Mnożnik Schura - Schur multiplier

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór okrąg Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

W matematycznej teorii grup The Schur mnożnik lub Schur mnożnik jest druga grupa homologii z grupy G . Wprowadził ją Issai Schur  ( 1904 ) w swojej pracy nad przedstawieniami projekcyjnymi . ${\ Displaystyle H_ {2} (G \ mathbb {Z} )}$

Przykłady i właściwości

Mnożnik Schura skończonej grupy G jest skończoną grupą abelową, której wykładnik dzieli rząd G . Jeżeli Sylow P -subgroup z G cykliczny jakiegoś p , a kolejność jest podzielna przez p . W szczególności, jeśli wszystkie Sylow p -subgroups z G są cykliczne, to jest trywialne. ${\ Displaystyle \ Operatorname {M} (G)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {M} (G)}$${\ Displaystyle \ Operatorname {M} (G)}$

Na przykład mnożnik Schura grupy nonabelowej rzędu 6 jest grupą trywialną, ponieważ każda podgrupa Sylowa jest cykliczna. Mnożnik Schura elementarnej grupy abelowej rzędu 16 jest elementarną grupą abelową rzędu 64, co pokazuje, że mnożnik może być ściśle większy niż sama grupa. Mnożnik Schur grupy kwaternionów jest trywialny, ale mnożnik Schur dwuściennych grup 2 ma rząd 2.

Mnożniki Schura skończonych grup prostych podane są na liście skończonych grup prostych . Do grupy pokryciu przemiennego grup symetrycznych mają duże niedawnego zainteresowania.

Związek z reprezentacjami projekcyjnymi

Pierwotną motywacją Schura do badania mnożnika była klasyfikacja reprezentacji projekcyjnych grupy, a współczesne sformułowanie jego definicji to druga grupa kohomologiczna . Reprezentacja projekcyjna jest bardzo podobna do reprezentacji grupowej, z tym wyjątkiem, że zamiast homomorfizmu do ogólnej grupy liniowej , homomorfizm do ogólnej grupy projekcyjnej liniowej . Innymi słowy, reprezentacja rzutowa jest reprezentacją modulo centrum . ${\ Displaystyle H ^ {2} (G \ mathbb {C} ^ {\ razy})}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {GL} (n \ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {PGL} (n \ mathbb {C})}$

Schur  ( 1904 , 1907 ) wykazało, że każdy ograniczony grupa G jest połączony z, co najmniej jedną grupę skończoną C , zwany pokrywa Schur z właściwości, którą każdy rzutowa reprezentacja G może być podniesiona do zwykłego reprezentacji C . Okładka Schur jest również znana jako grupa okładek lub Darstellungsgruppe . Znane są osłony Schura skończonych grup prostych , a każda z nich jest przykładem grupy quasi- prostej . Pokrycie Schura grupy doskonałej jest jednoznacznie określone do izomorfizmu, ale pokrycie Schura ogólnej grupy skończonej jest określone tylko do izoklinizmu .

Stosunek do rozszerzeń centralnych

Badanie takich grup pokrywających prowadziło naturalnie do badania rozszerzeń centralnych i pnia .

Centralnego występu grupy G stanowi przedłużenie

${\ Displaystyle 1\ do K\ do C\ do G\ do 1}$

gdzie jest podgrupa o środku w C . ${\ Displaystyle K \ leq Z (C)}$

Przedłużenie trzpienia grupy G stanowi przedłużenie

${\ Displaystyle 1\ do K\ do C\ do G\ do 1}$

gdzie jest podgrupą przecięcia środka C i podgrupy pochodzącej od C ; jest to bardziej restrykcyjne niż centralne. ${\ Displaystyle K \ leq Z (C) \ czapka C'}$

Jeżeli grupa G jest skończona i rozważamy tylko rozszerzenia rdzenia, to dla takiej grupy C istnieje największy rozmiar , a dla każdego C o tej wielkości podgrupa K jest izomorficzna z mnożnikiem Schura dla G . Jeśli skończona grupa G jest ponadto doskonała , to C jest unikalna aż do izomorfizmu i sama jest doskonała. Takie C nazywane są uniwersalne doskonałe centralne przedłużenie na G lub obejmujące grupę (jak to jest dyskretnym analog uniwersalnej przestrzeni przykrywającej w topologii). Jeśli skończona grupa G nie jest doskonała, to jej grupy pokrywające Schur (wszystkie takie C największego rzędu) są tylko izokliniczne .

Nazywana jest również bardziej krótko uniwersalny centralny rozszerzenie , ale uwaga, że nie ma co do wielkości centralny rozszerzenie, jako bezpośredni produkt z G oraz grupa przemienna tworzą centralny rozszerzenie G arbitralnej wielkości.

