Grupa ortogonalna - Orthogonal group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce The ortogonalne grupy wymiarowo n , oznaczonych O ( n ) , to grupa o odległość zabezpieczonego przemian o euklidesowej przestrzeni o wymiarze n tego zachowania stałego punktu, w którym operacja grupę określał tworzenia transformacji. Grupa ortogonalna jest czasami nazywana ogólną grupą ortogonalną , przez analogię z ogólną grupą liniową . Równoważnie jest to grupa n × n macierzy ortogonalnych , gdzie operacja na grupie jest dana przez mnożenie macierzy (macierz ortogonalna jest macierzą rzeczywistą, której odwrotność jest równa jej transpozycji ). Grupa ortogonalna to grupa algebraiczna i grupa Liego . Jest kompaktowy .

Grupa ortogonalna w wymiarze n ma dwie połączone składowe . Ta, która zawiera element tożsamości jest podgrupą, zwaną specjalną grupą ortogonalną i oznaczoną SO( n ) . Składa się ze wszystkich macierzy ortogonalnych wyznacznika 1 . Grupa ta nazywana jest również grupą obrotu , uogólniając fakt, że w wymiarach 2 i 3 jej elementami są zwykłe obroty wokół punktu (w wymiarze 2) lub prostej (w wymiarze 3). W małym wymiarze grupy te były szeroko badane, patrz SO(2) , SO(3) i SO(4) . Drugi składnik składa się ze wszystkich macierzy ortogonalnych wyznacznika –1 . Składnik ten nie tworzy grupy, ponieważ iloczyn dowolnych dwóch jego elementów jest wyznacznikiem 1, a zatem nie jest elementem składowej.

Co za tym idzie, dla dowolnego pola F , macierz n × n z wpisami w F takimi, że jej odwrotność równa się jej transpozycji, nazywana jest macierzą ortogonalną nad F . N x n macierzami ortogonalnymi tworzą podgrupę, oznaczony O ( N , F ) , z ogólnej grupy liniowego GL ( N , M ) ; to jest

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (n, F) = \ lewo \ {Q \ w \ operatorname {GL} (n, F) \ mid Q ^ {\ mathsf {T}} Q = QQ ^ {\ mathsf { T}}=Ja\dobrze\}.}$

Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową lub kwadratową na przestrzeni wektorowej nad polem , ortogonalna grupa formy jest grupą odwracalnych odwzorowań liniowych, które zachowują formę. Poprzednie grupy ortogonalne są szczególnym przypadkiem, w którym, na pewnej podstawie, forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym lub, równoważnie, forma kwadratowa jest sumą kwadratu współrzędnych.

Wszystkie grupy ortogonalne są grupami algebraicznymi , ponieważ warunek zachowania formy można wyrazić jako równość macierzy.

Nazwa

Nazwa „grupa ortogonalna” wywodzi się z następującej charakterystyki jej elementów. Biorąc pod uwagę euklidesową wektora przestrzennego E wymiaru n , elementy prostopadłym grupy O ( n ) są, nawet w skalowania jednolitej ( homothecy ) z liniowych map od E do E , które są mapowane ortogonalnych kierunków do prostopadłych wektorów.

W geometrii euklidesowej

Grupa ortogonalna O( n ) to podgrupa ogólnej grupy liniowej GL( n , R ) , składająca się ze wszystkich endomorfizmów zachowujących normę euklidesową , czyli endomorfizmów g takich,${\ Displaystyle \ | g (x) \ | = \ | x \ |.}$

Niech E ( n ) jest grupa euklidesowa izometryczne o euklidesowej przestrzeni S wymiaru n . Ta grupa nie zależy od wyboru konkretnej przestrzeni, ponieważ wszystkie przestrzenie euklidesowe tego samego wymiaru są izomorficzne . Podgrupa stabilizator punktu x ∈ S jest podgrupa pierwiastków g ∈ e ( n ), w taki sposób, g ( x ) = x . Ten stabilizator jest (a dokładniej jest izomorficzny z) O( n ) , ponieważ wybór punktu jako początku indukuje izomorfizm między przestrzenią euklidesową i związaną z nią przestrzenią wektorów euklidesowych.

Istnieje naturalny homomorfizm grupy p od E( n ) do O( n ) , który jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle p (g) \ cdot (yx) = g (y)-g (x)}$

gdzie, jak zwykle, odjęcie dwóch punktów oznacza wektor translacji, który odwzorowuje drugi punkt na pierwszy. Jest to dobrze zdefiniowany homomorfizm, ponieważ prosta weryfikacja pokazuje, że jeśli dwie pary punktów mają tę samą różnicę, to samo dotyczy ich obrazów przez g (po szczegóły patrz Przestrzeń afiniczna § Odejmowanie i aksjomaty Weyla ).

Jądro z p jest przestrzenią wektorową tłumaczeń. Tak więc, postać tłumaczeń a normalne podgrupa o E ( n ) , stabilizatory dwa punkty są sprzężone pod działaniem tłumaczenia i wszystkie stabilizatory są izomorficzna O ( n ) .

Ponadto, grupa euklidesowa jest iloczynów produkt o O ( n ) i grupa tłumaczeń. Wynika z tego, że badanie grupy euklidesowej sprowadza się zasadniczo do badania O( n ) .

SO( n )

Wybierając ortonormalną bazę euklidesowej przestrzeni wektorowej, grupa ortogonalna może być utożsamiana z grupą (w ramach mnożenia macierzy) macierzy ortogonalnych , które są macierzami takimi, że

${\ Displaystyle QQ ^ {\ mathsf {T}} = I.}$

Jak wynika z tego równania, że kwadrat determinant of P równa się 1 , a tym samym wyznacznik Q oznacza albo 1 lub -1 . Ortogonalnych matryc wyznacznik 1 tworzą podgrupę zwany szczególną grupą ortogonalną , oznaczony SO ( N ) , składającej się ze wszystkich bezpośrednich izometryczne o O ( n ) , które są takie, które zachowują orientację w przestrzeni.

