, że ​​między pewnymi pierścieniami R i S nie mogą istnieć żadne homomorfizmy pierścieni R → S.
• Jeśli R _p jest najmniejszym podpierścieniem zawartym w R i S _p jest najmniejszym podpierścieniem zawartym w S , to każdy homomorfizm pierścieniowy f  : R → S indukuje homomorfizm pierścieniowy f _p  : R _p → S _p .
• Jeśli R jest polem (lub ogólniej polem skośnym ), a S nie jest pierścieniem zerowym , to f jest iniektywne.
• Jeśli oba R i S są pola , a następnie IM ( M ) jest podpolem S , tak, S może być postrzegane jako rozszerzenie ciała z R .
• Jeśli R i S są przemienne i I jest ideałem S, to f- ¹ (I) jest ideałem R .
• Jeżeli R i S są przemienne i P to ideałem z S następnie f ^-1 ( p ) jest to ideałem z R .
• Jeżeli R i S są przemienne, M oznacza maksymalną idealny z S i m znaczy suriekcją, a f ^-1 (M) jest maksymalny ideał R .
• Jeśli R i S są przemienne i S jest dziedziną integralną , to ker( f ) jest pierwszym ideałem R .
• Jeżeli R i S są przemienne, S jest polem, a f znaczy suriekcją, następnie ker ( f ) to ilość idealnie od badania .
• Jeśli f jest surjektywne, P jest pierwszym (maksymalnym) idealnym w R i ker( f ) ⊆ P , wtedy f ( P ) jest pierwszym (maksymalnym) idealnym w S .

Ponadto,

• Kompozycja homomorfizmów pierścienia jest homomorfizmem pierścienia.
• Dla każdego pierścienia R , odwzorowanie tożsamości R → R jest homomorfizmem pierścienia.
• Dlatego klasa wszystkich pierścieni wraz z homomorfizmami pierścieni tworzy kategorię, kategorię pierścieni .
• Mapa zer R → S wysyłająca każdy element R do 0 jest homomorfizmem pierścienia tylko wtedy, gdy S jest pierścieniem zerowym (pierścieniem, którego jedynym elementem jest zero).
• Dla każdego pierścienia R istnieje unikalny homomorfizm pierścienia Z → R . To mówi, że pierścień liczb całkowitych jest obiektem początkowym w kategorii pierścieni.
• Dla każdego pierścienia R istnieje unikalny homomorfizm pierścienia od R do pierścienia zerowego. To mówi, że pierścień zerowy jest obiektem końcowym w kategorii pierścieni.

Przykłady

• Funkcja f  : Z → Z _n , zdefiniowana przez f ( a ) = [ a ] _n = a mod n jest surjektywnym homomorfizmem pierścienia z jądrem n Z (patrz arytmetyka modularna ).
• Funkcja f  : Z ₆ → Z ₆ zdefiniowana przez f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ jest homomorfizmem rng (i endomorfizmem rng), z jądrem 3 Z ₆ i obrazem 2 Z ₆ (który jest izomorficzny z Z ₃ ).
• Nie istnieje homomorfizm pierścienia Z _n → Z dla n ≥ 1 .
• Złożone sprzężenie C → C jest homomorfizmem pierścień (to przykład automorfizm pierścienia).
• Jeśli R i S są pierścieniami, funkcja zerowa od R do S jest homomorfizmem pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy S jest pierścieniem zerowym . (W przeciwnym razie nie uda się odwzorować 1 _R na 1 _S .) Z drugiej strony funkcja zero jest zawsze homomorfizmem rng.
• Jeżeli R [ X ] oznacza pierścień wszystkich wielomianów w zmiennej X o współczynnikach w liczbach rzeczywistych R , a C oznacza liczby zespolone , to funkcja f  : R [ X ] → C określona przez f ( p ) = p ( i ) (zamień jednostkę urojoną i za zmienną X w wielomianu p ) jest surjektywnym homomorfizmem pierścienia. Jądro f składa się ze wszystkich wielomianów w R [ X ] podzielnych przez X ² + 1 .
• Jeśli f  : R → S jest homomorfizmem pierścienia pomiędzy pierścieniami R i S , to f indukuje homomorfizm pierścienia pomiędzy pierścieniami macierzy M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Unital Algebra homomorfizm między unital asocjacyjnych algebrach na pierścienia przemiennego R jest homomorfizmem pierścień, który jest R -linear .

Nieprzykłady

• Biorąc pod uwagę iloczyn pierścieni , naturalna inkluzja nie jest homomorfizmem pierścienia (chyba że jest pierścieniem zerowym); dzieje się tak dlatego, że mapa nie wysyła multiplikatywnej tożsamości do tożsamości , a mianowicie .${\displaystyle S=R_{1}\razy R_{2}}$${\displaystyle R_{1}\do S,x\mapsto (x,0)}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle (1,1)}$

Kategoria pierścionków

Endomorfizmy, izomorfizmy i automorfizmy

• Endomorfizm pierścień jest homomorfizmem pierścień z pierścienia do siebie.
• Izomorfizm pierścień jest homomorfizmem pierścień zawierający 2-stronne, odwrócony, który jest również homomorfizm pierścień. Można udowodnić, że homomorfizm pierścienia jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywny jako funkcja na zbiorach bazowych. Jeśli istnieje izomorfizm pierścieni pomiędzy dwoma pierścieniami R i S , to R i S nazywane są izomorficznymi . Pierścienie izomorficzne różnią się jedynie ponownym oznaczeniem pierwiastków. Przykład: Aż do izomorfizmu istnieją cztery pierścienie rzędu 4. (Oznacza to, że istnieją cztery parami nieizomorficzne pierścienie rzędu 4, tak że każdy inny pierścień rzędu 4 jest izomorficzny z jednym z nich.) Z drugiej strony, aż do izomorfizmu istnieje jedenaście poziomów rzędu 4.
• Automorfizmem pierścień jest Izomorfizm pierścień z pierścienia do siebie.

Monomorfizmy i epimorfizmy

Iniektywne homomorfizmy pierścieni są identyczne z monomorfizmami w kategorii pierścieni: Jeśli f  : R → S jest monomorfizmem, który nie jest iniekcyjny, to wysyła pewne r ₁ i r ₂ do tego samego elementu S . Rozważmy dwa odwzorowania g ₁ i g ₂ od Z [ x ] do R , które odwzorowują odpowiednio x na r ₁ i r ₂ ; f ∘ g ₁ i f ∘ g ₂ są identyczne, ale ponieważ f jest monomorfizm jest niemożliwe.

Jednak surjektywne homomorfizmy pierścieni znacznie różnią się od epimorfizmów w kategorii pierścieni. Na przykład inkluzja Z ⊆ Q jest epimorfizmem pierścienia, ale nie jest sujekcją. Są one jednak dokładnie takie same, jak silne epimorfizmy .

Zobacz też

• Zmiana pierścieni
• Przedłużenie dzwonka

Cytaty

Uwagi

Bibliografia