Grupa Prüfer - Prüfer group

Prüfer 2 -group z prezentacją ⟨ g _n : g _{n + 1} ² = g _n , g ₁ ² = e ⟩ , przedstawionego jako podgrupa okręgu jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej

W matematyce, zwłaszcza w teorii grup The Prüfer P -group lub p -quasicyclic grupę lub P ^∞ -group, Z ( P ^∞ ) dla liczba pierwsza p jest unikalny s -group , w którym każdy element ma p inny str -te korzenie.

Grupy p Prüfera są policzalnymi grupami abelowymi, które są ważne w klasyfikacji nieskończonych grup abelowych: tworzą (wraz z grupą liczb wymiernych ) najmniejsze elementy składowe wszystkich podzielnych grup .

Grupy zostały nazwane na cześć Heinza Prüfera , niemieckiego matematyka z początku XX wieku.

Konstrukcje Z ( p ^∞ )

Prüfer P -group mogą być identyfikowane z podgrupy grupy okręgu , U (1), składająca się ze wszystkich p ⁿ -tego korzeni jedności jak n przebiega wszystkich nieujemne liczby całkowite:

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ {\ exp (2 \ pi im / p ^ {n}) \ mid 0 \ równoważnik m <p ^ {n} \, n \ in \ mathbf {Z} ^ {+} \} = \ {z \ in \ mathbf {C} \ mid z ^ {(p ^ {n})} = 1 {\ text {dla niektórych}} n \ in \ mathbf {Z} ^ {+} \}. \;}$

Operacją grupową jest tutaj mnożenie liczb zespolonych .

Jest prezentacja

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ langle \, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}, \ ldots \ mid g_ {1} ^ {p} = 1 , g_ {2} ^ {p} = g_ {1}, g_ {3} ^ {p} = g_ {2}, \ dots \, \ rangle.}$

Tutaj operacja grupowa w Z ( p ^∞ ) jest zapisywana jako mnożenie.

Alternatywnie i równoważnie Prüfer P -group może być zdefiniowana jako Sylow p -subgroup z grupy iloraz Q / Z , składa się z tych elementów, których kolejność jest moc P :

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ mathbf {Z} [1 / p] / \ mathbf {Z}}$

(gdzie Z [1 / p ] oznacza grupę wszystkich liczb wymiernych, których mianownikiem jest potęga p , używając dodawania liczb wymiernych jako operacji grupowej).

Dla każdej liczby naturalnej n rozważmy grupę ilorazów Z / p ⁿ Z i osadzenie Z / p ⁿ Z → Z / p ^{n +1} Z wywołane przez pomnożenie przez p . Bezpośrednie ograniczenie tego systemu jest to, Z ( P ^∞ )

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ varinjlim \ mathbf {Z} / p ^ {n} \ mathbf {Z}.}$

Możemy też pisać

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ mathbf {Q} _ {p} / \ mathbf {Z} _ {p}}$

gdzie Q _p oznacza grupę addytywną liczb p- adycznych, a Z _p jest podgrupą liczb całkowitych p- adycznych.

Nieruchomości

Pełna lista podgrup Prüfer p -group Z ( p ^∞ ) = Z [1 / p ] / Z to:

${\ Displaystyle 0 \ subsetneq \ lewo ({1 \ ponad p} \ mathbf {Z} \ prawej) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ lewo ({1 \ ponad p ^ {2}} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ left ({1 \ over p ^ {3}} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty})}$

(Oto cykliczna podgrupa Z ( p ^∞ ) z p ⁿ elementów; zawiera dokładnie te elementy Z ( p ^∞ ), których kolejność dzieli p ⁿ i odpowiada zestawowi p ^n-tych pierwiastków jedności.) Prüfer Grupy p to jedyne nieskończone grupy, których podgrupy są całkowicie uporządkowane według włączenia. Ta sekwencja wtrąceń wyraża grupę p Prüfera jako bezpośrednią granicę jej skończonych podgrup. Ponieważ nie ma maksymalnej podgrupy p-grupy Prüfera , jest to jej własna podgrupa Frattiniego . ${\ Displaystyle \ lewo ({1 \ ponad p ^ {n}} \ mathbf {Z} \ prawej) / \ mathbf {Z}}$

Biorąc pod uwagę tę listę podgrup, jest jasne, że grupy p Prüfera są nierozkładalne (nie można ich zapisać jako bezpośredniej sumy odpowiednich podgrup). Więcej jest prawdą: grupy p Prüfera są pośrednio nieredukowalne . Grupa abelowa jest pośrednio nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna do skończonej cyklicznej grupy p lub do grupy Prüfera.

Prüfer P -group jest unikalny nieskończony P -group który jest lokalnie cykliczny (co skończony zestaw elementów generuje cykliczną grupę). Jak widać powyżej, wszystkie właściwe podgrupy Z ( p ^∞ ) są skończone. Grupy p Prüfera są jedynymi nieskończonymi grupami abelowymi z tą własnością.

Grupy p Prüfera są podzielne . Odgrywają ważną rolę w klasyfikacji grup podzielnych; wraz z liczbami wymiernymi są najprostszymi grupami podzielnymi. Dokładniej: grupa abelowa jest podzielna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezpośrednią sumą (możliwie nieskończonej) liczby kopii Q i (możliwie nieskończonej) liczby kopii Z ( p ^∞ ) dla każdej liczby pierwszej p . Liczby ( kardynalne ) kopii Q i Z ( p ^∞ ), które są używane w tej bezpośredniej sumie, określają grupę podzielną aż do izomorfizmu.

Jako grupa abelowa (to znaczy jako moduł Z ), Z ( p ^∞ ) jest artynianem, ale nie Noetherianem . Można go zatem użyć jako kontrprzykładu przeciwko idei, że każdy moduł artyński jest Noetherian (podczas gdy każdy pierścień artynianu jest Noetherian).

Pierścień endomorfizm z Z ( s ^∞ ) jest izomorficzny z pierścieniem P -adic całkowite Z _P .

W teorii lokalnie zwartych grup topologicznych grupa p Prüfera (obdarzona topologią dyskretną ) jest liczbą dualną Pontryagina zwartej grupy liczb całkowitych p- adycznych , a grupą liczb całkowitych p- adycznych jest liczba dualna Pontryagina z grupy Prüfer p -Grupa.

Zobacz też

• p -adyczne liczby całkowite , które można zdefiniować jako odwrotną granicę skończonych podgrup grupy p Prüfera .
• Diadyczne wymierne liczby wymierne w postaci a / 2 ^b . Grupę Prüfera 2 można postrzegać jako wymierne diadyczne modulo 1.
• Grupa cykliczna ( skończony analog)
• Grupa okrąg ( niezliczona nieskończona analogia)

Uwagi

Bibliografia

• Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra . 2 (wyd. 2). Dover. ISBN   978-0-486-47187-7 .
• Pierre Antoine Grillet (2007). Algebra abstrakcyjna . Skoczek. ISBN   978-0-387-71567-4 .
• Kaplansky, Irving (1965). Nieskończone grupy abelowe . University of Michigan Press.
• NN Vil'yams (2001) [1994], „Quasi-cyclic group” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press