SO( n ) to normalna podgrupa O( n ) , jako jądro wyznacznika, czyli homomorfizmu grupowego, którego obrazem jest grupa multiplikatywna {–1, +1}. Ponadto prostopadły grupa jest iloczynów produkt o SO ( N ) , a grupa z dwóch elementów, ponieważ biorąc pod uwagę wszelkie odbicia R , trzeba O ( n ) \ SO ( n ) = r SO ( n ) .

Grupa z dwoma elementami {± I } (gdzie I jest macierzą tożsamości) jest podgrupa normalna , a nawet charakterystyka podgrupa o O ( N ) , a jeśli n jest równe, również SO ( N ) . Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, O ( n ) jest wewnętrzną bezpośrednim produktem o SO ( n ) i {± I }. Dla każdej liczby całkowitej k o cykliczną grupę C _k o k -krotnie obrotów jest normalną podgrupa O (2) i SO (2) .

Forma kanoniczna

Dla dowolnego elementu O( n ) istnieje baza ortogonalna, której macierz ma postać

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} {\ zacząć {macierz} R_ {1}&&\\& \ ddots &\\&& R_ {k}\koniec {macierz}} i 0 \\0&{\zacząć {macierz}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{macierz}}\\\end{bmacierz}},}$

gdzie macierze R ₁ , ..., R _k są macierzami 2x2 rotacji, czyli macierzami postaci

${\displaystyle {\zacząć{bmatrix}a&b\\-b&a\koniec {bmatrix}}}$

z ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1.}$

Wynika to z twierdzenia spektralnego przez przegrupowanie wartości własnych, które są sprzężone zespolone i biorąc pod uwagę, że wartości bezwzględne wartości własnych macierzy ortogonalnej są równe 1.

Element należy do SO( n ) wtedy i tylko wtedy, gdy na przekątnej jest parzysta liczba –1 .

Specjalny przypadek n = 3 jest znany jako twierdzenie Eulera o obrocie , które zapewnia, że ​​każdy (nie identyczny) element SO(3) jest obrotem wokół unikalnej pary oś-kąt.

Refleksje

Refleksje to elementy O( n ), których kanoniczną formą jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} -1 i 0 \ \ 0 i ja \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie I jest macierzą jednostkową ( n –1)×( n –1) , a zera oznaczają macierze zerowe w wierszach lub kolumnach. Innymi słowy, odbicie jest przekształceniem, które przekształca przestrzeń w jej lustrzanym odbiciu względem hiperpłaszczyzny .

W drugim wymiarze każdy obrót jest iloczynem dwóch odbić . Dokładniej, obrót o kąt 𝜃 jest iloczynem dwóch odbić, których osie mają kąt 𝜃 / 2 .

Każdy element O( n ) jest iloczynem co najwyżej n odbić. Wynika to od razu z powyższej formy kanonicznej i przypadku drugiego wymiaru.

Twierdzenie Cartana-Dieudonnégo jest uogólnieniem tego wyniku na grupę ortogonalną niezdegenerowanej postaci kwadratowej nad polem o charakterystyce różnej od dwóch.

Odbiciową przez pochodzenia (na mapie v ↦ - V ) stanowi przykład elementu O ( n ) , który nie jest produktem mniej niż n odbicia.

Grupa symetrii sfer

Prostopadłe grupy O ( n ) jest grupa symetrii z ( n - 1) -sphere (dla n = 3 , to jest tylko kula ) i wszystkie przedmioty o symetrii kulistej, jeżeli źródło jest wybrana w środku.

Grupa symetrii z koła jest O (2) . Podgrupa zachowująca orientację SO(2) jest izomorficzna (jako rzeczywista grupa Liego) do grupy kołowej , znanej również jako U (1) , multiplikatywnej grupy liczb zespolonych o wartości bezwzględnej równej jeden. Ten izomorfizm wysyła liczbę zespoloną exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) o wartości bezwzględnej  1 do specjalnej macierzy ortogonalnej

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ varphi ) i - \ sin (\ varphi ) \ \ \ sin (\ varphi ) i \ cos (\ varphi ) \ koniec {bmatrix}}.}$

W wyższym wymiarze O( n ) ma bardziej skomplikowaną strukturę (w szczególności nie jest już przemienna). W topologiczne Struktury N -sphere i O ( n ) są silnie skorelowane, a zależność ta jest szeroko stosowana do badania zarówno przestrzeni topologicznych .

Struktura grupy

Grupy O( n ) i SO( n ) są rzeczywiście zwartymi grupami Liego o wymiarze n ( n − 1)/2 . Grupa O( n ) składa się z dwóch połączonych komponentów , przy czym SO( n ) jest komponentem tożsamościowym , to znaczy połączonym komponentem zawierającym macierz jednostkową .

Jako grupy algebraiczne

Grupę ortogonalną O( n ) można utożsamić z grupą macierzy A tak, że Ponieważ oba człony tego równania są macierzami symetrycznymi , dostarcza to równań, które muszą spełniać wpisy macierzy ortogonalnej, a które nie są spełnione przez wpisy dowolnej macierzy nieortogonalnej. ${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} A = I.}$${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

To dowodzi, że O( n ) jest zbiorem algebraicznym . Co więcej, można wykazać, że jego wymiar jest

${\ Displaystyle {\ Frac {n (n-1)} {2}} = n ^ {2} - {\ Frac {n (n + 1)} {2}},}$

co oznacza, że O( n ) jest pełnym przecięciem . Oznacza to, że wszystkie jego nieredukowalne składniki mają ten sam wymiar i nie ma wbudowanego składnika . W rzeczywistości O( n ) ma dwie nieredukowalne składowe, które wyróżnia znak wyznacznika (czyli det( A ) = 1 lub det( A ) = –1 ). Obie są nieosobliwymi rozmaitościami algebraicznymi o tym samym wymiarze n ( n – 1) / 2 . Składnik z det( A ) = 1 to SO( n ) .

