Małe twierdzenie Wedderburna - Wedderburn's little theorem

W matematyce , trochę twierdzenie Wedderburn za stwierdza, że każdy skończony domeny to pole . Innymi słowy, dla pierścieni skończonych nie ma rozróżnienia między domenami, pierścieniami podziału i polami.

Twierdzenie Artina-Zorna uogólnia twierdzenie do alternatywnych pierścieni : każdy skończony alternatywny pierścień podziału jest polem.

Historia

Oryginalny dowód został dostarczony przez Josepha Wedderburna w 1905 roku, który udowodnił to na dwa inne sposoby. Inny dowód został przedstawiony przez Leonarda Eugene'a Dicksona wkrótce po oryginalnym dowodzie Wedderburna, a Dickson uznał priorytet Wedderburna. Jednakże, jak zauważono w ( Parshall 1983 ), pierwszy dowód Wedderburna był błędny – miał lukę – a jego kolejne dowody pojawiły się dopiero po przeczytaniu poprawnego dowodu Dicksona. Na tej podstawie Parshall twierdzi, że Dicksonowi należy przypisać pierwszy prawidłowy dowód.

Uproszczoną wersję dowodu podał później Ernst Witt . Dowód Witta jest naszkicowany poniżej. Alternatywnie, twierdzenie jest konsekwencją twierdzenia Skolema-Noether przez następujący argument. Niech D będzie algebrą dzielenia skończonego z centrum k . Niech [ D  : k ] = n ² i q oznaczają moc k . Każde maksymalne podpole D ma q ⁿ elementów; więc są izomorficzne, a zatem są sprzężone przez Skolem-Noether. Ale skończona grupa ( w naszym przypadku multiplikatywna grupa D ) nie może być związkiem koniugatów odpowiedniej podgrupy; stąd n = 1.

Późniejszy dowód „ grupowo-teoretyczny ” dał Teodor Kaczyński . Ten dowód, pierwszy opublikowany fragment matematycznego pisma Kaczyńskiego, był krótką, dwustronicową notatką, która uwzględniała również wcześniejsze dowody historyczne.

Związek z grupą Brauera pola skończonego

Twierdzenie jest zasadniczo równoważne stwierdzeniu, że grupa Brauera skończonego ciała jest trywialna. W rzeczywistości ta charakterystyka natychmiast daje dowód twierdzenia w następujący sposób: niech k będzie ciałem skończonym. Ponieważ iloraz Herbranda znika przez skończoność, pokrywa się z , które z kolei znika u Hilberta 90 . ${\ Displaystyle \ operatorname {Br} (k) = H ^ {2} (k ^ {\ tekst {al}} / k)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (k ^ {\ tekst {al}} / k)}$

Dowód

Niech A będzie skończoną dziedziną. Dla każdego niezerowego x w A , dwa odwzorowania

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\doA}$

są iniektywne przez właściwość anulowania , a zatem są surjektywne przez liczenie. Z elementarnej teorii grup wynika, że ​​niezerowe elementy A tworzą grupę w wyniku mnożenia. A zatem A jest polem skośnym .

Aby udowodnić, że każde skończone pole skośne jest polem, stosujemy silną indukcję na wielkość pola skośnego. Zatem niech A będzie polem skośnym i załóżmy, że wszystkie pola skośne, które są właściwymi podzbiorami A, są polami. Ponieważ środek Z ( A ) A jest polem, A jest przestrzenią wektorową nad Z ( A ) o skończonym wymiarze n . Naszym celem jest zatem pokazanie n = 1. Jeśli q jest porządkiem Z ( A ), to A ma porządek q ⁿ . Zauważ, że ponieważ Z ( A ) zawiera różne elementy 0 i 1, q>1. Dla każdego x w A, który nie znajduje się w centrum, centralizator Z _x od x jest wyraźnie polem skośnym, a zatem polem, zgodnie z hipotezą indukcyjną, a ponieważ Z _x można postrzegać jako przestrzeń wektorową nad Z ( A ) a A można postrzegać jako przestrzeń wektorową nad Z _x , mamy, że Z _x ma rząd q ^{d ,} gdzie d dzieli n i jest mniejsze niż n . Widząc Z ( A )*, A* i Z* _x jako grupy do mnożenia, możemy napisać równanie klasy

${\ Displaystyle q ^ {n} -1 = q-1 + \ suma {q ^ {n} -1 \ ponad q ^ {d} -1}}$

gdzie suma jest przejmowana przez klasy sprzężenia nie zawarte w Z ( A )*, a d są zdefiniowane w taki sposób, że dla każdej klasy sprzężeń porządek Z* _x dla dowolnego x w klasie wynosi q ^d -1. q ⁿ -1 i q ^d -1 oba dopuszczają faktoryzację wielomianów w kategoriach wielomianów cyklotomicznych

${\ Displaystyle \ Phi _ {f} (q)}$.

W tożsamościach wielomianowych

${\ Displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {m | n} \ Phi _ {m} (x)}$i ,${\ Displaystyle x ^ {d} -1 = \ prod _ {m | d} \ Phi _ {m} (x)}$

ustawiamy x = q . Ponieważ każde d jest właściwym dzielnikiem n ,

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (q)}$dzieli zarówno q ⁿ −1 jak i każdy ,${\ Displaystyle {q ^ {n} -1 \ ponad q ^ {d} -1}}$

więc przez powyższe równanie klasy musi podzielić q -1, a zatem ${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (q)}$

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | \ leq q-1}$.

Aby zobaczyć, że wymusza to, aby n było równe 1, pokażemy

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1}$

dla n > 1 przy użyciu faktoryzacji przez liczby zespolone. W wielomianowej tożsamości

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod (x- \ zeta)}$,

gdzie ζ przebiega przez prymitywne n -te pierwiastki jedności, ustaw x na q, a następnie przyjmij wartości bezwzględne

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | = \ prod | q- \ zeta |}$.

Dla n > 1 widzimy, że dla każdego prymitywnego n-tego pierwiastka jedności ζ,

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

ze względu na położenie q , 1 i ζ na płaszczyźnie zespolonej. A zatem

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1}$.

Uwagi

Bibliografia

• Parshall, KH (1983). „W dążeniu do twierdzenia algebry dzielenia skończonego i nie tylko: Joseph HM Wedderburn, Leonard Dickson i Oswald Veblen”. Archiwum Międzynarodowej Historii Nauki . 33 : 274–99.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Pierwszy kurs w pierścieniach nieprzemiennych . Teksty magisterskie z matematyki . 131 (2 wyd.). Skoczek. Numer ISBN 0-387-95183-0.

Linki zewnętrzne

• Dowód twierdzenia Wedderburna w Planet Math
• Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38