Pierścień skład - Composition ring

W matematyce , A pierścień kompozycji , wprowadzono ( Adler 1962 ) jest przemienne pierścień ( R , 0, +, - ·), ewentualnie z tożsamością 1 (patrz nie unital pierścień ), wraz z operacją

${\ Displaystyle \ CIRC R \ razy R \ R} rightarrow$

takie, że dla wszystkich trzech elementów trzeba ${\ Displaystyle f, g, h \ in r}$

1. ${\ Displaystyle (F + G) \ Circ H = (f \ Circ H) + (G \ Circ H)}$
2. ${\ Displaystyle (f \ cdot g) \ Circ H = (f \ Circ H) \ cdot (G \ Circ H)}$
3. ${\ Displaystyle (f \ Circ g) \ Circ H = f \ Circ (G \ Circ godz.)}$

Jest to nie zwykle jest tak, że , nie jest to na ogół tak, że (a ) ma jakikolwiek związek z algebraicznych i . ${\ Displaystyle f \ Circ g = g \ f} Circ$${\ Displaystyle f \ Circ (g + H)}$${\ Displaystyle f \ Circ (G \ cdot H)}$${\ Displaystyle f \} g Circ$${\ Displaystyle f \} H Circ$

Przykłady

Istnieje kilka sposobów, aby pierścienia przemiennego R w skład pierścienia bez wprowadzania niczego nowego.

• Kompozycja może być określona przez wszystkie f , g . Otrzymany pierścień kompozycja jest raczej nieciekawe.${\ Displaystyle f \ Circ g = 0}$
• Kompozycja może być określona przez wszystkie f , g . Jest to zasada kompozycji dla stałych funkcji.${\ Displaystyle f \ Circ G = F}$
• Jeśli R jest logiczna pierścienia , a następnie pomnożenie może pełnić składzie: dla wszystkich f , g .${\ Displaystyle f \ Circ g = fg}$

Bardziej interesujące przykłady mogą być utworzone przez określenie kompozycji na innego pierścienia wykonanego z R .

• Wielomian pierścień R [ X ] oznacza pierścień kompozycja, w której dla wszystkich .${\ Displaystyle (f \ Circ g), (x) = f (g (x))}$${\ Displaystyle F, G \ in r}$
• Formalne pierścieniowy szereg potęgowy R [[ X ]] zawiera także operacja podstawiania, ale określa się tylko wówczas, gdy Seria g być podstawiony ma zerową stałego okresu (jeśli tak nie jest, stałe warunki wyniku będzie mieć nieskończoną szeregowo dowolne współczynników). Dlatego też podzbiorem R [[ X ]] utworzony przez szereg potęgowy zerowy stały współczynnik może być wykonany w postaci pierścienia o składzie podanym składzie według tego samego przepisu jak dla podstawienia wielomianów. Od niezerowe stałe serii są nieobecne, to pierścień kompozycja nie mają zwielokrotniony urządzenia.
• Jeśli R stanowi integralną domeny pole R ( X ) funkcji wymiernych jest również operacja podstawiania wyprowadzona z wielomianów: podstawienie frakcję g ₁ / g ₂ o X do wielomianu stopnia n daje racjonalne funkcji w mianowniku , i zastępując na frakcję podaje się przez${\ Displaystyle G_ {2} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {F_ {1}} {F_ {2}}} \ Circ G = {\ Frac {F_ {1} \ Circ G} {F_ {2} \ Circ g}}.}$

Jednakże, w celu przyjęcia cyklu zasilania, kompozycja może nie zawsze być określone, gdy prawy argument g jest stałą: we wzorze podanym mianownik nie powinien być identyczny zera. Dlatego też należy ograniczyć do podpierścień o R ( X ), aby mieć dobrze zdefiniowaną operację kompozycji; odpowiednie podpierścień jest przez racjonalne funkcji których licznik zerowe stałego okresu, a mianownik jest niezerowy stałego okresu. Znowu ten pierścień kompozycja ma zwielokrotniony zespół; jeśli R jest dziedziną, to jest w rzeczywistości podpierścień formalnego przykład seryjnej mocy.${\ Displaystyle F_ {2} \} g Circ$

• Zbiór wszystkich funkcji z R do R z dodatkiem punktowej i rozmnażania, i biorąc pod uwagę funkcje w kompozycji znajduje się pierścień kompozycji. Istnieje wiele odmian tego pomysłu, takie jak pierścień funkcji ciągłych, gładkie, holomorficznych lub wielomianu z pierścienia do siebie, kiedy te pojęcia sens.${\ Displaystyle \} Circ$

Na konkretnym przykładzie wziąć pierścień , uważane za pierścieniem map wielomianowych od liczb do siebie. Endomorfizm pierścień ${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$

${\ Displaystyle K {\ mathbb {Z}} [X] \ rightarrow {\ mathbb {Z}} [x]}$

z ustalana jest przez obraz na podstawie zmiennej , którą oznaczamy przez ${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f = F (x)}$

i ten obraz może być dowolny element . Dlatego można rozważyć elementy jak endomorfizm i przypisać , odpowiednio. Łatwo sprawdza, czy spełnia powyższe aksjomaty. Na przykład, jedna ma ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle f \ w {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle \ Circ {\ mathbb {Z}} [X] \ razy {\ mathbb {Z}} [X] \ rightarrow {\ mathbb {Z}} [x]}$${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}} [x]}$

${\ Displaystyle (x ^ {2} + 3x + 5) \ Circ (X-2) = (X-2) ^ {2} + 3 (X-2) + 5 = x ^ {2} -x + 3 .}$

Ten przykład jest izomorficzny w podanym przykładzie do R [ X ], z R równej , a także do podpierścień wszystkich funkcji , utworzonych przez funkcji wielomianu. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ z \ mathbb {Z}}$

Zobacz też

• operator skład
• Rozkład wielomianu
• Carleman matrycy

Referencje

• Adler, Irving (1962), "pierścienie kompozycja" , Duke Mathematical Journal , 29 (4): 607-623, doi : 10,1215 / S0012-7094-62-02961-7 , ISSN  0012-7094 , MR  0142573