Maksymalne grupy tori i Weyl

A torusa maksymalne w zwartej grupie Lie G jest podgrupą ilość spośród tych, które są izomorficzne z T ^K jakiegoś k , gdzie T = SO (2) jest standardowym jednowymiarowy torusa.

W O(2 n ) i SO(2 n ) dla każdego torusa maksymalnego istnieje podstawa, na której torus składa się z macierzy blokowo-przekątnych postaci

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} R_ {1} i 0 \ \ i \ ddots i \ \ 0 i R_ {n} \ koniec {bmatrix}}},}$

gdzie każdy R _j należy do SO(2) . W O(2 n + 1) i SO(2 n + 1) maksymalne tori mają taką samą formę, otoczone rzędem i kolumną zer i 1 na przekątnej.

Grupa Weyl o SO (2 n + 1) jest iloczynów produktu normalnego elementarnej Abelowych 2-podgrupie i grupy symetryczne , gdzie nietrywialna elementem każdego {± 1 } czynnika {± 1} ⁿ działa na odpowiadającym kole czynnik T × {1 } przez inwersję , a symetryczna grupa S _n działa zarówno na {±1} ^{n, jak} i T × {1 } przez czynniki permutujące. Elementy grupy Weyl są reprezentowane przez macierze w O(2 n ) × {±1 }. Współczynnik S _n jest reprezentowany przez macierze permutacji bloków z 2 na 2 bloki i końcową 1 na przekątnej. Składnik {±1} ⁿ jest reprezentowany przez macierze blokowo-przekątne z blokami 2 na 2 albo ${\ Displaystyle \ {\ pm 1 \} ^ {n} \ Rrazy S_ {n}}$

${\displaystyle {\rozpocząć{bmatrix}1&0\\0&1\koniec{bmatrix}}\quad {\tekst{lub}}\quad {\rozpocząć{bmatrix}0&1\\1&0\koniec {bmatrix}}}$

z ostatnią składową ±1 wybraną do wyznaczenia 1.

Grupa Weyla SO(2 n ) jest podgrupą grupy SO(2 n + 1) , gdzie H _{n −1} < {±1} ⁿ jest jądrem homomorfizmu produktu {±1} ⁿ → {±1 } podane przez ; to znaczy, H _{n -1} < {±1} ⁿ jest podgrupą z parzystą liczbą znaków minus. Grupa Weyl z SO(2 n ) jest reprezentowana w SO(2 n ) przez wstępne obrazy pod standardowym wtryskiem SO(2 n ) → SO(2 n + 1) przedstawicieli grupy Weyl z SO(2 n + 1) . Macierze z nieparzystą liczbą bloków nie mają pozostałej końcowej współrzędnej -1, aby ich wyznaczniki były dodatnie, a zatem nie mogą być reprezentowane w SO(2 n ) . ${\ Displaystyle H_ {n-1} \ rrazy S_ {n} <\ {\ pm 1 \} ^ {n} \ rrazy S_ {n}}$${\ Displaystyle \ lewo (\ epsilon _ {1} \ ldots \ epsilon _ {n} \ po prawej) \ mapsto \ epsilon _ {1} \ cdots \ epsilon _ {n}}$${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Topologia

Topologia niskowymiarowa

Niskowymiarowe (rzeczywiste) grupy ortogonalne to znane przestrzenie :

• O (1) = S ⁰ , A dwa punktowej dyskretnej przestrzeń
• SO(1) = {1}
• SO(2) to S ¹
• SO (3) jest R P ³
• SO (4) jest podwójnie pokryte przez SU (2) x SU (2) = S ³ x S ³ .

Grupa podstawowa

Jeśli chodzi o topologii algebraicznej , dla n > 2 podstawowym grupy o SO ( n , R ) jest cyklicznym o uporządkowaniu 2 , a grupa wirowania wirówki ( n ) jest jego uniwersalne pokrycie . Dla n = 2 podstawowa grupa jest nieskończenie cykliczna, a uniwersalne pokrycie odpowiada rzeczywistej linii (grupa Spin(2) to unikatowo połączone podwójne pokrycie ).

Grupy homotopii

Ogólnie rzecz biorąc, grupy homotopii π _k ( O ) rzeczywistej grupy ortogonalnej są powiązane z grupami homotopii sfer , a zatem są na ogół trudne do obliczenia. Można jednak obliczyć grupy homotopii stabilnej grupy ortogonalnej (inaczej nieskończonej grupy ortogonalnej), zdefiniowanej jako bezpośrednia granica ciągu wtrąceń:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {O} (0) \ podzbiór \ nazwa operatora {O} (1) \ podzbiór \ nazwa operatora {O} (2) \ podzbiór \ cdots \ podzbiór O = \ bigcup _ {k = 0} ^ {\ infty }\nazwa operatora {O} (k)}$

Ponieważ wszystkie wtrącenia są zamknięte, a więc kofibracje , można to również interpretować jako połączenie. Z drugiej strony, S ⁿ jest jednorodną przestrzenią dla O( n + 1) , a jedna ma następującą wiązkę włókien :

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (n) \ do \ operatorname {O} (n + 1) \ do S ^ {n}}$

co można rozumieć jako „Grupa ortogonalna O( n + 1) działa przechodnie na sferę jednostkową S ⁿ , a stabilizator punktu (myślany jako wektor jednostkowy ) jest grupą ortogonalną dopełnienia prostopadłego , która jest grupa ortogonalna o jeden wymiar niżej.W związku z tym naturalne włączenie O( n ) → O( n + 1) jest ( n − 1) -połączone , więc grupy homotopii stabilizują się, a π _k (O( n + 1)) = π _k (O( n )) dla n > k + 1 : zatem grupy homotopii przestrzeni stabilnej są równe niższym grupom homotopii przestrzeni niestabilnych.