Rozszerzenia rdzenia mają tę przyjemną właściwość, że każdy podnośnik zbioru generującego G jest zbiorem generującym C . Jeżeli grupa G jest prezentowana w kategoriach wolnej grupy F na zbiorze generatorów, a podgrupa normalna R generowana przez zbiór relacji na generatorach, tak że , to sama grupa pokrywająca może być prezentowana w kategoriach F ale z mniejszą normalną podgrupą S , czyli . Ponieważ relacje G określają elementy K , gdy są uważane za część C , trzeba mieć . ${\displaystyle G\cong F/R}$${\displaystyle C\cong F/S}$${\displaystyle S\leq [F,R]}$

W rzeczywistości, jeśli G jest idealne, to wystarczy : C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] i M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Ze względu na tę prostotę, ekspozycje takie jak ( Aschbacher 2000 , §33) traktują jako pierwszy przypadek idealny. Ogólny przypadek mnożnika Schura jest podobny, ale zapewnia, że ​​rozszerzenie jest rozszerzeniem rdzenia, ograniczając się do pochodnej podgrupy F : M( G ) ∩ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. To wszystko są nieco późniejsze wyniki Schura, który również podał szereg przydatnych kryteriów do ich dokładniejszego obliczania.

Związek z efektywnymi prezentacjami

W kombinatorycznej teorii grup grupa często wywodzi się z prezentacji . Jednym z ważnych tematów w tej dziedzinie matematyki jest studiowanie prezentacji z jak najmniejszą liczbą relacji, takich jak grupy jednego relatora, takie jak grupy Baumslag-Solitar . Te grupy są nieskończonymi grupami z dwoma generatorami i jedną relacją, a stary wynik Schreiera pokazuje, że w każdej prezentacji z większą liczbą generatorów niż relacji, wynikowa grupa jest nieskończona. Przypadek graniczny jest więc dość interesujący: mówi się, że skończone grupy z taką samą liczbą generatorów jak relacje mają niedobór zerowy. Aby grupa miała niedobór zero, grupa musi mieć trywialny mnożnik Schura, ponieważ minimalna liczba generatorów mnożnika Schura jest zawsze mniejsza lub równa różnicy między liczbą relacji a liczbą generatorów, która jest ujemna niedobór. Wydajny grupa jest jednym gdzie mnożnik Schur wymaga tę liczbę generatorów.

Dość nowym tematem badań jest znalezienie efektywnych prezentacji dla wszystkich skończonych grup prostych z trywialnymi mnożnikami Schura. Takie prezentacje są w pewnym sensie przyjemne, ponieważ zazwyczaj są krótkie, ale trudno je znaleźć i pracować, ponieważ nie pasują do standardowych metod, takich jak wyliczanie coset .

Stosunek do topologii

W topologii grupy można często opisać jako skończenie przedstawione grupy, a fundamentalną kwestią jest obliczenie ich integralnej homologii . W szczególności druga homologia odgrywa szczególną rolę, co doprowadziło Heinza Hopfa do znalezienia skutecznej metody jej obliczania. Metoda w ( Hopf 1942 ) jest również znana jako wzór integralnej homologii Hopfa i jest identyczna ze wzorem Schura na mnożnik Schura grupy skończonej: ${\ Displaystyle H_ {n} (G \ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle H_ {2} (G \ mathbb {Z} ) \ cong (R \ czapka [F, F])/[F, R]}$

gdzie i F jest wolną grupą. Ta sama formuła obowiązuje również, gdy G jest idealną grupą. ${\displaystyle G\cong F/R}$

Uznanie, że te formuły są takie same, doprowadziło Samuela Eilenberga i Saundersa MacLane'a do stworzenia kohomologii grup . Ogólnie,

${\ Displaystyle H_ {2} (G \ mathbb {Z} ) \ cong {\ bigl (} H ^ {2} (G \ mathbb {C} ^ {\ razy}) {\ duży)} ^ {* }}$

gdzie gwiazda oznacza algebraiczną grupę podwójną. Co więcej, gdy G jest skończone, występuje nienaturalny izomorfizm

${\ Displaystyle {\ bigl (} H ^ {2} (G \ mathbb {C} ^ {\ razy}) {\ Bigr} ^ {*} \ cong H ^ {2} (G \ mathbb {C } ^{\times }).}$

Formuła Hopfa została uogólniona na wyższe wymiary. Jedno podejście i referencje można znaleźć w artykule Everaert, Gran i Van der Linden wymienionym poniżej. ${\ Displaystyle H_ {2}(G)}$

Grupa doskonała to taka, której pierwsza integralna homologia zanika. Grupa superperfect jest którego pierwsze dwa integralne grupy homologii znikają. Okładki Schur skończonych perfekcyjnych grup są super doskonałe. Grupa acykliczna to grupa, w której zanika cała zmniejszona integralna homologia.

Aplikacje

Sekund algebraiczna K grupę K ₂ ( R ) o zmiennym pierścieniu B mogą być identyfikowane z drugiej grupy homologii H ₂ ( E ( R ), Z ) grupy E, ( R ), kwasu (nieskończone) elementarnymi macierzy z wpisami R .

Zobacz też

• Grupa quasi-prosta

Odwołania Claira Millera dają inny pogląd na mnożnik Schura jako jądro morfizmu κ: G ∧ G → G indukowanego przez odwzorowanie komutatora.

Uwagi

Bibliografia