Z okresowości Botta otrzymujemy Ω ⁸ O ≅ O , więc grupy homotopii O są 8-krotne okresowe, co oznacza π _{k + 8} ( O ) = π _k ( O ) , i wystarczy wymienić 8 niższych grup homotopii:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {0} (O) & = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \ \ \ pi _ {1} (O) & = \ mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O) &=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \ koniec{wyrównany}}}$

Związek z teorią KO

Poprzez konstrukcję sprzęgającą grupy homotopii przestrzeni stabilnej O są identyfikowane ze stabilnymi wiązkami wektorowymi na sferach ( aż do izomorfizmu ), z przesunięciem wymiaru 1: π _k ( O ) = π _{k + 1} ( BO ) . Ustalając KO = BO × Z = Ω ⁻¹ O × Z (aby dopasować π ₀ do okresowości) otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ pi _ {0} (KO) i = \ mathbf {Z} \ \ \ pi _ {1} (KO) i = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO) &=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\ koniec{wyrównany}}}$

Obliczanie i interpretacja grup homotopii

Grupy niskowymiarowe

Pierwsze kilka grup homotopii można obliczyć, korzystając z konkretnych opisów grup niskowymiarowych.

• π ₀ ( O ) = π ₀ (O(1)) = Z /2 Z , z orientacji -zachowywanie/odwracanie (ta klasa przetrwa do O(2), a więc stabilnie)
• π ₁ ( O ) = π ₁ (SO(3)) = Z /2 Z , czyli spin pochodzi od SO(3) = R P ³ = S ³ /( Z /2 Z ) .
• π ₂ ( O ) = π ₂ (SO(3)) = 0 , który jest podporządkowany π ₂ (SO(4)) ; ta ostatnia w ten sposób znika.

Grupy kłamstw

Z ogólnych faktów dotyczących grup Liego , π ₂ ( G ) zawsze znika, a π ₃ ( G ) jest wolne ( wolny abelian ).

Pakiety wektorowe

Z punktu widzenia wiązki wektorowej, π ₀ ( KO ) to wiązki wektorowe nad S ⁰ , czyli dwoma punktami. Zatem w każdym punkcie wiązka jest trywialna, a nietrywialność wiązki jest różnicą między wymiarami przestrzeni wektorowych nad dwoma punktami, więc π ₀ ( KO ) = Z jest wymiarem .

Przestrzenie pętli

Korzystając z konkretnych opisów przestrzeni pętli w okresowości Botta , można interpretować wyższe homotopie O w kategoriach prostszych do analizy homotopii niższego rzędu. Korzystanie π ₀ , O i O / U dwa składniki, K O = B O × Z i K Sp = B Sp × Z mają przeliczalnie wielu składników, a pozostałe są połączone.

Interpretacja grup homotopii

W skrócie:

• π ₀ ( KO ) = Z dotyczy wymiaru
• π ₁ ( KO ) = Z /2 Z dotyczy orientacji
• π ₂ ( KO ) = Z /2 Z dotyczy spinu
• π ₄ ( KO ) = Z dotyczy topologicznej kwantowej teorii pola .

Niech R jest każda z czterech podziału algebr R , C , H , O , i pozwolić L _R być tautologiczna linii wiązki na rzutowej linii R P ¹ i [ L _R ] jego klasa K-teorii. Zauważyć, że R P ¹ = S ¹ , C, P ¹ = S ² , H P ¹ = S ⁴ , O P ¹ = S ⁸ , te zestawy wydajność Wektor nad odpowiednimi kulkami i

• π ₁ ( KO ) jest generowany przez [ L _R ]
• π ₂ ( KO ) jest generowane przez [ L _C ]
• π ₄ ( KO ) jest generowany przez [ L _H ]
• π ₈ ( KO ) jest generowany przez [ L _O ]

Z punktu widzenia geometrii symplektyczna , gatunku ₀ ( K O) ≅ π ₈ ( K O) = Z mogą być interpretowane jako wskaźnik Maslov , z myślą o tym, jak podstawowa komórka gatunku ₁ (U / O) dla stabilnego Lagrange'a Grassmannian jako U/O ≅ Ω ⁷ ( KO ) , czyli π ₁ (U/O) = π ₁₊₇ ( KO ) .

Wieża Whitehead

Grupa ortogonalna zakotwicza wieżę Whitehead :

${\ Displaystyle \ ldots \ rightarrow \ operatorname {pięćbrana} (n) \ rightarrow \ operatorname {Ciąg} (n) \ rightarrow \ operatorname {Spin} (n) \ rightarrow \ operatorname {SO} (n) \ rightarrow \ operatorname { Na)}$

co uzyskuje się poprzez sukcesywne usuwanie (zabijanie) grup homotopii o rosnącym porządku. Odbywa się to poprzez konstruowanie krótkich dokładnych sekwencji rozpoczynających się od przestrzeni Eilenberga-MacLane'a dla grupy homotopii, która ma zostać usunięta. Kilka pierwszych wpisów w wieży to grupa spinowa i grupa strun , które są poprzedzone grupą pięciobranową . Zabite grupy homotopii to kolejno π ₀ ( O ) aby otrzymać SO z O , π ₁ ( O ) by otrzymać Spin z SO , π ₃ ( O ) by otrzymać String ze Spin , a następnie π ₇ ( O ) i tak dalej, aby uzyskać brane wyższego rzędu .

O nieokreślonej formie kwadratowej nad liczbami rzeczywistymi

Po liczbach rzeczywistych niezdegenerowane formy kwadratowe klasyfikuje się zgodnie z prawem bezwładności Sylwestra , które głosi, że na przestrzeni wektorowej o wymiarze n taką formę można zapisać jako różnicę sumy p kwadratów i sumy q kwadratów, gdzie p + q = n . Innymi słowy, istnieje podstawa, na której macierz postaci kwadratowej jest macierzą diagonalną , z p wpisów równych 1 i q wpisów równych –1 . Para ( p , q ) nazywana bezwładnością , jest niezmiennikiem postaci kwadratowej, w tym sensie, że nie zależy od sposobu obliczenia macierzy diagonalnej.

Grupa ortogonalna formy kwadratowej zależy tylko od bezwładności, a zatem jest ogólnie oznaczana jako O( p , q ) . Co więcej, ponieważ forma kwadratowa i jej przeciwieństwo mają tę samą grupę ortogonalną, mamy O( p , q ) = O( q , p ) .

Standardowa grupa ortogonalna to O( n ) = O( n ,0) = O(0, n ) . Tak więc w pozostałej części tej sekcji zakłada się, że ani p, ani q nie są równe zero.

Podgrupę macierzy wyznacznika 1 w O( p , q ) oznaczono jako SO( p , q ) . Grupa O( p , q ) składa się z czterech połączonych składowych, w zależności od tego, czy element zachowuje orientację na jednej z dwóch maksymalnych podprzestrzeni, gdzie forma kwadratowa jest dodatnio określona lub ujemnie określona. Składnik tożsamości, którego elementy zachowują orientację na obu podprzestrzeniach, oznaczono SO ⁺ ( p , q ) .

Grupy O (3, 1) jest grupą Lorentz'a , która jest istotna w teorii względności . Tutaj 3 odpowiada współrzędnym przestrzennym, a 1 odpowiada współrzędnej czasowej.

o złożonych formach kwadratowych

Przez pole C o liczbach zespolonych , co nie zdegenerowany postać kwadratowego w n zmiennych jest równoważna . Zatem aż do izomorfizmu istnieje tylko jedna niezdegenerowana złożona przestrzeń kwadratowa o wymiarze n i jedna związana z nią grupa ortogonalna, zwykle oznaczana jako O( n , C ) . Jest to grupa złożonych macierzy ortogonalnych, macierzy zespolonych, których iloczyn wraz z ich transpozycją jest macierzą jednostkową. ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}$

Tak jak w prawdziwym przypadku, O( n , C ) ma dwie połączone składowe. Składnik tożsamości składa się ze wszystkich macierzy wyznacznika 1 w O( n , C ) ; jest oznaczony SO( n , C ) .

Grupy O( n , C ) i SO( n , C ) są zespolonymi grupami Liego o wymiarze n ( n − 1)/2 nad C (wymiar nad R jest dwa razy większy). Dla n ≥ 2 grupy te są niezwarte. Podobnie jak w rzeczywistym przypadku, SO ( N , C ) nie jest po prostu podłączona: dla n > 2 The podstawową grupę o SO ( N , C ) jest cyklicznym o uporządkowaniu 2 , przy czym podstawowe grupy SO (2 C ), to Z .

Nad skończonymi polami

Charakterystyka różna od dwóch

Na polu o innej charakterystyce niż dwa dwie formy kwadratowe są równoważne, jeśli ich macierze są przystające , czyli jeśli zmiana bazy przekształca macierz formy pierwszej w macierz formy drugiej. Dwie równoważne formy kwadratowe mają wyraźnie tę samą grupę ortogonalną.

Niezdegenerowane formy kwadratowe nad skończonym polem o charakterystyce różnej od dwóch są całkowicie zaklasyfikowane do klas kongruencji, az tej klasyfikacji wynika, że ​​w wymiarze nieparzystym jest tylko jedna grupa ortogonalna, a w wymiarze parzystym dwie.

Dokładniej, twierdzenie Witta o dekompozycji twierdzi, że (w charakterystyce innej niż dwa) każda przestrzeń wektorowa wyposażona w niezdegenerowaną formę kwadratową Q może być rozłożona jako prosta suma parami ortogonalnych podprzestrzeni

${\ Displaystyle V = L_ {1} \ oplus L_ {2} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {m} \ oplus W}$

gdzie każdy L _i jest płaszczyzną hiperboliczną (czyli istnieje taka podstawa, że ​​macierz ograniczenia Q do L _i ma postać ), a ograniczenie Q do W jest anizotropowe (czyli Q ( w ) ≠ 0 dla każdego niezerowego w w W ). ${\ Displaystyle \ textstyle {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Twierdzenie Chevalley-Warning twierdzi, że w skończonym polu wymiar W wynosi co najwyżej dwa.

Jeśli wymiar V jest nieparzysty, wymiar W jest zatem równy jeden, a jego macierz jest przystająca albo do, albo do, gdzie 𝜙 jest skalarem niekwadratowym. Wynika z tego, że istnieje tylko jedna grupa ortogonalna oznaczona jako O(2 n + 1, q ) , gdzie q jest liczbą elementów pola skończonego (potęgi nieparzystej liczby pierwszej). ${\displaystyle \textstyle {\początek{bmatrycy}1\koniec{bmatrycy}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ zacząć {bmatrix} \ varphi \ koniec {bmatrix}}}$

Jeśli wymiar W wynosi dwa, a –1 nie jest kwadratem w polu podstawowym (to znaczy, jeśli jego liczba elementów q jest przystająca do 3 modulo 4), macierz ograniczenia Q do W jest przystająca do jednego z I lub – I , gdzie I jest macierzą jednostkową 2×2. Jeśli wymiar W wynosi dwa, a –1 jest kwadratem w polu podstawowym (to znaczy, jeśli q jest przystające do 1, modulo 4) macierz ograniczenia Q do W jest przystająca do 𝜙 jest dowolnym skalarem niekwadratowym . ${\ Displaystyle \ textstyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i \ phi \ koniec {bmatrix}}}$

Oznacza to, że jeśli wymiar V jest parzysty, istnieją tylko dwie grupy ortogonalne, w zależności od tego, czy wymiar W zero, czy dwa. Oznaczono je odpowiednio O ⁺ (2 n , q ) i O ⁻ (2 n , q ) .

Grupa ortogonalna O ^ϵ (2, q ) jest grupą dwuścienną rzędu 2( q − ϵ ) , gdzie ϵ = ± .

Gdy cechą nie jest dwa, kolejność grup ortogonalnych to

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {O} (2n + 1, q) \ prawo | = 2q ^ {n ^ {2}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ lewo (q ^ {2i) }-1\prawo),}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {O} ^ {+} (2n, q) \ prawo | = 2q ^ {n (n-1)} \ lewo (q ^ {n} -1 \ po prawej) \ prod _ {i=1}^{n-1}\lewo(q^{2i}-1\prawo),}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {O} ^ {-} (2n, q) \ prawo | = 2q ^ {n (n-1)} \ lewo (q ^ {n} + 1 \ po prawej) \ prod _ {i=1}^{n-1}\lewo(q^{2i}-1\prawo).}$

W charakterystycznym dwóch wzory są identyczne, z wyjątkiem czynnika 2 od muszą być usunięte. ${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {O} (2n + 1, q) \ prawo |}$

Niezmiennik Dicksona

Dla grup ortogonalnych niezmiennik Dicksona jest homomorfizmem z grupy ortogonalnej do grupy ilorazowej Z /2 Z (liczby całkowite modulo 2), przyjmujący wartość 0 w przypadku, gdy element jest iloczynem parzystej liczby odbić i wartości 1 inaczej.

Algebraicznie niezmiennik Dicksona można zdefiniować jako D ( f ) = ranga( I − f ) modulo 2 , gdzie I jest tożsamością ( Taylor 1992 , Twierdzenie 11.43). Nad polami, które nie mają cechy 2, jest równoważne wyznacznikowi: wyznacznik wynosi -1 do potęgi niezmiennika Dicksona. Nad polami cechy 2 wyznacznik wynosi zawsze 1, więc niezmiennik Dicksona daje więcej informacji niż wyznacznik.

Specjalna grupa ortogonalna jest jądrem niezmiennika Dicksona i zwykle ma indeks 2 w O( n , F  ) . Gdy charakterystyka F nie wynosi 2, niezmiennik Dicksona wynosi 0, gdy wyznacznik wynosi 1 . Zatem gdy charakterystyka nie wynosi 2, SO( n , F  ) jest powszechnie definiowane jako elementy O( n , F  ) z wyznacznikiem 1 . Każdy element w O( n , F  ) ma wyznacznik ±1 . Zatem w charakterystyce 2 wyznacznikiem jest zawsze 1 .

Niezmiennik Dicksona można również zdefiniować dla grup Clifforda i grup pinów w podobny sposób (we wszystkich wymiarach).

Ortogonalne grupy o charakterystyce 2

Nad polami charakterystycznych 2 grup ortogonalnych często wykazują szczególne zachowania, z których niektóre są wymienione w tej sekcji. (Wcześniej te grupy były znane jako grupy hipoabelowe , ale ten termin nie jest już używany.)

• Każda grupa ortogonalna nad dowolnym polem jest generowana przez odbicia, z wyjątkiem unikalnego przykładu, w którym przestrzeń wektorowa jest 4-wymiarowa nad polem z 2 elementami, a indeks Witta wynosi 2. Odbicie w charakterystyce dwóch ma nieco inną definicję. W drugiej charakterystyce odbicie prostopadłe do wektora u przyjmuje wektor od v do v + B ( v , u )/Q( u ) · u , gdzie B jest formą dwuliniową, a Q jest formą kwadratową związaną z geometrią ortogonalną. Porównaj to z odbiciem nieparzystej cechy charakterystycznej lub cechy zerowej, które przyjmuje od v do v − 2· B ( v , u )/Q( u ) · u .
• Centrum ortogonalnego grupy zwykle w kolejności 1 charakterystycznego 2, raczej niż 2, od I = - I .
• W nieparzystych wymiarach 2 n + 1 w charakterystyce 2 grupy ortogonalne nad ciałami idealnymi są takie same jak grupy symplektyczne w wymiarze 2 n . W rzeczywistości formularz jest symetryczna na przemian w typowym 2, jak i wymiar jest nieparzysta musi mieć jądra wymiar 1, a iloraz przez tego jądra znajduje się symplektycznych przestrzeni o wymiarze 2, N , działa na niego prostopadłym grupy.
• W wymiarach parzystych w charakterystyce 2 grupa ortogonalna jest podgrupą grupy symplektycznej, ponieważ symetryczna dwuliniowa forma formy kwadratowej jest również formą przemienną.

Norma spinora

Normą Spinor jest homomorfizmem z ortogonalnym grupy nad polem F do grupy iloraz C ^x / ( K ^x ) ² (The multiplikatywna grupa pola F aż do namnażania w kwadratowych elementów), które ma odbicie w wektorze normą n do obrazu n w F ^× /( F ^× ) ² .

Dla zwykłej grupy ortogonalnej nad liczbami rzeczywistymi jest trywialna, ale często jest nietrywialna nad innymi ciałami lub dla grupy ortogonalnej formy kwadratowej nad liczbami rzeczywistymi, która nie jest dodatnio określona.

Kohomologia Galois i grupy ortogonalne

W teorii Galois kohomologiami z grup algebraicznych , niektóre dalsze punkty widzenia są wprowadzane. Mają wartość wyjaśniającą, w szczególności w odniesieniu do teorii form kwadratowych; ale były w większości post hoc , jeśli chodzi o odkrycie zjawisk. Po pierwsze, formy kwadratowe nad polem można zidentyfikować jako Galois H ¹ lub skręcone formy ( torsory ) grupy ortogonalnej. Jako grupa algebraiczna, grupa ortogonalna nie jest na ogół ani połączona, ani po prostu połączona; drugi punkt wprowadza zjawisko spinu, podczas gdy pierwszy wiąże się z dyskryminatorem .

Nazwę „spinu” normy spinorowej można wytłumaczyć połączeniem z grupą spinową (dokładniej z grupą kołkową ). Można to teraz szybko wyjaśnić za pomocą kohomologii Galois (która jednak postdatuje wprowadzenie terminu przez bardziej bezpośrednie użycie algebr Clifforda ). Wirowanie obejmujące ortogonalnego grupy dostarcza krótkie dokładnej sekwencji z grupy algebraicznych .

${\ Displaystyle 1 \ rightarrow \ mu _ {2} \ rightarrow \ operatorname {pin} _ {V} \ rightarrow \ operatorname {O_ {V}} \ rightarrow 1}$

Tutaj μ ₂ jest grupą algebraiczną pierwiastków kwadratowych z 1 ; na polu charakterystyki nie 2 jest z grubsza tożsama z dwuelementową grupą o trywialnym działaniu Galois. Łączenia homomorfizm z H ⁰ (O _V ) , który jest po prostu grupę O _V ( F ) z F -valued punktów i H ¹ (ľ ₂ ) jest zasadniczo normą Spinor, ponieważ H ¹ (μ ₂ ) jest izomorficzny grupa multiplikatywna pól modulo kwadratów.

Istnieje również homomorfizm łączący od H ¹ grupy ortogonalnej do H ² jądra pokrycia spinowego. Kohomologia jest nieabelowa, więc jest to tak daleko, jak tylko możemy, przynajmniej z konwencjonalnymi definicjami.

Algebra kłamstwa

Algebra Lie odpowiadające Lie grupy O ( N , F  ) i SO ( N , M  ) składa się pochylać niesymetrycznego n x n macierzy, przy czym wspornik Lie [] podane przez komutator . Jedna algebra Liego odpowiada obu grupom. Jest często oznaczana przez lub i nazywana ortogonalną algebrą Liego lub specjalną ortogonalną algebrą Liego . Nad liczbami rzeczywistymi te algebry Liego dla różnych n są zwartymi postaciami rzeczywistymi dwóch z czterech rodzin półprostych algebr Liego : w nieparzystym wymiarze B _k , gdzie n = 2 k + 1 , podczas gdy w parzystym wymiarze D _r , gdzie n = 2 r . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} (n, F)}$${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(n,f)}$

Ponieważ grupa SO( n ) nie jest po prostu połączona, teoria reprezentacji ortogonalnych algebr Liego obejmuje zarówno reprezentacje odpowiadające zwykłym reprezentacjom grup ortogonalnych, jak i reprezentacje odpowiadające reprezentacjom rzutowym grup ortogonalnych. (Reprezentacje rzutowe SO( n ) są po prostu liniowymi reprezentacjami uniwersalnej pokrywy, grupy spinowej Spin( n ).) Te ostatnie są tak zwaną reprezentacją spinową , która jest ważna w fizyce.

Mówiąc ogólniej, biorąc pod uwagę przestrzeń wektorową (nad polem o charakterystyce nie równej 2) o niezdegenerowanej symetrycznej postaci dwuliniowej , specjalna ortogonalna algebra Liego składa się z endomorfizmów bezśladowych, które są skośnie symetryczne dla tej postaci ( ). Nad polem o charakterystyce 2 rozważamy zamiast tego naprzemienne endomorfizmy. Konkretnie możemy je zrównać z naprzemiennymi tensorami . Korespondencję udziela: ${\ Displaystyle V}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \phi}$${\ Displaystyle (\ phi A, B) + (A, \ phi B) = 0}$${\ Displaystyle \ Lambda ^ {2} V}$

${\ Displaystyle v \ klin w \ mapsto (v \ cdot) w- (w \ cdot) v}$

Opis ten dotyczy w równym stopniu nieokreślonych specjalnych ortogonalnych algebr Liego dla symetrycznych form dwuliniowych z sygnaturą . ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(p,q)}$${\displaystyle (p,q)}$

W ciągu liczb rzeczywistych, ta charakterystyka jest stosowany w interpretacji zwijania pola wektorowego (naturalnie 2-wektor) jako obrotu nieskończenie lub „zawinięcia”, stąd nazwa.

Powiązane grupy

Grupy ortogonalne i specjalne grupy ortogonalne mają szereg ważnych podgrup, supergrup, grup ilorazowych i grup pokrywających. Są one wymienione poniżej.

Inkluzje O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) i USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) są częścią ciągu 8 inkluzji używanych w geometrycznym dowodzie okresowości Botta twierdzenie , a odpowiadające mu przestrzenie ilorazowe są symetrycznymi przestrzeniami o niezależnych zainteresowaniach – na przykład U( n )/O( n ) to Lagrangian Grassmannian .

Podgrupy kłamstwa

W fizyce, szczególnie w obszarach zagęszczenia Kaluza-Klein , ważne jest, aby znaleźć podgrupy grupy ortogonalnej. Najważniejsze z nich to:

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (n) \ zdenerwowany \ operatorname {O} (n-1)}$ – zachowaj oś

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (2n) \ zdziwiony \ operatorname {U} (n) \ niespokojny \ operatorname {SU} (n)}$– U( n ) to te, które zachowują zgodną strukturę złożoną lub zgodną strukturę symplektyczną – patrz właściwość 2 z 3 ; SU( n ) również zachowuje złożoną orientację.

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (2n) \ zdenerwowany \ operatorname {USp} (n)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {O} (7) \ zdenerwowany \ operatorname {G} _ {2}}$

Kłamliwe supergrupy

Ortogonalna grupa O( n ) jest również ważną podgrupą różnych grup Liego:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {U} (n) i \ zdziwiony \ operatorname {O} (n) \ \ \ operatorname {USp} (2n) i \ zaburzony \ operatorname {O} (n) \ \\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\ supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}}$

Grupa konformalna

Będąc izometriami , prawdziwe transformacje ortogonalne zachowują kąty , a zatem są mapami konforemnymi , chociaż nie wszystkie konforemne transformacje liniowe są ortogonalne. W ujęciu klasycznym jest to różnica pomiędzy zbieżność i podobieństwa , jako przykładem (SSS bocznej bocznej stronie) przystawania trójkątów i AAA (k-k-kąt) podobieństwa trójkątów . Grupa konforemnych map liniowych R ⁿ jest oznaczona jako CO( n ) dla konforemnej grupy ortogonalnej i składa się z iloczynu grupy ortogonalnej z grupą dylatacji . Jeśli n jest nieparzyste, te dwie podgrupy się nie przecinają i są iloczynem bezpośrednim : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ^∗ , gdzie R ^∗ = R ∖{0 } jest rzeczywistą grupa multiplikatywna , natomiast jeśli n jest parzyste, te podgrupy przecinają się w ±1 , więc nie jest to iloczyn bezpośredni, ale jest iloczynem bezpośrednim z podgrupą dylatacji o dodatni skalar: CO(2 k ) = O(2 k ) × R ⁺ .

Podobnie można zdefiniować CSO( n ) ; zauważ, że jest to zawsze: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL ⁺ ( n ) = SO( n ) × R ⁺ .

Dyskretne podgrupy

Ponieważ grupa ortogonalna jest zwarta, dyskretne podgrupy są równoważne skończonym podgrupom. Te podgrupy są znane jako grupy punktowe i mogą być realizowane jako grupy symetrii politopów . Bardzo ważną klasą przykładów są skończone grupy Coxetera , które obejmują grupy symetrii regularnych politopów .

Szczególnie badany jest wymiar 3 – patrz grupy punktowe w trzech wymiarach , grupy wielościenne i lista grup symetrii sferycznej . W 2 wymiarach skończone grupy są albo cykliczne, albo dwuścienne – patrz grupy punktowe w dwóch wymiarach .

Inne skończone podgrupy obejmują:

• Macierze permutacyjne ( grupa Coxetera A _n )
• Podpisane macierze permutacyjne ( grupa Coxetera B _n ); równa się również przecięciu grupy ortogonalnej z macierzami całkowitymi .

Grupy pokrywające i ilorazowe

Grupa ortogonalna nie jest ani po prostu połączona ani bezśrodkowa , a zatem ma odpowiednio zarówno grupę pokrywającą, jak i grupę ilorazową :

• Dwie obejmujące grupy Pinów , Pin ₊ ( n ) → O( n ) i Pin ₋ ( n ) → O( n ) ,
• Iloraz rzutowej grupy ortogonalnej , O( n ) → PO( n ) .

To wszystko są okładki 2 do 1.

W przypadku specjalnej grupy ortogonalnej odpowiednie grupy to:

• Grupa spinowa , Spin( n ) → SO( n ) ,
• Rzutowa specjalna grupa ortogonalna , SO( n ) → PSO( n ) .

Spin jest okładką 2 do 1, podczas gdy w wymiarze parzystym PSO (2 k ) jest okładką 2 do 1, aw wymiarze nieparzystym PSO (2 k + 1) jest okładką 1 do 1; tj. izomorficzny do SO( 2k +1) . Te grupy, Spin( n ) , SO( n ) i PSO( n ) są formami grup Liego zwartej specjalnej ortogonalnej algebry Liego , – Spin jest formą połączoną, podczas gdy PSO jest formą bezśrodkową, a SO jest ogólnie żaden. ${\displaystyle {\mathfrak {tak}}(n,\mathbb {R})}$

W wymiarze 3 i powyżej są to okładki i ilorazy, podczas gdy wymiar 2 i poniżej są nieco zdegenerowane; szczegółowe informacje znajdziesz w konkretnych artykułach.

Główna jednorodna przestrzeń: rozmaitość Stiefel

Główną przestrzeń jednorodna na ortogonalne grupy O ( n ) jest kolektor Stiefel V, _N ( R ⁿ ) z zasadami ortonormalnych (ortonormalną n -frames ).

Innymi słowy, przestrzeń baz ortonormalnych jest jak grupa ortogonalna, ale bez wyboru punktu bazowego: przy danej przestrzeni ortogonalnej nie ma naturalnego wyboru bazy ortonormalnej, ale gdy już ją otrzymamy, jest jeden do -jedna korespondencja między bazami a grupą ortogonalną. Konkretnie, odwzorowanie liniowe jest określane przez to, gdzie wysyła bazę: tak jak odwzorowanie odwracalne może przyjąć dowolną bazę z dowolną inną bazą, odwzorowanie ortogonalne może przyjąć dowolną bazę ortogonalną do dowolnej innej bazy ortogonalnej .

Z drugiej Stiefel SEKCJAMI V _K ( R ⁿ ) dla k < n o niepełnej zasad ortonormalnych (ortonormalną K -frames) wciąż przestrzeń jednorodna na ortogonalne grupy, nie zasadnicze jednorodne obowiązuje: każdy k -frame może być stosowany do innych k -ramka przez mapę ortogonalną, ale ta mapa nie jest jednoznacznie określona.

Zobacz też

Konkretne przekształcenia

• Obroty i odbicia współrzędnych
• Odbicie przez pochodzenie

Konkretne grupy

• grupa rotacyjna, SO(3, R )
• SO(8)

Powiązane grupy

• nieokreślona grupa ortogonalna
• grupa unitarna
• grupa symplektyczna

Listy grup

• lista skończonych grup prostych
• lista prostych grup Liego

Teoria reprezentacji

• Reprezentacje klasycznych grup Liego
• Algebra Brauera

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Grupa ortogonalna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• John Baez „Znaleziska w tym tygodniu w fizyce matematycznej” tydzień 105
• John Baez o Octonions
• (w języku włoskim) n-wymiarowa parametryzacja specjalnych grup ortogonalnych